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45*. Après avoir décril sa Table des Equations des Epacles, Rivard dil (page 55) :

« Quant au signe -f- , qui rcvion! après 10000 (el qui » est à 11800), c^csl pour nriarquer que les letlres indices n reviennent dans le mémo ordre après 10000, quoique 9 ce ne soit pas les mêmes. Elles seraient les mêmes, )) seulement après Irois cent mille ans, comme on peut » le voir dans Touvrage de Clavius sur le Calendrier, à la % fin du onzième chapitre. »

Rivard donne le placement des années jusqu'à 12500; mais Delambre dit que Clavius lui-mime fait retnarquer que cet arrangement n*esl exact que jusqu'à Tan 8100; nous nous sommes arrêté à Tan 8!200, colonne E; Petau va jusqu'à 8100.

La Table semble donner les Epactes do Tan 1^^ à Tan 1582 Julien; mais nous allons voir (71) qu'elle ne peut servir que jusqu'à Tan 532.

Des défauts du nouveau calendrier,

46"" L'Art de vérifier signale plusieurs défauts de noire nouveau calendrier :

« V II parait qu'au lieu de retrancher 3 années (ou )) mieux Z jours) bissextils sur 4 années séculaires, il eût » été plus exact d'en supprimer un tous les 128 ans. T. 1) Par notre calendrier, l'année... est plus longue, par • conséquent, qu'elle ne devrait éiro, d'environ 27 soft condes. d

2» Dans notre calendrier et par les Epactes , on considère la durée moyenne des révolutions de la lune; les astronomes calculent les mouvements vrais; d*ailleurs, le calendrier marque la N. L. lorsqu'on est censé apercevoir le 1*' filet de la lumière; et c'est 2 jours après le moment même de sa conjonction avec le soleil.

^^ Cepcndanl , la Réforme ne pul faire que TEquinoxe tombal toujours sur le 21 mars. L'Art de vérifier (§ 20) dit qu*en 1724 TEquinoxe, du 20 mars au malin, plaçait la P. L. suivanlc sur le samedi, 8 avril, et la Pàque aurait dû être le 9, comme chez les prolestants; et il y aurait aussi des différences en 1744, 1778, J798. Nous reviendrons plus loin sur les calculs des protestants.

On lit dans les Eléments de la chronologie historique, de Scliœll (1, page 58), à propos de TEquinoxe :

«r En 1796, il tomba au 19 mars, à 9 *" 38* du soir; mais » en faisant Tannée séculaire 1800, commune, on fit » retomber TEquinoxe sur le 29 mars à 9 heures du soir; » et maintenant il tombe dans les années communes » au 21, et dans les bissextiles au 20 mars. »

Hais TEglise suppose toujours TEquinoxe au 21 mars pour la fixation de la Pâque.

VArt de vérifier (§ 20) continue :

(( Au reste, ce 3' défaut (du dimanche après la P. L., » mal indiqué par le calendrier), qui résulte évidemment » du 2« (N. L), est inévitable tant qu'on n'aura pas re- ]» cours au calcul pour fixer, en particulier, chaque N. L. » On le diminuerait pourtant beaucoup, si, aux Epactes » des N. L., on substituait celles des P. L., comme le » P. Heliton Ta proposé dans un ouvrage publié il y a )> quelques années sous le titre de Gregoriana correctio » illustrata, ampliata, et àconvieiis vindictita, • in-4«(voir Kivard, art. 110).

4* (( En ordounant une parfaite conformité dans tous » les états catholiques , on n'a pas songé à ceux qui » compleut un jour de plus ou de moins, selon qu'ils ha- 9 bitent à l'Orient ou à TOccident, » Mais chacun compte d'après sa longitude et son soleil, et Vinstantanéité de la cérémonie ne nous semble pas être d'obligation religieuse !

5® .... Les 36 siècles de la Réformalion se termine-

ront vers 5200 de J.-C.^ et alors TEquinoxc aura remonlé d'im jour, malgré les bissextils supprimés; on pourra donc alors en supprimer une nouvelle (Voir dans Y Art de vérifier pour un autre mode de conversion).

Du calendrier de Grégoire Xlll.

47*. Après avoir adopté le système des Epactes de 1 à XXK , on dut établir un calendrier d*après ces Epactes , pour remplacer le vieux calendrier de V Eglise (25 et 27), qui portait, ou les N. d'or, ou, à leur place, les Epactes anciennes.

Nous avons vu que, d*après les Méletnptoses et les Proemptoses, les N. L. pouvaient tomber sur tous les jours de Tannée; ainsi chacun de ces jours doit avoir un des nombres Epactaux ; et cela constitue le calendrier de Grégoire XIII qu'on trouve dans Rivard (page 41) en 3 colonnes seulement , et ailleurs , et dont la colonne des Epactes forme la colonne 4 de nos 1*' et 2'' tableaux.

L'Epacte xxx ou * doit être sur le 1" janvier, et en rétrogradant, les 29 autres, de xxix à 1 , sont sur les jours suivants : du 2 au 30 janvier, puis le xxk ou * doit être sur le 31; mais nous avouons que nous ne concevons pas ce que dit Rivard (art. 79) , que dans certains cas il faut prendre xxx et dans d'autres 0, et qu'ainsi il met l'astérique * pour remplacer l'un et l'autre. Nous l'imiterons cependant, en employant cet astérisque. Mais ici il faut faire remarquer que, si l'on répétait encore onze fois les 30 nombres Epactaux , les 12 séries s'appliqueraient à 360 jours, taudis que Tannée lunaire n'est que de 354 jours, à cause de la succession des mois lunaires alternatifs de 30 et de 29 jours; pour se conformer à celte intermittence, il faut donc que, dans chaque mois lunaire pair, deux Epactes, à choisir convenablement,

soîeiil réunies sur un joiir du mois , do 59 jours en 59 jours, cl le dernier nombre des 12 séries, le nombre 1, se trouvera bien sur le 354< jour de Tannée, le 20 décembre. Plus loin, nous montrerons Tinconvénient de cet accouplement , et le moyen qu'on emploie pour le corriger.

Le P. Petau nous dit que Lilio Grégorio proposait de choisir tout naturellement les 2 N. Epactes : xxx et XXIX pour les accoupler, et elles se seraient trouvées telles sur le 31 janvier et le 31 mars, etc. ; mais nous avons vu (25) que dans le calendrier Nicéen, les mois embolismiques ont été placés, par Denys le Petit , de manière que toutes les L. , commençant du 8 mars au 5 avril ou les L. Pascales, fussent caves: et comme le Pape Grégoire XIII a voulu s'éloigner le moins possible du calendrier Nicéen, ce Pape ei Clavius ont choisi, pour les 2 nombres Epactaux à accoupler, les nombres xxv et xxiv qui satisfont à la susdite condition pour les L. Pascales, comme nous le verrons facilement lorsque nous connaîtrons la concordance des Epactes et des N. d'or; et Y Art de vérifier y etc., porte que :

« Ces lunaisons pleines et caves, qui se succèdent aller- » nativement, ne sont si exactement indiquées par les » Epactes du nouveau calendrier (Grégorien) , que parce » qu'on y a placé les Epactes xxv et xxiv vis-à-vis l'une » de l'autre (ou ensemble) aux jours que nous avons 9 marqués. »

48*. Après avoir placé l'Epacte 1 vîs-à vis le 30 janvier, on recommence donc à placer la série des 30 Nombres à partir du 31 qui reçoit''; puis l'Epacte xxix vis-à-vis le 1" février; en continuant, xxv est vis-à-vis le 5 du mois (36* jour), et l'on y réunit xiiv; et en conlinuanl, toujours ces 2 Epactes xxv et xxiv doivent être de nouveau

réunies, de 59 jours en 59 jours, c*cst-à-dire les 95* jours (5 avril), 154* jour (3 juin), 213* jour (1" août), 272« jour (29 septembre) et 3M^ jour (27 novembre). Après Tannée à Epacle xx, viendra, sauf le cas de sa coïncidence avec le N. d*or 19 que nous allons faire connaître (et ce sera seulement pour des années de 8500 à 8699!) Tannée à Epacte XX + Il = xxx i ou I; la N. L., qui suivra celle du 31 octobre^ sera donc donnée par TEpacte I qui se trouve bien sur le 30 janvier. On arrive ainsi jusqu'au 20 décembre qui reçoit le dernier nombre, Ëpacle I; et les 11 derniers jours reçoivent enfin les mêmes Epactes que les 11 premiers jours de Tannée, et TEpacte xx (la 11*) se trouve sur le 31 décembre. Les années à Tune de ces 11 Epactes (de * à 20) auront donc une 13<' N. L ; ît Ton peut remarquer que, dans les 11 mois autres que février, le 1«' et le dernier jours ont une même Epacle qui est Tune de ces onze.

Rivard dit, article 78, que, d'après la susdite disposition des Epactes, chacune d'elles exprime bien œmbien la Itme a de jours quand l'année commence, et Ârago : que V Epacle esl l'âge de la L. au !«<' janvier. Soit Tannée à Epacte xv, par exemple, ou N. L. sur 16 janvier; Tannée précédente a eu TEpacte iv, ou N. L. sur le 17 décembre, la lunaison a donc eu du 17 au 31 décembre, ou 15 jours écoulés au l«'f janvier.

49^. Les Epactes indiquant les N. L. moyennes ou ecclésiastiques dans le Calendrier perpétuel, lorsqu'on connaît la V^ N. L. de Tannée, la même Epacte fait connaître toutes les autres N. L. de la même année; ainsi, si la l'« N. L. est le 9 janvier, Epacte xxii (Tune des onze), les 12 autres N. L seront les 7 février, 9 mars, 7 avril, 7 mai, 5 juin, 6 juillet, 3 août, 2 septembre, 1*' octobre, 31 octobre, 29 novembre et 29 décembre;

mais il ne faut pas oublier ce qu'a dit Ârago (17), que ces N. L. peuvent différer d'un jour et même de deux des N, L. astronomiques.

Maintenant que notre colonne 4 a reçu les Epactes Grégoriennes, si Ton conopare cette colonne à la colonne 5 des Epactes anciennes (32), du 8 mars au, 5 avril, on remarque que la correspondance des 2 espèces d'Epactes est celle qui existe entre la colonne 1500 avant la Réformation , Epactes 29, 11 , 22, etc. , et la colonne P. de Tan 500 à Tan 799 : Epactes yiii, xix, 0, etc.

D^ Epactes en chiffres arabes,

50* 1* de 25 pour xxv ; nous venons de voir (48) qu'il avait fallu réunir 6 fois deux Epactes sur un même jour, et c'a été les Epactes xxiv et xxv ; mais voici l'inconvénient d'un tel accouplement :

Une des propriétés du cycle de 19 ans de Meton , c'est de ramener les N. L. au même jour après 19 ans seulement, et non pas auparavant; et cependant, parle susdit accouplement, il arriverait que si, dans un même cycle, se trouvaient les 2 Epactes, Tannée à Epacte xxiv aurait les mêmes N. L. que Tannée à Epacte xxv; mais dans la Table étendue des Epactes de Clavius, on remarque que ces 2 Epactes se trouvent en même temps dans chacune des colonnes : B, r, et autres des années 3800 et au-dessus, et qu'alors TEpacte xxv appartient toujours i\ un Nombre d'or > ii; l'Eglise, en prescrivant l'accouplement, a donc prescrit, en même temps, que si, dans un même cycle, on trouvait les deux Epactes xxiv et xxv, cette dernière serait écrite en chiffres arabes : 25, c'est ce qu'on voit dans la Table étendue; et que, dans le calendrier et dans les mois pairs (ou à accouplement), cette Epacte 25, seule employée, et non xxv. serait relevée

d'une ligne et placée à côlé de xxvi; et dans les autres mois (lunaires impairs), elle est écrite à côté de xxv pour éviter la confusion.

51*. (0* 2« De TEpacte 19 pour xrx. « Enfin on » trouvera TEpacle 19 placée à côté de TEpacte xx au » 31 décembre; elle sert seulement lorsque TEpacte xix » concourt avec le Nombre d'or xix (^). Dans cette année, » qui est la dernière des sept embolismiques, à cause du » Nombre d'or xix, la lune, qui commence au second » jour de décembre où se trouve TEpacte xix , doit finir )> au 30 du mois, puisque cette lune ne contient que » 29 jours (art. 49) : par conséquent la nouvelle lune doit » être le 31. Ainsi TEpacte 19 doit aussi se trouver à » côté de ce jour. D'ailleurs, comme on suppose que » TEpacle xix concourt avec le Nombre d'or xix, pour » avoir i'Epacte de l'année suivante , il faut ajouter 12 à » 19 , comme nous le dirons dans la suite, et ôter 30 de 9 la somme 31, et le reste 1 sera TEpacte de celle année. » Or I'Epacte / ne se rencontre pas avant le 30 de janvier. )> C'est pourquoi si on n'avait pas placé 19 au 31 décem- » bre, il n'y aurait point eu de nouvelle lune indiquée «dans le calendrier, depuis le 2 décembre jusqu'au » 30 janvier suivant : ce qui est absurde.

» 52*. (3). Au reste, il n'y a pas lieu de craindre qu'il » y ait deux nouvelles lunes indiquées au 31 décembre, » pendant la Révolution du cycle lunaire, à cause des » deux Epacles 19 et xx qui répondent à ce jour, parce » que I'Epacte xx no se trouve pas dans la suite des

(«) Rivard, art. 80.

(*) C*est dans la colonne D seulement, de la Table dts Epacies ; c'est-â-dire de i582 â 1699, ou en 1595, 1614, 1633, 1652, 1671 et 1690.

(3) Rivard, art. 81.

» Epacles où xix concourt avec le Nombre d'or xix. Celle » suite unique esl marquée D dans la Table élmdue des » Epactes, dont nous parlerons ci-après. La dernière fois » que TEpacle xix a concouru avec le Nombre d or xix , » a été en 1690; et cela n'arrivera pas avant 8500, même a colonne D. »

De FûdoptioB du cakndriei Grégorien.

53^. Le calendrier de Grégoire XIII fut adopté par les Espagnols et Portugais en même temps que par les Italiens, à partir du 5, devenu 15 octobre; en France, à partir du 10, devenu 20 décembre de la même année; en Allemagne, dans les pays catholiques, en 1584, par suite de pressantes sollicitations de Tempereur Rodolphe II qui, cependant, ne âl aucune mention du Pape dans son Rescrit du 4 septembre 1583, adressé h ses Etals héréditaires; eu Pologne, en 1586; mais les prolestants résistèrent longtemps, comme le font encore les Russes et les Grecs; et dès lors il y eut deux calendriers en Europe.

Cependant, le Corps évangélique, à Ratisbonne, prit, en septembre 1699 , un conclusum en vertu duquel : du 18 février 1700, on passerait immédiatement au 1*^ mars, en supprimant aussi la bissextile du 29; et la mémo chose fut exécutée en Hollande, en Danemarck et en Suisse. Mais les protestants (*) ne voulurent pas adopter entièrement le calendrier Grégorien» et ils eurent un calendrier corrigé; ils plaçaient TEquinoie d'après des calculs annuels, du 19 au 23 mars d*après les Tables Rudolfiefmes et Kleppériennes y et déterminaient la P. L.

(<) En 1724 et en 1744, les protestants fêtèrent la Pâque 8 jours avant les catholiques.

pascale aslronoiuiquonicnl; ot YArl de vérifier porte ici :

ic Ils peuvent faire la Pâque avant nous, car leur Equi- » noxe tombant le 19 ou le 20 mars; alors, si la P. L. » arrive l'un de ces 2 jours, un samedi, ils feront Pâque le » lendemain. « Au lieu de l'un de ces 2 jours, il faut né> ccssairement lire * dans l'un de ces 2 cas, et encore faut-il sgouter qu'il s*agil de la P. fi. calculée astronomiquenient, car Téquinoxe sur le 19 ou le 20 mars, au lieu d*être sur le 21, ne pourrait influer que par la N. L. qui tomberait avant le 8 mars.

En 1724, Dominicale B A., ils ont eu TEquinoxe le 19 mars v\ la P. L. astronomique suivante, le 26 mars et nous le 27; leur Terme pascal : 8 avril, G, samedi, en sorte que leur Pâque a eu lieu le lendemain 9 avril, dimanche A; tandis que la nôtre n*a eu lieu que le 16; et en 1744, Dominicale E D, même Equinoxe, et P. L. suivante le 15 mars et non le 16; leur Terme pascal a été le samedi, 28 mars, C, et leur Pâque dès le 29 mars D, tandis que la nôtre n'a été que le 5 avril, D.

Ils auraient eu en 1778, Pâques le 12 avril, dimanche des Rameaux, et en 1798, P. L. des Ephémérides , le 31 mars, à 9 heures du soir et Pâques le 1*' avril d<», même jour que les Juifs; mais pour éviter cette concordance et d'autres inconvénients plus grands encore, dans des pays à population de différentes sectes, la Diète décida, par un conclusum de la fin de novembre 1774 : qu'à f avenir^ ils célébreraient leur Pâque comme les Romains; mais leur calendrier corrigé n'en existe pas moins promsoiremenl, jusqu'à la Réforme même du calendrier Grégorien, qui, comme nous l'avons dit plus haut, a plusieurs défauts.

54*. D'après notre Mémoire sur le calendrier hébraïque, nous trouvons en effet la concordance avec les Juifs comme il suit :

292' Cycle héb. l^'^ année 5559, 1«' Tisri, mardi 265« jour, 22 sep* tembre 1778 (Calendrier no 29).

Et retranchant 222 jours.

La Pâqtie h^b. de 5538 est le 43* jour à partir

du i<^r mars ;

ou le i 2 avril 1778.

293* Cycle héb. 11* année, 5559, l«r Tisri, mardi 254* jour, 11 septembre 1798 (Calendrier n* 18'.

Et retranchant 222 jours.

La Pâque de 5558 est le 32« jour à partir

du l0' mars ;

ou le \«r avril 1798.

Les Anglais ont cédé en 1752, en supprimant 11 jours (leur année 1700 ayant été bissextile); et les Suédois, en 1753, en passant du 17 février au !•' mars.

Ainsi, les Russes et les Grecs sont maintenant les seuls Européens qui aient conservé le cakndrier Julien. A partir de leur^ octobre 1582, leurs dates ont été moindres de 10 jours que les nôtres; comme ils ont fait 1700 bissextil, à parlir de leur 29 février de celle année, leurs dates ont été moindres de 11 jours que les nôtres; et comme ils ont également fait 1800 bissexlil; à parlir de leur 29 février de cette année, leurs dates ont été de 12 jours moindres que les nôtres; et ce jour-là , ils ont

daté : %^^:^^ 1800.

18 mars

De la différence des dates Juliennes et Grégoriennes.

55*. Celte différence est produite (35; : 1» par !a suppression de 10 jours en 1582, etc.; 2^ par la suppression de 3 bissextiles sur 400 ans; et pour calculer cette différence pour une année Grégorienne donnée, il faut d'abord connaître le nombre des bisscxliles supprimées.

Nommons N'(*)ceg bissextiles du 29 février, el l'on a les deux séries parallèles :

En 1600,1700,1800^900,

2400, etc.

Et si Ton lyoute les 10 jours supprimés, on a pour excédant des dates Grégoriennes sur les dates Juliennes :

Au29A$v.del600,1700, 1800, 1900,

w'+io; 10, n, 12, 13,

2400, etc.

16, etc.

ce qui donne bien les 12 jours en 1800, à partir du 29 février.

Pour exprimer ces nombres, nous avons trouvé dans la Correspondance astronomique A\x baron de Zach (1824,

cahier n*» 4, p. 339) la formule /'ËAuf \ sans dé-

\ 4 yq

monstralion; mais nous reconnaissons qu'il faut lire :

/3 k — 5\ ^ Iji lettre s ayant été imprimée au lieu du V 4 /q

chiffre 5 qui lui ressemble beaucoup; et k exprime là le nombre des siècles écoulés, c'est-à-dire le chiffre des centaines; en effet. Ton a :

Et quotient de divUion par 4, OQ ( .^ .4 jn 40 N'+IO , iU, 11, 14, Id,

72, etc.

67, etc.

16, etc.

56*. Pour ne pas avoir besoin de conserver sous ses yeux la série des N', prolongée au besoin, nous allons

(*) Nous avons adopté cette notation N' par analogie à la série des N que Ton trouve dans les formules de Gauss dont nous donnerons peut-être plus tard la démonstration ; notre N' est = N — 2, sauf une erreur dans Gauss, ou p^.ut-étre dans Dclambre.

arriver à une formule simple pour ce nombre de bissextiles supprimées.

Appelons, comme ci-dessus, k la réuniou des deux chiffres de centaines d'années :

Poarl6(i0, 1700. 1800, 1900, K) 16, 17. 18, I», (oQ 16, I6tl.l«t2, I0t3,

24» 25, 26, 27, 24, 24tl,24t2,24t3,

28U0, etc.

28, etc.

el l'on aura :

|4, 5, 6, 7, 18, », 10, II, 112, etc. i4, 4tl, 4-^2. 4t3,|8, S-f-I, 8ri, 8t3,|l2, etc.

Mettons ces valeurs de k — 16 sous la forme de 4 s' + b', que nous emploierons aussi pour a, et cela exige que Ton ait :

Pour

s' etb'

Rapportons N' =

Et Ton a W— b's=