V. A + j/B, A > |/B, l/A« — B commensurable à A

La racine ou le côté du binomie l®"" se nomme linea ex binis nominibus.

2» A + |/B, A < |/b", |/B — A> commensurable à |/BT

Le côté se nomme linea ex binis mediis prima.

8" |/A + i/B, A > B, |/a — B commensurable à |/A. Le côté linea ex binis mediis secunda.

Binomîtf.

4^ A + |/B, A > |/B, J/A» — B incomniensurable a A.

Le côté s'appelle linea major.

A + |/B, A < j/B, j/b — A> incommensurable a i/B. Le côté linea rationale mediumquepotens.,

|/a + J/B, a > B, |/A — B incommensurable à V/A.

Le côté /tnea bina média potens.

Tableau des binomies disjoincts.

?• A — V/B, a > V/B, |/a» — B commensurable à A.

Le côté apotome.

8* J/B — A , A < |/F, Ï/B-— A» commensurable a |/bI

Le côté mediœ apotome prima.

9» |/Â — |/F, A > b, |/A — b commensurable à ]/\.

Le côté mediœ apotome secunda.

10« A — l/ÏÏ", A > l/B, ^/a' — b incommensurable à A. Le côté linea minor.

1 1- |/B— A, A < l/B, l/B— A- incommensurable à J/B.

Le côté /inea ctim rationali médium totum efflciens.

W ' J/A — ^^B, a > b, l/A— b incommensurable à I/A.

Le côté linea cum medio^ médium totum efficient.

Il est bien entendu que, dans ces tableaux, Aet B expriment des nombres commensurables ordinaires, et que VK |/ B signifient des quantités incommensu-

râbles, ou, comme on le dit encore aujourd'hui^ des quantités irrationnelles. Pour comprendre la propriété renfermée dans la définition du côté du binôme 5®, il faut considérer que le rectangle construit sur les deux termes de la linea major est ce qu'Euelide nomme médium : c'est un rectangle irrationnel ; mais le rectangle composé des quarrés décrits sur ces deux termes est rationnel.

Le rectangle décrit sur les deux termes du côté du binomie 3« est de même irrationnel : est rectangulum médium.

Linea médium potens est le côté d'un quarré^équivalentà ce médium. On doit donc comprendre aussi la 5® définition ; là le rectangle des deux termes du côté est rationnel, et celui qui est composé des quarrés décrits sur les deux parties du côté, est irrationnel.

Le rectangle des deux termes du côté du 6® binomie est médium^ et celui qui se compose des quarrés décrits sur ses deux termes, est encore irrationnel. Il est évident par soi-même que les propriétés des 7®, 8^ 9®, etc., binômes doivent correspondre à celles des côtés 1 , 2, 3... ; mais on conçoit que la démonstration géométrique de ces propriétés doit avoir ses difficultés; et, pour les éviter, Stevin a envisagé la chose du point de vue algébrique, et il a parfaitement réussi dans son entreprise, précisément parce qu'il avait le premier une idée exacte des incommensurables, que de son temps on regardait comme nombres absurdes ; et, quoiqu'il rejette la dénomina-

lion d'irrationnels, adoptée par Euclide, il était à même de le comprendre, de l'expliquçr, et il y avait évidemment accord dans leur manière de voir : mais il n'en est pas de méine de ses contemporains et de ses prédécesseurs, qui paraissent avoir considéré d'une manière absolue l'expression d'irrationnels. Ce qui le prouve, c'est que pour eux Yirrationnel et Vabsurde^ en arithmétique, étaient synonymes.

Voici maintenant sa théorie des binomies :

D'abord il enseigne à les construire par des exemples numériques à l'aide de la solution préalable des trois questions suivantes :

Trouver deux nombres quarrés à leurs racines commensurables, et dont la somme soit aussi à sa racine commensurable ;

Trouver deux nombres quarrés à leurs racines commensurables, et desquels la somme soit à sa racine quarrée incommensurable;

Trouver deux nombres dont la somme divisée par chacun d'entre eux donne un quotient qui soit à sa racine incommensurable.

Après avoir construit par là ses différents binomieSj il enseigne à en tirer la racine quarrée.

L'extraction de la racine du premier binomie et de ses analogues revient, quant à la règle suivie par l'auteur, à notre formule générale :

Il explique aussi par la voie du raisonnement l'origine de sa règle, en prouvant que cette recherche se réduit à trouver deux nombres ou quantités, dont la somme des quarrés soit égale à une donnée À^ et dont le double produit égale la quantité radicale \/B: cela est évident pour le cas où la quantité rationnelle surpasse l'irrationnelle, parce que la somme des quarrés des deux quantités réelles est toujours plus grande que leur double produit ; mais pour le cas du second hinomie, cette transformation devient illusoire, ainsi que l'explication qu'il donne de l'origine de sa règle : car cette règle qu'il suit alors, étant traduite de son langage ordinaire et de ses opérations, qu'il effectue sur des exemples numériques, devient en formule générale :

v/vf ^ v»^ . y/vi - w^.

Il faut donc regretter que l'auteur ait supprimé ou omis ici involontairement quelques détails essentiels, qui n'auraient pas manqué d'originalité. Ce n'est pas que sa règle offre encore maintenant quelque difficulté : car, dès qu'on veut admettre sous les signes radicaux du membre transformé deux termes, on parvient à l'équation posée en dernier lieu. Mais la question serait de savoir comment Stevin y est parvenu , lui qui avec les Italiens opérait encore, non

par voie de formules et de transformations^ mais par voie de règles énoncées longuement et qu'il fallait retenir en langage ordinaire, pour les suivre ensuite pas à pas dans les applications numériques. Quoi qu'il en soit, on remarque que le rectangle des deux termes du côté (ou du second membre de notre formule) est rationnel^ et s'explique, comme il dit, par nombre arithmétique. D'ailleurs on pourrait poser encore identiquement :

+ l\/i:;T7B-ly/7B=Â.

Mais alors chaque terme du côté du binomie serait lui-même un binomie. Toutefois la valeur du premier terme ainsi envisagé serait encore la même que celle du premier terme de la première équation ; il en est de même des seconds termes.

La règle de l'auteur pour la recherche du côté du binomie troisième est identique à la formule algébrique, facile à établir :

Y/^/À+^/B = y^TTn y/j + y/'^^xA-

on suppose : |/a— B = n j/Â.

On voit qu'en effet le rectangle des deux termes du côté est médium ou irrationnel. Au point de vue arithmétique, le cas n° 4 rentre dans celui du n? 1 :

celui du n^ S dans le n® 2, et le n« 6 dans le n® S». Ainsi, sous ce rapport, il n'y a que trois cas distincts, car les binomies disjoincts se traitent comme leurs correspondants du premier tableau.

Dans son traité peu étendu des grandeurs incommensurables, l'auteur indique par quelques exemples la manière de construire les expressions numériques, binomies et multi-nomies ^ ce qui complète enfin la base sur laquelle il fonde l'explication du 10® livre cité. Mais cette théorie des binomies n'est pas seulement remarquable sous le rapport géométrique ; elle l'est encore davantage sous celui de l'algèbre, en ce qu'elle embrasse d'une manière générale la transformation des expressions radicales binômes du second degré. Ensuite elle appartient incontestablement et tout entière à notre auteur.

C'est ce que nous sommes du moins fondés à admettre jusqu'à preuve du contraire, et eu égard à ce qu'il dit dans la préface de ce traité.

Stevin suppose d'ailleurs que les géomètres de l'antiquité qui ont participé à la découverte des propositions d'Euclide, dans le livre cité, ont d'abord opéré sur des nombres binomies, et qu'ils n'ont fait que transporter ensuite dans le domaine de la géométrie les propriétés des termes qu'ils en déduisaient. Il est arrivé de là aussi qu'il 4eur était beaucoup plus facile d'imaginer et de décrire de pareilles lignes ou côtés de binomies qu'à d'autres d'entendre leurs démonstrations et propositions.

En admettant celte opinion^ qui n'est certainement pas dépourvue de fondement, on serait bien forcé aussi d'accorder que les anciens avaient certaines notions algébriques qu'on dénie communément aux Grecs et à d'autres anciens. Mais il s'agirait dès lors de ces anciens du siècle sage auxquels Stevin attribue des connaissances très avancées en astronomie^ en trigonométrie sphériqite^ en arithmétiqiœ^ en algèbre et même en chimie.

Les Grecs, qui étaient de pauvres arithméticiens, n'ont recueilli que quelques lambeaux de cette science qu'ils n'ont pas comprise, sauf la géométrie qu'Euclide a su exposer dans sa perfection à peu près primitive. Chez les modernes ce sont Purbach^ Regiomontanus et Copernic qui ont atteint celte perfection dans leurs travaux. Ces grandes figures germaniques se recommandent surtout à l'admiration et au respect de Stevin. Pour réussir à renouveler le siècle sage {denwyzen tyd)^ il faudrait, selon lui, une langue commune, susceptible d'être comprise dans ses termes techniques par tout le monde, et, par conséquent, n'empruntant rien, pour la composition de ses termes, aux langues mortes.

Ainsi le français, l'italien, l'espagnol, ne seraient pas propres à cette fin.

Le grec , si on le parlait encore , serait déjà plus convenable; car il se prête avec facilité à la composition des mots, et c'est de là que viennent les bons termes techniques, qui donnent de la clarté et de la

précision aux énoncés. Mais le bas allemand a sa composition plus briève et plus certaine.

Il a un nombre considérable de noms et de verbes primitifs^ tous monosyllabes {voir pag. 102-104 de la Géographie)'^ pour prouver sa thèse, l'auteur donne un dictionnaire de mots grecs , latins et flamands^ de sa composition, au l®"" livre de sa Géographie.

C'est dans ce même passage qu'il agite la question du siècle sage. Il expose d'abord ses arguments scientifiques et donne ensuite les citations que lui a communiquées à l'appui le très docte Hugo Grotius. Il nous suiDra d'avoir indiqué sommairement l'opinion de Stevin et son hypothèse du siècle sage, qui nous paraît après tout plus rationnelle et plus large que celle d'une simple astronomie antédiluvienne. Du reste, l'opinion de Stevin sur cette matière doit être étudiée dans son texte même, par tous ceux qui s'occupent consciencieusement de l'histoire des sciences anciennes et modernes.

Traduction française de Diophante (continuation).

A la suite de son arithmétique , Stevin donne la traduction en français des quatre premiers livres de Diophante. Il ne s'en tient pas à la lettre du texte, dit-il , pour deux raisons : parce que l'exemplaire

qui a servi à Xylandre dans sa traduction latine^ a été tellement rempli de fautes que le texte ne pourrait s'expliquer mot à mot ; ensuite parce qu'il a voulu adapter les questions de Diophante à son arithmétique. Il a changé aussi les nombres du premier livre et les a remplacés par des nombres moindres.

Les trois autres livres roulent sur des questions indéterminées, et il y a laissé subsister les nombres mêmes de l'auteur grec.

Selon Montucla (t. I, p. 615), on reprocherait à Stevin plusieurs erreurs qu'il aurait commises à l'égard de Diophante. Nous avons eu la patience de comparer les deux i«" livres de Bachet à ceux de notre auteur, et nous n'y avons reconnu ni erreur ni aucun changement notable. Nous aurions même poussé cette comparaison jusqu'au bout; mais nous ne serions encore parvenu à aucune conclusion certaine : car nous ignorons en définitive si Stevin a simplement traduit et expliqué en son style le texte latin de Xylandre, ou s'il a eu en même temps égard au texte grec. Dans le premier cas , Stevin peut en effet avoir parfois attribué à Xylandre ce qui était déjà dans l'original.

Mais on se tromperait, si l'on déduisait de là et de ce reproche dépourvu de toute preuve, qu'il y eut des erreurs dans la traduction de notre auteur. Au contrair^e, tout y est clairement exposé et avec autant de méthode que dans le Diophante de Bachet. Le même ordre et la même succession dans les questions y

sont observées ; seulement quelques problèmes paraissent y avoir été omis. Mais l'auteur montre alors dans des notes^ faisant suite aux questions déjà traitées, que celles qu'il a omises et qu'il énonce cependant , peuvent se résoudre par ce qui est déjà dit.

On reproche aussi à la traduction d'être obscure et difficile ; mais on ne se serait pas avisé de faire un tel reproche, si on s'était donné la peine d'étudier le langage et le système de notations algébriques de Stevin ; c'est à son algèbre que l'auteur a entendu rattacher comme simple exercice l'ensemble des questions de Diophante. On auraitdûau^ontraire lui savoir gré de cette tendance éminemment scientifique.

En résumé^ Stevin a introduit dans l'algèbre un langage simple et précis et un système presque complet de notations fort rationnelles , quoiqu'un peu phis embarrassantes que celles d'aujourd'hui. Le premier, il a rédigé la science en corps de doctrine, en profitant des travaux des Italiens sur la résolution des équations, et de quelques ressources qu'il tirait de la géométrie; en cela il a fait preuve d'un talent de classification qui manque souvent aux esprits les plus ingénieux. Il aie premier indiqué une manière générale de résoudre, par des tâtonnements et des approximations successives, les équations numériques de tous les degrés.

Il a inventé le triangle arithmétique, ou du moins il a employé celui de Tartaglia, pour en déduire une règle générale de l'extraction de la racine des nom-

bres. Il est auteur de l'extraction de la racine quarrée des expressions binômes^ ce qui lui a fourni l'explication du 10® livre d'Euelide, livre que l'on ne comprenait pas de son temps. Si après cela l'algèbre de l'auteur n'a pas eu à cette époque ou plus tard toute la vogue qu'elle méritait, si elle est restée en quelque sorte enfouie , il ne faut pas s'en étonner beaucoup : d'abord parce que c'est une œuvre d'abstractions pures qu'on n'était guères capable alors d'apprécier let de comprendre ; c'était en quelque sorte l'algèbre des Pays-Bas, fixant tout au plus l'attention de quelques savants , tels que A. Girard et Adr. Romain, et qu'au temps de Descartes et de Newton l'étranger n'éprouva plus aucun besoin de tirer de l'oubli.

Il en fut déjà tout autrement de la statiqtie et de Vhydrostatiqtie de l'auteur : car jusque-là Stevin s'était seul occupé avec un suecès étonnant de ces matières , et par les résultats qu'il avait découverts il put fixer l'attention des savants venus plus tard et de la foule curieuse^ toujours remuante et toujours prête à applaudir à ce qui est extraordinaire. Or, d'un côté, Stevin présenta son paradoxe hydrostatique, et d'un autre il construisit son char à voiles et quelques machines fort simples, c'est-à-dire qu'il matérialisa, qu'il traduisit en fait ce que précédemment il avait enseigné par la théorie. Si cette théorie même, profonde, abstraite, originale, supérieure à l'esprit général de l'époque, ne fut pas ce qui mit

rhomme si vivement en relief, ce fut par elle néanmoins, envisagée du point de vue de l'abstraction et de Texpérience, que son nom s'immortalisa parmi les géomètres et les physiciens; et qu'il retentit encore souvent dans nos écoles, avec le nom de la cité qui lui a donné naissance*

Quant à sa dîme ou sa découverte du calcul décimal, elle fournil une nouvelle preuve à Fappui de notre opinion. Comme elle forme un petit opuscule facile à comprendre, et d'une utilité pratique immé* diate, elle ne put tarder à prendre une vogue considérable ; c'est ce qui arriva en effet : « Lyle publia^ » à Londres, en 1609 ('), un traité d'arithmétique » décimale basé sur celui de Stevin ; il avait une si » haute idée des avantages de ce nouveau calcul, » qu'il annonça la résolution de passer quelque » temps dans les principales villes d'Angleterre pour » enseigner l'art de vive voix, dans l'intérêt de sa » patrie. » i

Un certain J. Hume publia, en 162î{ (^), à Paris, une arithmétique nouvelle dans laquelle il enseigna les fractions décimales. Il est à supposer que J. Hume '

est le même que Jacques Hume, Écossais, qui publia, i

en 1636, l'algèbre de Yiète; il promit, entre autres j

publications, celle des fortifications hollandaises. ,

« Beyer, médecin à Franckfort, publia, en 1619(^),

0) FoirM.Dufan.

(«) Voir M. Goethals.

(') Voir M. Dufan, p. 65 et p. d7.

w un ouvrage intitulé : Logistica decimalis. Il ne » parle point de Stevin et présente, dans tout son M ouvrage, Finventîon comme sienne^ maïs le prow fesseur Peacock a prouvé, à l'évidence, que Beyer » a eu connaissance de la notation de Napier et de » Fouvragc de Stevin. »

D'après M. Delpierre, La Londe, îngénieur-géné* rai de France, publia, en 4605, un traité d'arithmétique décimale, et il dit qu'il en a l'obligation à Stevin.

Nous pourrions multiplier ces citations de nos bibliophiles et philologues; mais c'est évidemment inutile, tout ce que nous avons dit à cet égard nous paraissant établi sur un fondement solide. Seulement nous ajouterons que Napier ou Neper (*), qui donne d'ailleurs les plus grands éloges à Stevin, fut le premier qui simplifia la notation de notre auteur, en supprimant ses indices mis en cercle, et les remplaçant par une simple virgule. La théorie de Stevin n'était susceptible d'aucun autre perfectionnement.

De la cosmographie.

La cosmographie de Stevin comprend trois parties distinctes : la trigonométrie, avec diverses applica--

0) Voir VHiitoire des mathématiques et la brochure de M. Dufan , p.9i.

lions ; il en a déjà été question ; la géographie et l'astronomie. Il nous reste à parler de ces deux derniers ouvrages : Dans le livre I«' de la Géographie^ l'auteur agite, sous le titre de Définitions^ différentes questions scientifiques et de langage, entre autres^ relativement au sièck sage^ à une langue communey à la classification et aux distinctions à établir dans l'exposé d'une doctrine ou d'une sei4înce, à l'utilité des études théoriques, etc., etc.

Dans le livre II, il traite du changement de lieu des diverses matières qui composent la croûte superficielle de notre globe, telles que l'eau, le sable, le limon, l'argile, pour en déduire ensuite l'explication plus ou moins plausible des divers changements physiques que peut subir, à la longue, un pays donné, et de quelques faits particuliers qu'il avait attentivement observés en Hollande. Nous nous abstiendrons ici d'entrer dans les détails ; car le temps nous presse quelque peu , et nous renvoyons les lecteurs, qui s'occupent des sciences d'observation et de géographie physique, à l'ouvrage même de l'auteur , dont nous pourrions, au besoin, donner quelques extraits dans la seconde partie.

On aurait tort de croire, d'après quelques assertions gratuites, que la géographie de Stevin soit indigne de lui : elle porte au contraire avec elle le cachet de son profond talent d'observation, et de celte portée de vue peu commune, qu'on ne saisit pas toujours aujourd'hui à une simple lecture.

Dans le livre III, intitulé : Atméorie terrestre, il montre comment on peut mesurer la hauteur de l'orée des nues (il veut sans doute dire : de l'atmosphère), et comment on peut quelquefois aussi obtenir celle des nuages. Pour résoudre la première question, il suppose que le crépuscule ou l'aurore commence quand le bord supérieur du soleil est encore à 18** 43' 30" au-dessous de l'horizon, et il trouve par la résolution d'un triangle rectangle rectiligne, que cette hauteur vaut 138,006, le rayon de la terre étant supposé de dix millions de parties. Cette question, qu'il a tirée de P. Nonius et d'Alhazen, sauf une légère correction qu'il fait sur la dépression du soleil sous l'horizon , n'a, comme on le voit, rien de commun avec celle du plus court crépuscule, dont on a attribué gratuitement la solution à Stevin. Du moins, l'édition de Girard ne renferme rien de semblable. D'ailleurs, la question ainsi envisagée a peu d'importance, et d'autant moins que l'auteur lui-même reconnaît que la solution, bonne en théorie, donnerait un résultat plus exact, si Ton connaissait la valeur des réfractions que subissent les lumières célestes en entrant dans l'atmosphère. Le lecteur doit observer aussi, qu'alors même on ne saurait encore calculer ainsi la hauteur de l'atmosphère, que dans l'hypothèse précaire d'une densité uniforme et constante.

Dans les livres lY et V, il traite du cours des navires et de la manière de trouver, étant en mer.

— scies havres et ports dont on connaît an préalable la latitude et la direction de l'aiguille aimantée.

Du temps de Stevin, on observait déjà soigneusement les variations d'un lieu à un autre, dans les déclinaisons de la boussole, et, à la page 171, il donne un tableau de ces déclinaisons pour différents lieux importants : et ce tableau est le résultat d'un travail long et coûteux du savant géographe Pierre Plantins. C'est le prince Maurice, à qui on ne cessait de soumettre des projets cçneernant la navigation, qui engagea Stevin à écrire un traité sur la matière ; et l'on sait, d'après M. Delpierre, que Grotius le traduisit en latin, à la demande de l'ambassadeur vénitien, à Paris, et qu'il dédia ce travail au conseil, au doge et au peuple de Venise. D'après M. Dufan, cet ouvrage de Stevin parut à Leyde, en 1599, et Wright publia en anglais, dans le courant de la même année, la substance même de ce livre.

Le livre VI a pour objet la théorie des marées. Pour établir cette théorie, entièrement nouvelle, bien incomplète sans doute^ mais bien digne. en tout de son génie, Stevin admet que la lune et son point opposite tirent et sucent continuellement l'eau du globe terrestre.

II demande pour seconde pétition qu'on fasse d'abord abstraction de toute circonstance locale, afin de pouvoir se rendre compte du phénomène théorique qui aurait lieu alors.

L'idée de l'attraction de la matière pour la matière

fut déjà entrevue, dit-on dans Thisloire des sciences, par quelques esprits élevés de l'antiquité; et d'après Laiande (Abrégé d'astronomie)^ Pline comprit la cause générale du phénomène des marées. Selon Montucla, ce furent chez les modernes Copernic et Kepler, qui eurent les premiers l'idée de cette attraction. Il est à regretter que Stevin soit encore une fois oublié complètement sôus ce rapport. Son idée de l'attraction lunaire et sa théorie étaient bien dignes d'un meilleur sort. En voici donc les notions fondamentales.

L'auteur, comme on s'en aperçoit clairement à la fin de son travail , hésite d'abord entre Tattraction et la répulsion qu'il faut attribuer à la lune ; parce qu'il voit fort bien que la dernière hypothèse expliquerait également le fait général du flux et du reflux de la mer.

Toutefois il penche davantage pour la première hypothèse, quoique les observations lui paraissent peut-être encore insuffisantes pour décider de la difficulté. Il a eu soin d'interroger les marins sur les lieux où ils avaient voyagé, et sur les diverses manières d'être du phénomène en ees lieux. Mais il n'a pu apprendre d'eux rien de ce qu'il voulait savoir : néanmoins les plus avisés d'entre eux ont été de son opinion touchant l'attraction lunaire. C'est ainsi qu'il a été amené à sa première pétition, énoncée plus haut.

Il examine de quelle façon les flux et reflux auraient

lieu, si la lune se mouvait constamment dans fe plan de l'équateur, et que Ton fit abstraction de son mouvement propre; quel intervalle de temps s'écoulerait entre l'un et l'autre phénomène, si elle se trouvait dans le 90® degré de l'écliptique ; il résout ce problème par le moyen de la sphère et ensuite par le calcul de l'angle d'un triangle sphérique. Il passe en revue ce qui doit arriver à diverses latitudes terrestres, la lune ayant une déclinaison fixe désignée et se trouvant animée du simple mouvement diurne.

Plus loin il explique pourquoi les petites eaux ne sont pas attirées si haut que les grandes, en s'appuyant sur le principe des pressions hydrostatiques, établi dans sa statique : ce passage remarquable est d'autant plus digne d'attention que la plupart des traités modernes sur la matière ne touchent pas même cette difficulté. Dans son Abrégé d'astronomie Lalande, par exception, en parle et en donne une explication à peu près suffisante : celle deStevin, que l'on ne peut pas considérer comme complète, est d'une tournure toute particulière et originale; elle repose sur une idée juste ; et l'on a lieu d'admirer cette sublime tendance de son génie qui anticipe sur l'avenir et résout une objection que les Cartésiens devaient seulement présenter plus tard contre les partisans de l'attraction. On sait, du reste, que dans la suite cette objection tomba d'elle-même devant les calculs de Daniel Bernouilli, d'Euler et de Mac-

LauHn. {Foir, pour Texplication de noire auteur^ la note X.)

Stevin cherche aussi à expliquer pourquoi le flux des eaux ne vient pas, en plusieurs lieux, d'Orient vers l'Occident, contrairement à ce que la théorie générale exigerait ; pourquoi en divers points la marée n'est pas haute, la lune ou son point opposite étant même au méridien; pourquoi la plus haute marée n'y arrive que quelques jours après la nouvelle ou pleine lune ; comment des lieux, plus éloignés des sommets du flux que d'autres , ont néanmoins leurs marées plus hautes; comment il se peut que le flux arrive d'Occident vers l'Orient le long des côtes de France, de Flandre et de Hollande.

Ces explications de l'auteur renferment beaucoup de choses utiles et vraies ; mais il est naturellement impossible qu'elles soient complètes : on y laisse de côté un élément essentiel. Faction attractive du soleil dont l'effet est moins sensible.

La marée générale formée dans une mer indéflnie est le résultat de deux vagues partielles ; c'est une vague résultante, due à un centre d'attraction uni- . que, situé entre les deux astres. C'est ce qui occasionne déjà un retard et une avance théorique que Stevin ne pouvait pas entrevoir.

On sait que la figure d'équilibre d'une masse liquide, qui recouvre un noyau solide et qui se trouverait soumise à l'attraction mutuelle de ses parties et du noyau et enfin à l'action simultanée de la lune

et du soleil, est du moins à très peu près un ellîp^ soïde allongé, dans le sens de la ligne tirée du centre du noyau au centre d'attraction luni-solaire. Or c'est là encore ce que Stevin a reconnu ou du moin» pressenti, comme on peut le voir par la figure ovale qu'il dessine à la page 178; il est bien entendu que l'on fait abstraction de la rotation diurne de la terre sur son axe. Mais pour se rendre compte de cette figure ovale qui existait chez lui, et comme hypothèse préconçue et comme fait d'observation, il attribue non-seulement une attraction à la iune^ mais à son point opposite, c'est-à-dire au point opposé de son orbite : il ne concevait par conséquent pas encore la possibilité et la nécessité de cette figure des eaux, par le fait d'une attraction unique^ agissant d'un seul côté.

Mais il ne faut pas s'en étonner : bien des personnes, après Newton même, ne l'ont pas comprise ; et les Cartésiens, loin de pouvoir ou de vouloir comprendre cette duplicité de marée, prétendaient y trouver un nouvel argument péremptoire contre l'attraction.

Astronomie.

Cet ouvrage est divisé en trois livres : Dans le premier on enseigne la manière de détern)iner le cours des planètes sur leurs excentriques

et leurs épicycles, à l'aide des éphémérîdes : c'est la partie expérimentale ;

Dans le second on applique le calcul à cette m^me recherche : c'est la partie mathématique;

Dans le troisième on fait voir comment les phénomènes, alors connus, des mouvements célestes, peuvent s'expliquer plus simplement, sans le secours des déférents et des épicycles, par l'hypothèse de la terre mohile. Selon Stevin, cette hypothèse devait déjà être connue au temps du siècle sage; mais elle a été découverte de nouveau et fut remise en vigueur par N. Copernic ; et si notre auteur ne l'a pas adoptée de prime abord, c'était pour avoir une exposition plus facile et plus naturelle. A quelques rares exceptions près, les auteurs de livres d'astronomie de nos jours suivent encore cette marche, en commençant par les apparences, et en considérant d'abord la terre comme le centre des mouvements.

Du reste, l'auteur présente la science telle qu'elle existait de son temps, et il coordonne le tout conformément à son habitude, avec cet esprit de méthode qui vise au renouvellement du siècle sage ; et comme il ne fut pas astronome observateur, toute critique, telle que celle du P. Deschales , présentée d'une manière absolue, devient insignifiante. L'auteur fut partisan du système de Copernic ; mais il ne l'adopta qu'après mûre réflexion.

Il avoue même avoir été longtemps sans comprendre un passage de l'astronome allemand , relatif

à raccroissement de la vitesse angulaire de la terre sur son axe , par l'effet de la translation dans son orbite annuelle autour du soleil.

Pour nous expliquer cette difiicullé, concevons un corps solide fini , parcourant toute la circonférence d'un cercle ou d'une ellipse, sans cesser de regarder constamment par la même face vers le centre de son orbite. Il aura évidemment tourné une fois sur luimême pendant son mouvement révolutif dans son orbite; et son mouvement de rotation se sera fait de l'Occident vers V Orient ^ si la translation a eu lieu dans ce sens : si donc le mobile avait déjà un mou«vement de rotation propre d'Occident en Orient, qui lui ferait faire par exemple 36S tours, pendant qu'il décrirait son orbite, il s'ensuivrait qu'après une révolution, il aurait fait 366 tours sur lui-même. Tel est à peu près le cas de la terre qui achève sa révor lution en 36S j. 2S637 et qui fait, par conséquent, sur elle-même, 366 tours.

Stevin a compris ensuite toute la portée et toute l'importance de l'idée Copernicienne ; et il expose les arguments solides qu'on pouvait faire valoir à cette époque, où une telle hypothèse devait inspirer une répugnance invincible aux esprits vulgaires ou prévenus.

Il nous reste à mentionner une autre particularité qui nous fournit une nouvelle preuve de la force étonnante de Stevin dans la géométrie synthétique des anciens : en cherchant à se faire une idée juste

de l'excès variable des jours naturels comparés aux jours égaux et moyens^ on reconnaît d'après lui, par l'inspection des tables pruténiques, que l'excès de l'arc d'écliptîque sur l'ascension droite doit avoir la plus grande valeur vers le 46® degré de l'écliptique et qu'il vaut alors 2*>,28'.24". A cette occasion îl établit et démontre en vingt-sept articles consécutifs un théorème de trigonométrie sphérique, facile à retrouver aujourd'hui par la voie de l'analyse, mais d'une difficulté considérable pour cette époque et d'une remarquable originalité; car il y a un grand pas à franchir encore de ce résultat approché des tables à ce théorème rigoureux et précis dont voici l'énoncé :

L'excès de l'arc d'écUptiqne sur l'ascension droite, le tout étant compté de la section vemale^ est un maximum, cpiand le cosinus de la déclinaison est une moyenne proportionnelle entre le rayon de la sphère et le cosinus de l'inclinaison du plan de Ncliptiqu£ sur celui de l'équateur.

Hemarqub : Il est bien entendu que nous avons présenté cet énoncé en langage d'aujourd'hui : car du temps de Stevin on ne faisait pas encore usage du cosinus de l'arc ; et l'on ne se servait pas non plus des expressions de moopîmwm et de minimum .-l'idée des extrêmes valeurs d'une fonction variable n'était guères connue, ou du moins n'avait pas encore cours, et notre auteur a été certainement un des premiers à offirir un exemple de ce genre de grandeurs ; c'est à ce point de vue surtout que son théorème est remarquable.

De la dialectique (de bewyskonsl).

Cet ouvrage de Fauteur, publié en 1585, est écrit en flamand, par suite d'une manière de voir désormais arrêtée irrévocablement chez lui. Chaque homme est doué de cette faculté de comparer et de raisonner qui est si nécessaire, en mathématiques surtout; de plus, parmi le commun des hommes on en rencontre souvent qui, sans le secours d'un enseignement oral et à l'aide de quelques livrets seulement , parvien-^ nent à saisir d'eux-mêmes l'arithmétique, des notions de géométrie et quelquefois même la règle algébrique : cependant ces matières sont souvent plus profondes et plus abstruses que la logique, rédigée en corps de doctrine. Si donc celle-ci n'est jusqu'ici qu'à la portée d'un petit nombre, et si elle parait si difficile en général , cela ne peut provenir que de sa terminologie qui offre une foule de mots, dérivant des langues anciennes.

L'auteur écrira donc son petit traité en langue flamande, et il y remplacera autant que possible les termes latins et les longues et lourdes sentences des philosophes, qu'on prend pour exemples d'exercices, par des mots flamands que tout le monde peut comprendre, et par des exemples tirés de la vie commune. Toutefois, pour ne pas tomber dans un autre incon»

vénient, et pour éviter Taffectation, il emploiera encore quelques termes latins qui sont en usage même parmi le peuple, et que l'on comprend mieux en général que les mots correspondants même de la langue maternelle.

Stevin dit aussi dans cette même préface de sa logique , que des personnes ayant appris qu'il allait publier quelques écrits mathématiques, l'avaient prié de travailler désormais en sa langue vulgaire.

Il est vrai néanmoins que son arithmétique , qui a succédé à sa dialectique, est écrite en français ; mais elle était sans doute déjà composée quand il fit cette préface.

A la fin de son ouvrage il donne comme d'habitude un appendice : il y établit un dialogue entre Jehan et Pierre, qui agitent en leur langage populaire quelques subtilités logiques fort déliées et ensuite la question des avantages de la langue flamande ; mais dès lors l'un des deux personnages de Stevin devient à son insu quelque peu érudit, car il prouve fort bien à l'autre que pour la composition des termes techniques la langue flamande est plus convenable que toute autre, et que les enfants jouant dans la rue, peuvent y forger des mots nouveaux et intelligibles, ce qu'ailleurs on ne ferait qu'avec moins d'avantages et à grands frais d'érudition.

Le lecteur appréciera ici de lui-même le but et la portée de vue de notre auteur : d'une part il veut populariser l'art de raisonner juste, si indispensable

en tout ) et particulièrement dans les sciences ; mais en même temps qu'il fait cet effort hardi de répandre une instruction bien entendue dans les masses^ il se propose, nous semble-t-il , de dépouiller le savoir des érudits de son temps de ce faux éclat , de ce prestige qui en impose à l'ignorance, qui commande un respect immérité et qui entraine comme conséquence une obéissance sans bornes de la part de la foule.

Remarque : Pour le moment nous n'en dirons pas davantage de la logique de Stevin. Nous y reviendrons dans les notes, si nous avons du temps de reste. En attendant nous la recommandons à l'attention des connaisseurs.

De la tenue des livres à Titalienne.

Cet ouvrage, qui n'a besoin non plus que d'une courte analyse, comprend trois livres : le Mémorial^ le Journal et le Grand-Livre^ qui sont en tout conformes aux livres mêmes actuellement tenus par les principales maisons de commerce du royaume.

L'explication que l'auteur donne pour distinguer le débiteur et le créancier ne laisse rien à désirer.

Sa méthode de clôturer les livres et de les rouvrir, autrement dit : de faire la balance de sortie et la

balance d'entrée est absolument la même que celle qui aujourd'hui est en usage dans toute l'Europe.

Sa partie administrative^ qui diffère un peu, pour la forme, de la comptabilité commerciale, est ingénieuse, claire et précise; tel estle jugement deM. Neu, bien plus compétent que nous dans cette matière. Pour prouver maintenant l'à-propos, l'utilité et la portée de ce travail sur la tenue des livres, qui, au premier abord, pourrait paraître insignifiant, nous sommes obligés de transcrire tout un passage de la brochure du pseudonyme M. Dufan, extrait du rapport sur les comptes publies de France , fait en 4831 par le docteur Bowring aux lords commissaires du trésor en Angleterre.

« L'histoire financière des nations offre peu de >> circonstances plus remarquables que celle de Tin- » troduction des parties doubles ou du système com- » mercial de tenue des livres dans les comptes » publics de France. Pendant le règne d'Henri IV , » Sully fut engagé à examiner les moyens d'en faire » l'application; et si les circonstances eussent été fa- » vorables à ce projet , il est probable qu'on aurait » coupé court à bien des abus, qui bientôt après » excitèrent d'une manière si alarmante le mécon- » tentement public. Cette disposition des esprits, » aigris encore davantage par des vexations et des » dilapidations incessantes, fut la cause principale )j de ces terribles convulsions politiques qui agitée » rent la France dans le siècle suivant et qui réagi-^

» rent sur tarit de nations avec leurs lourdes charges » financières.

» C'est à la fin du XVI® siècle qu'un nommé Simon » Stevin, de Bruges, appela l'attention de Sully sur » la manière de tenir les livres des finances; il » paraît qu'il est le premier écrivain qui ait suggéré » l'idée d'appliquer le système des parties doubles » aux finances des États. Son système, quoique » dédié à Sully, fut particulièrement composé pour » l'usage du prince Maurice de Nassau, qui en a w appliqué les principes aux comptes publics de » Hollande avec les plus heureux résultats. L'ou- » vrage de Stevin est écrit en flamand et il a été » traduit en latin par Snel.

» La raison pour laquelle il l'a dédié au duc de » Sully, c'est que les Français s'étaient particulière- » ment appliqués jusqu'alors à trouver les meilleurs » moyens de tenir les comptes publics. L'ouvrage » développe les vrais principes de la méthode ita- » lienne , et contient déjà de certaines applications » de ce qui se pratique en ce moment dans le mi- » nistère des finances de France. L'auteur propose, » par exemple, que chaque mois il soit fait des » remises aux fonctionnaires supérieurs par les em- » ployés inférieurs de l'administration , et qu'il soit » particulièrement tenu compte des revenus payés. » {Foir pag. 66-67 de M. D. F.)

La dédicace de Stevin à Siilly date du mois d'août de l'an 1607yElle est fort curieuse : on y explique

d'une manière lucide comment cette tenue des livres à l'usage des marchands, étant introduite dans l'administration des deniers de l'État et des princes, peut prévenir désormais les graves abus qui ont eu lieu précédemment, et comment le prince Maurice, à qui on l'avait d'abord enseignée, l'a appliquée premièrement à l'administration de ses propres domaines, à quoi personne ne pouvait opposer de la résistance. La chose prenant ainsi un commencement d'exécution, l'auteur a jugé utile Ay tenir la main, et de publier un traité, afin d'instruire ceux qui pourraient être appelés à tenir les livres chez les marchands, et de les rendre aptes aussi à occuper un emploi analogue dans quelque administration. Il dédie son travail à Sully, parce que celui-ci était bon connaisseur, attendu qu'il avait rétabli sur un bon pied ce qui auparavant était dans un état pitoyable; ensuite, parce qu'il croyait lui faire une chose agréable ; et enfin, parce qu'il jugeait que c'était le meilleur moyen de faire avancer ses idées et de les mettre en pratique.

On voit, par cette même préface>) et l'auteur le déclare formellement, qu'il avait été jadis teneur de livres et ensuite caissier à Anvers, puis après, qu'il s'est exercé en matière de finances en Flandre au quartier du Franc : c'est alors qu'il eut l'idée de cette extension de la tenue des livres , sans penser, dit-il, que jamais quelque fruit s'ensuivrait. {Foir aussi les Materiœ politicœ^ éditées en flamand par

les soins d'Henri Stevin, en 1649 : on voit là que l'auteur fait remonter la tenue des livres jusqu'aux Romains et aux Grecs.)

Remarque. Le lecteur trouvera peut-être que nous marchons un peu au hasard, et que nous aurions mieux fait de suivre l'ordre chronologique des publications de l'auteur dans cette exposition critique, ou que du moins nous aurions du réunir en un seul corps toutes les parties mathématiques ; mais nous le prions de considérer que nous sommes obligé de suivre l'ordre même dans lequel nous avons pu prendre connaissance des écrits de Fauteur, e% que nous n'avons pu nous les procurer le plus souvent que par pièces et morceaux.

Problèmes de géométrie (*).

Cet ouvrage, publié en latin en 1583, manque dans la traduction d'Albert Girard, et aurait échappé à notre attention , sans la mention qui en est faite dans la brochure de M. Goethals, auquel nous devons également quelques dates dont nous avons fait usage précédemment. Il est divisé en cinq livres. Dans le livre /**' on traite de la division des figures reetilignes

(') Voici le véritable titre : Prohlematum geometricorutnj in grcUiam Maximili<miy Domini a Qmnmgen, editorum libri V*

dans un rapport donné , par une droite passant par un point donné sur l'un des côtés ou par une droite parallèle à Tun des côtés de la figure. Dans l'un et dans l'autre cas on opère d'après des méthodes générales.

Dans le livre II on montre comment on peut^ du moins dans une certaine espèce de questions, parvenir à la solution, en supposant d'abord le problème résolu et construisant par là ce qui correspond à la quantité demandée. Néanmoins cette quantité correspondante n'aura généralement pas la valeur qu'elle doit avoir ; mais on déduira facilement de la comparaison de la valeur fausse avec la vraie, k grandeur et les proportions véritables de la figure cherchée.

Dans le livre III on s'occupe particulièrement des polyèdres réguliers et d'autres solides qui ont une régularité moins absolue, et que Stevin divise en deux genres.

Le premier genre comprend les 5 polyèdres réguliers augmentés^ et le second genre les 9 polyèdres réguliers tronqués^ dont Albert Durer avait déjà donné les 6 derniers (en outre, il en avait déjà donné deux qui sont impossibles) ; mais Stevin en a trouvé trois nouveaux, qu'il fait connaître et qu'il construit par les définitions 20, 21 , et 22 : ce sont le Dodécaèdre tronqué par la division des côtés en trois parties^ convenablement choisies : Vicosaedre tronqué par le milieu des arêtes^ — Vicosaedre tronqué par la division des arêtes en trois parties égales^ etc.

Dans le livre IF on donne la solution de quelques questions subsidiaires , entr'autres celle des deux moyennes proportionnelles d'après Héron, et l'on établit ensuite cette question générale dont Archimède n'avait résolu qu'un cas particulier :

Étant donnés deux corps géométriques, en décrire un troisième qui soit semblable à l'un, et équivalent à un autre. Stevin établit une solution générale qu'il explique par divers exemples de solides.

Dans le livre V, l'auteur fait encore connaître une méthode générale de solution de cette autre question : Deux solides géométriques semblables étant donnés, en construire un troisième qui leur soit semblable, et équivalent à leur somme, ou à leur différence. On se tromperai! en croyant que ces diverses questions générales avaient déjà été traitées par les anciens : c'est à Stevin qu'elles sont dues 5 et en ce sens on peut dire qu'il a même fait faire un pas à la géométrie synthétique. Il est déplorable de voir l'histoire des sciences rester muette encore une fois sur ce beau travail : nous n'en avons pu donner qu'une idée ; vouloir l'analyser d'une manière satisfaisante, ce serait se condamner à le traduire à peu près^n entier ou à le copier. Le meilleur parti à prendre sera de le faire réimprimer, d'autant que le 3® livre, qui est le plus étendu, s'occupe 'avec un soin extrême de l'étude aujourd'hui trop négligée de tout ce qui se rattache aux § polyèdres réguliers. De plus, cette généralité de méthode, qui est répandue dans

tout l'ouvrage, est une qualité d'autant plus préeieuse qu'elle est plus rare dans nos manuels de géométrie élémentaire.

Remarque. Si quelque libraire-éditeur est disposé à suivre notre avis , nous nous engageons à traduire l'opuscule de Stevin, qui n'est que de 180 pages. En attendant, nous en donnerons quelques extraits dans les notes.

PVRES HILITilKES DE $110» STETIN,

GOMPKBIIAIIT

lA FO&TIFICAtlOl», LA CASTRAMÉTATION, LE TBAltÉ DES iCLUSBS, L^ARCHI- TECTUAB CIVILE, LA THÉOaiE DE LA GCEHBE, LA CONStROCTION DES tiLLES, ET DEUX MÉHOIBES SUR LE DÉPLACEMENT DES TROUPES, ET LE C&OIX DES SMPLOTis.

Par ALazis BRIALMONT,

Ancien élève de Tëeole militaire, •oos-lieii tenant du génie.