TT

or, le rapport — , c'est-à-^ire , le coefficient de frottement

de roulement est toujours assez petit par rapport à l'unité pour qu'on puisse négliger son quarré. Prenons , en effet , une surface molle sur laquelle il ait une valeur relative assez grande , celle des routes par exemple. On a vu que ,

ROUTIB. -««TIHAat DM VOtTURES. a^

pour une voiture ordinaire , on avait — = q.o3. On aurait

donc :

Terreur ne serait pas d^un demi-millième , et de plus cette erreur ne changerait pas d'importance avec renfoncement de la roue sur le terrain , car elle ne dépend que

du rapport r^ que l'expérience a démontré invariable. On

peut donc écrire :

D'après cette équation on voit que la résistance au roulement n'est autre choM que la résultante verticale des réactions moléculaires qui otit lieu daiksTétenduedu eontaût , nécessairement égale à la pression, multipliée par sa distance au rayon vertical et divisée par ce rayon. Il ne faudrait pas confondre cette résistance avec la force F. On a bien ici , il est vrai :

mais c'est une circonstance particulière du cas que nous avtHM considéré. C'est là , au reste ^ une erreur théorique jqu'ont commise presque tous ceux qui se sont occupés de cette résistance ; nous venons de voir, en effet , que fat hauteur h de cette force était un infiniment petit qu'on pouvait négliger* Or, il ne faut pas perdre de vue que le oerde en s'avançant tourne autour du point -de contact. Cette hauteur h étant le bras de levier de la force F par rapport àl'ajEe instantané de rotation , cette dernière ne saurait donc avoir aucun leffet pOur avancer ou retarder le corps ; tUe change d'aiilenrs , Suivant les cas^ d'intensité et de di rectîon , comikie oa va le voir dans les" exemples suivants :

Supposons qu^à une dislance e du centre , fig. 3 , il y ait un frottement J^p\ comme celui de Tessieu sur \é moyeu et agissant en sens inv^^e sur ces deux parties. Il est clair qu'on aura encore les deux équations suivantes :

Pour qu'il n'y ait pas translation du centre de gravité :

F=T Pour qu'il n'y ait pas rotation :

d'où ^ ^

Voilà donc cette force horizontale F égale , non-seulement à la résistance du plan , mais à celle de l'essieu ^ c'est-à-dire au frottement de roulement qui a lieu à la bande de la roue augmenté du frottement de glissement qui a lieu à l'essieu.

Appliquons maintenant à la bande de la roue, fig- 4* un autre frottement comme celui d,u frein à enrayer^ et représentons par/^'p" cette nouvelle résistance. Les mêmes raisonnements nous conduiront aux équations :

Cette force F s'est donc encore accrue de cette nouvelle résistance ajoutée à la bande, et elle continuerait de croître ainsi avec toutes celles qui viendraient s'opposer à la rotation de la roue; cependant , cet accroissement aurait une limite F'P égale au frottement de première espèce , à partir de laquelle la roue glisserait sans tourner.

Supposons maintenant, fig. 5, que la roue, au lieu d'être mise en mouvement par une force horizontale T, le soit par un couple dont on pourra transformer les forces de manière que le bras de levier soit le rayon. Pour que l^équilibre subsiste , il faut que la réaction de

ROUTES. TIRAGB DES VOITURES. ag

terrain ne donne lieu qu'à une force verticale P agissant à une distance ^ telle qu'on ait :

P^ ^R=P^ - d'où y =-^

dans ce cas, la composante horizontale est complètement nulle. De sorte que, dans le mouvement uniforme de cette roue, le terrain n>st poussé ni en avant ni en arrière ; il n'est que comprimé. Une locomotive s'avançant seule d'un mouvement uniforme réaliserait cette hypothèse.

Le moteur étant toujours un couple (9, — 9)^ fiS' ^9 supposons la roue retenue en arrière par un tirage qui sera, par exemple, le tirage d'un convoi de waggons. Il est évident que, pour l'équilibre , il faut que la force F agisse maintenant dans le sens du mouvement et soit égale à 9 , pourvu toutefois que d ne dépasse pas F'P, auquel cas la roue glisserait sans avancer.

Dans tous les cas que nous venons de considérer» la ré-

sistance du terrain est toujours mesurée par P -^ • G est

toujours la force verticale égale h la pression agissant à une distance 9 en avant de la normale 3 la force horizontale est variable depuis o jusqu'à F'P et agit tantôt en avant , tantôt en arrière.

Supposons maintenant que le plan sur lequel roule la roue, fig. 7, fasse un angle a avec l'horizon ; la direction du mouvement étant toujours horizontale , la force F agira transversalement au plan de la roue et fera un angle p avep luî^Onaura:

Fcos.î5 = T = P^

F sia. p = P sin. a

F = V/P' sin.' a + T' . tang. p = sin. a-

F = Pv/sîh.*a + —

3o MBMOIRBS ET OOCUMEHTS*

Lorsque le frottement de roulexneat est fort petit , on voit que Tangle a du plan incliné peut erottre presque jusqu'à F', angle du frottement, sans que pour cela le cylindre descende le long de ce plan. Cest ce qu'il est facile de vérifier par Teipérience. Un cylindre poussé ou tiré horizontalement en travers d'un plan incliné roide, sans descendre, quelle que soit l'inclinaison de ce plan (audessous de F ) , tandis qu'un cube qui ne peut que glisser descendra dans les mêmes circonstances. C'est , au -reste, une «cpérience qui se présente tovis les jours aux yeux « dans les rues de Paris; on voit les voitures se mouvoir en ligne droite sur le revers de chaussées trés-inçlinées tandis que les traîneaux tombent sans cesse dans les ruisseaux. Ainsi , dans les chemins de fer, la surélévaticm des rails ( toujours bien au«dessous de ce qu'il faudrait pour incliner les essieux suivant l'angle du frottement) ne peut avoir pour effet de jeter le convoi sur le rail inférieur. Si les roues étaient enrayées , tous les waggons descendraient ."au contraire , immédiatement.

Lorsque le tirage devient oblique au plan de la roue , des effets analogues se produisent ; la nme ne cesse de se ttioavoir dans son pian qu'autant que h eomposanto du tirage qui lui est perpendiculaire approcbe de F'P (*).

Noué n'avcms pas l'intention d'examiner ici touii )es cas particuliers du mouvement des roues ; noosavpuf voala\, seulement, faire voir que dans ce mouvement la résistance ii la rotation n'était pas une force située dans le plan sur lequel la roue se meut ; mais au contraire une fovce perpendiculaire à ce plan , égale à la pression agissant à une ilistiince 9 <\e la normale ; tandis que la force située dans le

plan horizontal est variable, d'intensité depuis o j usqu'a F'P,

(*) A l'aide de ces considérations , on pent ractifier «ne erreur qui «e trouve dans Tartide de M. Ilavier sur le monvement oniforme des fraggons (i« semestre i834) « et que noof aToni laissée sabstster dans la #)bte QW nons av^Mis re|Mrîs les calculs de ce savant inipénienr.

ROirrES. TIRAGE DES TOITURES. il

et de direction , pouyant agir dans tous les sens autour du point de contact, même dans le sens du mouvement.

La résistance au roulement se trouvant déterminée d'une manière précise, on va voir que de la propriété d'être proportionnelle à la pression résultent de suite des conséquences importantes. En efiet, puisque l'expression

T =P^ est proportionnelle à P, il s'ensuit que •=- est une

quantité constante dans une même roue ; si vous admettez de plus, comme M. Morin, qu'elle est en raison inverse du diamètre» il faudra en conclure que 9 est une quantité constante dans toutes les roues ; or, cette quantité ^ est une quantité finie ; ainsi lorsque vous trouvez pour une roue de

2"*. 00 de diamètre un tirage — = o.o3 , vous en conclurez

que 9 est égal à o'^.oS'. Or, la résistance des réactions mole* culaires qui ont lieu au contact passe nécessairement dans rétendue du contact ; la loi supposée ne peut donc être vraie pour le rayon o'^.oB; elle ne peut même pas être vraie pour le rayon égal à o^.oG, car non-seulement la résultante né peut pas passer à l'extrémité du contact , mais il faut que le- contact en avant de la normale soit bien plus grand que a^, puisque les réactions moléculaires vont en croissant Vers la normale et en décroissant vers l'extrémité du contact. En jetant les yeux sur la fig. 8, on voit de suite que mn:^ Mm ou ^, donc Mn >> a^. Ainsi , voilà l'absurdité poiissée jusqu'au diamètre o".iapour le cas que nous avons pris pour exemple. La loi des diamètres telle que l'a donnée M. Morin lie peut donc pas exister d'une manière continue.

Il en est de même de l'influence de la largeur de la bande. Nous venons de voir que de la proportionnalité du tirage à la pression il en résultait nécessairement que la quantité tétait constante dans un même cercle , pour des pressions diverses. Ainsi , si on partage la largeur L

'i9. MÉMOIRES £T DOCUMENTS.

d'une roue en zones dl^ dans chacune de ces zones la ré-=-

sultante dp des réactions moléculaires passera toujours à la même distance ^ de la normale ; or, toutes ces forces parallèles situées sur une même ligne s'ajouteront entre elles et auront une résultante égale à P et située à la distance i, puisqu'elles sont toutes situées à cette distance ; la largeur L ne change donc ni l'intensité de cette résultante , ni sa distance à la normale ; elle n'en modifie donc pas l'énergie.

Ainsi les principes les plus élémentaires de la géométrie et de la statique suffisent pour démontrer que dès que le tirage est proportionnel k la pression^ il est indépendant de la largeur de la bande (ce qui se voit du reste à priori), enfin qu'il ne peut être en raison inverse du diamètre. En ajoutant à ces premières notions quelques considérations d'un ordre plus élevé, on est conduit directement aux lois du frottement de seconde espèce telles que nous les onV données nos expériences. ^

La propriété physique des corps solides de se contracter et de se dilater sous l'influence des divers degrés de chaleur, conduit à les considérer comme un assemblage de molécules tenues respectivement en équilibre par )es diverses forces qui agissent sur elles. Si une force queU conque P vient presser la molécule a de la surface . fig, 9, l'équilibre qui existait antérieurement sera troublé , et la molécule a va se mouvoir dans le sens de la force P; mais ce mouvement , en rapprochant et en écartant cette molécule des molécules voisines, augmente les forces répulsives et attractives auxquelles elle se trouve soumise , de sorte qu'il s'établit bientôt un autre équilibre en a,, .7%. 10; par conséquent il existe dans cette position une réaction S égale et contraire à la force P. Supprimons maintenant la force P, y%. ii; l'équilibre sera troublé encore une fois et la molécule tendra h revenir dans la direction de la force S. Si le corps était parfaitement élastique, elle préviendrai t jusqu'à sa première position en a , mais cela

n'aura pas lieu généralement , parce que la contraction altère et la disposition des molécules et l'intensité des forces qui agissent sur elles; de sorte que la molécule comprimée ne reviendra qu'en a^, fig. 12. Nous appelons c' la contraction instantanée £ui\ et « la dépression définitive aa^ Ces deux quantités dépendent l'une de l'autre suivant une relation que nous ne connaissons pas. On peut donc écrire 8=:7 (•'). En résumé, toute compression instantanée d'une molécule est toujours suivie d'une détente qui ne peut être nulle et qui n'est jamais égale à la dépression pour les corps qui ne sont pas parfaitement élastiques.

Examinons maintenant la manière dont l'intensité de la réaction varie suivant la profondeur z de l'enfoncement : tant qu'elle enfonce , cette réaction S dépend du degré de ce déplacement par rapport à la position primitive ; mais quand cette molécule revient , sa réaction se trouve dépendre de sa distance à sa position définitive ou de retour, de sorte qu'en repassant par les mêmes points, la réaction n'a pas la même valeur. Pour exprimer son intensité d'une manière uniforme , nous dirons que, dans la compression comme dans la détente , la réaction est fonction de la distance à la position de retour ou ,

f[z — <p (2) ] dans la compression f[z — 9 (g') ] dans la détente

Si nous nous sommes étendu sur ces notions élémentaires de la constitution des corps solides, c'est que déjà on a essayé de les introduire dans le calcul , et qu'elles ont conduit à des résultats contraires à ceux auxquels nous allons arriver, ou plutôt à des résultats incomplets. Dans ces calculs on n'a eu égard qu'à la compression des molécules ; on a négligé l'effet de la détente. Or , comme on vient de le voir , dès que la compression n'est pas indéfinie , dès qu'il s'établit une positioii d'équilibre sous une pression , il faut qu^il y ait détente quand cette pression

34 MÉMOIRES BT OOCUMENTS.

cesse. De plus on avait introduit dans ces calculs des byf'pothèses sur la relation qui existe entre la résistance et l'enfoncement, qui pouvaient laisser du doute sur les résultats. On va voir que toutes les lois du frottement de seconde espèce peuvent se déduire d'une formule générale qui établit entre elles des relations indépendantes de toute bypotbèse. Soient douc^ fig. i3 :

I la compression définitive du terrain ou frayé = ^ (s') ; •' la compression instantanée maximum con^pondant à la normale ;

\ la longueur du contact en arrière === ^ 2R (t'' — e]

>' là longueur du contact en avant = k aRi' P le poidii de la roue ;

L la largeur de la bande où longueur du cylindre ;

^ l'ordonnée de la tranche que nous considérons dans le

cylindre (nous n'aurons égard que plus tard à cette

variable) ; ,

«r l'abscisse d'uti point du cerde dans le contact ; s! son enfoncement au-dessous du plan primitif pour la

partie antérieure du contact; z 8(ni enfoncement au-dessous du frayé pou)r là partie

postérieure du contact.

E<n appelant/*,^, F, F,, ;ç,... des fonctions diflérentes , on aura évidemment

c'est-à-dire que la somme des réactions verticales des molécules dans l'étendue du contact est égale à la pression du cylindre sur le plan.

Les molécules situées en avant du contact s'oppoaient à la rotation avec une énergie mtesurée T^xf{z') xd3^\ eelies situées en arrière favorisent cette dotation avéd une énergie mesurée par f,{z) xdx. Prenons la différeatce

KOUTfiS. TIRAOX DES VOITURES. 35

des moments , et cherchons la distance S de la résultante P à la normale , nous aurons

Ces deux éif Ufittiottd détendbineraient tiécessairement 9 si les d^erses fonctions que nous avons introduites dans le calcul étaient elles-mêmes déterminées , et on déduirait les propriétés du frottement de roulement , de l'équation

C'est la marche qui a été suivie jusqu'à présent par ceux qui se sont occupés de cette question. On faisait des hypothèses sur les fonctions que ïious avons désignées par/*, et on en tirait des propriétés correspondantes du frottement de roulement ( wyez le Mémoire de Gersttier , p. 1 2 , les Annales des ponts et chaussées , 1 83ft , !i* sem. y p. 1 84 )• De plu» , les deux équations qui remplaçaient celles que nous venons de poser, étaient incomplètes ; elles ne te«naient pas compte de la réaction en arrière du contact, de sorte que leurs résultats n'auraient pu conduire à la vérité , quand bien mèAie les hypdthèses eussent été exactes. Il y a plus, c'est que les propriétés du frottement ne dépendaient de ces hypothèses que par suite de teiXe erreur de calcul , ou plutât de principe, ainsi qu'on va le voir tout à l'heure.

Mettons maintenant dans les intégrales les valeurs de z tirées de l'équation du cfercl^, en y négligeant toutefois les quarrés e"et (s' — t)', ceqUi revient à assimiler le cercle à une parabole dans l'étendue du contact : nous aurons

Posons -j = u dans la première intégrale , — z= u dans la seconde ,

36 MÉMOIRES ET S>OGUM£NTS.

il viendra :

P = LV (/[•'(i-i*')]rfu + >i/.[«'(i-i*'),.'lrftt

Mettant pour X' et l leurs valeurs, remarquant que les intégrales .prises entre o et i ne contiennent plus a, mais seulement «', il vient ^

P=l/ïïfL.F(0

Ces mêmes transformations dans l'équation des moments

donnent

d'où on tire

pi=T=L.F(0

Cette dernière équation eût pu être écrite immédiatement, car , comme M. Coriolis Ta fait voir dans l'article que nous avons cité plus haut , le tirage n'est autre chose que le travail perdu dans le sol par le passage de la roue. Ainsi, dans toute la largeur du frayé, ces molécules ont été comprimées jusqu'en •'; il y a là donc nécessairement une déperdition de force vive égale à LF (•').

Maintenant , de la valeur de P = Lk^aR.F (e') , on tirera et mettant cette valeur dans celle de T , on obtiendra

qui doit représenter le tirage dans toutes les hypothèses possibles. Au lieu de faire une hypothèse, il est plus rationnel d'emprunter à l'expérience une quelconque des propriétés de cette résistance. Or, celle d'être proportionnelle à la pression est, à ce qu'il nous semble , hors de discussion; car, quand bien même les expérimentateurs ne se seraient pas trouvés d'accord sur ce point,

c'est un fait de pratique trop connu pour qu'il soit permis d'en douter. En introduisant cette propriété dans la formule ci-dessus, elle devient en appelant p une constante,

ce qui est l-eipression générale du frottement de roulement 9 telle que nous l'avons déduite de nos nombreuses expériences. On pourrait de même supposer, dans lequation générale, que le tirage est indépendant de la largeur delà bandç ou en raison inverse de la racine quarrée du rayon, et on arriverait toujours à la même équation ; c'est-à-dire, que ces propriétés sont réciproques et ne peuv^t exister Tune sans l'autre, et peuvent être déduites da l'analyse même. Avant d'aller plusloin, qu'il nous soit permis de faire remarquer que nos expériences nous ont donné précisément , non pas une de ces lois, mais toutes ; ne résulte-t-il pas de cet accord une confirmation réciproque qui rejaillit des expériences sur la théorie et delà théorie sur les expériences ? Ne peut-on pas dire que nos expériences sont exactes , parce qu'elles sont d'accord avec la théorie , et que notre théorie est exacte , parce qu'elle est d'accord avec l'expérience ?

Les calculs que nous venons de faire supposent implicitement que la réaction d'une molécule déplacée n'est fonction que de son déplacement. C'est là une hypothèse admise dans beaucoup de théories physiques et confirmée par l'expérience. Dans la théorie de la résistance des solides, par exemple, non-seulement cette hypothèse est admise , mais on y admet encore que cette résistanœ est proportionnelle à la première puissance du déplacement. Cette loi a même une telle influence sur les résultats, qu'ils seraient entièrement changés, si on admettait par exemple que la réaction est proportionnelle au qu£^rré ou au cube des déplacements ; à plus forte raison seraient-ils-

houlefersés , dans le cas où on supposerait que la réaction d'une molécule déplacée dans un solide , dépend de la tîtesse de son déplacement, de la forme de ce solide et de sa ^^position dans le solide. Peut-être pourrions-nous dire que dkns cette hypothèse la théorie de la résistance des solides dépassierait la portée de l'analyse et même de Texpérience, du moins nous ne concevrions pas comment on pourrait établir entre les résultats une liaison qui pût servir de règle à des cas non expérimentés. Les résultats, au contraire, de la théorie du frottement de roulement, que nous venons de donner résistent à toutes ces hypothèses ; c'est ce qu'on peut reconnaître par un evmen détaillé des formules.

Nous avons dit que la réaction d'une molécule déplacée était une fonction de sa distance à sa position de retour, de sorte qu'au point plus bas t/L^fig. i4 , cette résistance était fonction de / — « ; en avant de ce point elle sera donc fonction d'une ordonnée s^ comprise entre le cercle et une courbe inconnue que nous pourrons représenter dans l'étendue du contact par une parabole ayant c pour flèche , de manière qu'on aura :

la réaction en arrière sera une fonction de l'ordonnée z , qui s arrête à la distance c

écrivons maintenant que ces réactions dépendent, en outre y de la position / qu'elles occupent dans le cylindre par rapport à sa longueur L ; de cette longueur L ; du rayon R ; de la vitesse V du mouvement ; nous aurons

en intégrant par rapport à y , puis faisant les tranitformations désignées ci-dessus , on arrivera à l'équation suivante

on obtiendra de même par l'équation des moments :

P*«aR . f. l/(i'— f)(t— u'), L, R, Y)udu en divisant ces équations Tune par l'autre , on arrivera à

\/[(«-0{i-'*'),L,R,V]rf«-

== constante.

Or, il est facile de reconnaître que la division des deux intégrales doit toujours se réduire à un nombre , quelle que soit la fonction yi On peut en effet l'ordonner par rapport aux puissances de (•' — e) (i — m*) ,

A(8'e)(i-^u«)-f B(.'—er(i—u'r +•€(«'— t)»(i—uM'

A, B, G... étant dçs fonctions de L, R, y.

Il est clair d'abord que dans le cas où on supposerait la résistance proportionnelle à une puissance m quelconque de déplacement , ce qui avait semblé à Gerstner être l'bypothëse la plus large possible, on aurait

I («' — ir(i— uTa^ \ii—u^Tudu

i (,'— g)«(i--u«rc?i4 V(i— i**rrfi*

Jo Jo

c'est-à-dire une fonction du nombre m facile à calculer. .

Dans le cas où la résistance serait proportionnelle à plu- '* sieurs puissances de la variable , mais où les coefficients

4o MEMOIRES ET DOCUMENTS.

qui cQDliennent R , L, Y, pourraient se séparer de manière qu'on eût:

J^ résultat serait encore rigoureusement le même. En6n, le cas général d'une fonction quelconque peut se ramener aux précédents , en observant qu'on peut négliger dans le développement des fonctions le quarré et les puissances V supérieures de (•' — t). Les valeurs de P el de P^ , en effec-

tuant l'intégration , peuvent se mettre sous la forme

P*=2R.c.[fA(i' — .) + iB (•' — !)' + -;€(•' — .)•...]

On reconnaît facilement alors que les termes qui contiennent (c' — s)* peuvent être négligés par rapport au premier terme A («' — e). On peut même conserver le quarré et ne négliger que la troisième puissance , et on va voir que le résultat sera encore à fort peu de chose près le même , car les coefficients de A et de B , dans les deux fonctions , étant à peu près dans le même rapport , la division peut s'efiectuer. On a , en effet :

Or , la fraction entre parenthèses se confond à peu près avec l'unité. En conservant les infiniment petits du second ordre , les résultats ne se trouvent donc pas sensiblement différents de ce qu'ils sont lorsqu'on ne conserve que les premières puissances.

Cette discussion analytique , à laquelle j'ai cru devoir me livrer pour répondre à des objections qui m ont été faites , va d'ailleurs être éclaircie par une démonstration géométrique des propriétés du frottement de roulement ,

^•j) et quia l'avantage d'être élémentaire.

'^ J»:. '^ Représentons la réaction maximum qui a lieu sous la

normale,)!^. 14? par Tordosnée BM:r=:(e' — e). Elle sera alors exprimée par A («' — s) à ce point , et entre M et A , en avant de la normale , par l'ordonnée fin comjirise entre le cercle et une courbe inconnue que nous pouvons ass)-<> miler à une parabole; le triangle mixtiligne BMA' reprér» senteradonc la résultante des réactions en avant de ]a normale ; de même, ABM représentera la résultante des réactions en arrière. Il n'y a donc qu'à ajouter leurs surfaces pour avoir la résultante des réactions verticales. On a

P=: -;AL (a'— •) {\ + V) = \kh l>aR («' — «)( k7-f KTZ^

Prenons de même la difiérence des moments de la résultante en avant et de la résultante en arrière , ou le centre de gravité des deux, triangles mixtilignes, nous aurons, en se rappelant que le centre de gravité du segment parabolique est aux -3- de la base :

■ p^= iAL(i'— •} (r — r) =5 ^AL . 2R («'- e)«

d'où

Tï=Ç=iAL.2(.'— f)« et

Les quantités c'et c varient avec là charge pour une même roue. Il est bien- évident que plus la charge augmente , plus la roue enfonce, plus le frayé est profond : le rapport

-^ ne peut donc être constant qu'à la condition

on a donc :

Pl/iR

équation semblable à celle que nous avons déduite plus haut de considérations purement analytiques et dont on peut tirer les mêmes conséquences pour les propriétés du tirage.

4a MEMOIRES £T DOCUMENTS.

Cette démonstration fait voir le rôle tout à fait secondaire que joue dans les propriétés du frottement la loi delà réaction des molécules. Cette loi » si elle était connue, ne servirait qu'à déterminer rigoureusement la courbe Bn'A'. Or» on sait qu'elle est tangente à l'horizontale en B et qu elle passe par le point A'; de plus f , ou la flèche de cette courbe , est un infiniment petit du second ordre par rapport à la longueur V, de sorte que, quelque soit le tracé de cette courbe , il est bien évident que la surface da trianj^e BMA' ne saurait subir que des variations insignifiantes et à plus forte raison la position de son centre de gravité. Dans les calculs de Gerstner et dans ceux de M. Goriolis , les propriétés du frottement de roulement dérivent > au contraire, uniquement de cette loi. Lorsqu'on n'admet pas de réaction en arrière , ou plutôt lorsqu'on omet cette réaction , car on n'est pas libre de l'admettre ou de ne pas l'admettre , on a les équations suivantes dana le cas général :

P = LÏ/3Rk7"nA4' + rkBt" ]

T = L.a.'[-;Ai'+iB.'> ]

et les relations entre T, P, L se trouvent tout à fait déterminées par l'élimination de / entre les deux équations. Ainsi , dans le cas où on suppose la réaction proportionnelle à la première puissance de l'enfoncement , ces équations se réduisent à :

P=4ALe'^

T=iLA8''

d'où on tire

C'est à ces calculs que le rapporteur de la commission de l'Académie faisait allusion dans ce passage du rapport :

BOUTK. TIBAGE DES VO1T0RES. 4?

« Qn peut remarquer que par des Goosidérations théo* rique^', basées sur Thypothèse que le sol de \a route résiste en chaque point, en raison directe de l'enfoncement , on trouve cpie }e tirage est proportionnel à la puissance ^ du chargi^qoent et en raison inverse de la puissance | du dia» mètre !^ roues. Cas exposants difièneut assez peu de Tunité qu'on, doit leur substituer , d'après les expériences de M .i^Qpn pour ne pas donner de présomption défavo^ ra^le ^ux résultats de ses observations. »

Dès que l'Académie se contentait d'une coïnddenee aussi imparfaite entre les expériences et la théorie qu'elle invoquait , j'aurais pu faire observer que la puissance ^ que zQjEis e^^périences donnaient au rayon s'approchait encore pins de la puissance f de la théorie que la puissance i qui ressortait des expériences de Coulomb et de M. Morin ; j'^m'aip encore pu faire remarquer que» même dans cette tb^^rie, basée siur des hypothèses incomplètes, il n'en résultait pas moins , en mettant dans la valeur de T celle de / tirée de celle de P, l'équation générale obligée

=■■' (li^)

Que si donc 9 par condescendance pour des expériences qui se présentaient avec de grandes garanties d'exactitude,

on voulait bien admettre P à la place de P^ , on ne pou-

vait pas, à la place de R^ , mettre R' , c'est-à-dire diminuer un exposant et augmenter l'autre; car leur rapport dans cette théorie devait être égal à 2, et on lé faisait égal à i. Les différentes manières dont nous avons présenté la question jusqu'à présent , doivent avoir fait voir que cette loi des diamètres tient uniquement à la relation qui existe dans le cercle entre les flèches e' et un petit arc V

44 idaiOIEES ET IIOCUMEHT8.

Cette loi des diamètres tient donc à une propriété géométrique et non pas à une propriété mécanique des forces qui relient entre elles les molécules des corps.

La formule générale que nous venons de rappeler donne la relation que la géométrie établit nécessairement entre les quantités T, P» L , R , non-seulement dans la réalité, mais dans toutes les hypothèses. Ainsi dans le cas où le tirage serait en raison inv^se de la loi des diaimètres , comme l'ont supposé Coulomh et M. Morin, on aurait nécessairement •

EL aLR

Ainsi » dans ce cas , le tirage serait proportionnel an quarréde la pression. Or, en vérité, il n'est pas besoin d'expériences pour démontrer qu'il n'en peut être ainsi. Si , en doublant la charge , il fallait mettre quatre dievanx au lieu de deux ; vingt-cinq chevaux au lieu de cinq quand on passe de là charrette ordinaire du cultivateur qui porte i 200 kilogrammes à la charrette du roulage qui en porte 6 000, il y a longtemps que cette propriété serait connue. Il en est de même de la largeur de la bande ; si en la doublant le tirage diminuait de moitié , c'eut été une disposition par trop avantageuse pour qu'e}le fût restée si longtemps ignorée , et , certes y jamais le législateur n'aurait eu besoin d'avoir recours aux lois pour la prescrire. Si Tindustrie du roulage a toujours cherdié à augmenter ses chargements et à diminuer ses bandes , c'est qu'elle savait , préalablement à toute expérience scienti<fique,que le tirage était proportionnel à la charge et indépendant de la largeur des bandes ; que , par conséquent , plus ell<e chargeait ses voitures et diminuait ses bandes , plus elle augmentait le poids utile transporté. Nous avons fait voir, dans notre Essai , que cette industrie a été plus loin et qu elle a résolu le problème du diamètre de manière à se donner toujours le minimum de tirage.

Les propriétés *que BOUS avons démontrées par Texpérience et parla théorie Tétaient donc déjà par les usages duroula^e; et il en est à peu près de même dans toutes les ancienne» industries. Il est bien rare qu'à l'aide de nombreux tâtonnements , le hasard ne fasse pas rencontrer à la longue les procédés les plus économiques et les plus avantageux , et que lorsque la science vient à s'en occuper, elle n'ait plus qu'à les constater et à les expliquer.

Ainsi , par e;xemple , dans l'hypothèse de la Ipi de la raison inverse des diamètres, l'usage de ces camions à petites rotte« , dont on se sert pour transporter les ballots de roulage à domicile , serait inexplicable. Leur» roues , en effet, n'ont que o'°^.4o à o^^.So et quelquefois moins , c'est-à-dire que le tirage de ces camions devrait être quatre fois plus considérable que celui des voitures Ordinaires de roulage. On sait que^ sur les voitures, on ne donne ordinairement à tirer à un cheval que i ooo à 1 200 kilogrammes ; sur un camion, il ne devrait donc tirer que a5o à 3oo kilogrammes. Or, le poids seul du camion est beaucoup plus considérable. Celui qui servait à nos expériences pesait, avec des roues de o'''.34, 38o kilogrammes. Si la loi de Coulomb était exacte, il serait donc impossible d'y ajouter la moindre charge, puisqu'on n'y attelle qu'un cheval ; et cependant ne les rencontre-ton pas tous les jours avec des charges considérables ; il faut donc nécessairement que le tirage ne croisse pas aussi rapideiâent que le diamètre diminue.

Le^ calculs que nous venons de faire supposaient qu'il n'y avait d'altération que dans la surface sur laquelle la rotation s'opère , que la roue conservait exactement sa courbure, ou que du môin» sa flexion pouvait être négligée par rapport à celle du terrain , comme dans le cas des roues et des routes ordinaires. On peut se demander si les propriétés que nous avons démontrées restent les mêmes lorsqu'il n'en est pas ainsi , c'est-à-dire lorsque les duretés

46 MéMOIRBS ET DOCUMENTS.

des deux surfaces sont peu difiérentes , comme sur les ohemins ie fer.

Appelonè , fig^ i5, e' la compresAion maximuni instantanée de la roue » e la cdmpreSkion définitive. En conservant tontes les notations précédentes , on aura :

En considérant eil^uite tes i^ctiôlis des molécules du terfain coitaprimé, la inéme série de raisonnements conduira h dès équations semblables à ceUes que nous avons posées pins haut; seulement les équations contiendront à là fois •' et t'. On aura

P = Lk^F(«',c')

Mais en appliquant le même calcul aux réactions du cercle comprimé qui fout équilibre à celles du sol sur lequel il roule, on arrivera à des équations de la forme

lÈn. divisant les deux valeurs de P l'une par Taûtre, on

aura

qui donnera la valeur de é en c', e' =siJl (s'). En la mettant dans la valeur de P et ^^ <» élimine e' et on arrive k des équations semblables à celles que nous avons établies plus haut 9 d'où découlent les mêmes conséquences. Ainsi ^-les propriétés que nous avons énoncées conviennent au cas où lé plan et le corps roulants sont Tun et l'autre compressibles.

Reprenons maintenant les formules que nous avoil» posées plus haut :

eh lès miiltipliânt par V^iS , on eii Conclut

c'est-à-dire qijie dans un même cerclé lÀ différence entre le eœitabt en avant et le contact en arrière est » quelle que soit la charge , une quantité constante | $ qu'on peut trèsbien exprimer au moyen du coefficient du tirage. Ainsi, sur une route ordinaire, avec des roues de 2"'.oo, cette difierence, pour uq tirage de o.o3 serait de o°*.o8. On aurait donc : X'sso.oS-f-^- Vl>o.o8» d'où •'>>o.oo32. Enfin on tire delà seconde équation

.= !p(V/?"-lp)

tous œs résultats se présentent sous une forme qui parait £iusse au premier coup d'œil. La difiérence l'-^lue peut pas être constante , puisqu'il est bien évident qu'on peut charger le cercle de manière que son contact avec le terrain soit plus petit qu'une quantité donnée , 0*^.08 par exemple, et que son enfoncement soi t moindre que o™.oo32 ; de plus 8 ne peut être nul qu'avec <' et ne peut pas se présenter sous une forme négative. Il est facile d'ei^pliquer la cause de ces espèces d'anomalies ; elles tiennent évidemment à ce que Iliypo^hèée ou la propriété dont on est parti , du tirage proportionnel à la pression , n^êst pas rigoureusement exacte, surtout pour des pressions trèsfaibles qui ne donnent lieu qu'à des contacts infiniment petits. Alors , en effet , la résultante ne peut plus passer à la diHahce ^ de k normale; elle s'en approche rapidement à partir d'une certaine limite et finit par se confondre avec elle pour Une pression o , de sorte que le tirage doit dimi-

48 MÉMOIASS ET DOCL'M£MTS.

nuer alors plus rapidement que )a pression. Ainsi , le calcul indique d'une manière rigoureuse que les lois trouvées par Texpérience ne peuvent être des lois absolues et sans limites.

Nous n'exposons ces. considérations que pour justifier nos formules. Le cercle prés de la normale étant à peu près parallèle au plan , le contact augmente rapidement d'abord avec la pression, et il serait impossible de réaliser par Texpérience les cas que nous venons de considérer, puisqu'il faudrait avoir de très-grands cercles dont les poids fussent très-petits.

Ainsi les lois déduites de nos expériences et de nos formules ne sont /sous le point de vue mathématique , que des approximations qui ne peuvent être substituées aux lois réelles, qu'entre les limites où la propriété qui leur sert de base est elle-ipéme vraie. Tant que le tirage sera proportioxmel à la pression , l'influence de la bande sera nulle, et celle du rayon sera mesurée par sa racine quarrée. Mais si jamais on parvenait à trouver cette relation d'une manière rigoureuse, les formules générales quenousavons posées plus haut, donneraient immédiatement les relations de la bande et du diamètre, correspondant à cette nouvelle propriété.

Les équations précédentes donnent les valeurs de ^ et de c en fonction de P , L , R , T.

On a , en effet :

P= ; |/^ . L(K^+ k7i:;)A(«'— e) T=iL«A(t'— e) •

.=|p(I/r-îp)

Cette valeur de e mise dans les deux premières, donnera celle de «' en fonction de P ou de T, d'où on déduira celle de s en fonction des mêmes quantités. On voit , conime nous l'avions déjà fait remarquer, que l'enfoncement

instantané i* , et le frayé définitif < ne dépendent que de

On peut, au reste , avoir des valeurs approchées de ces quantités sous une forme simple qui permet de juger de l'influence des diverses dimensions* de la roue. Dans la valeur de • on peut négliger } p par rapport à ^/^ , et écrire

équation qui est d'autant plus exacte que « est plus grand par rapport à p ou par rapport à e , car la valeur exacte de c peut se mettre aussi sous la forme

•. = tp(|/7+|/7ir;)

Or t' — f , qui est la quantité dont la molécule revient après l'enfoncement instantané difière , peu de «', surtout pour

les corps élastiques , de manière que l^-\^ l^s — s diffère peu aussi.de 2^^

Cette équation fait voir que le frayé est proportionnel à la racine quarrée de l'enfoncement instantané. Ainsi , pour produire une impression double, il faut produire un enfoncement instantané quadruple.

Cette relation entre e et «' que nous avons déduite des propriétés du frottement de roulement et dont on pourrait réciproquement les déduire, peut trouver des applications ou des vérifications dans des questions mécaniques qui paraissent, au premier coup d'œil , étrangères à cette résistance, telles que celles des laminoirs , du battage des monnaies , du choc des corps , etc. , etc.

£n faisant dans la valeur de P la simplification que nous venons d'indiquer dans celle de s, on en tire

Il résulteldeces équations que rempreinte ou enfoncement définitif est proportionnelle à la racine cubique de la pression , en raison inverse de la racine cubique de la^largeur de la bande et de la puissance | du rayon. On peut encore mettre f et / sous la forme

c'est-à-dire que l'empreinte est proportionnelle à la racine cubique du tirage. Ces équations peuvent trouver une application utile dans la question de la police du roulage.

Les équations ci-dessus font voir comment la résistance au roulement

dépend de la flexibilité et de l'élasticité du corps. En effet, la constante ^ à pour expression

Aiiisi , poui^ qu'il j ait résistance, il faut que Ttin des deux corps soit compressible , c'est-à-dire , que éùivî un poids donné , les molécules fléchissent d^une certaine quantité «'; il faut, de pliis, qu^ilsné soient pas parfaite-^ ment élsfstiqtiés , c'est-à-dire que les molécules flécbies ne reviennent pas à leur première position , lorsque le poids est enlevé, mais restent à une certaine distance c Ces deux quantités étant données pour un certain poids y on en déduirait immédiatement le coefficient de roulement. Ainsi , le frottement dé seconde espèce ii'est pas une propriété particulière des surfaces , et distincte de la compressibflité et de l'élasticité; elle n'en est qu'une conséquence tellement immédiate que lorsqu'on a la mesure de ces deux propriétés pour ufn corps , on a auMsi celle de la résistance

ROUTfiS. -r*- TIRAGE D£S VOITURES. 5l

aU: roulement. Ainsi chaque surface peut être définie par rapport au frottement de seconde espèce par deux coefficients y dont on peut déduire la valeur de cette résistance , lorsqu'on la mettra en contact avec d autres surfaces définies de la même manière.

En effet, appelons «^ , b^ , pa * 1^^ compressions et résistances de la surface A, sous une roue compressible ;

«6 > *'» 9 P6 ) 1^5 mêmes quantités pour une surface B, on aura entre ces quantités les deux relations

Lorsqu'on fera rouler la surface A sur la surface B , la résultante p^t de ces deux résistances se déduira par un calcul analogue à celui que nous avons fait plus haut , et on trouvera

On voit que si on connaissait, pour chaque surface , les deux quantités s et t', on en conclurait immédiatement la résistance résultante. Il est impossible , il est vrai , de déterminer directement ces deux quantités par Texpérience (du moins nous n'en voyons pas maintenant le moyen); mais on peut facilement déterminer les quantités p^ , p^ ?

et les rapports — q^i peuvejcit les remplacer. Supposons

que les deux surfaces mises en contact soient les mêmes , on aura

Ainsi la résistance p^ d'un cyUndre sur un plan incom-

62 MÉMOIRES ET D0CCMEHT6.

pressibie est égale à la résistance de ce cylindre sur une

surface de même nature divisée par K a. Les coefficients Pa > Pb pourront donc s'obtenir facilement parTexpérience. Faisons maintenant rouler ces cylindres A, B sur un plan M pris pour plan commun de comparaison , nous aurons

Pam — i

k'?rp: y/^^

^""^7+7^ %/iïT

Ces deux équations nous donnent immédiatement les

rapporte -p , -7^ en fonction de p^ , p^, p^ et p^^; divi-

sant ces deux rapports l'un par l'autre , on en tirera ~ ,

en fonction des mêmes quantités et en mettant ces valeurs dans celle de p^^» on déterminera cette quantité. On voit que si on connaissait pour diverses surfaces A , B, G, D, etc. , leur résistance au roulement sur elles-mêmes et leur résistance au roulement sur une autre surface M , prise pour terme de comparaison , on en pourrait déduire les résistances de deux quelconques des surfaces prises deux à deux , A avec B , A avec G , B avec G , etc. , etc. G'est là une propriété remarquable du frottement de roulement , et qui le distingue du frottement de glissement , dont les divers coeffîciente ne présentent entre eux aucune relation, de manière que si on a vingt surfaces, il faut 190 coefficiente pour déterminer les divers frottements de glissement qui résulteront des combinaisons deux à deux de ces surfaces , tandis que 4o suffiront pour le frottement de roulement.

Nous n'avons considéré jusqu'à présent qu'un cylindre roulant sur un plan, mais il est clair que , puisque les propriétés du frottement de roulement sont indépendantes de la largeur de la bande , elles s'étendent à tous les corps de forme quelconque , pourvu qu'on puisse négliger dans la largeur du contact, les variations de courbure des sections parallèles à celle qui passe par la normale et la direction de la vitesse.

En effet, la distance de la réaction à la normale

p 9= I >-^ $ ue dépend pas de la pression, elle ne dépend

que du rayon R. Ainsi, quelle que soit la répartition de la pression entre toutes ces sections , la fraction de la résultante située dans cette section est toujours à la même distance 9 de la normale. On peut donc appliquer les mêmes formules aux sphères , aux ellipsoïdes, etc.

Considérons maintenant le cas plus général de deux corps à courbures quelconques , fig. i6 , roulant l'un sur l'autre. Par la normale et par la direction de la vitesse, faisons passer un plan qui coupera les deux corps suivant deux courbes tangentes auxquelles nous pourrons substituer, dans l'étendue du contact , leurs cercles osculateurs dont les rayons seront R, R,. En supposant un enfoncement maximum et une impression ou frayé sur l'une des surfaces , nous arriverons aux mêmes équations que pour le cas du plan , et nous en tirerons aussi

n sufiBt de substituer dans cette équation des valeurs de V et "k pour résoudre la question. Or, en appelantyia flèche de l'arc sous-tendu par la demi-corde /, dans le cercle R,, on a, en considérant cette dernière corde dans* }es deux cercles

/ s= |/2R(t'— /) et V= I/^IRJÇ

54 MÉMOIRES KT BOCVMERTS.

à'où

Qn aura dé même et par conséquent

Si le tirage est proportionnel à la preation» S doit être inva^riablejK' — Ki' — i = constante =s {p, donc

( 4- pour les surfaces convexes , -r- pour les surfaces concaves convexes ).

Telle est la formule générale qui déterminera la position de la résultante ou pression, par rapp<Mrtà la normale en fonction des rayons de courbure des surfaces ei| contact ; le mouvement des deux corps roulant Tun sur l'autre se trouve donc complètement déterminé 9 pui$qu on connaît l'intensité , le point d'application et la direction de la force retardatrice qui agit sur eux.

Cette formule peut recevoir des applications nombreuses dans l'étude des macbines ; les excentriques, les axes tournant sur des galets y les^'transmissions de mouvement qui se font d'une roue à l'autre sans engrenage , etc. , etc. ; présentent des mouvements analogues à ceux que nous venons de considérer , et la formule ci-dessus peut donner les dispositions les plus avantageuses à adopter pour diminuer la résistance ; nous nous bornerons ici à en faire l'application à quelques circonstances particulières que présentent les routes.

La surface des routes en empierrementjoi'est pas rigou-

reusement plane, les roues parcourent une ligne sensiblement ondulée ; de sorte que la surface avec laquelle elles se trouvent en contact est tantôt concave, tantôt convexe. Voyons quelle est l'influence de cette circonstance sur le tirage. Appelons ô le tirage sur la ligne droite , ^ sur la ligne ondulée, R le rayon de la roue , R celui du terrain , Qous aurons pour les concavité^ :

pour les convexités :

Si on donne à R, diverses valeurs , par rapport à R , on déduira de ces formules les tirages correspondants :

COlfCAYITKS.

GONYBXÏTSS.

M0TBNIIB8.

R. = aR R, = 3R

Bx = 4B B, = 5R R, =:ioR

i.aad i.i5fl i.iad I .o53d

i.iad i.oâd i.oad i.oi5d 1 .0049

On voit que les flaches ont pour etiet d'augmenter le tirage dans un assez grand rapport , lorsque leur courbure est très^prononcée , et que leur influence se fait d'autant plus sentir que les roues sont plus grandes. C'est un résultat assez remarquable , et qui parait en contradiction avec la propriété ordinaire du diamètre , de diminuer le tirage, mais qui s'explique facilement lorsqu'on se reporte aux causes du. tirage ; le contact, en effet, s'allonge d'autant plus que la roue est plus grande , ce qui éloigne la résultante des réactions moléculaires. Au reste, ce désavantage

56 MÉMOIRES ET DOCUMEHTS.

dt ia grande roue n est que relatif et né peut aller jusqu'à faire qu'il n'y ait plus d'avantage à l'augmenter. En effet , R, étant plus grand que R, l'expression

Y/- ^ RR^— fi'

diminuera toujours avec R ; mais elle ne diminuera plus dans le rapport des racines quarrées comme sur le plan. Supposons par exemple

R, = !à"'.oo pour R = o.5o, on aura g'= i.i5p , pourR = i.oo ô'œsjb.

Ainsi dans ce cas, en passant du rayon i.oo au rayon o.5o y le tirage n'augmente plus que dans le rapport de i à i.i5 au lieu de i à 1.41 > comme cela aurait lieu sur la ligne droite. A mesure que R, augmente , le diamètre reprend son avantage , et son influence s'approche de la loi de la racine quarrée.

Les Saches se raccordent avec le terrain par àes parties convexes; mais en jetant un coup-d'œ^ sur le tableau précédent, on reconnaîtra que la convexité diminue beaucoup moins le tirage que la concavité ne l'augmente. De sorte que si on suppose une ligne ondulée , composée des mêmes courbes concaves et convexes ,Jîg. 17 > le tirage sur cette ligne sera toujours beaucoup plus considérable que sur la ligne droite; la différence sera 'd'autant plus sensible que les diamètres seront plus grands. Si le rayon des ondulations est 10 fois plus grand que celui de la roue^ Taugmentation de tirage n'est que de 0.004^9 c'est-à-dire, presque imperceptible. Les Saches qu'on trouve à la sur&ce des empierrements , ont des profondeurs très-variables ; cependant , il est rare qu'on en tolère de plus de o°'.o4 à o™o5. Si la partie concave a i™.oo de longueur , on en conclura queson rayon est de 3"^.oo environ. Alorsle tirage sera sensiblement augmenté dans le passage de cette flache (de |

BOUTB». TIRAGE DES VOITURES. ij

environ suivant le tableau ci-dessus). Mais si, à profondeur égale , la flache a *a°>.oo de longueur, R, devient lam.So , et l'augmentation de tirage est tout à fait insignifiante (4 pour ioo),doi^t il faudrait déduire encore la diminution qui résulte des parties convexes du raccordement). Il faut conclure de Ui que les flacbes courtes et profondes peuvent avoir un effet sensible sur l'augmentation du tirage; mais lorsqu'elles , s'allongent de manière à avoir 2™.oo de longueur pour une profondeur de oi°.o4> la route n'est gi^re moins roulante que si elle était parfaitement unie. Or, c'est précisément ce qui a lieu sur les routes bien entretenues ; en les parcourant après une pluie , on reconnaît que leur surface n'est qu'une suite de dépressions ; mais comme ces dépressions sont allongées , elles ne nuisent nullement au tirage ; il n'y a que celles qui sont courtes , qui ont la forme de trous qu'il est essentiel de prévenir et de boucber. Quant aux autres, on peut attendre le moment convenable sans que le roulage ait à en souffrir. Or, c'est là un des grands principes de l'entretien des routes.

Nous ne ferons pas d'autre application de la formule générale que nous avons établie plus haut ; nous n'avons cité celle-ci que comme un exemple de l'importance pratique des recherches théoriques auxquelles nous nous sommes livré. Nous avons voulu faire voir qu'il n'était pas question ici d'abstractions purement théoriques , mais au contraire des principes généraux dont la pratique la plus ordinaire pouvait avoir journellement besoin.

Toutes les propriétés du frottement de seconde espèce peuvent se résumer ainsi :

Lorsque deux corps de forme quelconque roulent l'un sur l'autre, la résultante des réactions moléculaires est toujours égale à la pression des deux cj^rps , parallèle aux normales , dans le plan qui passe paj/ ces normales et. la direction de la vitesse , à une distance de ces normales qui est proportionnelle à la racine quarrée du rapport du pro-

58 MÊMOIEES ET DOeUMEHTS.

duit des rayons de courbure des surfacea en contact , à leur somme ou à leur différence, suivant que les deux corps sont convexes ou que l'un d'eux est ooncaye.

L'intensité , la direction et la position de cette résis* tance se trouvant ainsi déterminées , on peut déduire, dans tous les cas possibles , les effets qu'elle peut produire , des règles ordinaires de la mécanique.