X COS

n 7 rxsin. 2 mzx 7 - /

--3- dx = - i + e

au lieu que la valeur exacte de cette intégrale est seulement \ize—^ n ' r - b \ d’où. il résulte que pour la valeur particulière <7. = 2/* 77, le premier membre de l’équation (i4) renferme aussi un terme 7 % qui ne devrait pas s’y trouver : en l’en retranchant, ce premier membre devient nul en meme temps que le second.

Les équations (ci) et (la), ainsi que leurs différentielles, et, par conséquent, les formules (i 3 ) et (* 4 ) qui en dérivent, subsistent encore quand on y remplace b par g b\Z~ x ; g et b étant des quantités réelles , dont la première est positive, mais aussi petite que l’on voudra. Après cette substitution , si l’on suppose que la partie g devienne infiniment petite, et qu’on la supprime en conséquence, on aura

77 cos. b [a — 2 « 77 — 7 ;) 1 t cos. a

ibsxn.Ttb 2 b* b ’—1

77sin.£(a —2 mz — 77 ) sin.a

2sin.7r£ b À —i b *—4

cos. 2 a cos. 3 a 2sin.a 3sin.3a

etc.,

etc.

Toutes les formules de ce n° étaient déjà connues. Elles se trouvent dans les ouvrages d’Euler et de M. Legendre, et aussi dans mes Mémoires sur les intégrales définies qui font partie du Journal de l’Ecole Polytechnique. On en déduit facilement tous les résultats que l’on a trouvés jusqu’à

28 CALCUL NUMERIQUE

présent, et, vraisemblablement, tout ce cjuil est possible d’obtenir, sur les séries de sinus et de cosinus, et sur celles des puissances négatives des nombres naturels.

(i2) Soit que l’on forme la valeur exacte d’une intégrale définie ou qu’on la calcule par approximation, il faut avoir égard aux observations suivantes par lesquelles nous terminerons ce Mémoire.

i°. Lorsque l’une des limites de l’intégrale est infinie, la fonction fx comprise sous le signe j, doit décroître à mesure quelle s’en approche, et devenir nulle à cette limite. Cela est nécessaire pour que la partie uP« de la formule (6), qui se change alors en une suite infinie, soit une série convergente. Néanmoins on a souvent employé des intégrales de fonctions périodiques, prises depuis zéro jusqu’à l’infini }> mais les valeurs qu’on leur assigne ne sauraient se vérifier numériquement, ni être données par la formule (6); et l’on doit ne les considérer que comme des limites d’autres intégrales pour lesquelles la fonction fx était décroissante et convergente vers zéro. C’est ainsi qu’en désignant par a une constante réelle et qui ne soit pas nulle, on a

y cos.axdx = o y f sin .axdx =- 7 O o

en regardant ces résultats comme les limites de ceux-ci :

e êX cos.axdx=- T £—ï, f e ^sin axdx 1 0 g + a J Q s ~ ha

dans lesquels est une constante positive, aussi petite qu’on