DEUXIEME SECTION

Obax*Kes mobiles. — 1-iieiï.ea d'inaueiioe.

S 41. — Indioationa préUxolnairas.

La détermination des effets produits par le passage d'un convoi, sur une construction quelconque, se ramène au tracé de certaines lignes, dites lignes d'influence, et dont la définition ressort des indications suivantes.

Considérons, par exemple, un arc AB de forme quelconque, encastré ou articulé à ses extrémités (fig. S). Une charge P le par-

court. A toute position D de cette charge correspond' une valeur déterminée de la poussée ; portons-la en ordonnée sur la verticale du point D, à partir d'une horizontale quelconque UU', prise pour axe des abscisses ; soit E l'extrémité de cette ordonnée : le lieu des points E est la ligne ^influence de la poussée.

De même, à chaque position de la charge mobile répondent, en une section G arbitrairement choisie, des valeurs déterminées du moment fléchissant M et des composantes X et Y de la résultante de translation des efforts intérieurs en cette section ; si on porte ces valeurs en ordonnées, ainsi que nous venons de l'indiquer

pour la poussée, on obtient trois points dont les lieux sont respectivement les lignes d'influence des quantités M, X et Y, afférentes à la section C.

Nous exposerons dans ce chapitre une méthode de construction des lignes d'influence relatives aux arcs encastrés aux naissances, lignes qu'on utilisera conformément aux règles générales indiquées par M. Maurice Lévy (Statique graphique, II" partie, page 39), pour la détermination des effets produits par le passage d'un convoi quelconque donné.

S 42. — E^iresiloiu nonvelles du moment fléchiiBant H at des oompokantoB X et T de la riBultante de tranalation des lorces IntérieureB développées en une section C arbitrairement choisis.

Dans les équations (a) du § 37, effectuons les substitutions qu'autorisent les formules {c") du même paragraphe, et chassons le dénominateur constant E ; il vient :

Les trois premiers termes de la première des équations précédentes représentent la somme algébrique des forces parallèles

-p ds, — p di et j— ds, appliquées tout le long de l'arc.

Les trois premiers termes de la seconde équation représentent la somme des moments, par rapport au point C(fig. 3, p. 22), de ces mêmes forces, supposées dirigées parallèlement à l'axe Go; et dans le sens de G vers x ou en sens contraire, suivant qu'elles sont positives ou négatives.

Les trois premiers termes de la troisième équation représentent la somme des moments par rapport à G desdites forces, supposées dirigées parallèlement à Taxe Cy et dans le sens positif ou dans le sens négatif de cet axe, suivant qu'elles sont positives ou négatives.

Nous avons désigné au § 37 par F', F", F'" les intensité» des

M X« YiF résultantes respectives des forces fictives -pds, -Y-ds, T~às,

et nous avons appelé centres les points d'application o', o', o'" de ces résultantes.

Soient (c'id'), [c'^d"), {c"',d") les coordonnées de ces centres par rapport aux axes ùc et Cy,

En remplaçant dans les éijuations (/"), les forces fictives et leurs moments, en fonction de leurs résultantes et des moments de ces résultantes, on obtient

I F-+F'' + F"' = +E(ff;-9'^),

^) j dr + d-F" + a"¥"= + E [Q'\- {Q;\,

( cT- + c"F' + (TF" = — E [(''Jj — (^,\].

Résolvant en F', F' et F'", il vient

-E[(g.-(^.i.>wH-ii[(''.),-(''.).](.i--^H-ii(»'.-^.)yf-»-.f)

Mr=

-E[i'.i,-(g.>-c>E[(v.-(g,](j-^.^Ey.-«'.)(,/f-c-,n

Le dénominateur commun A de ces formules a pour expression

[1111 (i) A = c'c' c'" =c'd"-f-c"rf"'4-c'"d — c'rf'" — c" (£' — €■" d'.

Or, on vérifie aisément, par des considérations géométriques, que W A = ± 2 X Surface o' o' o™.

Le signe -|- correspond au cas où les pointa o' o" o'" sont tellement disposés que le sens du cheminement o' o" o'" soit celui de la rotation des aiguilles d'une montre ifig. 7), et le signe — correspond au cas contraire {fig. S),

.Par les points o', o", o"', menons des parallèles à Taxe des y jusqu'à leurs intersections q', q", q'", avec les côtés opposés du triangle o', o", o'", prolongés s'il est nécessaire.

Une quelconque de ces parallèles sera considérée comme positive lorsqu'un mobile la parcourant de l'extrémité- portant la lettre o à celle portant la lettre q, se dirigera dans le sens des y

DigiLizedbyGoOglc

positif, et comme sens des y

) lorsque ce mobile se dirigera dans le

L'examen des figures {7) et (8) montre immédiatement qu'eu égard â la convention qui précède, on a

2 X surface o'o'o"" — =t (c" — d") x o'q' = ± (c"'— c") x o'q" = ±(c'— c')xo'V.

les signes -j- correspondant au cas où les points o'o'o'" sont situés de telle manière que le sens du cheminement o'o''o"' soit celui des aiguilles d'une montre, et les signes — correspondant au cas contraire.

En rapprochant les égalités (j) et (ft), il vient {/) ^ = (c'— c") X o'q' — if'— c') X o'q" = ((/— c") X o'"q'", quel que soit le sens du cheminement o'o'o'".

Substituons ces expressions de A dans les formules (A) et remplaçons en même temps F', F* et F* par leurs valeurs données par les relations (d) du § 37 ; nous obtenons après réductions

/ („rt,-ï=^i[(g-(f,),]+^[(g,-(g,]+£^B[^,--i,',].

(6) (oY)T-x=-4(g,-(g,]+iESE[(',).-('.),]+i^EK,-i',].

Ces formules font connaître les valeurs du moment fléchissant M et des composantes X et Y, suivant deux directions rectangulaires arbitrairement choisies, de la résultante des forces intérieures en la section C, en fonction des constantes de l'arc et dss

DigiLizedbyGoOglc

déplacements que prendraient, sous raction des forces extérieures données, les sections extrêmes (i) et (2) des tronçons A (1) et B (2) de l'arc supposé coupé en C.

Oa remarquera que les équations (6) restent exactes lorsque les déplacements précités sont le résultat de dilatations ou de contractions produites par des variations de température.

] 43. — Expressioiui dn moment fléohls>ant et des oompountea horizontale et vertloale de la réaultante de tranalatltm de* eticarte Intéiieura produits en nne eeotion donnée de l'aro, par

d'ane charge mobile. — Lee efforts flctUs ^-^ — di, ~1* dt. — Théorème relatU a

Soit P la charge mobile ; nous nous proposons de déterminer le moment fléchissant M et les composantes horizontale et verticale X et Y de la résultante des efforts intérieurs développés par la charge P, en une section G arbitrairement choisie (fig. 9)

Les directions attribuées aux composantesXetYimposent celles des axes Ca; et Cy auxquels il convient, comme précédemment, de rapporter la ligne moyenne de l'arc : Ca; sera donc horizontal et Cy vertical.

DigiLizedbyGoOglc

Appliquons à U détermination de M, X et Y les formules finales (6) du § 42.

A cet effet, calculons les termes inconnus (O (l'^\ g' des

seconds membres, c'est-à-dire les déplacements linéaires et angulaires absolus que les forces extérieures, qui se réduisent ici au poids mobile, imprimeraient aux sections (1) et (2) des tronçons A (1) et B (2) de l'arc supposé coupé en G.

n y a lieu de distinguer suivant que la charge mobile se trouve sur le tronçon B (2) ou, au contraire, sur le tronçon A {1).

1" La charge mobile se trouve sur le tronçon B (2).

Soit, à un instant donné, D le point d'application de la charge mobile P sur le tronçon considéré.

Lé tronçon A (1 ) ne supportant aucune charge n'est pas déformé, en sorte que

Il reste à calculer (l'^\ /l'\ et g', déplacements linéaires et

angulaire produits en (2) par le poids P appliqué en D, et que nous représenterons aussi par (ly* , fiy et j" , pour rentrer dans un

système de notations déjà usité (1™ partie).

En vertu du premier théorème de réciprocité (§ 6), le déplacement horizontal iiy*, produit en (2) par la charge P appliquée en

D, est égal au déplacement vertical il y qu'imprimerait au point

D une force horizontale égale à -]- P, appliquée à l'extrémité (2) du tronçon B (2); c'est-à-dire que

Or, cette force horizontale -|- P développerait, en chaque point (xy) du tronçon B (2), ou BG, un moment fléchissant égal à — Py. Par conséquent, on a, d'après la formule (IV) du § 33,

Donc finalement

De même, et toujours en vertu du premier théorème de réciprocité, le déplacement vertical {ly, produit en (2) par la charge

DigiLizedbyGoOglc

P appliquée en D, est égal au déplacement vertical (l V qu'imprimerait au point D une force verticale + P, appliquée à l'extrémité (2) du tronçon B (2) ; c'est-à-dire que

Or, cette force verticale -f- P développerait, en chaque point {xy) du tronçon B (2), ou BG, un moment fléchissant égal à -f- Pœ; par suite, d'après la formule (IV) du § 33,

Donc enfin

* iS D i

En vertu du second théorème de réciprocité (§ 7), le déplacement angulaire g , imprimé à la section (S) par la charge P appliquée en D, est égal au déplacement vertical (ly qu'imprimerait au

point D un couple égal à -+- P, appliqué à la section extrême (2) du tronçon B (2) ; c'est-à-dire que

Or, ce couple + P produirait, en chaque point {sy) du tronçon B (2), ou BG, un moment fléchissant égal à — P ; par conséquent, d'après la formule (IV) du § 33,

Donc finalement

2° La charge mobile ge trouve sur le tronçon À (1). Dans cette hypothèse le tronçon B (2) n'est pas déformé, en sorte que

(Q , (l'y\ et g' se calculent par la méthode qui vient d'être suivie pour l'évaluation des déplacements (''),('!) et g' de l'extré-,

DigiLizedbyGoOglc

-VmH-

mité (2) du tronçon B (2), lorsque c'est ce dernier qui porte la charge mobile. On trouve :

D étant toujours le point d'application de la charge.

En portant successivement dans les équations (6) du § 42, les valeurs simultanées des déplacements, données 1» par les formules (o), (6), (c), (d), ^0 par les formules (o'), (6% {c'), {d'), on a :

i" Lorsque la cftorj^ mobile se trouve sur la partie d'arc B (2), ou BG.

(.,),X = PJf7[i, 5 L^ J,

2" iors^ /fl cAflrje moWte «(nwve sur ta partie d'arc A (1), ou AC— (ort,-j = -PJir7[i, ! La J,

(-(.-0,-Y^-PJ7[y--<'''-'^^,^+/'''-'''^^- Posons

c-if-

D,j.,.db,Googlc

— M — 1" Lorsque la charge mobile se trouve sur la partie d'arc BC :

(o'q") »■ X = p jf r Li- J,,

(0-,-) ,- Y = F Jf 7«-p- A.

^ Lorsque la charge mobile se trouve sur la partie d'arc A G :

(V { (oY)?'x=-p jfV^^^rf*. ■

-(d''f)f-"Y — -PM7^-^dt.

Si l'on regarde z', z' et i" comme des ordonnées répondant aux abscisses at, on voit que les équations (8) représentent trois droites :

La première passe par les centres o' et o'" (fig. 9), car son équation est satisfaite : 1" si on y fait x=c', a' = d* ; 2° si on y fait X = c", z' = (f"; Et on vérifie de même que la seconde passe par les centres o' et «'", tandis que la troisième passe par o' et o'.

Par suite, {y — a'), (y — z'), (y — a"') sont les segments d'ordonnées, — autrement dit de verticales, — compris respectivement entre les droites o'o"', o'o'", o'o" et la ligne moyenne de l'are, ces segments étant comptés positivement pour les tronçons de ligne moyenne situés au-dessous de ces droites et négativement pour ceux situés au-dessus.

Dès lors, en remarquant que les quantités (oY), ("'î'), {«"'q'"), il ?', f" et b sont des constantes pour la section C considérée, et en se rappelant que D désigne le point d'application de la charge mobile, on traduit immédiatement comme suit les équations (9) et (9'):

Théorâhk I. — Élani donnés un arc AB encastré à ses extrémités, parcouru par une dutrge mobile, et une section transversale G arbitrcU- Ttmtnt choisie, si on applique successivement des forces fictives verticales,

1° tllL ds, 2° ?^~* - ds, S» y .— — ds, tout le long de la ligne

tnoyenne, — les quantités y — z', y — s', y — s"" étant respectivement

DigiLizedbyGoOglc

— Ailes segments de verticales compris eatre la dite ligne et les côtés û'oî", o'o"', o'o" du triangle formé par le centre fixe o' de la travée et les centres o" et o"" correspondants à la sedion C :

i" — (a) La somme des moments, par rapport à un point qtielconque D

situé entre la section G et la retombée B , des forces fùiives ^— ? — ds

réparties entre cepoint et le point B, est proportionnelle au moment

fléchissant que la charge mobile produit en G lorsqu'elle passe en D.

(b) La somme des moments, par rapport à un point quelconque D

situé entre la section C et la retombée A, des forces fictives ^— s — ds

r^rties entre ce point et le point A, est proportionnelle au moment fléchissant que la charge mobile produit m C lorsqu'elle passe en D.

S** — (a) La somme des moments, par rapport à un point quelconque D

situé entre la section Cet la retombée B, des forces fictives ^—s — ds

réparties entre ce point et le poita B, es( proportionnelle à la composante horizotUtde de la résultatde des efforts intérieurs développés d(ms la section G lorsque la charge mobile passe en D.

(b) La somme des moments, par rapport à un pinnt quelconque D

st(«^ entre la section Cet la retombée A, des forces fictives "—r — ds

réparties entre ce point et le point A, est proportiormelle à la composante borizontaie de la résultante des efforts intériews dév^oppés dans la section G lorsque la charge mobile passe en D.

3° — Les propositions (a) et (b) s'appliquent également aux forces

fictives ^—j — ds, et à la composante verticale de la résultante des

efforts intérieurs dévdoppés dans la section G par le passage de la diarge mobile.

En se référant à une propriété connue des courbes funiculaires et à la définition des lignes d'influence, on transforme comme suit le théorème qui précède :

Théobéub II. — Etant donnés un arc encastré à ses deux es^émités, parcouru par une charge mobile, et une section lransvers(Ue C arbitrairement choisie, si on applique successivement des forces fictives verticales

- ds, 2° ~ — î — ds, 3° -^—s — ds, tout le long de la ligne

DigiLizedbyGoOglc

moyenne de fore, {y—s% y — s', y— V" étant les segments de verticales précédemment définis), qu'avec des dialanoes pdaires orbi- Iraires on otmttruise les trois courbes funiadatres correspondantes, qu'on ti^e des tangetUes aux deux extrémités de chacune de ces courbes et qu'on arrête ces tangentes à la verticale du point C :

Les segments de verticales compris entre chacune de ces courbes funiculaires et les tangentes y relatives sont respectivement proportimnds aux ordonnées des lignes d'influence du moment fléchissant et des composantes horizontale et verticale de la résultante de translation des efforts intérieurs développés dans la section C.

- Propriétés des oourbes tniUoulalras oomsponAantM aux

lorces tioUvei ->

Théorème I. — Les tangentes aux extrémités de la courbe fmiculaire

eorrespondante aux forces fxiives verticales -^—^ — ds , réparties tout le long

de Carc, se coupent sur la verticale du centre de gravité G de h section considérée.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la résultante des forces fictives en question, réparties tout le long de la ligne moyenne AB de l'arc, passe par le point 0, ou, par suite, que la somme des moments de ces forces par rapport à C soit nulle ; c'est-à-dire que

telle est l'égalité à vérifier.

Or, en chaque point (xy) de la ligne moyenne de l'arc, st' a pour valeur, d'après les équations (8) du § 43,

DigiLizedbyGoOglc

Mais, ea vertu du théorème des momeuts,

puisque c" est l'abscisse du centre o"' des forces fictives parallèles yds réparties tout le long de l'arc.

Par conséquent

Or rf" étant l'ordonnée du centre o"' des forces fictives parallèles ? dfi, ona

Donc finalement

C'est précisément l'égalité qu'il s'agissait de vérifier.

Théorème II. — Les tangentes aux extrémitéi de la courbe faniatlaire

eorrespondante aux forces fictives verticaies ^—^ — ds, r^arties tout fe

long de l'arc, sont situées dans le prolongement Fune de l'autre, oa, autrement dit, coïncident avec la ligne de fermeture de cette courbe.

Cette proposition résulte immédiatement de ce çue les forces fictives en question sont en équilibre, ainsi que nous allons le montrer en vérifiant les deux égalités

(a) r'ti£:i,=o et r(y^é,y=o.

D,j.,.db,GoOglc

En effet, en chaque point (œ^) de la ligne moyenne de l'arc, z' a pour valeur, d'après les équations (8) du § 43,

Qonc

r^ /»B rs

et

Ji'ic. i—d'" l X* , , e"'d' — c'd" / x.

Mais, en vertu du théorème des moments,

jid, = c'ji et j^d, = i-r'-d,.

puisque c' et c" sont les abscisses des points o et o', centres respeclife des forces fictives parallèles -=- et y ds réparties tout le long de l'arc.

Par suite

/"s". l (f-rf"^ , e"d!~€dr\ (^ds , f'ds

et

Or, d et rf" étant les ordonnées des centres o' et o"' des forces fictives parallèles -r et ■? ds, réparties tout le long de l'arc, on a

D,j.,.db,Googlc

donc floalemeot

XB /'b /»b /»b

Ce sont les égalités qu'il s'agissait de vérifier.

ScoLiE. — La première des équations (o) montre que k polygone des forces fictives verticales ^—^ — ds est fermé.

Théorème III. — Les tangeiUes aux extrémités de la courbe funiculaire correspondante aux forces fictives verticales^—: — ds,r^rties tout le long de l'arc, sont parallèles.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le premier et le dernier rayon polaire du polygone des forces fictives ^-^ — ds coïncident, ce qui nécessite que la somme algébrique de ces forces soit nulle, c'est-à-dire que

/ t^ds = 0, ou bien I Çds= 1 ^ds;

telle est l'égalité que nous allons vérifier.

En chaque point (sey) de la ligne moyenne de l'arc, i'" a pour valeur (équations (8) du § 43)

~ c'— c" "*" c'~c" Donc

Hais

rfs puisque c' est l'abscisse du centre o' des forces fictives -p réparties

tout le long de la ligne moyenne.

Or

puisque d' est l'ordoimee du centre o' des forces fictives -p. Donc eufln

Ce qui justiâe la proposition énoncée.

ScOLiE. — L'équation (6) montre que te polygone des forces *kHves verticales - — s — ds est fermé.

Tbéobèhe rv. — Les trois courbes fimiculaires correspondantes aux

forces ficlives^-^^^ds,^—, — dset^-^ — ds prisentenl des points

d'inflexion situés sur les xxrticales des points (finfersecfwn respectifs des trois droites 0*0", o'o'" et o'o' avec la ligne moyenne de l'arc.

Cette proposition résulte immédiatement de ce qu'en ces points (l'intersection les forces flct ves dont il s'agit s'annulent en changeant de signe.

I 45. ~ Construotiott des lignes d'influence du moment UéciûBsant et des compossntes horizontale et verticale de la résultante de translation des eUorta intérieurs développés en une section C arbitrairement choisie.

Le théorème II du § 43 ramène cette construction à celle de trois courbes funiculaires correspondantes aux forces fictives verticales ^T^ - ds, ^~r^ . ds et ^~!^ ds réparties tout le long de la

ligne moyenne de l'arc.

Divisons cette ligne moyenne en un certain nombre de parties

DigiLizedbyGoOglc

As égales entre elles, As ayant la même valeur qu'au § 38 (Construc lion des centres).

Nous pouvons substituer, sans erreur appréciable, aux trois courbes funiculaires dont il s'agit, trois polygones funiculaires correspondants respectivement à des forces fictives élémentaires

finies "~ ■ As, ^-^ — As et ^^ — As, appliquées au milieu de

chaque élément As de ligne moyenne.

De plus, il convient d'affecter ces forces fictives du coefficient

.constant ~- déjà employé dans la détermination des centres et

des quantités <f\ ç" et ç" (§ 38), — c'est-à-dire de leur attribuer les valeurs suivantes :

df — s')—, (ff— «")-|- et (y — a-)—.

Traçons f^j/. 3, pi. 200j les trois polygones de ces forces fictives, lesquels se réduisent à trois droites, en ayant soin de commencer par l'extrémité Ade l'arc; puis choisissons, sur les horizontales menées par les origines a', a", a'" de ces polygones, des pôles p',/»', y" dont les distances polaires B', B", B", pour l'instant arbitraires, seront regardées comme positives ou comme négatives, suivant que les pôles seront à gauche ou à droite des polygones des forces; enfin, construisons les polygones funiculaires correspondants a'C'b', a'Cfe', a"C'"b'", dont nous faisons coïncider respectivement les premiers côtés avec les horizontales UiU',, UjDi, îlaU's, et dont nous prolongeons les premiers et les derniers côtés jusqu'à la verticale du point C.

Ces polygones funiculaires ont pour limites, lorsqu'on fait décroître indéfiniment As, les courbes funiculaires des*^— r — ds, S— — ds et ^^— T— ^ > lesquelles jouissent des propriétés énoncées au § 44 (théorèmes I, II et Hî).

Donc:l°lederniercôtét'c'du polygone funiculaire correspondant

n^ aux forces fictives {y — z') — r— , coupera U,U, en un point & situé

sur la verticale du point C : 2» le dernier côté b"c" du polygone

DigiLizedbyGoOglc

avec UjUi et fermera par conséquent le polygone ; 3° le dernier côté b"'d" du polygone funiculaire correspondant aux forces fictives

{j; — 3*") —T- sera parallèle à UjU*,. Ce sont là des vérifications de

l'exacritude des constructions.

Désignons par K'H', K'H" et K"'H'" les segments de la verticale d'un point quelconque D de l'arc, interceptés respectivement par ces trois polygones et leurs côtés extrêmes, prolongés jusqu'à la verticale du point C, segments que nous regarderons comme positifs ou négatifs, suivant que les points H seront au-dessous ou audessus des points K; on a, en vertu d'une propriété connue des polygones funiculaires :

En tout point D silui^ dnns la partie d'arc BC :

-|-Jfriy-5')^ = B'xK'H',

-|-Jfr(ï-3")~ = B"'xK''H",

+ K7{y-z-") '^ =B"XK"'H'

En tout point D situé dans la partie d'arc AC :

Jfr(//-3')-^=B'xK'H',

-MYlU-^')

— M Y (ij-s-") -j- =B"'xK"'ir",

étant entendu que les segments de verticales sont lus à Téclielle des longueurs, et les distances polaires à l'échelle des forces fictives employées, qui est celle des longueurs, puisque lesquantités y — s') V — s' 5 y — '" sont des longueurs, que n est un nombre

sans dimension et que -p est un rapport.

En multipliant les deux membres de chacune des relations pré- , «As -, ,

cédentes par le facteur constant

DigiLizedbyGoOglc

+xr'-/^ 7'b-xk'h-,

Jf7»7°'4.-"j'"B'xKTr,

+ irrï^' 4«= ^B'xK-H-,

ï>-"'i,-'^'B-XK-H-,

-^°MY''-/i. "f'B-xK-H".

Par suite, à cause des équations (9) et (9') du § 43, et à la substitution près des forces fictives élémentaires flniea aux forces fictives infiniment petites, on a, en un point quelconque D de Tare, c'est-à-dire pour toute position de la charge mobile V, nÂt^

6 li/q),

En remplaçant p', ?" et ç'" par leurs valeurs tirées des relations (2), (8) et (4) (lu §38, il vient

M PxB'„

(oY)^'

Cela posé, désignons par P, B*, ÔY, ^', K'H', etc. les longueurs brutes, — abstraction faite de toute écbelle, — des lignes qui sur l'épure représentent les quantités P, B', o'q', *', K'H', etc...

Soient, en outre, j 1 échelle des forces et y l'échelle des Ion* gueurs.

On a

- B' X /, o'q' ^ o'q' X /) K'H'^K^x/,etc..<

DigiLizedbyGoOglc

En substituant ces valeura dans les trois équations précédentes nous obtenons

Or, on peut toujours prendre pour distances polaires B', B',B" des longueurs données par les formules

auquel cas les équations précédentes se réduisent, à

MrsKÏPx/; X=:KÏÏrx/", Y=ïrH^X/";

et l'on peut dire, dès lors, que les segments de verticales K'H', K"!!" et K^H", correspondants aux polygones funiculaires tracés avec les distances polaires ci-dessus, représentent, à Féchelle des forces, les

quantités-r-, X et Y (*), ou encore qu'ils sont égaux aux ordonnées

des lignes d'mfltance des dites quantités.

Par suite, si l'on porte ces segments en ordonnées, à partir des droites horizontales UiUi, UjUj, UjUâ, choisies comme axes des abaciases, les lieux des extrémités de ces ordonnées seront les lignes d'influence cherchées.

En raison de la position que nous avons eu soin de donner aux premiers côtés des polygones funiculaires, cette opération se trouve toute faite pour les parties o'C et a"'G" des lignes d'influence de

'-r et de Y, qui correspondent à la partie d'arcAC,etelleest complètement réalisée pour la totalité de la ligne d'influence de X.

On remarquera qu'en ce qui concerne la ligne d'influence de Y, l'opération en question se réduit à transporter parallèlement à elle' luème la partie 0"'b'" du polygone funiculaire des efforts fictif

{y — ' s'") — j— 1 située à droite de la verticale de G, de manière à

(*) Dus ta figure 3 (pi. 200J, on a pris 5*= + '° 1> , de sorte que PïP" représante P — YetUffli -hT.

DigiLizedbyGoOglc

— Ei2 —

amener le côté exti'éme de droite de ce polygone en coïncidence avec U3U3 ; la translation a donc lieu d'une quantité égale à la distance verticale des côtés extrêmes (•). -

Quant à la ligne d'influence de X, il résulte de ce qui précède qu'elle se confond avec le polvgone funiculaire des efforts fictifs

Nota. — Il est facile de tracer directement, — c'esl-â-dire sans effectuer le report des segments tels que K'H', — la portion

b'fi' de la ligne d'influence de la quantité-r- ; à cet efl'et, on

constroira à part un polygone de celles des forces fictives

{y — =')-r <^'ont les points d'application sont sur la portion d'arc

ijB; soit y'iP', ce polygone. Puis on prendra un pôle p\, de de distance B', sur l'horizontale de l'extrémité g',. Enfin, ou tracera le polygone funiculaire correspondant, en commençant par la droite et en ayant soin de faire coïncider le côté extrême (le droite avec l'horizontale U.U',. Ce polygone funiculaire sera précisément la partie de ligne d'influence b'iC cherchée.

Résumé des constructions à effectuer -pour déterminer les lignes à influence du moment fléchissant et des composantes horizontale et verticale de ta résultante des efforts intérieurs développés en une sectiou G arbitrairement choisie.

1" Construire les quantités"*', W, 5^, ainsi que le centre fixe 0' de la travée et les centres 0" et «'"correspondants à la section C (§ 38); joindre ces centres et mener les lignes o'q', o'q" et o'V" (§ 42^

2° Tracer trois polygones funiculaires, de distances polaires p = E2f , g7^(gag: p^K^g^, correspondants i

des efl'orts fictifs verticaux ayant respectivement pour intensités 1 1 1

(y — 3') —r-< {y — z") —r-' {y— s'") -ï-> n et U ayant les valeurs

(•) n esi ftcile d» démontrer que cette dislaoce verticale représente la charge P â l'échelle des forces.

D.o.z.db,Googlc

déjà employées pour là construction des quantités"*^,*","*" et des centres o', o" et o'".

S"» Ramener les ordonnées de ces polygones, comptées à partir des côtés extrêmes prolongés jusqu'à la verticale de 0, à avoir leurs pieds sur les axes U,U;, UjUâ, Ualli.

§ 46. — Lignes d'Influence des quantités H, X et T oorrcspoudantes aux diverses seotions de l'arc.

Lorsqu'on aura constniit, ainsi qu'il vient d'être dit, les ligues d'influence relatives à une section C quelconque de l'arc, on utilisera les résultats obtenus, pour simpliiier très notablement les constructions similaires à effectuer pour la détermination des lignes d'influence relatives à d'autres sections arbitrairement choisies.

Nous allons établir en effet : -

1° Que les centres o" et o"" relatifs à la section G étant connus, on en tire immédiatement ceux o''t,o'"i, relatifsàune autre section C, arbitrairement choisie ;

2° Oue les deux polygones funiculaires des efforts fictifs

fî/i — ^l) — I — ei(yi~'^T) — i — t polygones dont se déduisent les

lignes d'influence des quantités X et Y relatives à la section G,, sont identiques à ceux des efforts fictifs'

{y—z") -^^ et {y— 3'") — p- ,

construits pour la section C, et qu'en conséquence il n'y a lieu (l'effectuer, pour la section G,, que le seul tracé du polygone î\Xr

uiculaire des efforts fictifs (y, — ^\) — j — > polygone qui fait connaître la ligne d'influence du moment fléchissant en la dite section.

Propriétés relatives aux centres o" es o'" correspondants

AUX DIVERSES SECnONS DE l'ARC {')

Théor&he I. — Lorsque le centre de gravité C décrit la ligne moyenne

{'j Voir la Note 1. — Propriétés 4et dro^ qui joignent tes eeatrei.

D,g,L,zedbyG00g[c

(lé l'arCf en entraînant d'un mouvement de tran^tion les aœs de ooordonnées CxetCy :

i" Les centres o' et o'" correspondants décrivait datœ droite» issues du centre fixe o' de la travée ; autrement dit, les côtés o'o' et t/o'" du triangle des centres restent fixes, tandis qw le troisième d'o'" se déplace;

2° La sitiMtion du point C étant supposée rapportée à deux axes de coordonnées ^xes, Vun o'x' horizontd, raittre c'y' vertical {(ig. 40, p. 468), les distances o'o" et o'o'" varient en raison inverte : ta première,de l'ordonnée, la seconde, de l'abscisse du centre de gravité de la section mobile ;

3° Les produits {o'q")^" et {o"'q'")^'" restent constants ;

4° Lesproduits (e" — c')^" et(c"' — e')ç"' restent également conslar^{').

l" — Les points o" et o'" sont respectivement les centres des forces

fictives parallèles -■;- ds et -,- ds, dont les valeurs dépendent de

la position du point C, origine des'coordonnées a; et y.

Les coordonnées de o" et de o"' par rapport à Cx et Ci/ sont données par les formules :

Convenons maintenant de regarder la fibre moyenne AB de l'arc comme une ligne matérielle dont le poids de chaque élément ds

ds serait égal à -

ClLa nature de la questioD qui fïiit l'objelde ce cbapitre exige que le point C toit prit aur ta ligne moyenne de l'arc. Haii 11 tant remarquer que lei quatre pn^MMitioni ci-deasus ont un caractère purement géométrique et qu'elles restent vraies, km mËme que le point C, considéré alors seulement comme origine des cootdonoéos Cx et Cy, le déplace dans le plan de la ligne moyenne sans Être assujetti A rester sur cette ligne.

On remarquer* ana^i qu'elles sont encors applicables lonqu les axes Ca et Cy, au lieu d'être, l'un horizontal, t'aulre vertical, ont des directions rectangulaires quelconques; dans ce cas, les axes oV et o'y' du iadoiteot^tre menés perallèleiiMiit à Caeti (^,

DigiLizedbyGoOglc

Le poiat o' est le centre de gravité de cette ligne. Les dénominateurs des expressions de c', d", </" et d" représentent les moments de la dite ligne pesante par rapport aux deux plans, l'un horizon' tal, l'autre vertical, qui ont pour traces Gr et Gj/ sur le plan de la ligne moyenne ; les numérateurs en représentent les moments du second ordre par rapport aux mêmes plans.

Désignons par a;' et y" les coordonnées d'un point quelconque de la ligne moyenne relativement aux axes o'x' et o'y' parallèles à Cœ et à Cy et passant par le centre de gravité o'. On a, d'après les propriétés connues des moments du premier et du second ordre,

D,j.,.db,Googlc

où c' et (f sont les coordonnées de o' par rapport aux axes Gx et Cy. En substituant ces yaleurs dans les formules (o), il vient

int

Tîî ■ " - Tii!— l- 715-

en posant

A', B' et C sont des constantes indépendantes de la position du point C, puisque les axes de coordonnées ox" et oy' sont fixes.

Si on désigne par 7", B" et y"", 5'" les coordonnées des centres 0* et 0"' par rapport aux axes o'x' et o'y', les relations (b) donnent, eu égard aux formules connues de changement de coordonnées,

D,j.,.db,Googlc

D'où

l'on tire

Ces équations ont pour seconds membres des quantités constantes. Si on y regarde les î et les f comme lés coordonnées courantes des points o" et o'", elles représentent deux droites passant par l'origine o' des coordonnées.

Donc, lorsque le point C décrit la ligne moyenne de l'arc, les lieux des centres o" et o" correspondants à ce point, sont deux droites (').

2° — Les coordonnées des centres o" et o'", correspondants à une section C quelconque, prises par rapport aux axes o'x', o'y', sont lionnéesparles formules ((f). De même, les coordonnées ï'',i3",)T'"( ?'", des centres 0° et o"', correspondants à une autre section C, arbitrairement choisie, ont pour expressions :

où c, et d", sont les coordonnées du centre fixe o' par rapport aux axes G,ar, et G,y^ parallèles à Ca: et à Gy (^g. iO, p. S5J. Des formules (rf) et de celles ci-dessus on déduit

et, en vertu de la propriété projective des rapports,

Or, si on désigne par Ç, i) et Ç,, >], les coordonnées des points C et C, relativement aux axes oV et o'y', on a

c' = — ï, (f = — n, c'^ = — l, iP^ = — -ï\^; d'où, finalement,

7ô\ ~ "V ^ ôv^ ~ X' Ces relations justifient le 2« du théorème.

C) Oa démoDlKnit bellement que la droite ûie o'o'" est la liçnt de fermtiure de rare et que, par snite, la courba funiculaire des forces Active» — - — d] est la ligne de pauttét de U. Haurice Lévj.

DigiLizedbyGoOglc

3" — Nous allons montrer maintenant que les produits {o'<f)<f'' et {o'"9")ç"' sont constants, quelle que soU la position du point G

(f' et ç'" ont pour expressions (fonnules (e), § 37)

ou, puisque c' et d' sont les coordonnées du centre fixe o' relativement aux axes Cx et Cj/, et que ce point est le centre des forces

D'autre part, les droites o'o'", o'o", dont lea coefficients angulaires sont les seconds membres des formules (e), ont pour équations, par rapport aux axes Cx et Cy,

et les ordonnées r"q", r"Y" de ces droites, répondant respectivement aux abscisses c° et c'", ont dès lors pour valeurs

Remplaçons (d'— d"), (c"— c'), {c^—d") et (c"— c'), par leurs valeurs tirées des fonnules (6) ; nous obtenons

oY = (-B-+-£l)-^,

D,j.,.db,Googlc

Les relations (3) et (j) donnent, pour les produits (fi'q')^' et

(û"'9")ç'", les valeurs suivantes

qui sont des constantes, ainsi que nous l'avions anaoacé.

4° — U reste à démontrer enfin que les valeurs des produits (c' — &)^'' et {d" — c')f sont indépendantes de la position du point C. Les équations (fc) donnent

Multipliant membre à membre ces deux relations x,\ les deux équations {g) on obtient, pour (c* — c')ç' et (c' — c')?", les valeurs suivantes

et {c"-Oç'" = A'' / ^= I ™ds,

qui sont constantes.

Étant donnés le centre fixe 0' de la travée et les centres 0" et 0* corresrokdants a une section g, constbuiite les centres 0* et o'" corilbsi>ondants a une autre section c^ arbltitalhesent choisie.

D'après le i" du théorème précédent, o'et o'I'se trouvent sur les droites fixes o'o" et o'o'" connues; on a de plus, en vertu du 2" dudit théorème [formules (/)],

Ces relations conduisent immédiatement à la construction suivante (fig. 40, page 55).

DigiLizedbyGoOglc

Projeter C et C, sur o'a;' et sur o'y' pour déterminer les coordonnées de ces points, savoir ;

Ç = o'e, ■ 5, = oV„ y; = o'f, r^ = o'fi ; puis tirer o''f^ et par f mener à cette ligne une parallèle qui coupe o'o" au point o", cherché.

Enfin, tirer o"'«, et par e mener à cette droite une parallèle qui rencontre o'o'" au point o"', cherché.

Remarque. — 8i le point C, vient en E ou en F, sur l'axe o'x', son ordonnée nj, s'annule, et la première des formules (/) donne alors o'o"^ — « ; o", est donc rejeté à l'infini sur o'o", et la droite o"',»", devient une parallèle menée par o"', à o'o".

Si C, vient en G sur l'axe o'y\ son abscisse Si s'annule, et la seconde des formules (e) donne alors o'o"', — c© ; o"\ est donc rejeté à l'inflni sur o'o'", et la droite o''^o"'^ devient la parallèle menée par

Les lignes b'influencb des quantités M, X et Y afférentes a une

SECTION c, d'ailleurs QUELCONQUE, ÉTANT CONNUES, CONSTRUIRE LES LIGNES DE HÉHE NATURE AFFÉRENTES A UNE AUTRE SECTION G, ABBI- TRAIREHEKT CHOISIE.

Théorème II. — Les polygones funiculaires des efforts ficlifs

correspondanfs à la section C, aj-bitrairement choisie, sont respectivement identiques à ceux des efforts fictifs

correspondants à la section C.

En effet:

1° Ces polygones correspondent à des efforts fictifs égaux, car, les droites o'o"', et o'o'", d'une part, o'o", et o'o", d'autre part, coïncidant entre elles (1° du théorème précédent), on a : y, — s", — y — s" et i/,— s'", = y—z'" ; ^

2" ils ont respectivement mêmes distances polaires (B", = B", B'",=B'"), ainsi qu'il résulte immédiatement des expressions, xle

DigiLizedbyGoOglc

ces distances, données au § 4S (page 5i), et du 3" du théorème précédent en vertu duquel on a

{o\q\)f\ = (o'q")'?'' et {0,"'g"',)?'". = {o""?"')?"'. OU, d'après les relations (3) et (4) du § 38,

(o",q",)*"i = {o'(f)^" et (o'",/',)*'", = (o"'ç"')*'".

Conséquences. — 1'^ Les lignes d'infiuenee de la composante X sont les mêmes pour toutes les sections de l'arc et se confondent avec h polygone

funiculaire des (i/ — z") — j — tracé pour la section C.

En effet, pour toute section C, par exemple, la ligne d'influence lie X n'est autre chose que le polygone funiculaire des effoi-ts fic-

tifs (j/,-=\) -

Ihéorème précédent, ce polvgone est identique au polygone funi-

ciilaire des (y — s") — : — relatif à la section C.

â" Les lignes d'influence delaeomposante Y reltUives aux diverses sections (k l'arc se déduisent toutes du seul polygone funiculaire des efforts fictifs

(,'/ — j"') — î — relatif à la seclioji C.

Il résulte, en effet, immédiatement du théorème précédent et de la construction indiquée au § 45 qu'il suffira; pour obtenir la ligne d'influence de Y afl'érente à une section Gj arbitrairement choisie, de transporter parallèlement à elle-même, dans le scDs vertical, la partie du polygone funiculaire o'"C"'è'" (PI. 200,

Pg. 5) des (y — s'") — p-r, située à droite de la verticale du centre

de gravité C, de cette section, — l'amplitude de cette translation étant égale à la distance verticale des côtés extrêmes parallèles de ce polygone.

La ligne d'influence cherchée se composera de la partie non déplacée et de la partie déplacée occupant sa nouvelle position.

On pourra effectuer, une fois pour toutes,en «'",6'"„ la translation de la totalité du polygone funiculaire. Alors, pour une section C^

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quelconque, la ligne d'influence de Y sera formée : i" de la partie oTC'^ du polygone non déplacé, située à gauche de la verticale de C», 2" de la partie (G'i'), b'", du polygone déplacé, située à droite de cette verticale.

ConcLUSiON. — En résumé, après avoir déterminé par les méthodes indiquées aux §§ 38 et 4S, le centre fixe o' de la travée, les centres o" et o" correspondants à une section C arbitrairement choisie (*), les polygones funiculaires des efforts fictifs

et, par suite, les lignes d'influence des quantités M, X et Y, correspondantes à la dite section, on se trouve connaître la ligne d'influence de X relative à toute autre section G„ puisque cette ligne est la même pour toutes les sections ; et il sufflt :

i° Pour obtenir ta ligne dinflumce de Y relative à toute autre section G„ d'efi'ectuer la translation du polygone funiculaire des

{y '—s'") — m — indiquée plus haut.

2" Pour déterminer la Hgnt d'influence de M relative à une section C, quelconque, de construire les centres o', et o"\ correspondants à cette section, ainsi qu'il a été indiqué au présent paragraphe, de tirer o",©",, — ce qui fait connaître les segments de verticales

{y\ — s'i) et. pal" suite, les efforts fictifs (y, — z\)- — p— , — enfin,

de tracer un polygone funiculaire de ces efi'orls qui fournit la ligne d'influence cherchée {§ 43).

% 4ï. ■-" Cas partiotdier où l'arc «st d« ofamotUM «ymétTititto par rapport & la verticale du mlliatt ds la corde.

Dans cette hypothèse, les constructions indiquées précédemment se simplifient, ainsi que nous allons le montrer brièveiùent.

C) Oapeat,p>r exemple, cboisiiuna des sections d'eiica*ti«iiietit, A ouB; lesquuitllés U, X et Y correspondantes tatA alors, la première, le momeot d'encastrement, les detix antres, les comp08«ntes horizontale et verticale delà résctluide l'encas^ement con«dëré.

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Centre fixe de la travée et centres correspondants a une SEcnon

i° Le centre fixe o' de la travée et le centre o" correspondant à une section quelconque, sont situés sur la verticale du milieu de la corde (fig. tl), car ces points sont respectivement les centres

des forces fictives parallèles —s— et -S- ds qui, — lorsqu'elles

sont dirigées verticalement, — sont deux à deux symétriques par rapport à la verticale dont il s'agit.

fp Le centre o'" relatif à une section G quelconque, se trouve sur l'horizontale du centre fixe o' de la travée.

En effet, par rapport aux axes o'a:' et o'y', l'ordonnée du centreo"* correspondant à la section G, est donnée par la dernière des formules (d) {§ 46, p, B6):

ac'y'

ds

Or oy étant un axe de symétrie de la ligne moyenne considérée comme une ligne matérielle dont le poids de chaque

d' élément de longueur ds aurait pour valeur-:

ils=o,

par suite S'" = o.

0*" se trouve donc sur l'horizontale o'a;' du centre fixe de la travée.

Il résulte de ce qui précède que les droites o'o' et d'o"" coïnci^ dent respectivement avec les axes o'y' et o'a;', et que les lignes o'ç', o"}', o'V", considérées dans le cas général, deviennent respectivement t o'q' = o'o', o"q" = o'o' et o'"q"' == <x> ,

La détermination du centre fixe o* de la travée n'exige que le

As tracé d un seul polygone funiculaire, — cBlui des efforts fietifs-j^, ou

tnieilx b — p- j dirigés horizontalement^ puisqu'oû Sait que ée tJentté

DigiLizedbyCoOglc

se trouve sur la verticale du milieu de la corde de l'arc. En raison de la symétrie, le tracé pourra ne porter que sur les forces fictives correspondantes à une moitié seulement de l'arc.

De même, la détermination du centre o" correspondant à une section C arbitrairement choisie, n'exigera que le tracé d'un seul

polygone funiculaire, celui des forces (îctives horizontales 4 As,

ou mieux y — j— ; le tracé pourra ne porter que sur une moitié de, i'arc.

Enfin, la construction du centre o" correspondant à cette section ne nécessitera que le tracé du seul polygone funiculaire des forces

fictives verticales-T As, ou mieux a;— r— , puisqu'on sait que ce centre est situé sur l'horizontale o'x'-:

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LIGNES d'influence DES QUANTITÉS M, X ET Y, COSRESPONDANTEâ A UNE SECTION C ARBITRAIREMENT CHOISIE.

ia construction des lignes d'influence des quantités M et X reste exactement celle indiquée pour le cas général de l'arc dissymétrique (§45).

Il faut remarquer que, dans le cas particulier qui nous oc-

cupe, le polygone funiculaire des efforts fictifs (y —-=")— p, —

et par suite la ligne d'influence de X, qui se confond avec lui, — est symétrique par rapport à la verticale du milieu de la corde de l'arc, parce qu'en raison de l'horizontalité de la droite o'o"", les

efforts fictifs (y — z") — p sont deux à deux symétriques par rapport à cette verticale.

Quant à la règle donnée dans le cas générât pour le tracé de la ligne d'influence de Y, elle est en défaut loi-sque l'arc est symétrique.

En effet, le polygone funiculaire d'où, d'après ce ti'acé, on doit déduire cette ligne d'influence, correspond à des forces fictives

verticales ayant pour valeur générale {y — s'") — p, où (y — ='")

représente les portions de verticales comprises entre la ligne moyenne de l'arc et la droite do" ; or, ici, cette droite se confond avec l'axe vertical de symétrie de l'arc ; donc les segments y — s'",

etpar suite les forces fictives (*/ — s'")— p, sont infinis. Pour la

même raison, la longueur o"'(f' est infinie, et il en est de même de la distance polaire B'" qui lui est proportionnelle (§ 45).

Les forces et la distance polaire étant infinies, le polygone funiculaire correspondant est indéterminé. La construction générale est donc illusoire lorsque l'arc est symétrique.

Reprenons les deux dernières formules des groupes (7) et (7') du § 43 (p. 40) :

i= Lorsque la charge mobile se trouve sur la partis d'arc BC ." - (d" — d')x -\- c'd" — c"d' "1 (fc

(a)-{o"'Ol''"Y = PiBrU

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(a-) ^(o'"q"'y'Y = -PMj\y-

2^ Lorsque la charge mobile êe trouve sw- la partie d'arc AC ;

(d' — d')x + Cd" — c'tfl dji c' — c" \l'

Dans le cas où l'arc est symétrique, les centres o' et o" étant situés sur la verticale de symétrie, on a

c' ^ c" ; <l'où c' — c" =: 0.

D'autre part o'"cf" est inQni, ainsi qu'il vient d'être dit. Donc, d' étant essentiellement différent de d", les formules précédentes se présentent 30U9 la forme illusQÎre

» = ûe.

Pour lever l'indétermination, chassons le dénominateur </ — c' et remplaçons le produit io"'q'") (c' — c") par sa valeur résultant des formules {/) et (») du § 42, savoir ;

{o'"q"'){c' — c') ^ c'd" -\- c"rf" -|- c'"d' — c'd" — c"df — c"'d" ; puis, tenons compte de l'égalité c'^ c" et enfm supprimons la quantité {d" — d') qui apparaît alors en facteur commun ; il vient :

(a,) - {c- - c'") 9"' Y = P JfV (X - c-) -^.

(o',) (c- — c"')?"' "^——PMYix- c') "Y"

Posons

(ft) s'" =:X — c'.

D'où :

/" Lorsque la charge mobile se trouve sur la partie d'arc BG ;

(1) (c' (f) f- Y=PM7— ds.

2" Lorsque la charge mobile se U'oave sur la partie d'arc AG : (!') — (c- — C-") /' Y = — P MtA^ de.

En regardant x etz'" comme des coordonnées courantes, l'équation (!») représente une droite mn {/ig. H, p. 64) faisant un angle de + 45° avec la partie positive Ga; de l'axe des x, et passant par le point d'iatei-section ( de cet axe avec la verticale de symétrie de l'arc.

En comparant les relations (1) et (!') avec les troisièmes équations de chacun des groupes (9) et (9') du § 43, on voit qu'elles n'eu différent que par la substitution des quantités (c'—'c'") et s" à celles {o"'<i"} et {y — z'"). Par conséquent les deux théorèmes du § 43, énoncés pour l'arc dissymétrique, restent vrais pour l'arc symé-

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trique, à la condition de substituer aux efforts fictifs "

efforts fictifs égaux à y ds, s"' représentant l'ordonnée de la droite qui vient d'être définie.

La construction de la ligne d'influence de Y est donc ramenée au tracé d'une courbe funiculaire correspondante à des efforts flctife

verticaux -j ds.

On démontrerait comme au § 44 que les tangentes aux extrémités de cette courbe sont parallèles.

Pratiquement on la remplacera par un polygone funiculaire

correspondant à des efforts fictifs s'" —j—, polygone quel'on construira conformément aux indications données au § 45 pour le

tracé du polygone funiculaire des (y — x)'" —^. Si on a soin de prendre pour distance polaire une longueur

les segments de verticales compris entre ce polygone et ses côtés extrêmes parallèles, prolongés jusqu'à la verticale du point C, seront égaux aux ordonnées de la ligne d'influence de Y qu'on obtiendra alors par une translation partielle dudit polygone (§ 45) .

LIGNES d'INFUIRNCE DES QUANTITÉS M, X ET Y CORRESPONDANTES AUX DIVERSES SECTIONS DE l'arc

Les indications données pour le cas général, au § 46, s'appliquent encore lorsque l'arc est de structure symétrique, sous la seule condition de remplacer dans le Théorèmp, II et dans la Condui \

ston, les forces fictives (y — ='")— p- par celles s'"— p envisagées cidessus, et les produits {o"'((") ?'" et {o"q"') *'" par ceux (c' — c'") ç'" et (c' — c'") *■". Nous nous bornerons donc à renvoyer à ce paragraphe.

Nousferonsremarquer, toutefois, que la construction des centres

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o', eto'", correspondants à une section Ci, — étant donnés ceux o" et o'" correspondants à une section C, — doit être modifiée, parce que les droites o'o" et o'o'" coïncident respectivement avec o'x' et o'jf. Nous nous appuierons encore sur les relations (/) du § 46

if)

qui conduisent immédiatement à la construction suivante f^j. /3J:

Paro' mener une divergente quelconque qui coupe Ca? en fc et C,aT| en ft,, tirer «"A, et par k mener à cette ligne une parallèle qui rencontre o'y' au point o", cherché.

De même, par o' mener une divergente quelconque qui coupe ijtj en l et C,j/, en i„ tirer o"7, et par l mener à cette droite une parallèle qui rencontre o'x' au point o'", cherché.

jf 48. — Ligne dlnfiuence de la tension élastique par unité de surface, développéeenun point donné d'une libre arbitrairement choisie O-

Proposons-npu9 de déterminer la ligne d'influence de la tension élastique rapportée à l'unité de surface, développée dans une libre quelconque donnée de l'arc, à la rencontre d'une section C arbitrairement choisie.

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Soient : v la distance de cette flbre au centre de gravité de la section, distMice qui est positive ou négative, suivant que la flbre considérée est située au-dessous ou au-dessus de la ligne moyenne ; I^ le moment d'inertie et p le rayon de giration de cette section autour d'un axe horizontal passant par le centre de gravité; S^ l'aire de la section; a l'angle de la partie descendante de la normale en C à la ligne moyenne, avec la verticale descendante de C, — angle qui est positif ou négatif, suivant qu'il est situé à gauche ou à droite de cette verticale.

I<a force élastique dont il s'agit a pour expression connue vM N

Nj

Mais

on a,

d'autre

part,

donc,

cos a + Y sin

sin "ST

On pourrait déterminer d'abord les lignes d'influence des quantités M, X et Y afférentes à la section G, et en déduire, par la construction plusieurs fois répétée de l'expression (a), autant de points qu'on voudrait de la ligne d'influence de R ; mais cette marche serait assez laborieuse.

Nous allons montrer comment on peut tracer directement la ligne d'influence de R sans passer par l'intermédiaire des lignes d'influence de M, de X et de Y.

Reprenons les équations (9) et (9') du § 43; tirons-en M, X et Y, et substituons dans (a) ; il vient, en groupant les termes et en introduisant certains coeflScients constants sous le signe S7

i" Lorsque te point tTapplication D de la charge mobile se trouve sur la partie d'arc BC :

(6) R=-^ifr

vb l , 1 . , . t

p' -^(57)? {oq)f ^ (oq)f

2" Lorsque le point d'appiication D de la charge mobile se trouve sur h partie d'arc AC :

— COStt , . ,. . s 4-81Dar^

D,J.„db,G00glC

les équations (6) et {(/) deviennent dès lors

— +sins

-. Jf7-2

'-ds,

(0 9 ) ?7 P fvb ^, 1 1 , . 1 \ tV ï - z j

(oq)î ("9 )f ' D I

Gela posé, si oo regarde Z comme une ordonnée courante, l'équation (c) est celle d'une droite rapportée aux axes Car et Cy, puisque z', s" et s'" sont des fonctions linéaires en x données par les équations (8) du § 43, lesquelles représentent les trois côtés du triangle formé par le centre fixe o' de la travée et par les centres o" et o'" correspondants à la section G. Soit s( cette droite (/ig.iS).

Dès lors, dans les relations ('fc,) et ("è',), (y — Z) représente les segments de verticales interceptés par la droite (c) et la ligne moyenne de l'arc ; ces segments sont positifs pour les points de la ligne moyenne situés au-dessous de la droite (c) et négatifs pour les autres.

Si on remarque que les coefficients des termes en MT sont

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constaQtB pour la section et la fibre considérées, on conclut immédiatement des équations (6,) et (6',) que :

Théorème I. — Etant d<mn^s un arc AB emxisiré à ses extrémités, parcouru par une char<)e mobile P, et une fibre quelconque de cet arc rencontrée par une section G arbitrairement choisie, si on applique, tout le long

de la ligne moyenne de tare, des forces fictives verticales ^—j — ds, (y — Z)

désignant les segments de verticales compris entre la ligne moyenne et la droite (c) ;

/" La somme des moments par rapport à un point quelconque D de la ligne moyenne, sifurf entre la section C à la retombée B, des forces

Clives ^— î — ds réparties entre D et B, es* proportionnelle à la tension

élastique ^par unité de surface, produite d(ms la fibre considérée à la rencontre de la section C, à l'instant où la charge mobile passe en D ,

2° La somme des moments par rapport à un- point q^ielconque G de la ligne moyenne, situé entre la section G et la retombée A, des forces fictives réparties entre D et A, est proportionnelle à la tension élastique R par anilé de surface, produite dans la fibre considérée à la rencontre de la sec-' lion G, à l'instant où la charge mobile passe en D.

En se reportant à une propriété connue des courbes funiculaires et à la définition des lignes d'influence , on transfonne comme suit le théorème qui p

Théorème II. — Etcmt dontm un arc encastré à ses deux extrémités, parcouru par une charge mobile P, et une fibre quelconque de cet arc rencontrée par une section C arbitrairement choisie, si on applique, toiU le

long de la ligne moyenne de l'arc, des forces fictives^—r — ds, <]u'avecxine

dislmce polaire arbitraire on construise la courbe funimdaire corre^tond(o^e, qu'on mène des tangentes aux extrémités de cette courbe et qu'on les limite à la verticale du point G :

tes segments de verticales comprts entre cette courbe et les deux tangentes, sont proportionnels aux ordotmées de la ligne d'infiuense de la temon élastique R par unité de surface, produite dans la fibre- considérée à k rencontre de la section G .

Des considérations qui précèdent, il résulte que la déterminalion des ordonnées de la ligne d'influence de la tension R nécœsite seulement :

1' La construction de la droite (c) ; ' ' *

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2° Le tra;'.é d une courbe funiculaire correspondante aux efforts fictifs verticaux ■— — Js.

Voici comment ces opérations peuvent être effectuées : 1" Construction de la droite (c) ('). — Supposons qu'on ait déterminé, conformément aux indications, du § 38, les longueurs *', *", *'", le centre fixe o' de la travée et les centres o' et o" correspondants à la section C.

Dans l'équation (c) remplaçons?', 9", ç™ par les quantités *', *", *", qui leur sont respectivement proportionnelles, en vertu des formules (2), (3) et (4) du § 38 ; il vient, en posant

„ yb 1 g cos a .. ein a

~ p' (oY)*" ~ (oV)*" "~ {o"'î"')*"' '

Considérons maintenant les trois points d'intersection respectifs m', m" et m'" des droites o"o", o'o'" et oV, avec une verticale quelconquef^^. t3); appliquons en ces points trois forces parallèles d'intensités égales à k, k" et k'". Le centre s de ces forces parallèles appartient à la droite (c) ; en effet, dirigeons-les horizontalement et prenons-en les moments par rapport au plan horizontal dont la trace sur le plan de la ligne moyenne est Gr ; on a, en désignant par Z l'ordonnée du point s,

k's'+ k'z'-\- k-"z'' = (A'-l- k'-\~ k") Z ; c'est précisément ta relation (1;,).

Pour déterminer géométriquement le point s, formons, à une échelle quelconque, un polygone des forces horizontales k", k' elk"', en ayant égard à leurs signes ; puis, avec une distance polaire arbitraire, traçons le polygone funiculaire correspondant; l'horizontale menée par le point de concours des côtés extrêmes de ce polygone funiculaire, est la ligne d'action de la résultante(/t'+/c'-j-fc'") et coupe, par conséquent, la verticale m'nt'rti'" au point s cherché.

On répétera celte construction relativement aux points d'intersection «', n" etn'" des trois droites o"o"', û'o'" et û'o' avec une autre viirticale, en utilisant d'ailleurs le même polygone des forces; on obtiendra ainsi un second point ( de la droite (c) qui sera dès lors connue.

On pourra choisir comme verticales celles des points A et B.

n théorème qui fournit ud autre mode de cQnatrwiioii

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Sf> Tracé de la courbe funicalairedes efforts fictifsverticaiia;^—^ — ds. —

On divisera la ligne moyenne de l'arc en un certain nombre de parties As égales entre elles (') et ou substituera à la courbe funiculaire dont il s'agit, un polygone funiculaire correspon-

dant à des efforts fictifs finis (y — Z) — p , ainsi qu'il a déjà été fait

au § A5.

Dans les équations (6,) et (6',), remplaçons ?', / et ç" par leurs valeurs tirées de (2) (3) et (4) du § 38, et introduisons les efforts

fictife finis (i/— Z)^; il vient

,, . P /tô 1 COB a , sin a \ "iB. , „, n

Remarquons que -r, cosa etsin a sont des quantités sans dimen- P sion, tandis que {o'q'), {o"q"), {o"'q'"),'^', *" et*'" sont des longueui-s; on peut donc poser, en désignant par m et m' deux longueurs, dont l'une peut être choisie arbitrairement,

.^ vb i cos a sin a

' 7"^ (oY) *■"(""«")*" ' {^WÏ^

Posons en outre (e) -|- = p;

p représente par conséquent la charge F rapportée à l'unité de section transversale S^.

D'autre part, si, avec une distance polaire arbitraire B, on trace

un polygone funiculaire des efforts fictifs (y — Z) — p" et qu'on en prolonge les cùtés extrêmes jusqu'à la verticale du point G, on a,

(*) Le nombre des divisions doit élre \e même que celui adoplé pour la c dea centres et des loDgneurt 4', »' et »' ^ 38).

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eo désignant par KH le segment de la verticale d'un point quelconque D de l'arc, intercepté par le polygone et les prolongements des côtés extrêmes :

4" Si le point D est situé sur la partie d'arc BG,

(/) + if r (ï -

2" Si le point D est situé sur la partie d'arc ÂC,

(i?) - Jjr 0/ - Z) — - = B X KH.

Les équations (&,) et {b\) deviennent, l'une et l'autre, à cause de (d),(e),(rtel(5),

(t.) H = -t^li, X KH,

quelle que soit la position du point d'application D de la charge

mobile.

Si nous désignons maintenant par -7- l'échelle des forces et par -j-

l'échelle des longueurs, on a, conformément aux notationsdu§ 4Ei :

p^pXA B — Bxi, Tn = mx/, m'=Wx/, KH — KÏÏxi; d'où, en substituant dans (d,),

iK)

H = /^.^4xKH)f.

Si, enfin, dans le tracé du polygone funiculaire des (y — Z) —f-, on a eu soin de prendre comme distance polaire, la valeur

on a (&,) R ^ KH X /■ ;

et l'on peut dire, par conséquent, que, dans ces conditions, l'un quelconque des segments de verticales, tel que KH, représente, à l'échelle des forces, la valeur que prend R lorsque la charge mobile P passe à l'aplomb de ce segment, ou, autrement dit, que les seg-

O Voir au a' 4 de la Hott I, una eipressloD plus simple de "HT

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menls IHÎ sont égaux aux ordoonées de la ligne d'influence de R, En portant ces ordonnées à partir d'une horizontale quelconque

UU', choisie comme axe des abscisses, on aura la ligne d'influence

en question.

On simplifiera cette dernière opération en ayant soin de diriger

horizontalement le premier rayon polaire du polygone des forces

fictives (y — Z) -j— , et de faire coïncider avec UU' le premier côté

du polygone funiculaire correspondant, ainsi que nous l'avons déjà indiqué pour la construction des lignes d'influence de M, de X et de Y (§ 45).

Cas PARTiCDLiER on l'arc est de structure sïmétrkjue par rapport