S 3, LIV. IL

Dans ce livre, on traite de la recherche des centres de gravité des figures et solides réguliers, de

eelui des surfaces du triangle, du polygone, et du segment de parabole; ensuite de la pyramide et du conoïde parabolique. Or, Commandin (né en 1509 et mort en 1S7S) a trouvé le centre de gravité de ce dernier solide, et le peintre Léonard de Vinci parait avoir trouvé celui de la pyramide ; ainsi Stevin n'a fait aucune découverte particulière en cette matière. Mais il est probable que les démonstrations qu'il donne à cet égard lui sont propres : car celle du cas de la pyramide est basée sur la méthode des limites de la géométrie ancienne , dans laquelle il était très fort, comme le prouve son Hydrostatique ^ où il fait une application bien plus difficile encore de cette méthode. ^

§ 4, LIT. nr.

Ce livre contient la statique pratique ou l'art pondéraire : on y traite successivement de*, la détermination mécanique des centres de gravité et de l'application de la théorie à la construction d'une balance très parfaite et d'une romaine. Ensuite il est question de leviers , du tour ou treuil qu'il nomme un guindaxej et d'une espèce de cric, imaginé par l'auteur, et destiné à remplacer avec avantage le charistion d'Archimède qu'il ne décrit pas. Ce cric est composé d'une pièce de bois , dressée verticalement , et portant d'outre en outre plusieurs axes.

f^rallèles. munis de roues dentées et de pignons ^ engrenant les uns avec les autres et placés alternativement de l'un et de l'autre côté du support.

On reconnaît par ce livre et par la partie II de radjonction, que l'auteur a aussi compris et remarqué le principe de l'épargne de la puissance compensée par la perte du temps : car on tient ^ dit-il, pour règle générale, en mathématiques, que : comme Vespace de l'agent à l'espace du patient^ ainsi la puissance du^ patient à la puissance de l'agent; et ses principes fondamentaux étaient assez bien formulés pour qu'il eût pu en tirer comme conclusion rationnelle la première notion du principe des vitesses virtuelles ou de cette espèce d'adage qui lui est identique; mais ce n'a point été fait par Stevin, soit qu'il ne se donnât pas le temps de réfléchir, soit que cette idée ne fut pas encore parvenue alors à sa maturité. Du reste, ceux qui sont venus après lui n'ont eux-mêmes reconnu cet adage, pour ainsi dire, que comme un résultat d'observation qu'on essaya ensuite de vérifier sur divers exemples de machines à l'aide des principes rationnels. C'est ainsi qu'on est parvenu peu à peu au principe général dont Fourier fait remonter avec fondement la première notion jusqu'à Aristole.

Dans l'avis placé en tète de ce 3« livre, l'auteur s'attache particulièrement à faire comprendre l'objet de la statique pratique : on n'y peut, selon lui, tenir compte des empêchements et accidents , tels que I^

frottement de l'essieu dans le moyeu d'une roue de voiture, et des roues contre un pavé mal uni, et du véhicule contre l'air'; parce que ces résistances n'ont pas de rapport défini et constant avec les forces qui sollicitent le mobile.

Ses considérations sur la balance ordinaire sont encore dignes d'attention , et se trouvent basées sur l'idée des positions d'équilibre stables j instables et indifférentes.

La préface de son appendice à la statique porte à croire qu'il avait été attaqué par des sectateurs de la philosophie scolastique, auxquels il va répliquer d'une manière accablante dans les chap. I et II. D'abord il réfute l'erreur de ceux.qui attribuent avec Aristote la cause de l'équilibre dans le levier aux circonférences décrites , en remarquant que dans rétat de repos il n'y a point de circonférence décrite, et que cette cause consiste uniquement en ce qui a été démontré dans son livre P''. Mais il jugie superflu d'insister davantage contre des gens qui raisonnent sans méthode et sans ordre. Il ne s'arrêtera pas non plus à réfuter les erreurs de Cardan sur l'équilibre du plan incliné, parce que sa dix-neuvième proposition les rend déjà manifestes.

Le chap. II de l'appendice est une pièce fort curieuse qui fait honneur à Stevin surtout et à son ami Jean Grotius. Pour donner une base aux observations que nous aurons à faire à ce sujet, nous la mettrons sous les yeux du lecteur. Stevin y attaque ouvertement et

victorieusement l'oracle jusque-là réputé infaillible de la philosophie scolastique :

« Chapitre IL Qtœ Vesmu et ses empeschements w n'existent en aucune proportion.

» Nous avons dit au lecteur en la préface de la » pratique de la statique que l'esmu et ses empes- » chements ne sont pas proportionnels là où nous » avons promis d'en faire quelque démonstration en » après ; ce que nous avons entrepris de faire ici, » réfutant les arguments de ' ceux qui pensent le w contraire. Aristote au 4« livre de la Nature, au » chapitre du Vuide, et ses sectateurs veuillent que » deux corps semblables pari-graves (de même poids » spécifique) tombants par l'air, comme la pesanteur » de l'un à celle de l'autre , ainsi vitesse à vitesse, w assavoir ainsi : empêchement à empêchement : et » que telle soit son opinion , il le montre en divers )î livres, comme au 6® livre de la Physique et aux » livres 1 , 2, 5, 4 du Ciel en plusieurs lieux. Jean » Taisnier de Hainaut a écrit contre Aristote de » celte matière-là, voulant aussi qu'il y subsiste une » proportion, toutefois ainsi que les corps mention- » nés passent en même temps chemin égal; de » laquelle opinion a été aussi Cardan, livre S de pro- )) portionibus, cent-dixième proposition. Mais l'un w ni l'autre n'a atteint le but; ce que nous démon- >3 trerons par expérience, puis après y ajoutant la

» cause. L'expérience qui réfuie Aristote est telle : » Qu'on prenne deux balles de plomb (comme le » très docte J. Grotius et moi avons fait) l'une décu- )) pie de l'autre en grandeur et pesanteur; les laissant » cheoir ensemble en même temps d'environ 30 pieds » de haut sur une planche ou sur quelqu'autre chose » où on puisse aisément entendre la chute ; là on » pourra voir manifestement que le plus léger ne » demeurera pas dix fois plus longtemps au chemin y> que le plus lourd. Mais qu'ils tomberont si égale- » ment sur la planche qu'il semble que ce ne soit )> qu'un seul coup. De même en est-il de deux corps » ^aux en grandeur, mais décuple en quanti-gravité » et pourtantla proportion d'Aristote n'est pas bonne. » L'expérience qui fait contre Taisnier est telle : » Prenez un poil de coton fort court, et un paquet » de coton fort bien lié, pesant 1 hv., et de même » figure que le petit poil, les laissant tomber chacun » 5 ou 6 pieds de haut, et on verra qu'ils ne tom- 3» bent pas en même temps, comme il pense, com- » bien que le petit poil soit plus massif que le paquet » lequel est plein d'air, et que ledit paquet tombera )> bien 2S fois plus lentement.

» Semblablement aussi , quant à l'élévation des » légèretés, on démontrera contre Taisnier qu'il n'y » a nulle proportion, comme en un verre long et » clair plein d'eau, laquelle étant esmue jusqu'à ce » qu'il y ait beaucoup de bouteilles d'air dedans. » Puis les tenant coy, les grandes bouteilles s'élève-

» ront visiement^ mais les petites comme grains.de )) sable très lentement, à la manière des Ijniaçoiis, » ce qui est loin de temps égaux. Voilà quant à » l'expérience : reste maintenant à parler de la prôw portion et comment il n'y en a pas.

» Tout corps mouvant a quèlqu'empêchement » de se mouvoir, car d^un corps par l'air c'est le » touchement de sa superficie et l'air, et partant le » majeur des corps semblables reçoit bien le plus » d'empêchements mais d'autant que leurs superfi- » cies (car deux cubes en raison octuple, leurs » superficies ne sont qu'en raison quadruple), ils ne » peuvent avoir raison avec leurs empêchements : » voilà pourquoi les corps moindres ont plus d'em- » pêchement au regard de la proportion que les » corps majeurs et partant vont plus lentement; et » encore bien que les corps seroient en même raison » que leurs superficies, le moyen par lequel les » corps passent est aussi contraire à la proportion ; » ce qui est manifeste lorsque deux corps mis en » l'eau, l'un flotte et l'autre submerge : et combien » qu'il y ait une raison d'empêchement de leurs » superficies, toutefois il n'y a nulle raison au temps w de pénétrer parmi le moyen. Quelqu'un pourrait » me dire qu'il entend parler de la comparaison des » choses pareilles à savoir de celles qui enfoncent, » et je dis qu'à ceux là il n'y a non plus de proporw tion : car soient A et B deux corps submergeants » dont J soit le plus pesant. Il est certain qu'on en

» peut trouver une infinité d'autres de plus en plus » légers et ehaeun plus léger que B qui enfoncent » tous. Or chacun d'iceux comparé à À^ on viendra » insensiblement à ce qui a été dît ci-dessus, c'est- » à-dire en nulle proportion, à savoir qu'on appro- » chera d'un corps submergeant avec un flottant. » Mais ceci approchant toujours , et en /^ et en B » existant la proportion requise , nul de ces corps » en nombre infini , comparé avec A^ n'aura cette » proportion ; car, si elle y était, elle n'approcherait » pas, ce qui est contre l'hypothèse.

» Parquoy, comme nous avions entrepris de le » déclarer, le moyen par où passent les corps est » aussi une chose qui contredit à la proportion.

» Or, ayant ainsi démontré qu'il n'y a aucune » proportion entre l'esmu et les empêchements par » des exemples très réguliers où il n'y a qu'un simple » touchement de la superficie avec l'air, la raison » sera encore plus forte qu'es exemples irréguliers » et de matières différentes, il n'y aura aucune pro- » portion comme es instruments de bois, de fer, etc. » >Ceux-ci sont enhuilez et engraissez; ceux-là sont » altérez selon le temps , comme le bois s'enfle en » l'humidité et devient plus massif, étant sec, et » l'autre s'enrouille , ce qui cause une légèreté ou » pesanteur es instruments, et, partant, on ne se )> doit aucunement fonder sur cette ressemblance de » proportion, comme il a été dit en la préface de » la statique pratique, tenant pour erreurs ce que

» Cardan, au 5^ livre de proportions et autres auteurs )> en disent, se contentant de la connaissance de » l'équilibration du mouvant et de l'esmue, laquelle » est assez suffisante pour déclarer notre dessein. »

De pareils passages ne doivent pas être commentés r ceux des lecteurs qui ont un peu approfondi les difficultés de la question agitée ici par Stevin, et qui connaissent le peu de notions incomplètes que nous possédons sur la résistance des fluides, suivront avec quelqu'attention cette discussion intéressante, et sauront d'eux-mêmes apprécier l'étonnante supériorité de notre auteur relativement aux idées de soa époque; ils admireront à la fois le subtil logicien, l'observateur habile et son profond sens physique et mécanique.

Mais nous avons quelques autres remarqués essentielles à présenter à cet égard.

L'idée de faire les vitesse^ proportionnelles aux temps, pour la chute des graves dans le vide, revient de droit à Galilée, qui, d'abord , la conçut comme une hypothèse qu'il vérifia par l'expérience et quil démontra par le raisonnement. Mais on voit aussi que la supposition absurde et gratuite d'Aristote , concernant la chute des graves dans l'air, se trouve déjà renversée par l'expérience que fit notre auteur en commun avec J. Grotius, son ami : il est d'ailleurs indubitable que cette expérience est antérieure au début de Galilée, à Pise; car celui-ci naquit seulement en 1S64, tandis que la Statiqtœ de Stevin fut

publiée en 1586, et que son essai doit, par conséquent, avoir eu lieu quelque temps auparavant. Du reste , loin d'avoir même jamais eu connaissance de quelqu'écrit de Galilée, il a très probablement ignoré jusqu'à l'existence du célèbre Italien : car nulle part dans ses ouvrages il ne fait mention de lui, et il n'est pas permis de supposer que ce soit de propos délibéré, puisqu'il ne manque jamais de citer les noms de ses contemporains et prédécesseurs, comme nous le verrons. Par un motif analogue, nous sommes porté à admettre qu'il ne connut pas non plus J. Benedetti qui publia, en 1585, à Turin, un ouvrage assez remarquable sur la physique et la mécanique, et nous rejetons, en conséquence, la conjecture de Moutucla qui suppose que les idées de celui-ci auraient bien pu faire naître celles de Stevîn et de Galilée : à l'égard de ce dernier, la supposition de Moutucla peut être exacte ; mais il n'en est pas de même à l'égard de Stevin , qui publia son ouvrage assez considérable en 1586, c'est-à-dire bien plus tôt que ne le suppose Moutucla , sans doute d'après l'édition flamande que nous avons mentionnée au § l®»". En admettant d'ailleurs cette supposition, on ne porterait encore aucune atteinte au mérite et aux découvertes de notre auteur, qui a connu non pas les physiciens et mécaniciens, mais seulement les algébristes d'Italie, tels que Cardan, Tartaglia, et ceux-ci sont d'une date un peu antérieure.

Quant à ce Taisnier de Hainaut et à Cardan, men-

tionnés ci-dessus, Stevin n'a raison contre eux que parce qu'il considère la chute des graves dans l'air. Il faut donc croire qu'il n'a pas eu la pensée de réfléchir sur ce qui devrait arriver, si l'oa faisait abstraction de la résistance de l'air. Au premier abord on a lieu de s'en étonner, et on doit le regretter d'autant plus, qu'il touchait de plus près à cette base fondamentale de la dynamique, créée bientôt après par le génie de l'Italien. Mais toute son attention, toute sa force de méditation était absorbée par la démonstration de sa proposition principale, fondement théorique du chariot à voiles qu'il inventera plus tard. Plus loin, dans son appendice, il s'attache à expliquer comment la statique est une science libérale particulière des mathématiques, qui ne le cède en rien en subtilité aux autres parties ; et ce qui le prouve, dit-il, c'est qu'elle est venue des dernières en lumière. L'auteur montre ici beaucoup de modestie; car depuis Archimède cette science n'avait pas avancé d'un seul pas ; et ce ne fut que par les efforts successifs de ces deux grands génies qu'elle était venue jusque-là en lumière. Néanmoins on n'avait pas négligé de s'en occuper : déjà dans le • XIII** siècle on avait agité quelques questions sur les positions d'équilibre de la balance ; Cardan et d'autres adoptèrent , à cet égard , les erreurs de leurs devanciers.

Ce même Cardan eut le premier, croyons-nous, le mérite d'agiter la question de l'équilibre d'un

corps pesant sur le plan incliné ; mais il établit, à cette occasion, une proposition entièrement fausse : c'était dans un sens, au moins, plutôt reculer qu'avancei\

A la fin de Tappendice, Stevin explique comment certaines démonstrations faites avec des données numériques particulières sont néanmoins générales. *

Il entre à ce sujet dans quelques développements, afin de prévenir le lecteur que la statique, telle qu'il l'a exposée, repose sur un fondement solide. Reprenons après cela et pour un instant encore, la statique pratique, objet du 3« livre.

Dans la proposition IX, l'auteur établit la proportion d'équilibre du treuil, et la considère comme identique à celle du levier. Cela fut aussi admis après lui, quoique la puissance et la résistance soient présentement dans deux plans différents, normaux à l'axe fixe de rotation. Mais comme elles sont toutes deux verticales (ici Ton ne considère que ce cas), elles se trouvent néanmoins dans un même plan vertical, et agissent comme aux extrémités d'un même levier horizontal, appuyé par un point sur l'axe fixe. A l'aide de cette observation on conclut immédiatement la proportion d'équilibre connue. Stevin a pu entrevoir cette analogie et il s'est permis de l'admettre , pour n'avoir plus besoin de rentrer dans la théorie. Guido-Ubaldi a aussi considéré l'équilibre du treuil comme identique à celui du levier, sans en donner la démonstration.

En accordant à Stevin sa proportion d'équilibre d'un corps pesant, retenu sur le plan incliné par une force oblique au plan , ou pourrait prouver avec lui que, dans le cas d'une colonne fixée par le centre de sa base, l'élevant droit est à l'élevant oblique, comine l'élévation droite à l'élévation oblique, quel que soit d'ailleurs le point d'application commun sur l'axe de la colonne ; c'est là évidemment le principe du levier courbe ou coudé , sous une forme particulière et embarrassante. Mais l'auteur qui , ici encore, a des droits jusqu'à ce jour méconnus , n'a pas toutefois saisi suffisamment l'analogie de cet énoncé avec le principe du levier en général.

Dans la 3« partie de l'adjonction il démontre qu'un corps flottant sur l'eau, un vaisseau par exemple, prend une position telle que son centre de gravité se trouve sur la verticale du centre de gravité du creux d'eau qu'il occupe. De là il conclut que si l'on déplace un corps dans un bateau , et que l'on apporte un nouveau poids, le creux d'eau doit changer de figure, et son centre de gravité de lieu ; et que la stabilité d'un navire dans son cours se trouve augmentée ou diminuée, selon qu'on mettra un poids additionnel au-dessous ou au-dessus du plan horizontal, passant par le centre de gravité du creux de l'eau ; car il est clair que, quand le centre de gravité du corps est supérieur à celui du creux, le tout doit renverser. Pour savoir donc si un bateau, recevant un surcroît de poids dans sa partie supérieure, peut tenir encore.

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sans renverser, il faudrait évaluer la position de son centre de gravité, et celui du creux de l'eau dans leur état primitif, pour en conclure ensuite la nouvelle position stable ou instable du système. Mais, selon l'auteur même, la question pratique ne sera guère résoluble de cette façon.

La quatrième partie de l'adjonction traite de la compression et de l'âpreté des freins : comme elle offre peu d'intérêt sous le rapport même de la science, nous pouvons sans inconvénient en omettre l'analyse.

Les deux dernières parties que l'auteur promet dans le sommaire placé en tète de son ouvrage, n'ont jamais vu le jour. Elles devaient traiter, l'une de l'attraction de l'eau, et l'autre du poids de l'air. Ainsi Montucla a supposé à tort qu'elles avaient été omises par le traducteur A. Girard. Il faut convenir au contraire que celui-ci a consciencieusement rassemblé toutes les productions scientifiques deStevin, et qu'il ne lui manque que les cinq livres de problèmes de géométrie, publiés en 1S83, livres que nous-mêmes n'avons pas encore pu nous procurer.

Ainsi, en résumé, Stevin a simplifié, sans la rendre peut-être plus rigoureuse, la démonstration que donne Archimède, du principe du levier droit.

Il a découvert la vraie condition d'équilibre sur le

plan incliné, que Cardan avait manquée, qneGuido- Ubaldi chercha sans succès, et que Galilée réussit, non sans peine, à ramener au cas du levier.

Il s'est élevé de là à la découverte de la condition d'équilibre d'un corps pesant, retenu par une puissance oblique au plan incliné.

Plus tard, en s*appuyant sur ces premiers résultats, il a découvert le principe du parallélogramme des forces, quil a même étendu aux trois dimen-^ sions, en déterminant d'une manière simple et exacte les tensions de trois cordons situés dans des plans différents, et supportant par un nœud commun un poids donné.

Il a aperçu et fait ressortir le premier llndéterminatlon de la décomposition d'une force suivant trois directions situées dans un même plan, et suivant plus de trois droites situées dans l'espace.

Il avait une idée nette et précise des positions d'équilibre stables et instables; il considérait seulement celles-ci comme idéalement possibles, mais comme impossibles en réalité.

Il a constaté l'existence des résistances passives dans le mouvement des machines et des corps en général; et pour la résistance des fluides, il a vu qu'elle est proportionnelle à la surface du mobile; qu'elle doit dépendre de la densité du fluide, et partant qu'elle ne saurait avoir un rapport fixe avec la masse même du mobile; mais qu'elle doit exercer sur les faibles masses une influence plus sensible que sur les grandes, la densité restant la même.

Le premîeç il a démontré, avec J. Grotîus, par l'expérience, que les graves tombent dans l'air avec des vitesses inégales, maïs que ces vitesses sont bien loin d'être proportionnelles aux masses.

11 a parfaitement compris la vérité et l'exactitude de ce vieil adage, qui s'est transformé peu à peu en ce grand principe des vitesses virtuelles ; et de plus, il existe une grande analogie entre la notion rudi* mentaire de ce principe et les idées profondes et originales qu^il a énoncées et mises en œuvre, à l'occasion de sa recherche de l'équilibre du plan incliné. Le tour de démonstration quil a donné alors, est encore aujourd'hui digne d'attention ; et, si le lecteur veut s'y arrêter un instant avec nous, nous n'aurons pas beaucoup de peine à le convaincre de la fécon» dite de ce moyen. Nous disons qu'en effet le cas de la puissance équilibrante, parallèle au plan, mène immédiatement au principe général delà composition et décomposition des forces; car imaginons un second plan incliné, normal au premier et touchant le corps pesant en un ou en plusieurs points : si Ton anéantit la puissance équilibrante, ce second plan, qui ne saurait résister que normalement à sa surface, supportera évidemment une pression normale, égale et contraire à la force anéantie» De là on conclut aussi la pression normale, soufferte par l'autre plan , et partant le principe général de la composition des forces. {Foir^ pour plus de déye^ loppement, la noteV.)

Or, ce dernier principe une fois trouvé, on sait en déduire tout le reste.

II est donc prouvé que l'idée unique de Stevin renferme sans ambages tous les principes de la ^atique moderne-

Livres IV et V, comprenant Thydrostatique.

Ici encore, pour apprécier Stevin d'une manière exacte , complète et consciencieuse , il nous faudra bien passer en revue et résumer d'abord les sujets qu'il traite : voici donc, pour commencer, ses principales pétitions :

I. Que la pesanteur propre d'un corps soit celle de laquelle il est trouvé pesant dans l'air ;

II. Que l'eau proposée soit de tout côté de pesanteur uniforme;

III. Qu'un corps qui ne fait pas enfoncer si avant dans l'eau, soit dit plus léger; qui plus avant, plus pesant ; qui fait enfoncer également, équipondérant à l'eau.

L auteur distingue avec soin ce qu'il nomme un vase vuide et un vase vuidé. Le vide est, selon lui, un lieu où il n'y a nul corps ; alors le poids de l'air y défaut. Cette expression seule de Stevin montre-, contrairement au doute exprimé par Montucla (t. II, p. 181), qu'il concevait le poids de l'air aussi bien que celui de Feau et des corps solides ; et il est aussi

évident, d'après un passage de l'appendice, qu'il a remarqué la perte de poids éprouvée par les corps immergés dans l'air : c'est ce que nous développerons davantage un peu plus bas.

IV. 11 demande aussi que la surface de l'eau renfermée dans un vase puisse être regardée comme plane, afin de rendre les démonstrations plus faciles, quoiqu'on sache que cette surface est sphérique.

Ensuite il entre en matière et il démontre :

Proposition I. Que l'eau proposée tient telle posftion qu'on voudra dans l'eau (ce qu'il fait encore une fois par l'impossibilité du: mouvement perpétuel).

Proposition II. Qu'un corps solide plus léger que l'eau ne submerge pas tout, mais qu'une partie demeure dehors.

Proposition III. Qu'un corps solide multi-grave à l'eau submerge jusqu'au fond.

Proposition IV. Qu'un solide pari-grave à l'eau se tient dans ieelle en telle disposition et lieu qu'on voudra.

Proposition V, Qu'un solide minu-grave à l'eau où il git, estéquipondérant àl'eau dont il occupe le lieu.

La proposition VI n'est qu'une application.

Proposition VII. Celle-ci se réduit à dire que si un solide est minu-grave à deux liquides diversi-graves, la quanti-gravité est réciproque à la submersion.

Proposition VIII. Cette proposition est le théorème d'Archimède et Stevîn l'énonce ainsi :

c< Tout corps solide est plus léger dans l'eaa que dans l'air, de la pesanteur de l'eau égale en grandeur à ieelui. »

Au premier abord , on pourrait croire que cet énoncé ainsi posé fût inexact.

Mais on doit considérer ce qui est dit dans la péf i-' tion I, et remarquer en conséquence qtie le poids propre de Veau même est ce qu'elle pèse dans Tair ordinaire. D'ailleurs, ïe chap. V de l'appendice est explicite sur cet objet, par le passage suivant :

a II est bien vrai que si Ton prenait que la vraie » pesanteur des corps dans le vuidesoit leur propre, » comme il est en simple apparence, on pourrait » dire que tout corps est d'autant plus léger en l'eau » qu'au vuîde, qu'emporte la pesanteur d'eau égale » à icelui; mais remarquant les circonstances de » notre manière vulgaire à peser (à laquelle la » théorie doit toujours aspirer), ne se fait pas au » vuide, mais en l'air, il sera donc plus à propos de » dire selon la première manière que la propre » pesanteur des corps est faite en l'air : et au regard M d'icelle la proposition VIII et celles qui s'en suivent » sont en leur extrême perfection , comme nous avions » entrepris de déclarer. »

Ainsi l'idée du poids de l'air et de sa poussée contre les corps qui y sont plongés, reste entièrement sauve, et c'est très probablement de cette matière que Fauteur devait traiter dans la 6^ partie de l'adjonction, en suivant tine marche analogue à celle

qu'il s'était tracée déjà dans l'hydrostatique même.

La proposition X se réduit à ceci : sur le fond plat d'un vase parallèle à l'horizon reposç le poids d'une eolonne fluide ayant ce fond pour base, et pour hauteur la verticale comprise entre le fond et la fleur d'eau.

Si l'auteur avait commencé par le cas le plus simple de cette proposition, il aurait pu se pasiser de sa pétition 3, et rendre ainsi plus rigoureuse la démonstration de quelques principes qui mènent ensuite au théorème d'Arehimèdc. Mais ce n'est là qu'une affaire die forme.

Dans le corollaire I, il fait voir que, quand quelque matière flotte sur l'eau , elle n'apporte aucun changement au poids que le fond soutient, lorsque l'eau demeure à la même hauteur. De là il déduit (coroll. II) le théorème général relatif à la pression du fond, en remplaçant une partie quelconque de la masse fluide par un solide de même forme, et pari-grave à l'eau.

Ensuite il prouve (coroll. III) que, pour une surface plane quelconque horizontale , prise ou imaginée à l'intérieur de la masse liquide^ il y a sur le dessus et le dessous de la surface des pressions égales et contraires, chacune équivalente au poids de la colonne fluide, reposant sur cette sur&ce comme base, et d'une hauteur verticale , comprise entre la fleur d'eau et la surface proposée.

Ainsi donc il est bien constaté que Stevin a découvert le principe des pressions hydrostatiques qu'il a

varié lui-même et qu'on a varié après lui de différentes manières, et que l'on peut même présenter sous une forme paradoxale : de là est venue l'expression de paradoxe hydrostatique.

Nulle part il n'a énoncé d'une manière formelle le principe de l'égalité de pression en tout sens, en nn point quelconque d'une masse liquide : mais, par ses propositions ultérieures et par l'appendice, il prouve qu'il le concevait parfaitement ; et, s'il ne l'a pas énoncé formellement, c'est qu'il voulait avant tout raisonner sur les liquides pesants, tels que la nature nous les offre à très peu près.

En efifet, comment peut-on seulement concevoir la manière dont se fait la pression sur les parois latérales , sans concevoir au préalable la transmission des pressions en tout sens?

Or, Stevin a pourtant exactement évalué ces pressions latérales pour tous les cas possibles d'une paroi plane, soit verticale ou oblique : en effet, il établit dans la proposition XI le théorème des pressions pour la paroi verticale, ayant la forme d'un parallélogramme dont le côté supérieur est à fleur d'eau.

Ensuite il examine le cas d'une paroi de même forme, mais oblique à l'horizon et d'une surface elliptique dont le plus haut point est à fleur d'eau. De là il passe à l'examen des pressions sur ces mêmes parois, qui ne se trouvent plus par aucun point à fleur d'eau. II démontre tous les théorèmes par la

méthode des limites de la géométrie des anciens : en cela il se montre géomètre aussi exercé que profond physicien , car voilà bien une remarquable application physique de cette méthode en géométrie , et certainement unique jusque-là dans son genre. Cette application même aurait été impossible, sans la notion préconçue de l'égalité de pression en tout sens; quoique celle-ci ne paraisse pas ostensiblement dans les énoncés. C'était, si on ose le dire ainsi, son secret en quelque sorte.

Mais Stevin a-t-il reconnu aussi quelque chose du théorème des pressions sur une paroi plane d'une forme quelconque, théorème général que la méthode infinitésimale semble seule pouvoir faire connaître dans toute son étendue? Voici l'énoncé de ce théorème, d'abord d'après le langage d'aujourd'hui :

La pression soufferte par une paroi plane quelconque , est égale au poids d'une colonne liquide, ayant cette paroi pour base, et pour hauteur la distance du centre de gravité de la paroi pressée au niveau du liquide.

Ëh bien, la proposition XII de l'auteur est précisément l'énoncé de cette propriété, mais sous une forme très différente, que nous aurions de la peine à énoncer sans le secours d'une figure, et que l'on fera connaître dans la seconde partie, {f^oir note VI.)

Les propositions suivantes ont pour objet quelques applications numériques relatives à la pression des parois.

Vers la fin (propositions XVIII, XIX, XX), Tau»teur rentre dans la théorie pour traiter dé ce qu'il nomme le centre de gravité dupressement congrégé de Teau contre les parois, et que Ton nomme de nos jours le centre dépression.

Après avoir traité quelques exemples, ilfaitremar-^ quer que, pour le cas général de la proposition XIII, ce centre se trouve au point de rencontre de la paroi avec la ligne horizontale, qui passe par le centre de gravité de la colonne fluide qui lui donne la pression sur la paroi. C'est là une belle construction géométrique, comme celle de son théorème XIII, et que l'on remplace aujourd'hui par une formule algébrique.

Enfin il termine par quelques explications numériques plus ou moins en rapport avec la théorie, et dans lesquelles il prend le poids d'un pied cube d'eau égal à 65 liv.

Dans le 5® livre il présente le paradoxe hydrosta-* tique qui résulte de la proposition X, et indique quelques moyens (encore usités dans la physique expérimentale) de le vérifier par l'expérience, ainsi que la proposition X.

Il termine en expliquant pourquoi un homme , nageant au fond de l'eau, ne m^urt pas par la grande quantité d'eau qui est au-dessus de lui : ce qui provient, dit-il, de ce que Veau presse également de tout côté; mais il a soin d'ajouter que néanmoins la partie de dessous est un peu plus pressée que celle

de dessus. (f^otV maintenant la note générale, 2« partie.)

î>e la scénographie ou perspective.

En lisa&t attentivement ce que Montucla dans son Histoire des Mathématiques, et Kluegel dans son Dictionnaire des Mathématiques pures, disent de la perspective, on reconnaît qu'au temps de Stevin cette partie de la géométrie appliquée n'existait encore qu'au simple état de science pratique, et que Ton savait à peine alors que les perspectives de plusieurs droites parallèles, perpendiculaires au plan du tableau, concourent en un même point, au point de vue du tabkau. L'observation peut avoir conduit les peintres à la connaissance de ce premier principe. D'après les indications de Vitruve, citées par Montucla, il est à présumer que la perspective linéaire des anciens était la même que la nôtre ; mais elle ne nous est pas parvenue^ et il parait que le premier traité thtorique sur la matière date de 1600, et qu'il est dû à Guido-Ubaldi. Mais l'époque à laquelle Stevin s'est occupé de cette étude, et a composé son ouvrage, doit être antérieure, quoiqu'il Tait publié postérieurement. Car il cite Albert Durer et l'architecte Serlio dans l'appendice à sa scénographie, et il n'aurait certainement pas manqué de mentionner l'ouvrage plus important de Guido-

Ubaldt, s'il l'avait connu ; d'ailleurs, en admettant même ici le cas le plus défavorable à Stevin , on devra reconnaître encore toute sa supériorité sur ses prédécesseurs et contemporains dans cette voie ; et certainement Montucla et Kluegel ont le tort grave de n'avoir pas examiné attentivement l'ouvrage de notre auteur, qui vaut infiniment mieux que ceux qu'ils citent avec quelqu'éloge.

Dans son histoire de la géométrie, M. Chasles, ce profond géomètre français, a été le premier, croyonsnous, à rendre brièvement justice à qui de droit. Pour ces différents motifs, nous jugeons convenable de présenter le tableau rapide des recherchesr de Stevin sur la perspective linéaire ; mais nous nous abstiendrons cependant de reproduire les démonstrations, ce qui serait superflu pour les uns et fastidieux pour les autres. De plus, dans les énoncés nous conserverons le langage d'alors, comme suffisamment clair, et comme moins embarrassant et plus laco^ nique ici que celui d'aujourd'hui.

Quelques notions préliminaires étant posées, l'auteur démontre que les perspectives d'un système de droites parallèles concourent en un même point du vitre ^ et il nomme ce point \e point de conjonction.

Que si ces lignes données sont parallèles à l'horizon ou au pavé^ leur point de conjonction vient aussi haut que l'œil au-dessus du pavé.

Ce principe fondamental a toute la généralité désirable et comprend comme cas particulier celui qui

fut reconnu par Guido-Ubaldi , dans l'ouvrage cité. L'auteur résout ensuite différents problèmes où il s'agit de mettre en perspective un point donné sur le pavé^ un point donné en l'air ^ soit que le vitre se trouve à angle droit sur le pavé, soit qu'il se trouve oblique à ce plan, la ligne de spectateur étant, dans «e dernier cas, parallèle au plan du vitre , et ensuite perpendiculaire au pavé ; après cela il donne différents exemples et des applications, en indiquant des opérations mécaniques propres à abréger le travail pratique. Il parle aussi du cas où la perspective d'un cercle reste un cercle : cela arrive, par exemple, pour un conoïdal , c'est-à-dire pour un cône droit à base elliptique.

Il considère la section droite passant par le sommet et le petit axe de la base, coupe le cône par un plan normal à cette section, et fait tourner ce plan jusqu'à ce que sa courbe d'intersection avec la surface courbe soit devenue un cercle.

En concevant un second plan (celui du vitre), donnant la section anti-parallèle à la première , et plaçant l'œil au sommet, et la ligne de spectateur parallèle à la droite d'intersection du vitre avec la section droite, on aura évidemment un cercle pour perspective du cercle donné.

L'auteur éclaircit par différents exemples la question où il s'agit de trouver la position de l'œil, étant donnée la perspective ou l'ombre d'un objet : il est bien entendu qu'ici l'on présuppose que l'objet et son

ombre soient en des positions telles^ Tun par rapport à l'autre , que la perspective soit possible et qu'elle ait lieu. L'une des questions les plus difficiles qu'il ait résolues, à cette occasion, est la suivante :

« Étant donné un quadrangle qui est ombre d'un plan ombrageable, sur lequel le vitre fasse un angle égal à un angle donné, et étant icelle ombre sans aucun côté ou ligne, laquelle entre deux angles est parallèle avec la vitre-base, mais ayant, la figure ombrageable, pour le moins deux côtés parallèles entre les angles, trouver l'œil, w

Dans la solution l'auteur suppose le vitre à angle droit sur le pavé, et la figure ombrageable un parallélogramme. {Foir la note VIL)

Il explique aussi, par quelques exemples élémentaires, comment le problème de l'invention de l'œil peut offrir une infinité de solutions et devenir indéterminé; tel est, par exemple, le cas d'un triangle horizontal ayant un côté dans la vitre-base ou un sommet sur cette base, et le côté opposé parallèle. ' Mais si l'on a un triangle donné au lieu même où il était en Tombragement, ainsi que son ombre sur le plan du tableau , dressé à angle droit sur celui de l'ombrageable, et que la vitre-base renferme un sommet commun aux deux figures, le problème de la recherche de l'œil n'aura qu'une solution. {Foir la suite de la note VIL)

Ainsi , Stevin a créé la théorie géométrique de la perspective linéaire, et il savait déjà même produire

et résoudre des questions difficiles, relatives à la recherche de l'œil. Son traité n'est pas diffus et embrouillé, comme on le reproehe à la plupart des ouvrages de cette époque. Sans nuire à l'ensemble, on pourrait supprimer quelques exemples particuliers; mais ee serait contraire au but même de l'auteur, qui voulait être utile à la fois au théoricien et au praticien. — D'après les observations du prince Maurice, qui étudia avec succès la théorie de Stevin, afin de se rendre compte des procédés de la pratique, celui-ci changea quelques propositions relatives à la recherche de l'œil, et les remplaça lui-même par d'autres. Le prince lui-même n'était pas grand mathématicien ; mais il cultiva néanmoins l'étude théorique avec grand succès ; souvent il obligea Stevin à revenir sur ses pas; et l'excita ainsi à méditer sur les imperfections de la science d'alors et à les corriger.

De l'optique.

L'optique roule exclusivement sur la jiosition de l'image dans les miroirs plans et courbes. On y admet, comme prouvé par l'observation, que, pour un miroir plan , l'image et le point visible sont sur la même perpendiculaire au plan et à égale distance de chaque côté. Dans Tappendice on cite Âlhazen Vitellion et Euelide, et l'on redresse l'erreur qu'ils ont

eommise sur la position de l'image catoptrique dans les miroirs courbes sphériques. Ces remarques se résument en ceci : Étant donné un miroir sphérique, le point visible, et l'œil lequel puisse voir Fimage, trouver le point de conversion ou de réflexion. Ce point étant trouvé , n'importe par quelle opération mécanique , on y pourra mener une tangente à la circonférence du grand cercle de la sphère déterminé par l'œil et le point visible, abaisser ensuite de celui-ci une perpendiculaire indéfinie ; or le sommet du petit cône de lumière réfléchi dans l'œil qui en est la base , se trouvera sur cette perpendiculaire à une distance de la tangente égale à celle du point visible à cette même droite.

Ce sommet de cône est cette image spéciale considérée par Stevin, qui, dans ce sens, a raison contre les auteurs cités. Mais on ne doit pas confondre cette espèce d'image, qui suppose le miroir indéfiniment prolongé, avec l'image réelle ou virtuelle^ formée au foyer d'un miroir sphérique d'une très petite étendue, dont l'axe passe par le point ou par l'objet visible. L'idée des foyers dans les miroirs sphériques était encore inconnue à cette époque.

Géométrie pratique..

L'auteur s'occupe exclusivement des applications de la géométrie au dessin, aux opérations sur le

terrain, etc., etc. Il suffira de menlîonner les passages les plus importants. Dans l'article des tracés, il indique le moyen de décrire Fellipse, au moyen d'un instrument bien connu qu'on peut nommer le compas à ellipse ordinaire, et lequel est fondé sur cette propriété, que si l'on fait mouvoir les extrémités d'une longueur constante sur deux axes rectangulaires fixes , un point quelconque de cette droite prolongée décrira une ellipse.

On peut croire que les anciens n'ont pas connu ce mode de description; car l'auteur dit qu'il en a trouvé la démonstration dans un petit écrit de Guido-Ubaldi, qu'il a perdu ensuite. Il indique aussi le tracé du jardinier, qu'il a encore trouvé, dit-il, dans l'ouvrage précité; et, selon lui, Guido-Ubaldi y déclare avoir rencontré lui-même ces tracés en quelques vieux papiers manuscrits.

Stevin indique ensuite un moyen nouveau de décrire l'ellipse par points , les deux axes rectangles étant donnés de position , ainsi que le grand axe : à cet effet, divisez celui-ci en un certain nombre de parties égales; avec une droite moindre, comme rayon , décrivez une circonférence , et divisez-en le diamètre en un égal nombre de parties égales; en chaque point de division du grand axe élevez une perpendiculaire égale à Fordonnée, qui dans la circonférence correspond par son pied au même numéro de division; l'extrémité de chaque perpendiculaire ainsi menée sera à l'ellipse demandée. Il est clair que,

— so —

si le petit axe est aussi donné de longueur^ il faut décrire la circonférence avec un diamètre égal à ce petit axe.

Si l'on admet avec l'auteur, comme démontré, que la section oblique d'un cylindre par un plan est une ellipse, ce qui était déjà connu des anciens, on peut aisément entrevoir l'exactitude du procédé imaginé par lui. Il indique aussi la construction de la courbe d'intersection du cône et d'un plan quelconque, par un rabattement facile à concevoir.

Il donne le moyen de construire en carton ou en matière flexible les cinq polyèdres réguliers, et divers autres corps à faces planes que l'on peut regretter de ne pas trouver tous dans les auteurs modernes (').

11 reproduit la manière de résoudre par tâtonnement, à l'aide de la règle et du compas, le problème anciennement fameux de deux moyennes proportionnelles, donné par Eutoehiusdans son explication du 2® livre de la Sphère et du cylindre d'Archimède. En résumé, la Géométrie pratiqtte de Stevin qui, comme on vient de le voir, ne laisse pas encore que d'offrir parfois de l'originalité , est un ouvrage remarquable pour son époque , unique dans son genre, et d'une incontestable utilité.

(') Voir plus loin le § 18 et ensuite les notes, 2« partie.

SiO.

Trigonométrie.

C'est un ouvrage encore assez considérable, mais moins original que le précédent. L'auteur montre d'abord la manière de calculer les sinus et tangentes; puis il donne la table de ces deux espèces de lignes trigonométriques d'après Regiomontanus ( né en 1436 et mort en 1476) : il y ajoute toutefois une table des sécantes, dont il fait ressortir plus loin l'utilité C).

Le moyen imaginé par Stevin pour construire cette fable sans multiplication ni division, à l'aide de celles de son prédécesseur, est ingénieux et mérite d'être mentionné : à la tangente de l'arc ajoutez la tangente de la moitié de l'arc complémentaire, et vous aurez la sécante : il démontre ce théorème par une construction géométrique.

Regiomontanus et ensuite Stevin savaient déjà que les trois angles d'un triangle rectiligne ne suffisent que pour déterminer le rapport des trois côtés.

Le premier a très bien remarqué le cas ambigu des triangles, car il dit , qu'étant donnés deux côtés et l'angle opposé à Tun d'eux, les données ne suffisent pas pour trouver le reste. Stevin fait ses réserves

C) L'édition publiée par A. Girard ne renferme qiriin échantillon de ces tables : celle de Tuning les comprend en entier.

à ce sujet, et sur le cas analogue de la trigonomélrie sphérique, et il fait remarquer que, si le côté opposé à l'angle donné est plus grand que l'autre côté donné, l'angle cherché doit être aigu , et que partant doit y avoir alors une conclusion certaine.

A la fin de l'appendice à la Trigonomélrie sphérique il promet un chapitre sur la manière de construire une table des lignes Irigonométriques, pour la division de la circonférence en parties décimales. Mais nulle part nous n'avons pu trouver ce chapitre, qui devait figurer à la suite de son Astronomie, avec ces tables mêmes.

Il est à présumer que Slevin n'a jamais eu le temps de réaliser ce projet considérable.

Il applique aussi la trigonomélrie à la solution de divers problèmes de la sphère céleste, tirés pour la plupart de TAlmageste de Plolémée, de l'ouvrage de Copernic, et imaginés parfois par Maurice, qui étudiait avec zèle et succès les œuvres du maître à mesure qu'elles voyaient le jour.

Nous devons présenter ici une remarque qui nous servira plus loin encore. Les signes 0, (J), (§), 0. . ., qu'on obtient en plaçant les nombres 1,2, 5, 4 dans un cercle, ont chez notre auteur trois usages principaux : dans la trigonométrie il emploie les deux^ trois. . . premiers pour indiquer des minutes, secondes, tierces, etc. Ainsi 1S°, 13', 45", 12'", seraient indiqués chez lui par : 15(0), 130, 45(|), 12(3).

Dans l'arithmétique ces mêmes signes servent à

exprimer des parties décimales , devenant de dix en dix fois plus petites ; et dans l'arithmétique générale ils servent à désigner les exposants des nombres et des quantités quelconques : c'est ce que nous expliquerons plus amplement dans les numéros suivants.

Si*.

Arithmétique pratique, dîme, arithmétique théorique ou Algèbre. — , Explication du 10» livre dTuclide, précédée d*un traité des grandeurs

incommensurables. — Traduction des quatre premiers livres de

Diophante.

V Arithmétique théorique avec ses accessoires fut publiée à Leyde, en 1585, selon M. Goethals. Mais dans le texte d'Albert Girard, nous lisons, à la page 62;, une citation relative à Raphaël Bombelli, dont l'ouvrage paraît postérieur de quelques années ; de sorte que Stevin lui-même peut avoir donné une seconde édition de son ouvrage. Quant à sa table d'intérêts, on sait d'une manière certaine qu'elle a paru en { 582. Or, à la page 185, l'auteur dit qu'il donne maintenant en langue française la table des intérêts qu'il publia il y a deux ans en langue flamande. Ainsi son Arithmétique pratique du moins, y compris cette table et la dîme qui y font suite, doit avoir vu le jour pour la première fois en 1684. Mais on n'oserait affirmer qu'il en soit de même de son Arithmétique théorique, à cause de la citation mentionnée plus haut, à moins d'admettre que l'ouvrage de Bombelli^

— bique Stevîn déclare son contemporain, soit Itiîméme d'une date antérieure; et c'est ce qui nous parait le plus vraisemblable; car dans son arithmétique pratique, il dit qu'il est avantageux d'étudier d'abord la partie théorique de la science , et qu'il a trouvé convenable , pour cela ^ de commencer par l'arithmétique abstraite.

L'arithmétique de l'auteur est fort concise, et n'offre pas un bien grand intérêt, tant qu'on s'en tient à la considérer d'une manière isolée et absolue. Mais il n'en est plus de même, quand on se rappelle l'état de la science à cette époque, et que de ce point de vue on examine l'ouvrage avec attention : il en est ainsi de l'arithmétique pratique où l'on Iraite des applications , savoir des nombres complexes , de la règle de trois, de société, d'alliage, de l'intérêt de l'argent, de la construction des tables d'intérêt, des fausses positions, etc.

L'auteur a été amené à composer ces tables, parce que^ dit-il, il était d'avis que le profit commun se doit préférer au particulier, et qu'auparavant il existait déjà quelque chose de semblable, en usage chez quelques personnes aux Pays-Bas; mais on le tenait soigneusement caché comme un grand secret, et ensuite la composition de telles tables était connue à fort peu de personnes.

D'après cela, et pour d'autres raisons évidentes, il est à présumer que l'arithmétique, pratique du moins, fut accueillie avec une grande faveur ; il est

indubitable q'Ue les écrits et les idées pratiques mises au jour par Stevin contribuèrent beaucoup plus à sa haute renommée d'alors , que ses plus beaux ouvrages de théorie, tels que sa statique et son algèbre, que ses contemporains et compatriotes n'étaient guère en état de comprendre, et moins encore d'apprécier dans leur influence sur l'état futur des sciences. En cela même, la plupart des érudits et savants ses contemporains ne savaient qu'admirer vaguement et respecter.

Stevin dédie sa dime aux seigneurs astrologues (astronomes), comme il dit, aux arpenteurs, mesureurs de tapisserie, stéréométriens en général, aux maîtres de monnaye et aux marchands, et donne ce petit ouvrage comme renfermant, non pas une grande invention, mais une chose éminemment utile à tout le monde : à l'astrologue, dont les calculs ont été jusque là fort laborieux, à cause de la soixantième progression dans la division de la circonférence ; à Tarpenteur, qui n'aura plus à faire ces longues opérations par nombres complexes, où l'on commet facilement des erreurs de calcul, lors même que toutes les mesures seraient bien prises.

D'ailleurs, l'utilité et les avantages de cette découverte sont déjà, diMl, reconnus par l'expérience; car, divers arpenteurs hollandais fort experts, auxquels l'auteur avait communiqué son idée, s'en sont très bien trouvés , et s'en servent à leur grande satisfaction.

Chaqae dixième partie de l'unité se nomme prime^ chaque centième ou dixième de prime se nomme seconde^ chaque millième, ou dixième de seconde, se nomme tierce^ et ainsi de suite pour quarte, quinte, sixte, etc.

La prime s'indique par l'unité mise en cercle, c'està-dire, par le signe 0; la seconde par (2) ; la tierce par (S), etc. ; un certain nombre A^ primes, depuis jusqu'à 9 inclusivement, se désigne par ce nombre ou chiffre, suivi ou surmonté du signe de la prime; de même pour un nombre de secondes, tierces, etc. Ainsi, l'on conçoit immédiatement un nombre tel que :

î>©6(D5(5)ou S 6 3.

L'auteur enseigne comment le calcul, sur cette espèce de nombres, se réduit à celui des nombres entiers et s'expédie avec la même facilité.

Il conçoit, chez les astronomes, la difficulté de changer la division ancienne de la circonférence, et d'en adopter une autre ; il conservera donc les degrés anciens qu'il indiquera par (o) et il proposera de diviser chaque degré en iO0 et chaque en 10@,etc. Il ajoute qu'il se servira de cette partition en toutes les tables et comptes, se rencontrant en l'astronomie; tables quil espère divulguer en sa vulgaire langue germanique : il dit, à cette occasion, que c'est /a langue la plus ornée et la plus parfaite de toutes.

et de la très exquise singulièreté de laquelle il attend de brief autre démonstration plus abondante que Pierre et Jehan en ont fait en la Beioyskonst ou dialectique^ naguère divulguée (*).

. Quant à ces tables, que l'auteur promet ici de publier, ce sont sans doute les mêmes que celles dont il a été question dans la trigonométrie. Nous devons croire qu'il n'eut pas le temps de faire les calculs considérables qu'exigeait son projet.

L'auteur termine sa théorie de la dîme en montrant comment on pourrait introduire assez rapidement un système de poids et mesures en harmonie avec sa théorie; on laisserait à chaque lieu ses unités de mesures et l'on ordonnerait légitimement par les supérieurs la partition de chaque unité en par^ ties de 10 en 10 fois plus petites.

La chose avancerait d'autant mieux, si les valeurs en argent, principalement de ce qui se forge de nouveaUj étaient évaluées sur quelques primes^ secondes^ tierces.^ etc. Mais si tout cela ne se peut réaliser de si tôt, et à son souhait, il a au moins la satisfaction d'avoir fait quelque chose pour la postérité, qui ne manquera pas d'adopter son idée, parce qu'elle y trouvera et reconnaîtra son proJBt. Mais Stevin est-il réellement l'inventeur de ce calcul décimal des nombres, ou de ce qu'il nomme la dîme? La réponse à

(>) Nous nMgnorons pas qu'il y a ici contradiction avec ce qui est dit plus haut sur les dates de publication ; mais nous ne saurions concilier cela ensemble.

celte question est des plus simples et absolumeut affirmative; le moindre doute à cet égard n'est pas même permis : car, jusqu'à ce jour, on ne connaît ai^cun écrit, antérieur à l'époque de 1585, qui parle des nombres décimaux.

Il est démontré, d'un côté {voir la page 63 de M. Dufan), que les prétentions à l'originalité, sur ce sujet, de l'Allemand Beyer ne sont point fondées; et nous montrerons, d'autre part, que l'auteur luimême n'a jamais attribué à qui que ce fut sa découverte. Néanmoins, au dire des uns, Stevin ferait remonter ce calcul jusqu'au siècle sage^ tandis que, suivant d'autres, il en laisserait la première idée à Régiomontanus ; ce sont là des erreurs qui proviennent d'une simple confusion de mots, d'un passage de Stevin que l'on n'a pas compris et que l'on a interprété faussement. M. Goethals cite un J. Hume qui publia, en 1625, une arithmétique nouvelle dans laquelle il enseigne les fractions décimales. Sans doute il est intéressant de connaître ce dernier fait- ' Mais quel rapport ce fait a-t-il avec l'écrit antérieur de notre auteur ? Ensuite, ne sait-on pas que le siècle sage de l'auteur est une simple hypothèse, et que l'existence en est problématique? Ce siècle eùt-il existé, et eùt-on possédé alors la connaissance du calcul décimal, notre auteur n'en serait pas moins l'inventeur.

Il n'est pas vrai non plus qu'il en attribue la première idée à Régiomontanus; voici, à cet égard, une

explication toute simple : Stevin a soigneaseiilent étudié les écrits du célèbre Allemand et de Purbach, son maître, et il y a trouvé quelques indices qui le portent à admettre que la progression décuple dans la division de la circonférence et dans la numération en général a dû exister anciennement, ce qui est pour lui un nouvel argument en faveur de l'existence du siècle sage. {Foir^ pour plus de développements, la note VIII , où l'on transcrira tout le passage de l'auteur.) Ainsi, il est inutile de discuter à perte de vue, et de faire de l'érudition à propos d'un fait solidement établi et déjà reconnu par les bons auteurs anglais, à en juger par les citations de M. Dufan. Nous allons donc passer à l'examen de l'algèbre.

Continuation. — Algèbre ou arithmétique.

A l'époque de Stevin, cette science, dont les premières notions remontent jusqu'à Mahomet, fils de l'Arabe Mose, et à Diophante d'Alexandrie, était encore presqu'entièrement dépourvue désignes convenables, propres à abréger le travail du calculateur et l'énoncé des règles à suivre, dans les démonstrations et dans la solution des problèmes. Or , l'auteur a cherché immédiatement à porter remède à ces imperfections et à introduire l'esprit de généralité et de simplicité que la science a acquis peu à peu dans la

suite. En présentant l'analyse de ses principaux travaux, nous démêlerons assez aisément ce qui lui appartient en propre, et ce qui est dû à ses devanciers et contemporains. Il nous guidera lui-même par ses propres citations. D'abord, il s'occupe de définition» et de notations; il rejette totalement (ce qui doit déjà faciliter l'étude aux commençants), les dénominations confuses, employées par ses devanciers et autres, pour exprimer les différentes puissances d'une même quantité ; néanmoins, il conserve d'abord ridée de les rapporter à des lignes, des surfaces, des cubes, des solides rectangles, qui peuvent être plinthides ou docides^ selon les cas. '

La 1"^*^ puissance d'un nombre ou d'une quantité quelconque, se nomme chez lui prime-quantité; on comprend de même ce qu'il nommera seconde-quantité^ tierce-quantité^ quarte-quaniité , etc. ; il indique ces différents ordres de quantités par le chiffre de l'ordre mis en cercle; ainsi une quinte-quantité, ou, comme on dirait aujourd'hui, la cinquième puissance d'une quantité sera indiquée par 3 , mis en cercle : on comprend ainsi la signification d'une expression telle que : 30 -f- 5@ — 7(g), etc., que nous écririons sous la forme : 3 . A + SA' — 7A^ etc. , ou sous celle-ci : 3.x-|-5x' — 7x^ etc. , selon qu'il serait question d'une quantité connue ou inconnue. Quand il est question de quantités différentes, il nomme la seconde, quantité secondement posée^ et il en marque les différentes puissances par sec.0,

•scc.@, sec.(3), etc. ; s'il survient une troisième quantité, c'est une quantité tiercement posée ^ et il en exprime les différentes puissances par ter 0, ter (g), ter (S), etc. Il recommande de bien distinguer entr'elles des expressions telles que 30, 4. sec 0, 6. ter qui ne sont pas de même nature.

Il indique la multiplication et la division de ces quantités par les lettres interposées M^ D.

Une, deux, trois, etc., extractions de racine carrée, effectuées sur une même quantité donnée, se désigneront par les signes l/, H/, vW placés au devant de la quantité.

Une ou plusieurs extractions de racines cubiques seront indiquées par les signes correspondants |/(§), Vl/(S), H4/(§), placés devant la quantité.

Il nomme très souvent, et conformément aux idées alors admises, la racine carrée d'un nombre le coté du nombre, et de même la racine cubique. Cela est basé sur ce que la géométrie devait souvent prêter son secours à l'arithmétique. Par exemple , le cube construit sur la somme de deux droites vaut la somme des cubes de ces droites, augmentée de trois fois le solide rectangle ayant pour hauteur là ligne entière et pour base le rectangle des deux droites partielles. En transportant ce théorème dans le domaine de l'arithmétique, on a la loi de composition du cube ou de la 3« puissance de la somme de deux nombres donnés , et cette loi ainsi reconnue servira d'une manière remarquable dans quelques

cas très difficiles. Quand le signe radical se rapporte seulement à la première des deux quantités qui se suivent, on sépare celles-ci par un signe particulier tel que )(; ainsi on comprend que |/5 )(@équivaut à la racine 5, multipliée par une tierce-quantité.

Pour Stevîn , une expression telle que (3)8, est l'équivalent de notre équation a:^=8, car il n'employait pas encore le signe d'égalité, tandis que 8(§), par exemple, exprime simplement 8 fois une tiercequantité; ce serait notre Sx^. ou 8a^

Ce qui précède montre : « 1^ Quç Stevin doit être considéré comme l'inventeur des coefficients des quantités algébriques; 2^ qu'il a proposé le premier une notation propre à lui, uniforme et rationnelle, mais un peu plus embarrassante que celle qu'on attribue à Descartes, pour exprimer les différentes puissances d'une même quantité ; 3° qu'il a rejeté de l'algèbre ces dénominations géométriques de bi-carré^ carrécvhe, cube-carré^ supersolidum , etc., et d'autres plus embrouillées, pour introduire les dénominations fort rationnelles de prime, seconde, tierce, quarte, quinte, etc., quantité, ce qui permettait immédiatement la généralisation et le progrès. » L'auteur lui-même nous apprend, du reste, qu'avant lui sans doute, et aussi de son temps, on faisait usage de quelques signes particuliers pour exprimer le carré et la 3® puissance, mais c'était tout. D'ailleurs, ses exf>osants, dont on a indiqué plus haut la notation, se nomment dénominateurs^ tandis qu'il

appelle nominateur le dénominateur des fractions numériques et algébriques.

Il confond parfois ces deux, dénominations , sans donner lieu cependant à l'ambiguïté.

Quand deux quantités sont réunies ensemble par voie d'addition et de soustraction , telles que adzb^ ri nomme le résultat binomie conjoint et binomie disjoint. Une supérieure quantité est celle de laquelle le dénominateur l'expliquant est majeur : exemple, (S) est plus haute quantité que (5), etc. Il faut bien remarquer à cette occasion que l'arithmétique ou •cette espèce d'algèbre fut écrite en français par Tauteur même, et que, malgré cela, elle ne fut guère connue en France ni en Angleterre; car Viête et ses successeurs se servent encore d'une terminologie embrouillée que Stevin avait rejetée de prime abord ; plus tard, nous voyons Descartes créer une nouvelle -notation pour les exposants , sans faire mention de Stevin qu'il ne connaissait certainement pas; en Angleterre, Newton établit l'extension des exposants fractionnaires et négatifs, sans encore une fois mentionner Stevin , qui l'avait pourtant précédé dans cette voie. Mais rentrons dans notre analyse.

Selon l'auteur, la racine d'un nombre quelconque €st un nombre de son espèce, et il n'y a, par conséquent , contrairement à l'opinion d'alors , aucun nombre absurde^ irrationnel^ irrégulier ^ inexpli- 4:able ou sourd. Car si, par exemple, le nombre v/g est incommensurable avec tout nombre arithmétique

ordinaire, tel que 3, 4, il ne s'ensuit nullement que *e nombre soit absurde, irrationnel, vu que l'incommensurabilité n'implique pas l'absurdité des termes incommensurables .

Exemple : La diagonale et le côté du carré. On aura beau lui opposer le 10® livre d'Euclide où il est souvent question d'irrationnels; iP préfère l'irréfutable raison à toute autorité ; c'est parce que l'on a eu jusque-là cette fausse idée de nombres absurdes, que le lO*' livre cité, qui traite de grandeurs incommensurables , a été en horreur à divers auteurs et qu'on Ta appelé la croix des mathématiques. Son idée de cette sorte de grandeurs lui permet de l'expliquer d'une manière simple, courte et facile.

Il démontre la règle des signes dans la multiplication et la division algébrique : il l'applique au calcul des radicaux qui est l'un de ses sujets de prédilection, et il enseigne même à convertir un dénominateur multi'-nomie d'une fraction en un seul terme, en multipliant haut et bas par le multi-nomie correspondant à celui-là.

Pour faire l'addition de radicaux semblables, il observe que tout quotient d'une division, augmenté ou diminué de l'unité , étant multiplié par le diviseur, donne une somme égale au dividende, plus ou moins le diviseur. Il démontre la règle de multiplication et de division de deux radicaux simples , en invoquant la théorie des proportions d'Euclide et en construisant des carrés et des cubes. Il enseigne la

règle des exposants, notés à sa manière, dans la multiplication et la division des monômes, pour en déduire le calcul des polynômes. Il cite aussi quelques exemples de la division algébrique d'un polynôme par un polynôme : il dispose le tout par rapport à sa prime, seconde, tierce,... quantité, et prescrit de diviser le premier terme de l'un par le premier terme de l'autre.

Il enseigne, par un exemple (ce que Pierre Nonius jugeait impossible d'après une marche sûre et scienti* fique), à trouver le plus grand commun diviseur entre deux multi-nomîes algébriques. Cette règle, qui n'est qu'une généralisation d'une opération arithmétique, n'est pas suffisante, il est vrai , dans tous les cas : mais elle n'en est pas moins la base du plus grand commun diviseur; il l'applique à la simplification des fractions. Il enseigne à construire la racine quarrée et cubique des multi-nomies ; sa règle à cet égard n'est pas aussi nettement formulée que la méthode universelle qu'il donne pour l'extraction de la racine des nombres, et qu'il explique jusqu'à la racine cinquième inclusivement. La base de cette méthode est un véritable triangle arithmétique (voir la note IX) , à l'aide duquel il trouve les coefficients des 2®, 5®, 4«, S® termes dans le développement des puissances 2, 3, 4, S,., d'un binôme. Il est vrai de dire d'après Montucla (t. II, p. S69), que Tarlaglia avait déjà entrevu très bien la loi de progression des coefficients dans ce développement, et qu'il avait

aussi imaginé une espèce de triangle arithmétique. Mais nulle part nous ne voyons que Stevin ait été en possession de l'ouvrage de Tartaglia, lequel ne lui était connu que parles ouvrages de Cardan qu'il cite à diverses reprises (*). Stevin donne aussi la résolution des équations des 2**, 3®, 4® degrés ; il présente cette matière difficile à sa manière, et expose à très peu près toutes les découvertes fameuses de Perreus ou Ferreus^ de Florido, de Tartaglia surtout, de Cardan, de L. Ferrari et de R. Bombelli, son contem- * porain. La quantité constante ou le terme tout connu qui entre dans une équation donnée s'exprime chez lui par le symbole (o) ; et une équation numérique complète du 3® degré, telle que :

x' + ^x^ — 6x+9 = 0, reçoit la forme :

Tandis qu'une équation générale de ce degré se désigne par la forme vague (gXlXÎXO)-

En étudiant la théorie de sa résolution des équations numériques des quatre premiers degrés , on reconnaît qu'il a longuement et profondément médité son sujet et les travaux des Italiens sur cette matière. Il a même tenté la résolution théorique des équations

(') Du reste, nous éclaircirons ce point, si nous pouvons nous procurer Tartaglia ; en attendant, nous renvoyons à ce qui est dit à la fîn de la note générale.

supérieures au 4« degré, traitée par L. Ferrari ; mais il n'y a pas réussi , dit-il , quoiqu'il pût extraire racine de toute quantité. Après avoir échoué dans celte tentative, il se rejette, loin de déposer les armes, sur la partie pratique de la question, et montre comment on peut résoudre, par approximation , toute équation numérique, quelque compliquée qu'elle soit ; et cette méthode de tâtonnement de proclie en proche, ne manque pas de donner la racine entière, s'il y en a, de l'équation proposée. C'est ainsi qu'il trouve X = 3 24 dans l'équation :

Nous avons dit plus haut que Stevin est le premier auteur de la notation et de l'idée générale des exposants qu'il appelle parfois encore dignités ou potetices (potentiœ). Cette assertion doit s'étendre même au cas des exposants fractionnaires dont il parle formellement dans son premier livre des Définitions (p. 6), mais dont il ne fait pas usage , attendu qu'il n'en voit pas pour le moment la nécessité, et que les calculs algébriques peuvent s'achever sans ces signes nouveaux. Voici du reste son point de départ pour celte extension de notations : 1*> On pourrait convenir d'exprimer par ^ mis en cercle, la racine quarrée de toute quantité qui ne peut s'extraire exactement ; de même racine cubique de seconde quantité s'exprimerait par g mise en cercle.

« Or, par la considération de ces choses, dit-il,

w nous est devenu manifeste ce qui auparavant nous » était plus obscur, à sçavoir, que la prime quan- » tilé, laquelle les algébristes usent pour l'inférieure, » ne l'est pas considéré ce qui consiste potentielle- X) ment en eux ; mais comme il y a un infini majeur » progrès depuis la prime quantité , en ascendant, » comme 0, @, (§), etc., ainsi y a-t-il semblable » infini moindre progrès de la prime-quantité en des- » cendant, qui se pourrait signifier parg^g^ ^^^^etc, » mis en cercle, et si pourrait-on par les mêmes pro- » céder comme par les dénominateurs entiers. »

A la fin de son ouvrage, l'auteur traite différentes questions qui se rapportent aux équations numériques des quatre premiers degrés. Les plus importantes sont celles-ci :

Trouver deux nombres dont le produit et la somme des cubes aient des valeurs respectivement connues;

Trouver deux nombres tels que le quarré de la moitié du premier soît égal au second, et que le produit du premier par le second, augmenté d'un nombre donné , soit égal à un nombre connu. C'est par le moyen de la 1^® de ces questions, qui se réduit au second degré, qu'on résout Téquation du 3® degré de la forme a:'-fKx + Hz = 0;età l'aide de la seconde question, qui se réduit au 3« degré, de la forme x'-f-Kx-f-Hz = 0, on parvient à résoudre les équations de la forme a:^-i-Aa:-[-B = 0. Aussi l'auteur fait-il consister l'origine de ces inventions dans la solution de ces deux questions. Il traite

ensuite quelques problèmes numériques à deux inconnues pour lesquelles il n'admet jamais dans le calcul qu'une des inconnues, en exprimant au préalable en valeur de celle-ci sa jquantité secondement posée.

Le cas de la double solution fournie par le second degré n'a pas échappé à son attention ; il présente à cet égard quelques observations exactes, qui lui sont propres. Il appuie également sur le cas irréductible du 3« degré , présenté pour la première fois par Bombelli : soit par exemple :

on aura :x=\/78 + 26V'=7+\/l8— 26^^^=T:

or l'auteur présente cette valeur, d'après l'Italien, sous la forme :

|/18 + de — 26 -f |/l8-de— 26.

et il fait observer que, si par les nombres de cette solution, on pouvait approcher infiniment de 6 (racine de l'équation), cette méthode serait en sa perfection. On sait aujourd'hui qu'il est impossible de faire disparaître les imaginaires, et queTexpression générale de X n'est d'aucune utilité dans le calcul des valeurs numériques de l'inconnue , à moins de recourir au développement en des séries qui ne se terminent pas. L'auteur s'occupe beaucoup du calcul de l'extraction de la racine quarrée , ou de la recherche

du côtje des expressions binômes^ telles que : A db I/b, V^Â zt Vb^ |/b ± A, etc. , qu'il distingue en douze espèces différentes ; et c'est au moyen de ces distinctions subtiles qull réussit à expliquer lucidement l'objet et les difficultés, alors presque insurmontables, du 10« livre d'Euclide. Voici un premier exemple de ses distinctions :

ii Binomie premier est celui dans lequel le plus » grand terme est commensurable, la différence des w quarrés des termes ayant sa racine quarrée com- » mensurable à ce plus grand terme. » On conçoit de même ce qu'il peut nommer : Binomie 2®, 3®, etc.

Pour éviter des longueurs et conserver en même temps l'ordre de ses définitions mêmes, nous dresserons le tableau algébrique suivant, qui comprendra aussi la signification et la dénomination des principaux termes employés par Euclide.

Tableau des binomies conjoincts.

Binomies.