Livre V, Ce livre a pour objet de résoudre le problème suivant

Etant donnés deux corps géométriques semblables, en

construire un B* qui leur soit semblable et qui soil égal à leur somme (ou à leur différence).

Pour parvenir à un mode de solution général, l'auteur examine les différentes manières de résoudre la question analogue dans les deux dimensions, et il y substitue une autre méthode qu'il étend ensuite aux trois dimensions. Voici d'abord cette méthode que Ton pourra ensuite tra^duire en théorème :

Ayant deux surfaces semblables P et Ç, pour en construire une S*' P égale à leur somme et semblable à P, cherchez :

l'Aline â' proportionnelle ® au 1"' côté y^ de P et à son homologue B àe Q :

2" Une moyenne proportionnelle M entre le premier côté A et la somme A + co :

â<* Construisez sur M comme homologue de A une fîg. K semblable à P, et le problème sera résolu.

Pour résoudre maintenant la question dans les trois dimensions, P et Q étant les deux solides proposés, et A et B deux arêtes homologues :

Cherchez 1° une 8' proportionnelle E entre A et B :

2° Une 4* proportionnelle Feutre A, B,E:

â^ Deux moyennes proportionnelles (>) G, H entré A el A + F.

Sur la première moyenne G comme homologue de A, construisez un solide semblable à P, et le problème sera rëfiola; car on a :

R : P = G' : Aï ; mais G' = A» (A + F),

D*où résulté :

Ce qui donne, à cause de la similitude de P, Q, entr*eux i R = P+Q.

Le cas de la soustraction des solides semblables se traitera de même, en changeant à la fois A + FenF — AetP + Q en Q — P.

Il est bien entendu que ce ne sont pas les démonstrations mêmes de Stevin que nous avons reproduites ; autrement ^^abréviation serait impossible.

Li^re III, L'auteur expose ses idées fondamentales et les recherches de ses prédécesseurs sur les solides plus ou moins réguliers en SI définitions lesquelles, étant bien entendues, suffiront pour la construction de ces solides, et pour leurs caractères distinctifs.

Dans les définitions 1, S, B, 4, 5 on décfit les cinq polyè^ dres réguliers proprement dits.

Dans les définitions 6, 7, 8, 9, 10 on traite des polyèdres réguliers augmentés que Ton obtient en général en appuyant sur chaque base de Tun des cinq premiers solides une pyramide dont les faces latérales sont des triangles réguliers.

(*) Cette difficulté de la géométrie plane est censée résolue. Stevin a exposé précédemment la solution mécanique de Héron , insérée par Eutochius dans le Traité de la sphère et du cylindre d'Archimède.

Définiiwn 1 1« Un solide inscriptible à la sphère dont toas les angles solides sont égaux, sans avoir toutes ses faces planes semblables, mais dans lequel chaque face est nëamoins ëquiangle et éqailatérale, et qui a par conséquent toutes ses arêtes égales, s'appelle corps régulier tronqué (TVtffM»tum corpus regulare).

Définition 1 2 : Si Ton divise chaque arête d'un tétraèdre en trois parties égales et que Ton découpe chaque angle solide par le plan des trois points de division les plus voisins du sommet, le solide restant se nommera : tétraèdre tronqué aa tiers des arêtes {Truncatum tetraedrum per laterum tertias).

Nota^ Ce solide a 4 faces hexagonales, 4 faces triangulaires, 12 angles solides et 18 arêtes. Il est sous-entendu que chaque face est régulière, et que les angles solides y sont égaux.

De plus, d'après le théorème d'Euler, qui nous apprend que dans chaque polyèdre le nombre des arêtes, augmenté de deux, doit valoir la somme du nombre d'angles solides, ajouté au nombre des faces, on pourrait se dispenser de signaler dans les fèota des définitions suivantes le nombre d'arêtes de chaque solide défini.

Nota II. Si l'on découpe les angles solides d'un tétraèdre régulier par des plans passant aux milieux des côtés , le solide restant formera un octaèdre.

Définition 18. Si l'on divise tous les côtés d'un cube en 2 parties égales, et qu'on découpe chaque angle solide par le plan des trois points de division les plus voisins, le solide restant se nomme cube tronqué au milieu des arêtes.

Nota» Ce solide a 6 faces quarrées, 8 faces triangulaires, 12 angles solides, et 24 arêtes.

Il est semblable à l'octaèdre tronqué au milieu des arêtes, que l'on fera connaître dans la 11^ définition.

Définition 14. Si l'on divise chaque arête d'un cube en trois parties telles que la partie moyenne soit à chaque

partie extrême dans le rapport de la diagonale au côté d*iin quarré, et que Ton découpe chaque angle solide par le plan des trois points de division les plus voisins, le solide restant se nomme cube tronqué parla division en trois parties.

Nota. Ce solide a 6 faces octogonales, 8 faces triangulaires, 24 angles solides, et â6 arêtes.

Définition 15. Si Ton divise chaque arête d'un cube en trois parties dont la moyenne soit à la partie extrême dans le rapport de la diagonale au côté du quarré, et que Ton découpe chaque coin ou angle dièdre par le plan des quatre points de division les plus voisins, non situés sur Tarête de ce coin, on obtiendra d'abord un solide de six faces quarrées et de 8 angles solides plus éloignés du centre que les 24 autres angles solides; si Ton découpe ensuite chacun de ces 8 angles solides par le plan des trois angles les plus voisins des trois quarrés , le solide restant se nommera premier cube bi-tranqué {bistruncatus cubus primus).

Nota. Ce solide a 18 faces quarrées, 8 faces triangulaires, 24 angles solides, et 40 arêtes.

Remarque. Le texte latin de cette définition est entaché d'une faute de langue qui le rend très obscur.

Définition 16. Que Ton divise chaque arête d'un cube en 5 parties dont la moyenne soit à chacune des quatre autres, dans le rapport de la diagonale au côté du quarré, et que Ton découpe chaque angle dièdre du coin par le plan des quatre points de division les plus voisins, mais non situés sur l'arête même de ce coin ; on obtiendra d*abord par là un solide, ayant parmi ses faces six quarrés, et parmi ses angles solides, 8 angles de ce genre, équîdistants du centre, mais plus éloignés de ce point, que les sommets des autres. Que l'on divise ensuite chaque arête de ces six faces quarrées en trois parties dont la moyenne soit à chaque partie extrême dans le rapport de la diagonale au côté du quarré^ et que l'on découpe chacun de ces 8 angles solides par le

plan qai renferme les 6 points de division les plus voisin)» de ces angles solides mêmes : le solide restant se nomme le second cube bi'tronqué {bùtruncatus cubus secundus).

Nota. Ce solide a six faces octogonales situées dans les plans des faces primitives, 8 faces hexagonales, 12 faces quarrées, 48 angles solides, et 72 arêtes.

Définition 17. Que Ton divise chaque côté de ï'oclaèdre régulier en deux parties égales et que Ton découpe ehaquô angle solide par le plan des quatre points de division les plus voisins; le solide restant se nomme octaèdre tronqué aux mUieus des arêtes (truncatum octaedrum per iaterum média ) .

Nota. Ce solide a 6 faces quarrées, 8 faces triangidaires, 12 angles solides, et 24 arêtes.

Nota II. Ce solide est semhlahle au cube tronqué au milieu des arêtes de la défini-tion \t.

Définition 18. Que loin divise chaque arête de roclaèdre régulier en trois parties égales, et que Ton découpe chaque angle solide par le plan des quatre points de division les plus voisins ; le solide restant se nomme octaèdre tronqué au tiers des arêtes.

Nota. Ce solide a 6 faces quarrées, 8 faces sexagonales , 24 angles solides, et 36 arêtes.

Définition 19. Que Ton divise chaque arête d'un dodécaèdre en deux parties égales et que Ton découpe chaque angle solide par le plan des trois points de division les plus voisins ; le solide restant «e nomme dodécaèdre tronqué nu milieu des arêtes.

Nota. Ce solide est semblable o Ficosaèdre tronqué par le milieu des arêtes. (F'oir définit. 21«)

Définition 20. Que Ton divise chaque arête du dodécaèdre en B parties dont la moyenne soit à chaque partie extrême comme la corde de Tare de \ de circonférence est à la corde de Tare de \ de circonférence ; que Ton découpe

ensuite chaque angle solide par le plan des trois points dedivision les plus voisins ; le solide restant se nomme dodécaèdre tronqué par la division des arêtes en trois parties.

Nota, Ce solide a 12 faces décagonales, SO faces triangulaires, 60 angles solides et 90 arêtes.

Définition 21 . Que Ton divise chaque arête de Picosaèdre en deux parties égales, et que Ion découpe chaque angle solide par le plan des 5 points de division les plus voisins ; le solide restant se nommera Vicosaèdre tronqué au milieu des arêtes.

Nota, Ce solide a 12 faces pentagonales, 20 faces trian-* gulaires, SO angles solides et S6 arêtes. {P^oir nota, défini-* tion 19.)

Définition 32. Que Ton divise chaque arête de l'ico^ saèdre en trois parties égales , et que Ton découpe chaque angle solide par le plan des cinq points de division les plus voisins ; le solide restant se nommera icosaèdre tronqué au tiers des arêtes.

Nota, Ce solide a 20^ faces hexagonales, 12 faces pentagonales, 60 angles solides et 90 arêtes.

DeBN IJlRB NOTE DE LA DEUXIÈME PARTIE. M . P.-L. Rykc, profcSSCUr

à rUniversitc de Leyde, a bien voulu nous communiquer, par rintermédiaire de M . le capitaine Goffinet, quelques renseignements utiles que nous nous empressons d'exposer dans cette note finale, n'ayant plus guère le temps, d'intercaler quelque chose dans le texte de notre seconde partie.

D'après M. Ryke, « Stevin n'a jamais professé à l'Université de Leyde ; et s'il a exercé quelque influence sur l'enseignement de cette école, ce ne fut que par l'intermédiaire du prince Maurice. 11 était à la tête du waterstaet; et comme ces fonctions, qui ont toujours été considérées comme très importantes, étaient conférées par les États- Généraux , et que ceux-ci étaient tenus à ne nommer que des personnes appartenant au culte réformé , on en peut

conclure hardiment qae Stevin , pour le moins , n'était pas catholique. »

A cet égard nous ne aonnnefl pas encore entièrement conyaincu, tu les talents exceptionnels de Stevin et Tinfluence prépondérante de son protecteur Maurice dans les affaires de l'État. Nous pouvons donc maintenir les doutes exprimés dans notre récapitulation (*).

Meennan rapporte {*) que le petit chariot à roiles de Stevin existait encore à Scheveningne en 180S : lors du mariage du prince héréditaire de Brunswick avec la princesse Louise, sœur du roi Guillaume I^, on en fit un essai qui ne réussit guère à cause de l'inexpérience du conducteur.

Quant au grand chariot à voiles, non-seulement il n'en reste plus rien , mais les habitants de Scheveningue n*en ont même jamais^ entendu parler.

(*) Nous pouvons nous féiiciter d*ayoir le premier exprimé ces doutes : car il est prouvé aujourd'hui que Steviç n'a jamais abjuré, {voir plus loin Tarticle : Quelq-ues mata d'explication,)

(2) Voir les Commentaires de l'ouvrage de Hugo Grotius, intitule : Vergclyking der gemeenebesten.