x : i, d'où x = -^^ = 3i

Ainsi en 313 > 1/2, les néoménîes moyennes arri?enl unjonr plus tM qu'elles n*arri?eraicnl si le cycle de Melon était exact , ou si les 235 lunaisons faisaient exactement 19 années tropiques.

37*. Cet avancement d'un jour de la N. L., qui produit une difninuiion d'un jour de sa date , augmenlalion d*un jour dans l'Epacte, est ce que les astronomes nomment Y Equalùm lunaire ou la Proemplo^ (Knrâ , arl. 70); et ceci s'applique à tous les temps , années Juliennes et années Gr^oriennes. Hais lors de la Réforme Grégorienne, au lieu d'a?ancer la N. L. d'jn jour au bout de 312 ans if"! (36), pour se conformer à Y Equation lunaire, on Ta fait avancer d'un jour au bout de 300 ans seulement , en nombre rond ('); c'a été 12 ans 1/2 trop 161 par chaque avanceraenl ou Proemplou , et à la S**, celte Procmplosc aurait eu lieu iOO ans trop tôt, et ainsi il a fallu la placer 400 ans après la 7* : il faul donc diminuer d'un jour la date de la nouvelle lune 7 fois à 300 ans de dislance, et une 8' fois après 400 ans seulement. C'est sur ces deux opérations de Mélemplose et de Proemplose qu'est fondé le système des Epaeles Grégoriennes que nous allons faire connaître. • — On a fixé ces changements aux années qui 9 sont les centièmes ou les dernières des siècles, non pas » qu'on ail marqué un changement à la fin de chaque 9 siècle : mais toutes les fois qu'il y en a d'indiqué , c'est n toujours dans ces années, parce que ces années sont » plus remarquables que les autres (Rivard.arl. 93). »

(«) Rivani, art. 96.

Des nouvelles Epaeies

38^. Nous avons vu que la mélbode dîlc des Epaeies, mcnlionuëe par Arago, n*avail cependant élé suivie que par les cbréliens d*Egyple(2i)), concurremment avec les 19 N. d*or; et ces N. d*or et Epacles n*étaient placés que devant certains jours constants de Tannée où l'on croyait que les N. L. pouvaient seulement revenir; il n'y avait, par exemple , dans janvier, que 19 jours qui eussent ces nombres; mais maintenant que nous savons que les N. L. avanceront d*un jour au bout de 312 » 1/2, et qu'elles retarderont d'un jour par la suppression de certains bisseitils, on conçoit que les N. L. pourront tomber sur tous les jours de Tannée, et que les 19 nombres précédents, y compris 0, ne suffiront plus pour marquer ces N. L., et c'est ce qui a donné l'idée des 30 nombres Epaclaux.

Voici ce que dit Horéri à Tarticle de Giraldi (Lilio Grégorio) dont nous avons déjà parlé (34) : « Ce fut lui qui » inventa les 30 nombres épactaux commençant à 30 au » 1*' jour de janvier, et allant toujours en diminuant «jusqu'à 1, pour suppléer le N. d'or et désigner exacte* » ment les nouvelles lunes. Il fit aussi un traité pour la » réforme du calendrier que son frère Litio Antonio pré- » scnta au pape Grégoire XIII, et qui fut suivi, après » Tavoir communiqué à tous les princes chrétiens et aux » plus savantes Universités de TEurope. »

Nous avons donné ci* dessus (17) la succession des 19 épactes correspondantes aux 19 Nombres d'or de Melon, progression par différence de -h 11 — 30 p , et les deux premières épactes ont été 0 et 11; mais maintenant que Ton considère 30 épactes au lieu de 19 seulement, après Tépacte 18 viendra pour 20* année : 18 + 11 ou 29 , et d'après la loi de lu progression, la 30"* épacle sera 19; la

31« sera 30 an 0, comme le montre le lablcau suivant, et la série recommencera.

N. d'or. — I, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9, lO.H, 12,13,14,15, 16,17, Fpactes.^ 0,11,22,3,14,25,6.17,28, 9,20, 1,12,23, 4.15,26,

N. d'or. — 18.19, Epictes. ^ 7,18,

an.

20,21,22,23,24,25,26,27,28.29.30, 31 oui.

30ouO.

Du eakul des épacUt, et de la Table étendue des ^pactes, de Clavius,

39*". Il faut donc maintenant avoir une mëlbode pour connaître IVpacte d'une année quelconque. — Nous sauvons déjà que, lorsqu'on connaît Tépacte d*une année, on trouve répacte de l'anpée suivante en augmentant la prc* mière de il unités, sauf le cas où Tannée suivante est lu 19* année du cycle de 19) ans, cas où Tépacte correspondante au Nombre d*or 19, doit élre augmentée de 12 unités. Ainsi d'après les almanachs, Tépacle de 19^1 , Nombre d'or 9, ayant été XXVIII, l'épacte de 1852 est 28+11 = 39 ou IX, à cause du mois intercalé ou emboliemique de 30 jours, à retrancher; mais Tépacte de l'année 1842, Nombre d'or 19, ayant été XVIII, celle de 1843 a été : 18 -f- 12 =3 30 ou 0. Ou pourrait ainsi, en partant de répactc d'une année quelconque et ayant égard aux me- Umptoiee ou retardement de la N. L., d'un jour à chaque année centenaire à bissextiles, et aui Proemptoses, ou avancement de la N. L. d'un jour par 312 ans 1/2, trouver toutes les autres épactes; mais on a dressé une Table étendue des épactes des N. L. d'après les principes ci dessus, pourirouverrépacted'uneannéequelconque, d'après son millésime cl son Nombre d'or.

On a établi d'abord la Table sans application aux années, c'est-à-dire de toile manière que chacun des 19 Nombres d'or corresponde à chacun des trente nombres épactaux

Elle se trouve dans Clavius dont nous ne connaissons

pas Touvrago, dans Pelau (1, p. 375), «lans Rivard (p. 52) et dans Dclambre.

Elle a Ironie colonnes pour les trente nombres ëpactaux de I à XXX, ce dernier élant remplacé par Tastc^risque^ ; et chacune d'elles a une leltre pour indice ou argument; et 19 lignes pour les 49 Nombres d'or.

Petau commence sa table par le Nombre d'or 3 qui convenait à l'annëe 325 du concile de Nicée, puis viennent les Nombres d'or de 4 à 19 , puis 1 et 2; et les 20 letlres indices commenceni par la V petite lellre a pour Tëpacte j ; puis en allant de droilc à gauche par pclil 6 pour épacte îjy.petit c pour épacle iij, et ainsi de suite, en n'employant pas les lettres o ou zéro, x, y^ et z; et pclit u est pour colonne de l'épacte XIX; puis les letlres majuscules A, B, C, D, etc., mais en n'employant pas l.K. qu'on pourrait confondre avec les minuscules; L qui pourrait être pris pour 50, el 0 qui est zéro.

Quant à nous, nous copions la table de Dclambre, verticalement, du N. d'Or 1 au N. d'Or 19; et horizontalement, des col. D,C, B, Â, uetc, en rétrogradant dans l'alphabet.

Pour le Nombre d'or 1, les épactes sont i, XXX ou *, XXiX, XXVIIf, XXVII, etc. et pour Nombre d'or 2, l'épacte du N. d'or I est augmenté de+Il— 30p; elles sont donc : XII, XI, X, IX, VIII, etc.; chaque colonne contient ainsi une progression croibsante par diCférenco de +11 — 30 p.

On y remarque que dans les huit lignes des Nombres d'or au-dessus de U, l'épacte XXV y est écrite en chiffres arabes : 25. On y voit aussi l'épacte XIX, en chiffres arabes 19, h côté de l'épacte XIX du Nombre d'or 19; et nous expliquerons ces deux changements en donnant ci-dessous le calendrier de Grégoire XIII.

Nous avons déjà dit (32) que^ dans Delambre, la Table, après la colonne du Nombre d'or, a une colonne intitulée 1500 avant la Réformation, et portant les 19 Epacles anciennes, à partir de 29.

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40 *. Nous ne donnobs pas en entier la Table étendue des épacies; mais un extrait suffisant, ci-dessus, par les 4 lignes des Nombres d*or : i, 2, 3 et 19, et, en se rappelant que répacte augmente de 11 par année ou par Nombre d'or, la 1'* ligne suffit pour calculer toutes les é|)actes; ainsi dans la colonne B; par exemple, dont Tépacte supérieure : N. d*or 1, est XXIX, celle du N. d'or 1+4 ou 5. seraXXIX-h4xll=29-<-44-«73-30 p=XIII.

Le P. Pelau donne, pour 'le Nombre d'or 3, le Cyclus epactarum perpetuus ou la correspondance de la succession des 30 épactes avec les indices :

*, XI, XXII, III. etc.... VIII, XIX.

F 1 C c etc.... h u

Chacun peut la former; et, au reste, nous n*en voyons pas remploi.

Placement des années dans la Table étendue.

Ai*. La table étendue ainsi construite^ il faut maintenant y adapter convenablement les années : Delambre dit (n* 63) : « La colonne P (dont Tépacte supérieure est » VIII) fut donnée au 6« siècle, c'est-à-dire, qu'elle a servi » depuis Tan &00 jusqu'à 600; les épactes de cette colonne » répondaient alors assez bien aux N. L. ou plutôt les in- » diquaient environ 16 b. trop tard; on ne voulait pas » qu'elles s'accordassent mieux, de peur de se rencontrer, » pour la fêle de Pàquc, avec les Juifs qui se règlent sur » la L. vraie, ni avec certains hérétiques, nommés quarto- 9 décimans, qui se réglaient sur le 14« de la L. vraie, ce » qui aurait été indécent, illivite et sentant le manichéisme, n dit Clavius ('). On ne voulait pas que la L. de Pâques

(*) Livre du Calendrier, p. 59, (édition de Rome de 1603, ou Clavii opéra, lome V, page 55 (Dol.imbre).

n préct'dàl la L. vraie, ce qui serait absurde, dit encore le 9 même auteur; mais qu'elle la suivit, ce quieslplus con- 9 forme à Fusage de t Eglise. >

Nous avons vu que, d'après Denys le Petil, le N. d*or 3 était sur le 1^' janvier (25) pour les années 515, 534, etc., et effeclivement pour ces années qui se trouvent, d'après Delambre, dans la colonne P, le nombre d'or 3 correspond à l'Epacte xï\ + ii ou nx ou *, et d'après cette Epacte, nous allons voir que la N. L. est sur le 1*' janvier du calendrier de Grégoire XIII.

42*. Petau (i, p. 376) et Rivard (p. 56) donnent une Table de F Equation des Epacles, qui montre comment il faudrait placer toutes les années de J.-C. dans les colonnes de la Table élendue des Epactes, et cette nouvelle Table est basée 1« sur ce qu'on a dit des Proewptoses, ou du re^ tard d'un jour, de la N. L. par 300 ans, 7 fois de suite, et la 8« fois après 400 ans (31) : or ce retard augmente sa date et par conséquent l'Epacte, puisque la N. L. se trouve plus éloignée du 1*' janvier; 2<> des Métempioses ou de Vavancemenl d'un jour de la N. L. après chaque suppression d'une bissextile (29); or, cet avancement d'un jour diminue sa date et par conséquent l'Epacle, puisque la N. L. se trouvera rapprochée du 1" janvier. Nous donnons celle table, en changeant l'ordre de ses colonnes et en y en ajoutant quelques-unes. Voici la nôtre :

r* colonne (2* de l'auleur) : pour les années avant la Réformation Grégorienne; c'est l'an T'de Jésus-Christ, puis les années 200, 500, 800 et 1100, de 300 en 300 ans, et de 1400 à 1582; et pour les années Grégoriennes, c'est 1582, puis 1600^ ensuite de 100 en 100 ans; nous nous arrêtons à 5500, et la table se continuera facilement;

2« colonne, 4* de l'auteur : pour l'augmentation d'un jour dans rEpaclc, produite par la Proemplose;

3' colonne, 3' de Tanlcur : pour la diminulion d'un jour dans rEpacle, produite par la Mélemptose, mais non dans Tannée centenaire bissextile;

4* colonne : Petau a une colonne intitulée : Dies omissi prœler 10^ et elle contient, à partir de 1700, la somnne des jours , c'est-à-dire des bissextiles supprimées; mais nous faisons partir cette colonne de 1582, el y portons déjà les 10 jours supprimés alors ; et la colonne, contenant toute la somme do jours supprimés, elle donnera toujours la différence de date entre im jour du calendrier Julien (des Russes et Grecs) et le même jour de notre calendrier Grégorien. Nous retrouverons cette colonne dans Noire démonstralion des formules de Gauss pour la Pàque Grégorienne; et au 1*' mars 3100, on aura, comme ici, 22 jours supprimés. Pour le siècle courant, de 1800 à 1899, par exemple, la somme des jours supprimés avant le 1*' mars est 12, et les Russes et Grecs ont daté ainsi :

mars

.« 1800; et cette indication de 12 jours de différence

se continue pour tout le siècle.

Au 1*' mars 5500, il y aura eu 40 jours supprimés; et au 1*' mars 8100^ 59 jours;

5* colonne : pour la somme ou bien le résultat des colonnes 2 et 3; résultat qui se montre dans col. 6 et 7;

6"* colonne : pour la lellre ou Vindice de la colonne où placer le siècle ou les siècles de la l'* colonne ; c'est la 1'* colonne do Rivard; le changement de lettre est une conséquence de la colonne 5 ;

7' colonne : pour TEpacte supérieure de la 6* colonne;

la série croissante d'abord , puis décroissante^ est aussi

une conséquence de la colonne 5.

43^. Voyons maintenant le placement des années : Nous venons de voir dans Delambre que la colonne P

a servi de Tan 500 à Tan 600; et Rivar^l place aussi dans

celle colonne les deux siècles suivants, de 600 à 799.

En remonlant dans les siècles, les 3, de 200 à 499. seront placés dans la colonne qui suil celle de P, c est- À-dire dans A, et les 2 siècles , de 1 à 299 , seront placés dans celle qui suil N^ c*esl-à-dire dans Af .

Et en descendant dans les siècles, les 3, de 800 à 1099, seront placés dans la colonne de Clavius qui précède P, c'est-à-dire dans a ; les 3 , de 1100 à 1399, dans celle qui précède a, c'est-à-dire dans 6 ; et enfin les années de 1400 à 1582 Juliennes, dans c.

A partir du 15 octobre 1582, chaque ligne, et ce sera par siècle à partir de 1600, pourra être soumise à la Proemplose et à la Mélemplose, et c'est alors que la i* colonne de la nouvelle Table .commence à servir.

Comme après Tan 1400, la Proemplose passe à 400 ans, c'est-à-dire à Tan 1800, cette Proemplose est ainsi une 8*; et la 8« ensuite est bien sur Tan 1800 + 3 x 700 + 400

A l'arrivée à la Réforme Grégorienne, les Proemploses et Mélemploses ne sont pas seules à considérer; il faut se rappeler qu'on a retranché 10 jours, et passer do la colonne c, Epacte supérieure xi, a une Epacle = XI — 10 ou I, ce qui renvoie à la colonne D; et c'est à partir de cette colonne qu'on emploie les Mélemploses.

Nous ne continuerons pas le placement des années, qui n'offre aucune difficulté :

en plaçant la Proemplose ou le -h 1, colonne 2, 7 fois, de 3 en 3 siècles, et une 8" fois après 400 ans;

en plaçant la Hétemplose ou — 1, colonne 3, à la suppression de chaque bissextile;

et pour chaque ligne, portant dans la 5' colonne le résultat de -h 1 et de — 1.

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