ÈS CAB

(1) par conséquent, cos CB — cos m, KM — sing — coss cos 146.

Mais en développant l'expression cos [(90° — ) + cos[d5], et négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, on trouve

cos[(go°— ) + cos1d9] = sine — coss cosI1d8,

É Æ et l'expression de l'angle du deviendra j do = de + cosid5, à puisque l’on a : 3 pme — 4 + coS1d6. £ vor Désgrantpars 2 Ja torsion absolue de la courbe mm,m,..., nous aurons — | Don mem Sr CA D + ua) | tt El d = ae formule EL les hgnes de courbure, 4 7 hotel « | tie sic 'srpobafrl s L'd à pt biere vanenis ! 0 A ti Hi sbtoofrsarch rsrensenfs) __.

+ Ci animes aires 2e Mie: dir : PRE wres = : ets 3 ligne de courbure considérée devait être plane: on aurait 7 me 3 É Eh — x ()=c: à “72 DT. des | 4= const a Le. il RUE durs tn ÉTOILE ah ri | wbas ra) ù TE ce qui de a ere doit eouper la surfe Z :

= à nn La réciproque est vraie.

F--4. PT Eh © — -»

Rene | m: Éms | ef SEL

deux plans tangents consécutifs sont perpendiculaires à deux génératrices consécutives de la surface gauche (K). L’angle I est égal à celui de la génératrice de la surface développable en question avec la courbe z7m,m, ..… Élevons maintenant, aux points centraux O0, 0,,0,,... (f£g. 1), les normales 00/,0,0',,... à la surface gauche (K). Il est évident que ces normales sont successivement parallèles aux plans tangents à la surface (Z), et comme elles sont perpendiculaires à OK, O,K,,..., il s'ensuit qu'elles sont dirigées suivant les rayons de courbure de l'arrêt de rebroussement de la surface développable (D). Nous allons déterminer l’angle de deux normales consécutives 00’, 0,0", par exemple. J’observe, pour cela, que le plan tangent à la surface (K), au point central O, peut coïncider avec le plan tangent au point O, au moyen de deux rotations, une autour de OK, égale à d0, et une autre autour de KO, , égale à d8,, et comme les droites OK, O,K se coupent perpendiculairement, il s'ensuit que la rotation totale sera exprimée par

(16) do? — d0? + d0:.

C’est précisément l’angle de deux rayons de courbure consécutifs de l’arrêt de rebroussement de la surface (D). La grandeur et la direction de la plus courte distance entre ces rayons de courbure se déterminent aussi assez facilement, car il est évident que la rotation totale d& s'effectuera autour d’une parallèle à cette distance; elle fera donc avec OK, ou bien avec la tangente à l'arrêt de rebroussement, un angle dont la tangente sera

do, do

La grandeur de la plus courte distance se déterminera en y projetant l'arc ds, de l'arrêt. Il vient __ dsd@, Van +de.

Le rapport dé, dO est susceptible d’une autre interprétation géométrique que je vais faire connaître.

Considérons pour cela les trois plans tangents à la surface (Z) aux points M, m, m,; leurs intersections détermineront un point u de l'arrêt de rebroussement dont nous venons de parler. Proposons-nous de déterminer

AS DES Sais