II
Permanence de la vitesse et des pôles de rotation.
(8) Les dimensions de la terre étant petites relativement aux distances des astres qui agissent sur ses différents points, on pourra toujours réduire H en une série convergente, ordonnée suivant les puissances négatives de ces distances. Les termes de cette série renfermeront des sinus ou cosinus des multiples de ^ et de a bp, provenant des valeurs de 0, + et <p, et ils varieront en outre en raison du mouvement des astres auxquels on aura égard. Ils seront tous très-petits; et parmi les termes correspondants des valeurs de dn , df, etc., on devra rejeter ceux dont la période sera d’un jour ou d’un sous-multiple du jour, et ne conserver que les termes constants. s’il en existait, ou bien les termes à longues périodes qui acquerront par l’intégration de petits diviseurs, capa-
blés de les rendre sensibles dans les valeurs de n,f 9 etc. Gela posé, occupons-nous d’abord de la formule (8).
Si l’on ne tient compte que de la première puissance des forces perturbatrices, et si l’on regarde conséquemment dans cette formule, n,f, etc., comme des constantes, la différentiation relative à ^ n’y laissera subsister que des termes périodiques dépendants de nt, ou d’autres termes dépendants de abntet affectés du facteur a b, de sorte que les uns et les autres resteront insensibles après l’intégration. A la vérité, la valeur numérique de ab est telle que abnt ne surpasse le moyen mouvement du soleil que d’environ un septième; il en résulte que les termes qui auront pour argument abnt moins ce moyen mouvement seront sept fois plus grands dans l’intégrale de la formule (8) que dans l’expression de ~ ; mais
on verra bientôt quils sont si petits dans le devéloppement de H, que cette circonstance particulière ne peut les rendre aucunement appréciables dans la valeur de n, ni même dans celle de p qui s’en déduit par une seconde intégration.
Nous pouvons donc, sans crainte d’erreur, considérer comme constante la valeur de n qui résulte de l’équation (8). S il ne s agissait que de cette quantité, il ne serait pas nécessaire de considérer les termes de iî, d’un ordre supérieur au premier par rapport aux forces perturbatrices; mais il importe de faire voir que les termes du second ordre ne sauraient non plus devenir sensibles dans la valeur de quoiqu’ils y subissent deux intégrations successives.
(9) Pour le prouver, désignons par 8 f, etc. les
parties de j*, ».,/*, etc., qui sont du même ordre que ces forces, et par et ï'/t les parties de ^ et n qui.soat du
second ordre et qu’il s’agit de considérer. D’après l’équation (8), nous aurons
C d.iïu
d'il ,
dt
d'il
d\j.dn
d\Ldf
d^df d[r.d\^ d\Ldg
ci * d" 1 n N
-*e + dïdi*
On regardera dans ces différences partielles secondes, les quantités n comme constantes, et l’on y fera pr —nt; on traitera de même les seconds membres des équations (7), (8) et (9) pour en déduire par l’intégration, les valeurs de In, If, etc. ; de cette manière, on aura
r d.8*n i d'n f('dn . 1 'd'n fdn j A
0 dt —c dpj) dp ar ^cd^dTj 7^ at . c n ( d'n fdcij. d'n Cdn -*-ABab\d l Ld/'J df at d^dfJTf at )
ab r r d'n w d'n 1 d'n \ rdn ,
C \y d\j. df r ^ d\^df a b d\j.dï) J dn *
C n sm.X \dÿ.dkj dg d\udgj d\ J
C/zsin.A \d\j.d\J dl
D’ailleurs, on a identiquement
~ t. f ri dci fdn \ dn dn dn ab V If—fdJ-'J^-Tc' Tc+-d7 =
le coefficient de f~dt se réduira donc à J dn
dn
dp’’
et la formule précédente pourra s’écrire ainsi :
! ll\ MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE
J /• /*Ja
(io)
dt
oii i’on représente par R une quantité composée de parties qui seront toutes de la forme :
.(^Lf\ p dt—lJLp P ’dt) ;
Y étant un coefficient constant, P et P' désignant deux fonctions de t, pour lesquelles on prendra successivement
d n dtt dfi dit v et dn » ~df et dj~' ’
dçi dct d Cl dçi
~d~g et d\ ’ HT et ~d\'
Cette formula ( io) se compose ainsi de deux parties distinctes que nous allons examiner l’une après l’autre.
(io) Si l’on fait abstraction des termes de la première partie dont les périodes seront d’un jour ou d’un sous-multiple du jour, pour ne conserver que ceux dans lesquels les multiples de nt auront disparu, il est évident qu’il faudra employer en dehors et sous le signe JJ, des termes de dépendants d’un même multiple de nt. Soit donc
Q. = YlcQS.(int-bj abnt -—a t —ê)
-t H'cos f abnt — a 't -—£');
i,j,f étant des nombres entiers ou zéro, H,H', a, a',ê, des constantes données, et a£, a* t, provenant des mouvements des astres qui agissent sur la terre. En négligeant, comme nous le disons, les termes à courte période, nous aurons
■HH'(i+/ai)(i+/'ai)r ffî
i-\rjab
(int+jabnt—ct)'
fq fil ;^‘>'iît>fi soi
et d’après la première partie de la formule (io), on aura en même temps
= H JL r
4 * (i hj—J') ab +l (« — *')
— T j cos. [(j‘~j)abnt -4-'(à — a") ï-h '6'—g];
ou l’on a fait pour abréger
f Vi — - • [ ï ' •' . = i| - C*
(i -h j a b) (i+j’ab) [ r—] --7 Vv1 = ï ^
( i -t -j a £)(*+/' a £) [i i + ( / ■*-/) a b] [a i -t- (j -t -/) ab—*(<x-\- a'JJ
Q+jab — ^ • ; TTti'î >DG-VI
' fi qj'rn^irr: l • i • >
Or, si i n’est pas nul, on aura à peu près I —a et 1=^4
à cause que ab, ^ et ^ sont de petites fractions; si l’on a
i= o, ces quantités I et I f , aussi bien que la fraction ijui
multiplie I, ne pourront devenir très-grandes, a moins que
>r 'duffil U . ‘jftori
parmi les valeurs numériques de jab — -, il y en ait une ou
plusieurs qui soient de très-petites fractions dey ab; ce qui n’a pas lieu , puisque le cas le plus fayprable serait celui où l’on
aurait /= f et ^ égal au moyen mouvement du soleil, cas èyi mnobaînoiaiïfëo >b ;iir,rig;2‘)l)'l : *d
dans lequel a b, — - serait encore un. septième à, p,^ { près de
a b : d’un autre côté, il résulte des expressions de 0^4-et
ü6 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE
(n° 3 ) que les termes de Q. qui renfermeront des sinus ou cosinus de jabnt , auront en même temps pour facteur la puissance j due., ce qui les rendra beaucoup moindres que les autres; la plus grande valeur de à’n, résultant de la formule précédente, aura donc lieu dans le cas dey = o ety'—o, sans que i soit nul ; et elle sera à très-peu près
$'n — ^^7 COS. [(a — a) t g' — g)].
La valeur correspondante de ja- qui s’en déduira par une nouvelle intégration., sera
*> = c . Sin. [(«' - a) t + 6' — e] ;
quantité qui ne pourrait être sensible qu autant que * —a serait du même ordre de grandeur que le produit HH', ou de l’ordre du carré des forces perturbatrices; ce qui ne se rencontre pas dans la nature.
(n) La même analyse s’applique à la partie R de la formule ( îo). Les développements des quantités P et P r auront la même forme que celui de dont ils se déduiront par des différentiations relatives à p, rc, et si l’on ne conserve dans R que les termes qui ne sont pas à courte période, il faudra prendre pour P et P' des termes dépendants d’un même multiple de nt. Soit donc
P=Fcos. {in t-hjabnt — v t —6),
P* = F'cos. {int+j'abnt — a! t —g');
F et F' désignant des coefficients donnés, différents de H et H', et les autres constantes étant les mêmes que précédemment. On aura
i+ja b
in+f
~J ab \ abn — cl' J
—-FF '( - i+ j' ab
\in-\-jabn —a
COS. [(/—/) a b n t -f- («—«'/ + g — g'],
en rejetant le terme dépendant de ü n t dont la période serait d a peu près un demi-jour. En multipliant par une constante y , on aura la partie correspondante Je R ; d’où l’on conclura ensuite
n = T *?„. 1 sin. [(/—/) abnt+{a—a)t + e — ë’], oii l’on a fait pour abréger
Çi+jai- ï) (i + j'a [r/—/> « -I- i («—«')]
Si l’on a /=o et j'=o y les coëffîcients F et F 7 seront indépendants de e ou de/et/*' ; mais si i est nul en même temps, cette valeur de S 1 n s’évanouira, et si l’on n’a pas i= o, on aura à très-peu près
i’ n = sin. [O — a') t + ë — ë'] ;
quantité du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, comme avant l’intégration. La différence «—a'n’étant pas de cet ordre de petitesse, la valeur correspondante de sera encore insensible.
Si l’on ay = i et/= t, et qu’on prenne
p p/ dç\
df' r —df"
les coefficients F et F' seront aussi indépendants de /et f.
û8 MEMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE
On devra prendre en même temps
Tl
par conséquent on aura
^ n F F '(i -b a b) sin. [(g — «') t + € — 6']
2AB abnÇi-+-ah — Çi+ab ——^
Lorsque i ne sera pas nul, cette quantité sera du'second ordre, et son intégrale ou la valeur de £ 2 p.,ne pouvant s’abaisser qu’au premier, sera insensible comme précédemment. Dans le cas de ^=0, nous aurons
F F' sin. [(« — g.')t-hG —g']~
2 AB/2 Ça b — ^ Ça b — — ^
et en même temps
^ 2 FF'cos. [(g—«') t+ g — g']
îABoQii— (ab— i) («'—«)
En supposant le diviseur a' — a de l’ordre des forces perturbatrices, on pourrait croire que la petitesse des deux autres
diviseurs ab — ^ et b —^ suffirait pour rendre sensible cette
dernière quantité ; mais il n’en est pas ainsi parce que, dans le cas de i=o , les coefficients F et F' sont tout-à-fait insensibles, comme on le verra bientôt.
Cette discussion et celle du n° précédent prouvent donc qu’aucun terme de la formule (10) ne peut s’abaisser au premier ordre par une intégration , ni de deux ordres par deux intégrations, et qu’il n’y a non plus aucune circonstance numérique qui puisse, malgré cela, rendre sensibles quel-
AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITE. 2g
ques termes de En rapprochant cette conséquence de celle du n° 8 , il en résulte que la quantité n doit être regardée comme invariable, et la quantité (/. comme proportionnelle au temps ou égale à n t.
(la) Pour déterminer les variations de fetf, d’où dépendent celles des pôles à la surface de la terre, il est nécessaire d’effectuer le développement de Ù que nous avons seulement supposé jusqu’à présent. Soit donc L la masse de l’un des astres qui agissent sur le sphéroïde terrestre; a, g, y les coordonnées du centre de gravité de L, rapportées respectivement aux axes des moments d’inertie A,B, C; .z 0 j,, les trois coordonnées relatives à ces mêmes axes, d’un point quelconque de la terre; et dm l’élément de sa masse. L’attraction étant en raison inverse du carré des distances,, la partie de a relative à l’astre L, aura pour expression •
Ht
h dii
en étendant l'intégrale à la masse entière de la terre. Chaque astre que l’on voudra considérer donnera lieu à un terme semblable. Pour avoir égard à sa non-sphéricité, il faudrait remplacer L par l’élément de sa masse, et intégrer dans toute son étendué; mais il est facile de s’assurer que le terme dont le précédent se trouverait augmenté, peut être négligé à l’égard de celui-ci, l’un étant à l’autre dans le rapport du carré du rayon de l’astre au carré de sa distance à la terre. Dans la question qui nous occupe, les astres que l’on considère sont le soleil à cause de la grandeur de sa masse, et la lune à raison de sa proximité de la terre.
D’après les propriétés du centre de gravité et des axes
3q MÉMQIfcp/SUR LE MOUVEMENT D-E LA.. TÇ.hRE
principaux , on a
J^x l dm = o^ Jy 1 dmz==yo, Jz,dni^= o;
Jx t y,dm = o, Jx,z,dm = o, Jy, z,d?n — 0.
Si donc On appelle £ et r, les distantes deTastfe L et de i’element dm au centre de gravité de la terre, en sorte que nous ayons
ol -h fr‘-i y a — & 1 ', x ? -*-'y? + : « I * = /* x a -, et que l’on, djéveloppe suivant lps puissances de #*,/., z,, la quantité .comprise sous le signe* J, on aura
-+- ^ Çyjx' dm è J y* dm + y 2 Jz 1 i dm'j-t- D,
en désignant par D la partie de il qui résulterait des termes dp;t/x>iè)dépensions et au-dessus par rapport à x^y, y z,. Les couiidoi^ipus dépendront des. angles 6, f, ç, et par
suite des quantités n, e, c, \yg, l; la distance S en sera indépendante; et comme on n’a besoin que des différences partieXles de ü relatives à ces quantités, on pourra supprimer les,termes de sa,,valeur qui ne contiennent que L Mettant dppç <ü l —j a? -H - £ 2 4 \a *pl^ce de y 2 ,, et:observant qu’on a (n° 5)
fa#/ — z ') dm = C -T- A, dm=^C — B,
il eiï résultera
AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVIT^. 3l
Supposons que L soit la masse du soleil, et désignons par m et p sa vitesse angulaire et sa distance moyenne, de sorte qu’en négligeant la masse de la terre par rapport à L, on
ait • ' ' ; - 1 ' :
Désignons aussi, relativement à la lune, par L', p',
les quantités analogues à L, p, soit le rapport des
fractions et ~r dui mesurent lés actions de la lune et du
soleil, perturbatrices du mouvement de la terre, ou autrement dit, faisons
En ayant égard en même temps T cés ; deux forces, la valeur complète de Q. sera
(i 3 ) La quantité D se composera maintenant de deux séries très-convergentes, l’une relative à l’action du soleil et l’autre à l’action de la lune. Pour en simplifier le calcul, nous considérerons la terre comme un sphéroïde recouvert en très-grande partie d une couche fluide en équilibre lorsqu’on a seulement égard à la pesanteur et à la force centrifuge; et nous ferons usage de la formule connue qui se rapporte aux attractions de semblables corps (*).
(*) Mécanique céleste, tome II, page io3.
3ü MEMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE
Supposons donc que le rayon r 0 dont l’origine est au centre de gravité de la terre, appartienne à un point de sa surface, dont v x et u x seront la longitude et la latitude; désignons par r le rayon moyen de la terre, et faisons
r\ = r'(i + Y,+ Y 3 -h Y 4 + .-t- Y, + etc.);
Y, étant une fonction rationnelle, entière et du degré i des trois quantités cos. sin. w, sin. , sin. w, cos.i;,, qui satisfait en outre à cette équation aux différences partielles :
flLsin
dYi
sin.’a d'v J
Supposons aussi le centre du soleil situé sur le prolongement du rayon de manière que ses trois coordonnées a, 6, y, aient pour valeurs
*.= £sin. u t sin. , g = £sin. w,cos. v,, y= 8 cos.u l .
Enfin désignons jpar M la masse de la terre, et par 7 le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l’équateur. D’après la formule citée, on aura
- ML MLr-
[ixteos.-tt, —i) + Y, + ÇY,
■ etc.J ,
pour la partie de fi relative à l’action du soleil.
Si l’on met dans la première valeur de fi en série du n" précédent,à la place de a, g, y, leurs valeurs, et qu’on la compare ensuite à celle-ci, on en concfura
(3sin. I w, sin.*^— i) Jx* dm -h ^-^sin.’w.cos. 1 v t — i) j'y'dm + f^cos.’w,— i) j'z, 1 dm=Mr 1 [j^(cos. 2 u, — j ) h- Y,], et en outre
D =—3^— (Y, + y Y 4 -Ketc.)-
La partie de D relative à l’action de la lune se déduira de cette dernière formule, en y changeant L et £ en L' et et supposant que les angles u t et v t répondent à la direction de son rayon vecteur.
Si la terre était elliptique, la quantité Y, subsisterait seule dans l’expression de son rayon variable, et toutes les suivantes Y 3 , Y 4 , etc., seraient milles. L’ensemble des nombreuses mesures des degrés et du pendule que l’on a faites, s’écartant fort peu de cette hypothèse, il en faut conclure que Y 3 , Y 4 ,etc., sont,sinon égales à zéro, du moins très-petites par rapporta Y,. D’ailleurs elles sont multipliées dansa,
une fois, deux fois, etc., de plus que Y, par j ou ^ , c’est-à-
dire par la parallaxe du soleil ou de la lune; il en résulte donc, pour cette double raison, que la partie D de la formule (il) sera très-petite relativement à l’autre partie, dépendante de C — A et C — B, qui formera à très-peu près la valeur de Cl. Néanmoins nous conserverons, pour plus d’exactitude, la partie D réduite à son premier terme.
En regardant la terre comme un solide de révolution, la quantité Y 3 que ce ternie contient, aura pour expression :
Y,=SGcos.’«,-4cos .».)=5 (£t-&);
34' mémoire sur le mouvement de la terre i étant une constante dépendante de la différence d’aplatissement des deux hémisphères, qu’on devra supposer peu considérable par rapport à l’aplatissement moyen, et, par exemple, au-dessous d’un dix-millième. Faisons en outre
n étant une quantité qui diffère peu de l’unité d’après l’observation. ; Si l’on forme les parties de D relatives aux actions du soleil et de la lune; que l’on élimine les masses L et L' comme précédemment, et ia masse M au moyen de cette dernière équation , on aura
4 Cm
5 r' p 3 f wr' p /a y' 3
5 wr'p' 3 y'
Cette valeur de D suffira, en général, à l’objet que nous nous proposons; elle ne contient, comme on voit, que des puissances impaires de y et y' ; elle renfermerait des puissances semblables des autres coordônnées a, a', 6,6', si l’on avait égard à 1 a non-symétrie de la terre autour de son axe : nous donnerons plus Las un exemple du peu d’influence sur le mouvement de la terre, des termes de D qui résulteraient de cette considération.
(i 4 ) La valeur la plus générale de Y 2 est de la forme :
Y, = ■/}(-£ — cos. 2 -h7i / sin. 2 n l cos.2v 1 + ri"sin. 2 u x sin.2v t
+ /'sin. 2M, cos. v, -+- 7 ) iy sin. 2 u t sin. v t ;
y",?T, étant cinq coefficients constants. En la substituant dans l’équation (12), on en conclura en premier lieu
ce qui provient de ce que les droites d’où les angles u, et v, sont comptés, sont des axes principaux. Si L’on exprime ensuite les intégrales que cette équation renferme, au moyen des moments d’inertie A, B, C (n° 5 ), on trouvera quelle peut s’écrire ainsi :
|(2C—A — B){| — cos.’m,) -h 7(A—B) sin/w, cos. 2v t
=Mr h (n — 7x)(t — cos. 1 ) + Mr'* V sin. 1 w, cos. 2 v t .
Elle se décomposera donc en deux autres, savoir :
2C—A — B = | Mr' , (n — {%).
L’aplatissement d’un méridien quelconque, résultant de la valeur de Y,, sera exprimé par n 4-r/co$. nv t . D’après les observations du pendule, il est sensiblement le même pour tous les méridiens ; il faut donc que V soit très-petit par rapport à », et aussi par rapport à *—7^, parce que n’est pas le tiers de » ; par conséquent la différence B—A est très-petite relativement à 2 C — A—B, et aussi à l’égard de chacune des différences C—A et C — B.
La dernière équation, mise sous la forme
au moyen de la valeur de C du n° précédent, nous sera utile dans la suite de ce Mémoire.
(i 5 ) Cela posé, si nous désignons par 2, les trois coordonnées rectangulaires du centre du soleiL, relatives à des axes menés par le centre de la terre suivant des directions fixes; que nous prenions pour celui des x y la droite d’où l’on compte l’angle et pour celui de z la droite per-
36 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE pencLculaire au plan de cet angle (n° i), nous aurons, d’après les formules de la transformation des coordonnées, a = x (cos. G sin. 4 sin. 9 -+- cos. 4 cos. 9)
4 -/(cos.G cos. 4 sin.9 — sin.^cos. 9)—■ 5;sin. G sin. 9, ê =x (cos. G sin. 4 cos. 9 — cos. 4 sin. 9)
+ /(cos. G cos.4 cos. 9 h- sin. 4 sin. 9)—zsin.Gcos. 9, y = #sin. Gsin. 4 + /sin. G cos. 4 -t-zcos. G.
On en déduira a',ê',y', en y remplaçant a?,/,z, par les coordonnées analogues du centre de la lune que nous représenterons par #',/', z'.
Nous supprimerons, comme plus haut, dans les différences partielles de 12, les termes dépendants de l’angle nt-±- 1 . Or, en considérant les valeurs de G, 4 et 9 données par les équations (4), il est facile de voir que les parties de a 2 , 6% y 3 , y, et de semblables quantités relatives à la lune, qui dépendront de la première puissance de e, ne contiendront que des puissances impaires de nt+l ; il en sera de même à l’égard de la partie de 12, linéaire par rapport kf et/", et résultant des formules (11) et (1 3 ) ; donc aussi les valeurs
correspondantes de ne renfermeront que des ter¬
mes à courte période, et devront être entièrement supprimées. Ainsi en négligeant les termes qui ont pour facteur /ou /', les équations (9) se réduiront à
df= o df' = o;
et dans cette première approximation, les quantités/'et f seront constantes abstraction faite des termes insensibles dont la période est un jour ou un sous-multiple du jour.
(16) Si l’on tenait compte de la non-symétrie de la terre
AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITE. 3g
autour de son axe, cette circonstance introduirait dans D des puissances impaires de a,a',6,6', qui donneraient lieu a des termes indépendants de n t + / parmi ceux du premier ordre par rapport a e. Il est bon d’en apprécier l’influence, et de montrer quelle serait tout-à-fait insensible.
Pour cela, soit
psin. w, cos.
un des ternies de Y 3 dus a cette cause; p étant un coefficient constant, tres-petit par rapport à l’aplatissement de la terre, et, p?.r exemple, au-dessous d’un dix-millième. La partie correspondante de D ou de ü, sera
en faisant, pour abréger,
et d après les quantités qui entrent dans s et s', on peut les évaluer avec une approximation suffisante, à
En mettant pour a et a.’ leurs valeurs, après y avoir substitué celles de 0, <|> et 9, on trouvera que la partie de n linéaire en/’et f\ et indépendante de l’angle /, se com¬
posera de termes de cette forme :
fc^WN/+ N'/'jcos.^ènî-vf-c,)
+ s (Qf+ Q/ )cos. {abnt —v' t —<?')];
les coefficients constants N, N', Q , étant des fractions peu
considérables à cause des facteurs a ou b qu’ils renfermeront; v,v', c l et c', désignant aussi des constantes données, et vt provenant du mouvement du soleil, et v ' t de celui de la lune. En faisant en dehors des cosinus A = B = C et abn = m, ce qui est suffisamment exact, la première équation (g) donnera
df— — [.y N' cos.(ab n t —v£—c,)
-h s Q'cos .{abnt — V t —c')]^/?* ndt r
et en intégrant
f— p, n N'sin. ( abnt — vt — c t )
-f- ■ m ,— Q' sin .(abnt — V t — c)\
La valeur de f\ donnée par la seconde équation (9), se déduira de celle de f , en changeant le signe, et y mettant N et Q à la place de N' et Q'. Il suffira d’examiner la valeur de/
Le diviseur v — abn aura la plus petite valeur quand vt sera le moyen mouvement du soleil; il sera alors égal à environ un septième de m, et l’on aura
Si Vt est le moyen mouvement de la lune, ou treize fois celui du soleil, il en résultera
v —abn 120
Cette dernière quantité sera à peu près douze fois plus grande, lorsque V t sera le moyen mouvement du périgée ou du nœud
AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITE. 4l
de la lune; mais dans ce cas, le coefficient Q' par lequel elle est multipliée aura pour facteur l’excentricité ou l’inclinaison de l’orbite lunaire sur l’écliptique. Tout cela joint à la peti 1 -
tesse du facteur p, nous fait voir que le rapport résultant
de la formule précédente , ne sera qu’une fraction insensible qui ne s’élèvera pas à un millionième. Il en sera de même à
1 egard de — ; d’ou nous concluons que la non symétrie de
la terre autour de son axe ne fera pas varier sensiblement les quantités/et/; ce qu’il s’agissait de démontrer.
D’après la valeur précédente de a, les coëfficients que nous avons représentés par F et F' à la fin du n° 11, auront pour expressions :
F = ^> icN r== ^> lcN n ' n 1
ce qui justifie ce que nous avons dit sur le degré de petitesse de ces quantités et du terme de 8 1 ^ qui dépend de leur produit.
(17) Si nous voulons connaître les inégalités séculaires qui peuvent affecter les valeurs de/et/', il faudra conserver dans les seconds membres des équations (9) les termes qui renferment les premières puissances de ces quantités, et dont les coëfficients sont indépendants, non-seulement de nt + /, mais encore de l’angle a b (nt •+- c), des moyens mouvements du soleil et de la lune, et de ceux du périgée et du nœud de l’orbite lunaire, afin qu’on puisse les considérer comme constants. Les termes qui renferment n indépendamment de nt dans les valeurs de 6, ^ et ç ayant pour facteur
e, il en sera de même à l’égard de par conséquent les
4a MEMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE
seconds termes des formules (9) seront du deuxième ordre par rapport à fetf\ et, comme tels, devront être négligés. On ne conservera donc que les premiers qui de'pendront de la partie de H dépendante du carre' de e.
Pour l’obtenir, prenons le plan de l’écliptique à une époque déterminée pour celui des j, sur lequel on compte l’angle + ; ce qui permettra de supprimer l’ordonnée z, dans les valeurs de a, 6, y. Si nous négligeons, en outre, l’excentricité de l’orbite solaire, et que nous représentions par v la longitude du soleil, comptée de la même origine que mais en sens contraire de cet angle, nous aurons
£=:p, ^ = pcos.'i;, j=rsin.o>, z= o; •
d’où il résultera (n° i5)
a=p[sin.( / u 4- <J/)cos. 9 sin. 9 -h cos. (v 4- <|/)cos. 9,],
6 = p[sin.('y 4- <]/)cos. 9 cos. 9—cos.(i> -h ^)sin.(p], y === p si n. ( 4 - <j>) sin. G ;
formules dans lesquelles v 4- <|> sera la longitude du soleil, comptée du nœud descendant de l’équateur. En rejetant les termes dépendants de cet angle, on aura simplement
a 2 =7 p 2 (cos . 2 6 cos.*9 4- sin . 2 9) ,ê 2 =7 p 2 (cos . 2 9 sin. 2 9 4- cos. 2 9);
et Tes puissances impaires de y qui entrent dans la formule (i 3 ) seront égales à zéro.
Je substitue dans a 2 pour 9 et 9 leurs valeurs; je néglige les puissances de e supérieures au carré, ainsi que les termes dépendants de l’angle ab(nt-hc), ce qui fera disparaître les premières puissances de k et À'; de cette manière, il vient
* ,== 7 p* [cos. 2 x cos. * (11 1 1) 4 -sin 2 («£ 4- /)]
— ~Tn 7 K iCOS -’* + t^'cos. sx h- [A'(i 4- cos. 2 x)—2Â*X'cos. 2 x]sin. 2(« t-\- /) 4- (k 1 * cos.*X — h COS. 2 X— k 1 COS. 2X) cos. 2 (/l £ 4- /)j ; et l’on aura en même temps
£= g^[ B ( G — A ) 4 - A ( c — B ) — C ( B —A)cos.2(rcf 4 - /)], h. =-g^-sin. 2 (wf+/)»
^ ,= = — A) 4 - A(C — B) 4- C(B— A)cos .^(nt 4 - /)],
^ ,=:: ^-C^[B(C— A) + A (C—B) — C(B—A) cos. 2 (nt 4 - /)], X'^'=^*[B(C—A) 4 - A(C — B)]sin. 2 (nt 4- /);
au moyen de quoi, Ton trouve
2 A (G — B) p a c*sin.*X
en supprimant la partie indépendante de e, qui disparaîtrait par les différentiations relatives à fe t/', et négligeant les termes dépendants de ni 4- L On trouvera de même
B(C — A) p’e a sin. a X
Si l’on néglige l’excentricité et l’inclinaison de l’orbite lunaire, les valeurs de a ' 2 et ê ' 2 se déduiront des précédentes en y changeant p en p'; l’ordonnée y' sera nulle ainsi que y, et par suite la valeur de D donnée par la formule (i 3 ). En vertu de l’équation (11), on aura donc
fl = 3OT ’ ( , 1 6^ Sin ' n ( A + B ) (C- A )(C-B)(/‘ +/'•). Par conséquent, les équations (9) deviendront df— — A mfdty df l = t^mfdt, en faisant pour abréger,
(A + B ) ( C-A )(c -B) (l+M)8in , x=A;
et si nous désignons par E et T les deux constantes arbitraires , nous aurons en intégrant :
f— n E cos. (Amf + r), f'=znTL sin. (A m t r ).
D’après les données qu’on a sur les quantités qui entrent dans A, la période de ces inégalités séculaires de fe t f surpasserait cent millions d’années : si elles étaient sensibles, ce seraient les plus lentes de toutes celles qui existent dans le système planétaire.
(18) Les valeurs correspondantes de données par
les équations (4) seront
pz=na^QOS.{abnt —A mt —r), q =znbYLs\n;iabnt — A mt — r),
r — n\ i — -- - -t--——cos. liabnt — Amt —r)J*
A cause que abn est un peu plus grand que m , la période des valeurs de p et q sera d’un peu moins d’une année. En désignant par A la distance angulaire de l’axe de rotation à celui du plus grand moment d’inertie C, on aura
sin. A — v/ — = a E ,
autour de son CENTRE DE GRAVITÉ. 45
en négligeant le cube de E, et observant que l»es quantités cl et b sont.a très-peu près égales. Le pôle de rotation décrirait donc chaque année à la surface de la terre un cercle d’un rayon égal à «E, celui de la terre étant pris pour unité; d où il résulterait, dans les latitudes géographiques, une variation annuelle double de aE; or, l’observation n’ayant fait reconnaître aucune variation sensible dans la latitude d’un même lieu , on en peut conclure que l’angle aE est au-dessous d’une seconde, et en prenant^ pour la valeur de a, d s’ensuit que E est au-dessous d’un dix-millième. Mais il y a heu de penser que cette limite est èncore trop élevée, et que le coefficient a E est du même ordre de petitesse que les forces perturbatrices, c’est-à-dire du même ordre que le produit du rapport ^5-et de l’aplatissement de la terre.
Les termes du développement de ü qui dépendront de l’angle abnt, ayant pour facteur cette quantité aE, on vérifie mamtenant ce que nous avons dit précédemment (n° 8), savoir, qu’ils ne peuvent avoir aucune influence sensible sur l’intégrale seconde de la formule (8), lors même qu’ils acquerront par une double intégration le diviseur (ab — , ce
qui ne les empêchera pas de rester au-dessous de l’ordre de grandeur des forces perturbatrices.
La vitesse de rotation 8 déduite de ces valeurs de p, q,r (n° 1), aura pour expression :
