HT X • HT. X
cos. -=i, sm. --= o.
nous aurons
\ L dx J V. dx t
les différentielles comprises entre les parenthèses se rapportent à la première limite x = — a, celles qui sont renfermées entre des crochets répondent à la seconde x=za, et
CALCUL NUMERIQUE
l’on a fait, pour abréger.
».—<-,)• (ÛÏ'C ££<<* ( 4 )
Maintenant, si l’on prolonge indéfiniment cette série , et qu’on néglige le reste R„, l’équation (i) deviendra
f fxdx
Cette formule ne différé pas essentiellement de celle qu’Euler a donnée pour le même objet dans son Traité de calcul différentiel, et qu’on peut regarder commeune des plus utiles dont il a enrichi l’analyse; mais la manière dont nous y sommes parvenus a l’avantage de faire connaître en même temps l’expression du reste R m , que l’on néglige quand on s’arrête à un terme quelconque de la série infinie ; expression dont il sera toujours facile d’assigner une limite supérieure à sa valeur exacte ; ce qui permettra d’apprécier le degré de l’approximation. Il serait à désirer que l’on efrt de semblables limites pour toutes tes suites infinies dont on fait usage : Lagrange les a exprimées très-simplement dans le cas du théorème de Taylor; et récemment M. Laplace s’est occupé de questions analogues, relatives aux développements des coordonnées des planètes dans le mouvement elliptique, et d’une autre fonction qui se présente dans la théorie des perturbations.
\ L dx etc.
DES INTEGRALES INFINIES.
( 5 ) Les valeurs des coëffîcients A,, A a ,A 3 , etc., sont connues, comme nous l’avons dit ; mais on peut aussi les déterminer au moyen de l’équation ( 5 ), en faisant une supposition sur le nombre n et sur la fonction fx. Le plus simple est de prendre n— i. On a alors
<a=a, P„ = 7 t /(— a) 4 - fo 4 - '-fa.
Si l’on désigne par e la base des logarithmes népériens, et qu’on fasse
fx = e*,
on aura
et généralement
r d im -'fx i (
L dx 2m -' J \dx' m - 1 )
au moyen de quoi, en divisant les deux membres de l’équation ( 5 ) par e a — e ~ a , on en conclura
-h a' A I — a* A, -t- a 6 A 3 — etc.
Or, le premier membre ne changeant pas quand on y change le signe de a, son développement ne renfermera que des puissances paires de a; d’ailleurs, les inconnues A,, A„ A 3 , etc., sont indépendantes de a ; il en résulte donc qu’après avoir développé le premier membre, les coëfficients de
l 4 CALCUL NUMERIQUE
a 3 ,— a\ etc., seront les valeurs de ces quantités; ce qui était déjà connu.
En supposant toujours n = i, (o=a f et prenant on aura, m étant un nombre entier,
fxdx =
d’après l’équation ( 4 ), le reste R m sera nui ; et en supprimant le facteur qui se trouvera commun à tous les termes
de l’équation ( 5 ), il vient
Cette relation connue entre les quantités A,, A,, A 3 , etc., servira à les déterminer les unes au moyen des autres, en y faisant successivement m= 1 , = 2 , = 3 , etc. On trouve, de cette manière*
etc.
( 6 ) Si l’on veut que l’intégrale proposée commence avec la variable, et soit prise depuis zéro jusqu a une limite donnée c, on diminuera x de a, et l’on fera 2Mettons ensuite y#à la place de f(x —<2), et n au lieu de 2 n; la différence w sera la n. ième partie de c ; la quantité P, se composera de n -h 1 termes, savoir :
P„= i/o +/c> 4-/2w + . . . +/(«<!> — a) + ifc;
DES INTÉGRALES INFINIES. l5
et si l’on substitue à la place de A t , A,, A 3 ’, etc., leurs Valeurs numériques, l’équation (5) deviendra
3oa4o\L^j: 5 J \dx* JJ
-h etc. ;
les différentielles comprises entre des parenthèses ou entre des crochets, répondant toujours, les premières à la première limite x — o , et les secondes à la seconde limite x=c.
A cause que a est un multiple de w, le cosinus de reste le même dans le changement de x eu x — a; le reste donné per l’équation (4), qu’il faut ajouter à cette série quand on s’arrête au n. ième terme inclusivement, aura donc pour expression :
R *=~»(-*)'(£)*"/ h cos -^ll^ dx :S?)
En intégrant encore une fois, et observant que sin.
est nul à la seconde limite x = c=n<ù , aussi bien qu’à la première x = o, on peut donner à R,« cette autre forme équivalente :
dx
dx'»+'
I6 CALCUL NUMERIQUE
Pour obtenir des limites de ces expressions, désignons par B„, et C m des quantités connues, telles que l’on ait, abstraction faite du signe y
d* m fx dx lm
fx d
pour toutes les valeurs de x comprises depuis zéro jusqu’à c; soit, en outre,
etc. =7(27:) • A
en observant qu’on a évidemmment
d’après la formule (8). *
Ces limites montrent que pour une même valeur de m , ou pour un même nombre de termes de la série (6j, l’approximation croîtra indéfiniment à mesure que w diminuera ; mais quel que soit <*>, l’approximation ne croîtra pas de même
DES INTEGRALES DEFINIES. TJ
avec le nombre m, et il arrivera très-souvent qu elle décroîtra au-delà d’un certain nombre de termes. C’est ce qui aura lieu quand les quantités B,„ et C w augmenteront plus rapidement avec m, que &>*'" ne diminuera, et alors la série (6), après avoir été convergente dans les premiers termes, deviendra divergente et par conséquent inexacte. Dans le cas de c = oo ,ces limites seront illusoires, et il en faudra déterminer d’autres , propres à chaque exemple particulier.
La valeur exacte de la quantité A' m qui entre dans la seconde limite, n’est pas connue comme celle de A,*. On a fait usage de différentes méthodes pour calculer sa valeur approchée; nous indiquerons celle que fournit l’équation(6), en y faisant
fx — -,—-— \ t , «=i, c=oo.
On a alors
J fxdx= p» = — 7+ ;(2*) 1 " i + 1 A' m ; et quel que soit le nombre entier i, on a aussi
Au moyen de ces valeurs, on tire de l’équation (6) :
( aK ) 2 ' ra+, A'
• etc.
En appelant y. le nombre de termes de cette série que l’on
l8 CALCUL NUMÉRIQUE
conservera, à partir du second, et M le reste qu’il y faudrait ajouter, on aura, d'après la formule (7) :
1 ) fA + 1 ,m + 2.. .m+ ap.J' [2 j7jzC08.2ïwa?|j|
Il sera alternativement positif et négatif, ce qui montre que la série précédente donnera des valeurs de A f m , alternativement plus grandes et plus petites que la valeur exacte, et qui en différeront, par conséquent, d’une quantité moindre que le terme où l’on s’arrêtera.
(7) On peut éliminer les différentielles de la fonctiony# qui sont contenues dans la formule (6), et les remplacer par ses différences finies.
En effet, soit
Fz=/z +f(c — z) ;
désignons par A 0 A,, A 3 , etc., les différences successives de F z, qui répondent à z = o, et sont prises en supposant Az = u, de sorte qu’on ait
a,=F 2« — Fo,
A^Fûw — 2Fw + Fo, a 3 =F 3 w— 3 F 2 w -h 3 F (ù —Fo, etc. ;
nous aurons cette formule d’interpolation :
Fz = F o -4- - A,
d’après les notations précédentes, on aura aussi
DES INTÉGRALES DEFINIES.
fd' m ~'fx\ f d""-'fx\ d' n - x Y z
Kdcc"»-' ) L^ — “J- d*'—' ’
pourvu qu’on fasse z= o après la différentiation : il en résultera
etc. ;
et en substituant ces valeurs dans l'équation (6), il vient
£ fx dx — wP n -+- A
G) . IQb)
3 Gi
A, + etc. (9).
En y faisant g>= 1 , cette formule coïncide avec celle que M. Laplace a donnée dans le tome IV de la Mécanique céleste. Elle ne suppose pas connue l’expression de fx. Pour en faire usage, il suffira d’avoir un nombre n H- 1 de valeurs numériques de cette quantité, correspondantes à autant de valeurs équi-différentes de x: on ne pourra toutefois l’employer utilement que quand les différences A,, A a , A 3 , etc., décroîtront très-rapidement.
La formule d’interpolation dont nous sommes partis, ne subsiste pas lorsque/# est une fonction périodique desin. 27c x et cos.27r x, et que l’on prend w= 1 ; car alors toutes les différences A,, A,, A 3 , etc., quelle contient, seraient milles, et l’on aurait Fjz=Fo, ce qui n’est pas vrai. Il en résulte que l’équation (9) que nous en avons déduite, n’aura pas lieu non plus dans ce cas particulier; mais on obvie à cet incon-
vénient en prenant une autre valeur pour la différence w qui peut être aussi petite que l’on voudra.
(8) La formule d’Euler se trouve en défaut dans un autre cas, ainsi que M. Legendre en a fait la remarque à la fin de son traité des Fonctions elliptiques (i). Ce cas a lieu lorsque les différentielles impaires d efx s évanouissent, ou, plus généralement, sont égalés aux deux limites de 1 intégrale que l’on considère. Quelle que soit la quantité <*>, 1 équation (6) se réduirait alors à
y fxdx-=toV n ;
d’où il résulterait que l’intégrale proposée s’exprimerait sous forme finie, et que sa valeur dépendrait du nombre arbitraire n, ce qui serait absurde. Mais ce résultat provient de ce que l’on a négligé le reste Rm, qui, dans ce cas particulier, au lieu de décroître h mesure que m augmente, est au contraire indépendant de la grandeur de ce nombre. En effet, en intégrant par partie, et observant qu’on a, par hypothèse,
d.r 2m ~ hI J L dx
la formule (8) donnera
jn/üNam + i/ rr” i a i Ttx'] d' m + \f x A
Uï) J Q 11, î^ cos -—J m^ dx
et si l’on compare cette expression à la formule (7) dans la-
*(r) ; Tome II, page 578.
DES INTEGRALES DEFINIES.
quelle on augmentera m d’une unité, on en conclura
c’est-à-dire, que le reste R™ est constant par rapport au nombre m.
Dans ce cas singulier, si ^ est une fraction, le facteur
m °I ue ce reste ren f erme i diminue indéfiniment à
mesure que m augmente; mais en même temps l’autre facteur augmente à raison des différentiations successives de fx , de telle sorte que le produit demeure constant. Cependant, il n’en sera pas de même à l’égard de la limite supérieure à R,„ que l’on pourra assigner; elle dépendra de m, et décroîtra d’autant plus rapidement avec w que ce nombre m sera plus grand.
(9) Nous choisirons pour exemple de cette anomalie, l’intégrale qui donne le quart de la circonférence d’une ellipse, que nous appellerons E. En prenant pour unité le demigrand axe, et désignant l'excentricité par h x nous aurons alors
E = / t/1 — h * siu. a x dx ;
on fera donc, dans l’équation (6),
£=777, f x-=± \/x— iSsin.'x;
et il est évident que toutes les différentielles impaires de fx seront nulles aux deux limites x = o et #=7*, à cause du facteur sin. x cos. x dont elles seront affectées.
Le coefficient différentiel de fx, d’un ordre quelconque, se composera de termes dont les diviseurs seront les puissances impaires de fx, et qui ne renfermeront quedes puissances entières de sin. 2# et cos. 2 x h leurs numérateurs ;-on substituera facilement à chaque numérateur, une plus grande quantité abstraction faite du signe ; prenant en outre, pour fx sa moindre valeur \/1 —À*, on formera ainsi une quantité su-
périeure au coefficient différentiel ^ x 7 ^r entre dans la
formule (7). Soit H cette quantité; en mettant aussi dans cette formule , 7(2*)»^,* à la place de la série quelle renferme , et pour (o sa valeur ^, nous en conclurons
en grandeur absolue.
Appelons I le rayon du cercle dont la circonférence est équivalente à celle de l’ellipse que nous considérons, de sorte qu’on ait E=7xl. D’après la formule d’Euler, nous aurons cette valeur approchée :
«V * 7 J in J 2 « J 2 n ''
et si l’on désigne par $1, l’erreur dont elle susceptible, on aura en même temps
HA
En supposant ^=o,6, et s’arrêtant à m = 3 , on trouve qu’on peut prendre pour H, le nombre 4 °> et ^ on s ubstitue, en outre, pour x et A 3 leurs valeurs numériques, il
DES INTÉGRALES DEFINIES.
vient
Soit ensuite n = 4 ; la valeur approchée de I sera
à quoi il faudra joindre
£1< o,ooooo 483 i i;
de sorte que l’erreur sera moindre qu une demi-unité décimale du 6 e ordre. Elle est, en effet, plus petite; car en calculant, par les méthodes particulières aux transcendantes elliptiques, une valeur de I exacte jusqu’aux décimales du i 4 e ordre inclusivement, M. Legendre a trouvé quelle ne différait de la précédente que d’une demi-unité du io^ ordre.
11 est à remarquer que dans ce même exemple, la série des différences, contenue dans la formule (9), n’est pas convergente; et qu’en y ayant égard, on s’écarte plus de la valeur exacte de E, qu’en s’en tenant à la seule partie wP„ de cette formule.
(10) Si l’on supprime en entier dans l’équation (6), la série des différentielles de fx, il faudra ajouter à son second membre la valeur de R,* qui répond à m= o. Je fais passer cette quantité dans le premier membre, et je suppose qu’on ait c = ao, ce qui change uP n en une série infinie; il en résulte cette transformation d’une série dans une autre :
pfxdx+î-Z 1 (f™cos.î^fxdx')=-,fo+ ^/‘“I ( 10 )
en déduisant l’expression de R G , de la formule (7). Mais pour que cette nouvelle formule soit utile, il faudra l’appliquer à des cas dans lesquels les intégrations relatives à x puissent s’effectuer sous forme finie.
Si nous prenons, par exemple,
*fx-=.e * cos. 2. a x,
e désignant la base des logarithmes népériens, et a une constante donnée, nous aurons
* cos - v ^rf xdx = ^ [« (" + -) +e ( a .*) j;
d’où nous conclurons
l/irze V co/=<o2e cos. 2.ia*>;
les sommes 2 s’étendant actuellement à toutes les valeurs de i, entières, positives, négatives ou zéro, depuis i ——00 jusqua i= 00. Cette équation est identique dans le cas de
<z = o et 77. En faisant (o==\y / ^jz 1 a ===-^—= 7 et, pour
abréger, e ~* = £, on en déduit
.(H'-n-oV,
ou, ce qui est la même chose.
-e 4 4 - 6 * +e < + t‘ -f- etc.=- 1 -h 8 4 —e’-+- etc.:
équation entre les deux transcendantes e et 77, qui mérite
DES INTEGRALES DEFINIES. û5
d’être remarquée, quoiqu’elle ne soit pas sous forme finie, et qu’il ne semble pas qu’on puisse ly ramener.
(n) Soit encore
^ cos. a .v
a et b étant des constantes que nous regarderons comme positives. On aura, par les formules connues,
00 2 cos. 2 inx cos. a x
— h(*iiz—a) — a)
le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu dans la première exponentielle, selon que Ion a a < ou > 2 ïtc, afin que son exposant soit toujours négatif. D’après cela , si l’on désigne par imz, le plus grand multiple de qui soit contenu dans a , il faudra prendre le premier signe, lorsqu'on aura i > n, et le second , dans le cas de i—n ou < n.
En partageant la somme 2 en deux autres, dont l’une soit
prise depuis i= i jusqu’à i=n, et l’autre depuis i
jusqu’à i= oo , et sommant les progressions géométriques qui en résulteront, on en conclura
2 COS. 2 Itz X COS. d X h'+x'
dx=
— h(2i r+2/zi:— a) — b(ïTZ + a)
tc e K ; + e
- 2 Tzb
On a d’ailleurs
b(zn — a) Æ(air-h 2 « 7 T — a) tc e K '—e
cos .ax i* —
^ dx
26 CAECAL NP.JVIERIQUE
si donc on prend = i, la formule (10) deviendra, toute réduction faite,
777 ^ — rW. 3 \ ~
I , COS. « COS. 2 Cps.3ût
ÏP î T +~l + P+4 + 1 F+g + etC '
En différentiant cette équation par rapport à a, on en déduit cette autre :
n ( ifb — k£>\ 2 \e —e )
sin.Æ asin. 2 rt 3sin.3a / q — TT~. — T - TT-, - 1 - etc.
Au moyen du nombre n quelle renferme, lequation (i 3 ) subsiste pour toutes les valeurs réelles et positives de a, parce qu’en effet, les équations (n) et (12) dont nous sommes partis, ont lieu sans exception. Mais il n’en est pas de même à 1 egard de leurs différentielles par rapport à a, et pour cette raison, l’équation (i4) est en défaut quand a est zéro ou un multiple de 9. TC .
Pour la rendre applicable à ces valeurs particulières, j’observe qu’en différentiant l’équation (12), et faisant ensuite a = o, on aurait
x sin. ax b'+x*
dx=-
ir,
tandis que cette intégrale est évidemment nulle; dans le cas de a=o, il faut donc retrancher du premier membre de
DES INTEGRALES DEFINIES. 27
1 équation (i4), le terme 77: qu’il renferme de trop; ce qui le réduit effectivement à zéro, comme te second membre. Dans le cas de a = ^n r , et iï= 7 i, la différentielle de l’équation (11) par rapport à a , donnerait
