On a trouvé ci-dessus ( n

v = — ™ ; ainsi en = 30 u.

En substituant cette valeur dans celle de V ( n.° 10 ), on aura

et lorsque la vitesse u sera égale à environ o m ,8, comme dans la plupart des* bateaux d'Amérique, on aura V=

On pourra prendre B ou kp x pour inconnue, et se servir de cette équation , comme de la précédente . pour déterminer la grandeur du bateau ou la force de sa machine.

i4< Il arrive souvent qu'on indique la force des machines à vapeur par le nombre de chevaux qu'il faudroit employer pour exécuter le même ouvrage.

Mais les mécaniciens ne sont pas d'accord à cet égard (et l'on ne doit pas s'en étonner, quand on réfléchit à la grande différence qu'il y a entre la force des chevaux); aussi cette indication est-elle vague et incertaine : presque toujours même on ne prend pour base que le diamètre du piston , sans tenir compte de sa vitesse , ni de la tension de la vapeur, qui ont évidemment une grande influence sur l'effet d'une machine. Si l'on adopte pour évaluation du nombre de chevaux représentant la force de la machine soixante-six fois deux tiers le produit de la hauteur absolue de la colonne de mercure par le carré du diamètre du cylindre, et par la vitesse moyenne du piston (1), on obtiendra la vitesse d'un bateau en divisant le nombre de chevaux par la largeur et par le tirant d'eau de ce bateau, et en multipliant la racine cubique du quotient par le nombre moyen i,p4» ou par les nombres 1,75 et 2,13 , pour avoir les limites inférieures et supérieures de la vitesse (2).

1 5. Deux conséquences résultent immédiatement de ce que je viens de dire : la première est qu'on aura la force de la machine à vapeur propre à mouvoir un bateau avec une vitesse donnée, en multipliant le cube de la vitesse par la largeur et par le tirant d'eau du bateau,

( 1 ) Je ne présente point cette évaluation dans rintentfon de la faire recevoir. Il est même évident que le coefficient soixante-six deux tien doit varier suivant la grandeur et la disposition de» machina. Dans certaine* machine* , ce nombre seroît trop fort et dans d'autre* trop foible.

( 1 ) Lorsque le* dimensions sont exprimée» en pieds, il faut employer ia,6 au lieu de 1,94 , et conséquemment les nombres 1 1,3 et 1 3,9 au iieu de 1,75 et 1,13.

On aurolt pu annoncer que la vitesse du bateau h l'oyagtur. construit à Lorient, qui a vingt-deux pieds de largeur et six pieds de tirant d'eju , et dont la machine peut être supposéeVIe la force de trente-deux chevaux , auroit été de plus de sept pk-ds. En effet, en divisant trente-deux par six fois vingt-deux, ou par cent trente-deux, on a 0,142414, dont la racine cubique est 0,61 , et ce nombre multiplié par 1 1,3 donne 7»",oo6. La v/tesse du l'y.tgtxr a été trouvée de à 7 P ^9 . quoique ce bateau, ayant été destiné à

porter une artillerie considérable, présente une grande surface à l'action du vcat

DÉMONSTRATION DES PRINCIPES. 209 et divisant le produit par 7,26, ou bien par six, si la forme du bateau l'exigeoit.

La deuxième, qu'on connoîtra la surface du parallélogramme qui auroit la largeur d'un bateau pour base et son tirant d'eau pour hauteur, en divisant par le cube de la vitesse le nombre de chevaux qui représente la force de la machine, et multipliant le quotient par 7,26, ou seulement par six, si le bateau, par l'effet de. sa forme, est dans le cas d'éprouver une grande résistance.

1 6. Tout ce qui précède a rapport au mouvement des bateaux dans une eau tranquille; la navigation des rivières exige dans le calcul un clément de plus ; c'est la vitesse du courant.

Il est visible que la vitesse absolue du bateau, c'est-à-dire sa vitesse par rapport au rivage, sera égale à celle qu'il acquerroit dans une eau tranquille augmentée ou diminuée de celle du courant , selon que le bateau va en descendant ou en remontant.

Or, la vitesse du bateau dans une eau tranquille est égale ( n.° 3 ) à

f / mgh Pu

Ainsi en représentant par V t la vitesse absolue du bateau et par a celle du courant, on aura

le signe supérieur se rapportant aux bateaux qui descendent, et le signe inférieur à ceux qui remontent.

17. Le premier cas ne donne lieu à aucune observation importante; mais dans le second , il est clair que la machine doit être assez forte pour que la vitesse quelle imprime au bateau dans une eau tranquille soit plus grande que celle de la rivière. Autrement le bateau lutterait vainement contre le courant ou descendrait entraîné avec une vitesse égale à l'excès de la vitesse de l'eau sur celle qui serait produite par la machine.

Si cette dernière ne surpassoit que très-peu l'autre, le bateau avancerait lentement et consommerait une grande quantité de combustible;

Ja consommation seroil également très- grande si, pour obtenir plus de

vitesse, on faisoit usage dune machine très-forte : il est donc utile de

rechercher qu'elle seroit la force de la machine qui occasionnerait la

moindre dépense. Or, lorsque la tension de la vapeur et par conséquent

ia température est déterminée , ia consommation du combustible dans

les machines du même genre est sensiblement proportionnelle à celle

de ia vapeur; mais il est évident que la quantité de vapeur dépensée

dans une seconde est égale à la surface du piston , multipliée par

l'espace qu'il parcourt dans une seconde, c'est-à-dire h P x v, et que

ie temps nécessaire au bateau pour faire un cert.iin trajet est en raison

inverse de la vitesse absolue V, , ainsi la consommation de combustible

est proportionnelle à y

De la valeur de

' "^{TTYy

,, , I / malt Pv

V, = dr u -f- j/

on tire

Par la substitution de cette valeur de Pv, l'expression^— devient

( V,+ u )' Ah>

et, en appliquant la règle ordinaire de nuiximis et mini mis , on trouve

3 v, ( k, qp u y — ( y, =p u y = o.

Il faut donc que l'on ait, soit

soit 3 y, — ( y, =p u ) = o.

Le premier facteur donne y, =r=h//. Cette valeur ne correspond pas à un minimum proprement dit. C'est la vitesse d'un bateau qui seroit abandonné au courant ; aussi ne peut-elle avoir lieu qu'autant que le terme de la valeur de K, , qui est relatif à la force de ia machine, soit nul, et réduit-elle à zéro l'expression de la quantité de combustible.

Le deuxième facteur donne ^,= + T»' ce V» a PF* nJ S ue Ia vitesse absolue doit être la moitié de ta vitesse du courant.

La valeur négative qui correspond au cas d'un bateau descendant indique le même minimum que l'autre, puisqu'on changeant la direction du mouvement d'un bateau qui descend , on le fait remonter : c'est ce qu'il est d'ailleurs aise de vérifier en combinant l'équation K, = =p-r« avec l'équation

^ / mqh Pu

y, = ± u -4- j/ — f rv

puisque l'équation

i l'effet de la machine (n.° 3 ), doit cire égale à — i « lorsque le bateau descend , et à -+- ~ « lorsqu'il remonte, ce qui est évidemment la même chose, une vitesse négative en descendant ne différant pas d'une vitesse

positive en montant.

18. Je vais maintenant examiner le mouvement d'un bateau à vapeur lorsque la machine d u lieu d'être employée à faire tourner des roues à aubes , est appliquée à un treuil sur lequel s'enroule une corde attachée à un point fixe.

Dans cette disposition, le moment de la force motrice m<jhP* \> doit être égal au moment kh 1 V x * V de la résistance que l'eau oppose au bateau , autrement dit la force motrice mqhP, agissant sur le piston avec la vitesse v, exercera sur la corde qui s'enroule avec la vitesse V, on effort mqhP x y- qui fera équilibre à la résistance kb* V\ on aura

A laquelle on parvient , indique que la vitesse V kb

T\, due

donc

„ t qhPy = kb' V\ „q/,P xuz=kl> x V>,

d'où l'on tire

Dd*

10. En comparant cette vitesse avec celle du bateau mis en mouvement par des roues à aubes, pour lequel on a trouvé ( n.° 3 ),

on verra que l'usage d'un treuil procurera toujours une vitesse plus grande que celui des roues à aubes ; car la quantité

ne peut se réduire à l'unité que quand h — o, oud=oo, et ni l'une ni l'autre de ces circonstances ne sauroit avoir lieu.

L'équation U = ( 1 -+- j ) V, ( n.° 1 ) qui exprime la relation entre la vitesse du bateau V et celle des aubes U, donne

Ainsi la vitesse qui résulte de l'usage du treuil est plus grande que celle que procure l'emploi des roues à aubes dans le rapport de la racine cubique de la vitesse des aubes à la racine cubique de la vitesse que les roues font prendre au bateau.

20. Lorsque le bateau qui fait usage d'un treuil se meut dans une rivière , la vitesse avec laquelle il choque l'eau est égale à V t qp u ( en conservant la notation de l'article 16 ), et la résistance qu'il éprouve ^=z. kb* {V, rp 0 ) \

La force motrice mq h P , qui enroule la corde sur le treuil avec une vitesse égale à K,, ne peut produire pour vaincre la résistance qu'un

effort égal à mq/iP x , il faut donc que l'on ait mqhP ■^•z=kù l (V, Z+: 0 )\

11. La résolution de cette équation conduiroit à une valeur de V, très-compliquée , dont il seroit difficile de tirer des conséquences applicables à la pratique ; mais en mettant l'équation sous cette forme ,

et prenant la racine cubique de chaque membre, ce qui donne

on aperçoit aisément que la vitesse relative V, -+- u des bateaux qui

■ f ' /"• qh P*> > ' ut

remontent est plus grande que y — jf, — , quau contraire celle des

bateaux qui descendent est plus petite. Or cette quantité, qui est précisément la vitesse que le bateau placé dans une eau tranquille prendrait par le moyen d'un treuil ( n. D 18 ), est plus grande que la vitesse que lui donneraient des roues à aubes : ainsi il est plus avantageux de se servir d'un treuil que de roues à aubes pour remonter une rivière.

22. Quant à la descente, il sera souvent préférable d'employer des roues. Pour déterminer les cas où l'on doit faire usage de l'un ou de

l'autre moyen, il faudrait résoudre l'équation ntejhPy- = k&* (^.^ra)',

et comparer la valeur de V t avec celle de la vitesse absolue du bateau à roues, qu'on a trouvée ci-dessus ( n.° 16 ) égale à

tnijhPv

Mais pour éviter les formules composées auxquelles conduirait cette marche, on peut avoir recours au moyen de vérification qui résulte des considérations suivantes.

' De la valeur de la vitesse des aubes, trouvée au commencement de cette note ( n.° 3 ) , savoir :

on tire - = V jf-jj

et l'expression précédente de la vitesse absolue du bateau à roues devient , dans le cas où le bateau descend ,

2l4 NOTE SIXIÈME,

L équation mqhP y — kb x ( K, q: a )' ( n.' 20 ) peut, dans le même cas , être mise sous la forme

Ainsi la vitesse absolue du bateau à roues à aubes sera plus grande que la vitesse absolue V, du bateau à treuil , si

y kFIT > v TFVr

ou , en réduisant , si V, > U.

Le cas dans lequel il seroit indifférent de faire usage des roues ou du treuil a lieu quand V x — U , mais alors l'équation ( n.° ao )

mqhPy=zkb* ( V, — u)\

devient mqhPv =z kb> ( U — u f U,

et comme on a ( n.° 6 )

uv — kb' »

on aura UV* = ( U ~<— u )' U,

et, par conséquent,

V=U—u, ou V~hu=U, et V — U = u (1).

23. Ainsi lorsqu'un bateau descendant une rivière est disposé de manière à pouvoir se servir d'un treuil ou de roues à aubes , il sera

(■ ) C« calculs paraîtront peut-être indirects; ou arrivera à U m«'m« conséquence en représentant par * h différence entre les «îicsses absolues dam les deux hypodics.s, l'emploi d'un treuil ou da rouet k aubes, et cherchant si U valeur de x est positive ou négative. On aura les trois équations

z=y,~ { K -+-«), mqhP ~ = U' ( V,—u)>i (n.»io).«t7K'= " .(*••«).

par réUmlnation de t et de V, , ou trouvera

( Kt- 1}' ( C+i + k) = UV,

ou *'-*-() l'-\-u)x' -+-( 3 V-+-iu) Kjt-*-( V-h ■ — U) V = c;

équation dont le dernier terme seul est susceptible de devenir négitif, et qui, par conséquent, ne peut •voir de racines positives qu'autant que U > V-t- a . ou que U — V > m.

avantageux d'abandonner l'usage du treuil si la vitesse absolue du bateau est plus grande que la vitesse ordinaire des aubes, ou, ce qui en est une conséquence, si la .vitesse du courant est plus grande que la vitesse avec laquelle les aubes choquent l'eau.

On voit d'après cela que, sans même avoir égard aux embarras que donne le treuil, il conviendroit rarement de l'employer pour descendre une rivière.

24. Après tout ce que je viens d'exposer relativement aux bateaux à vapeur, il me reste peu de remarques importâmes à faire sur les bateaux à manège.

Lorsqu'on attend pour considérer le mouvement qu'il soit devenu uniforme, la nature de la force motrice est évidemment indifférente, pourvu que sa valeur soit la même. Si donc la force totale des chevaux attelés au manège, qui est placé sur le bateau, est représentée par C, leur vitesse par v tl et que l'on conserve d'ailleurs la même notation que précédemment { n. 0 ' 1 et et 2 ), en comparant la résistance du bateau à celle des aubes, on trouvera

H* V 1 = *,i» {U— V y ou bV= a {U— V); et, en comparant la résistance des aubes à l'effet du manège,

k a *{u— vy = c x i.,

ou plutôt

car ici, comme lorsqu'on emploie une machine à vapeur (n.° 3), il convient, pour tenir compte de la force perdue par les frottemens, de ne faire entrer dans le calcul qu'une portion m, C de la force motrice.

On tirera de ces deux équations des conséquences tellement analogues à celles auxquelles les équations relatives aux bateaux a vapeur ont conduit, qu'il est inutile de s'y arrêter.

25. Il est même évident qu'en général il suffit de remplacer mqhP\i t dans les formules qui se rapportent aux machines à vapeur, par m, Cv, pour avoir celles qui sont relatives à l'usage d'un manège.

2l6 NOTE SIXIÈME,

Ainsi, lorsque les chevaux seront appliqués à mouvoir un treuil ( n.' 18 ), on aura

», Cv, = Aù' V\

16. La même équation serviroit si le manège étoit établi à terre et la corde attachée au bateau ; et si , par hasard , la vitesse V du bateau se trouvoit égaie à la vitesse u, qu'ont les chevaux du manège, les choses se passeroient comme si les chevaux tiroient directement le bateau en marchant sur un chemin de halage, et l'équation seréduiroit à

m t C = kb*V\

dans laquelle », dépend de l'obliquité de la cordelle.

27. On trouveroit pareillement que la vitesse absolue du bateau à manège, qui descend ou qui remonte une rivière, en faisant usage de roues à aubes (n.° 16), est égale à

y/ 'n, Cv % 1

± u -+- V kb* T'

28. La vitesse du bateau à manège qui emploieroit un treuil seroit (n.° 20) la valeur de V >t tirée de l'équation

m,Cv, z=kù- {V, + u y y t .

Cette équation donnerait également la vitesse du bateau, si le manège étoit établi au point fixe.

29. Lorsque les chevaux agissent sur une cordelle, leur vitesse devient égale à celle du bateau ; mais comme ils ne peuvent changer de vitesse sans que leur force ne varie, si l'on représente par V,' la vitesse que le bateau prendra, ce ne sera pas assez de faire o, = V,' et V, — V ' dans l'équation précédente, il faudra encore remplacer par de nouvelles expressions C et «,' les quantités que C et », représentent : alors en aura

qui se réduit à = ( F,' ^ u )• ,

Cette équation se vérifierait si l'on substituoit è y,', C,u, &c. des

DÉMONSTRATION DES PRINCIPES. 117 résultats d'observations; mais elle ne suffit pas pour déterminer/) priori les quantités dont elle est composée, parce qu'on ne peut pas se donner arbitrairement V! et C à-la-fois, attendu que la force C produite par les chevaux dépend de la vitesse avec laquelle on les fait agir.

Si l'on pouvoit exprimer cette dépendance par une équation , en combinant cette équation avec la précédente, on obtiendrait les valeurs de V' et de C , lorsque b, k, u et m,' seraient connues. La valeur de »,', qui est égale à l'unité lorsque le tirage se fait dans la direction du bateau , est d'autant plus petite que le tirage est plus oblique. La relation entre C' et V,' est inconnue ; c'est à l'expérience à la déterminer.

30. De ce qu'il suffit (n.° 25) de substituer /;/, C u, à la place de mqhPv dans les équations qui se rapportent au mouvement des bateaux à vapeur, pour avoir celles qui conviennent aux bateaux à manège, il suit que l'emploi des chevaux ou de la vapeur serait indifférent si l'on avoit

m, Cv, = mqhPv.

Or, m.Cv, exprime l'effet utile des chevaux pendant une seconde, et mqhPxi, celui d'une machine à vapeur pendant le même temps. Si donc les machines à vapeur avoient précisément la force d'un attelage d'un nombre de chevaux égal a celui par lequel on a coutume d'indiquer leur force, elles produiraient, dans les mêmes circonstances, sur un bateau ou à terre, exactement le même effet que ce nombre de chevaux.

3 1. On voit donc que la comparaison d'un bateau mis en mouvement par une machine à vapeur, à un bateau tiré par des chevaux, comme cela se pratique ordinairement, se réduit, dans toutes les circonstances, à celle des bateaux mus par des chevaux.

Or, lorsqu'un bateau à manège est mis en mouvement par l'action d'une roue à aubes sur l'eau , on a , par la comparaison au paragraphe 6,

et lorsque les chevaux tirent sur un chemin de halage, on a (n.° ao) kb x ( V: + u y = m,' C;

2l8 NOTE SIXIEME,

éliminant h entre ces deux équations, il vient

d'où Ion tire

Si l'on veut que la vitesse du bateau soit la même par l'an ou l'autre moyen , on aura

et, par conséquent,

m, Cv, = m'C U, équation qu'on peut mettre sous cette forme : m t Cv, =r m C V ' —y-T— ,

32. Ainsi, lorsque la vitesse absolue V' est plus grande que la vitesse U des aubes , ce qui arrive en descendant une rivière , dès que la vitesse de l'eau est un peu considérable, la quantité de mouvement utile des chevaux n'a pas besoin d'être aussi grande que celle des chevaux attelés à la cordelle, et le manège est préférable.

33. Au contraire, lorsque la vitesse absolue V,' est plus petite que la vitesse des aubes U, ce qui a lieu en remontant une rivière et même en descendant quand le courant est peu sensible , il faut que la quantité de mouvement des chevaux du manège soit plus grande que celle des chevaux appliqués à la cordelle dans le rapport de U hV,' , rapport qui peut devenir très- grand. Par exemple, si la vitesse absolue V,' étoit égale à \u (ce qui, quand on fait usage d'une machine à vapeur, correspond à la moindre consommation de combustible ) ( n." 17 ), la vitesse relative du bateau seroit égale à a+7 u ou à ~ u et la vitesse des aubes U seroit plus grande que -f u : alors la quantité de mouvement/» , Cv t que le manège devroit produire, seroit plus grande que la quantité de mouvement m,' C' K,' employée au halage,

multipliée par j— , c'est-à-dire par trois.

On peut remarquer à cette occasion que la vitesse 0, des chevaux d'un manège bien proportionné doit être déterminée de manière que Je moment Cv, soit le plus grand possible, et que, dcs-lors, le moment C'y,' est plus petit que la force dont les chevaux sont effectivement capables. Toutefois comme le coefficient w, est peu différent de l'unité, et que la complication du mécanisme peut réJuire à une fraction beaucoup moindre le coefficient m,', et que d'ailleurs V est plus grand que ~ u , il pourroit s'établir une sorte de compensation dont la conséquence seroit que pour remonter une rivière avec une vitesse égale à la moitié de celle du courant , par le moyen d'un manège ou d'une machine à vapeur d'une force équivalente, il faut que ce manège ait trois fois autant de chevaux que l'attelage qu'on emploierait pour produire la même vitesse en tirant à la cordellc.

Les désavantages des roues à aubes sont moindres lorsque la vitesse absolue est plus considérable; si, par exemple, elle étoit double de celle du courant, la vitesse relative seroit triple, et le rapport de Uk V' ne seroit guère que celui de 3 à 2 , si les aubes étoient assez grandes pour que U surpassât peu 3 u.

34- Les inconvéniens du manège employé à faire tourner des roues,' que les considérations précédentes établissent, tiennent à ce que l'eau se dérobe pour ainsi dire à l'action des aubes : mais lorsque cette machine est appliquée à un treuil , elle a sur le halage l'avantage de faire agir les chevaux avec la vitesse qui leur convient le mieux.

Les deux équations

et (F; T 0'=ï(n.°:9), que, dans ce cas, il est question de comparer, donnent

équation qui, lorsque l'on veut avoir la même vitesse, se réduit à

m,Cu, — m', C' V % .

Or, si le manège n'a pas de défauts importans, m, différera peu de m'