ÉTÉ

c'est-à-dire que la torsion géodésique et la seconde courbure géodésique sont égales pour les lignes géodésiques. On peut dire encore que la quantité cosI est la torsion absolue, puisque les plans osculateurs d’une ligne géodésique sont normaux à la surface.

Si la courbe »#m,7n,... était une ligne de courbure on aurait

COL 0, et, par conséquent,

Le — sin ©.

Nous verrons plus tard que T, est la courbure que M. Lamé appelle con-

Juguée en arc de la courbure principale.

La formule (8) permet de connaître l'intersection m»,E des deux plans normaux consécutifs. En effet, on peut mettre la formule (8) sous la forme

(Tds} = cos 140 + (40, + d1).

Les racines des trois termes qui figurent dans les deux membres de cette équation peuvent être considérées comme trois rotations, et Tds sera la résultante de deux autres, cosId9, (d8, + dI). Ces dernières s’effectuent autour des droites rectangulaires #2, K, m,m,, et la résultante autour de l'intersection commune de deux plans Amm,, A;m;m,; par conséquent, si l’on désigne par a l’angle que cette intersection fait avec A,m,, ou la normale à la surface au point considéré, on aura, d’après un théorème connu de la cinématique,

(9) tang à — cosid0 d8, + di

On voit aisément que l'intersection dont nous parlons coïncide avec la normale à la surface, dans le cas d’une ligne de courbure, et avec la tangente à la courbe considérée, dans le cas d’une ligne géodésique.

En combinant la formule (9) avec la seconde des formules (6), on trouve sans difficulté =

(ro) tang &.tang o.tangI —1.

l'est l'angle que fait avec l’élément ds la tangente conjuguée, ou l’intersection de deux plans tangents consécutifs à la surface, suivant mm, m,..…

Je tire aussi des équations (8), (9),

| Tcos a = sin g =>

(15) l dé | Tsinaæ—cosI Aro)

D'après ces formules, la torsion géodésique, de même que la première courbure absolue de la ligne r2m,m,..., se décompose en deux courbures : l’une, est la première courbure géodésique, l’autre, est la seconde.

Torsion absolue. — Par le point K j'abaisse deux droites, KM, KN (fig. 1), perpendiculaires aux deux plans osculateurs consécutifs, c’est-à-dire aux plans (mm,m,), (mimsm,); leur angle do sera l’angle cherché. Or ces

droites sont toutes deux perpendiculaires à 72, m,; par conséquent elles se trouvent, avec Km,, sur un plan perpendiculaire à m,m,, et l’on aura

TS PERS do = m KM — m,KN.

m,KN est déjà connu, car le rayon de courbure au point 7 fait avec la normale à la surface, en ce point, un angle w; donc l’angle analogue pour le point 72, sera o + de, et nous aurons

KNm, = 90° — 9 — do.

Il suffit done de connaître l’angle KMm,. Pour cela, je fais passer par un point de l’espace trois droites, OA, OB, OC (fig. 3), parallèles successive

Fig. 3.

ment à mA, m,A,, KM, dans le triangle sphérique ABC. On aura

arc AB — d0, arc AC — 90° — ,