A LA VERTICALE DC UILIEU DE LA CORDE
Dans ce cas, les valeurs de M et de X à substituer dans la formule (a), sont encore données par les équations des groupes (9) et (9') (tu § 43, mais celle de Y est fournie par les équations (1) et (!') du g 47 (page 66).
En. suivant la marche précédemment exposée, et en conservant les mêmes notations que ci-dessus, on arrive aux équations suivantes:
p / vb 1 rot a \ DA n
(fr'O R = — g-f-T-X-rrrnïT- ,. nlj MYi!/-Z,)^' S, \ p* (o'q') <>' {o"q") *7 D I
analogues à celles (6j) et (6'i), et où
^ tv + tv + rv- , y + f + r ' •' ''■ - h'+k- + r ^ *■ + r • É', A' et ft'" ayant pour valeurs
p' (oY)*' ' (o'g")*"' {c'-c'")*'"'
L'équation (c^) représente une droite ; pour la construire, on déterminera d'abord la droite qui aurait pour équation
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le indiquée dans le cas général pour la droi: :tipliera les ordonnées par le rapport dekf + k'
posera
cos «
m X ïm'
ne distance polaire B = — = — , on tracera un P
ro «les efforts fictifs verticaux {y — Z,) — p (
les cùtés extrêmes jusi^u'à la verticale du po; Is de verticales, inlerecptés par ce polygone ■ ^, ?^n>Qt êiiaiix aux onioDiiéesde la ligne d'infli ;i il'-s Imfs tiirile de construire.
1.-* i'iiviins (lit plus haut, il sera avantageux à ili^me;nl; le premier rayon polaire du polygoii'
^1 A-^. f;ure foîncider avec UU'le côté correspoi
- fi *M f:\n\r que la méthode que nous venons firt'.-rminiilion des lignes d'influence des i Ht applicable à la recherche de la ligne d'infli ; té pouvant être exprimée par une fonctioDlin fjultanées de M, de X et de Y.
'employer, par exemple, pour la coustruclio:
nce de la tension longitudinale N (') et de 1' n une section C quelconque, lesquels sont do
N =: X C08 a + Y sin a , T — — X sin a + Y cos a .
'1.4 membres sont des fonctions linéaires en ry/*!(ficients de M ont la valeur particulière 0.
V l. MKlIalre II.
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TROISIEME SECTION EJTets des vax*latIons de tompératttre.
Proposons-nous de déterminer le moment fléchissant M elles composantes X et Y de la résultante de translation des forces élastiques développées, en une section quelconque G de l'arc, par une variation de température de (• à partir de celle du montage.
Nous nous servirons des équations (6) du § 42 (page 36).
Choisissons pour direction de X celle de la corde AB de l'arc, ce qui nous conduit à mener l'axe Gr parallèle à cette corde et Cy perpendiculaire (/ig. 44). Supposons que le centre fixe o' de la travée et les centres o' et o'" correspondants à la section C et à ces directions d'axes, aient été déterminés par la méthode connue.
Les déplacements linéaires et angulaires qui entrent dans les seconds membres des équations (6) précitées, sont ceux que prendraient, par l'effet des variations de température, les extrémités (1) et (2) des deux tronçons A(l) et B(2) de l'arc supposé coupé suivant la section C.
Ces tronçons étant libres, se déforment en restant géométriquement semblables à eux-mêmes, et on a, en désignant par « le coefficient de dilatation du métal, par x^^ et x^ les abscisses des
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extrémités de l'arc, et par y^ — y^ l'ordonnée commune des dit
extrémités,
(iy, = — atXs, (/'„), ^ — aly^ , g\ = 0, {l\\ — — alx^ , (l'y), = — aiyA ■ g'i = 0, t étant supposé positif dans le cas d'une élévation de températu et négatif dans le cas d'un abaissement.
Substituons dans les équations (6), en tenant compte des rel lions j/gi^y^ et iFg — x^:=a, où a représente la longueur de corde de l'arc ; il vient
M ËaiO
ioq') ?'
(o'YO 9" '
Ces formules résolvent le problème posé.
Conséquences. — Onsaitqueles produits (o"^")ç" et ((f'9'")?'"^'^stei constants, lorsque le poinlGdécrit laligne moyenne de l'arc etqii les axes Cx et Gy se déplacent parallèlement à eux-mêmes. Il e résulte que X et Y sont constants pour toutes les sections de l'arc M seul varie. Ce résultat était d'ailleurs évident a priori.
Gomme on peut, en particulier, prendre la section G à l'encastrt ment B de l'arc, on voit que X et Y sont aussi les composantes d la réaction totale en cet encastrement.
Cette réaction totale ne passe pas par le centre de gravité de 1 section B, puisque l'arc n'est pas articulé ; représentons-la par
Théorème. — Les lignes d'action des réactions totales développées au encaslrefitmts de l'arc par une variation de température, coïncident aui la droite o' o'" (').
Nous ne ferons la démonstration que pour l'encastrement I Considérons toujours une section quelconque G et les axes Ca; * Ct/ définis plus haut.
Soit K le point d'intersection de C^ avec la ligne d'action de î représentons par Ç l'ordonnée GK.
F étant la seule force agissant à droite de G, et X et Y en étai les composantes parallèles aux axes , le moment fléchissant J en G, a pour expression
(d) M = - Xï ;
(') Voir au a° 1 de la Note I, nne transformation de ce théorème.
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d'où, à cause de {a) et de (b),
OU, en remplaçant (oY) et {o"g") P^i" leurs valeur tirées des relations {l) du § 42, et ç' et ç* par leurs expressions (e) du § 37 :
i.ion,le centre des long de l'arc, on a
Mais o' étant, par définition, le centre des forces fictives paral-
ds
lèles y- appliquées tout le long de l'arc, on a
puisque d' est l'ordonnée de ce centre.
Par conséquent
On vérifie aisément, d'autre part, que c''d' = c' d", car
d' = iZî , d!" = <à
D,j.,.db,Googlc
On peut donc écrire la valeur de i; sous la forme c"'d' — t^àr
Or, si dans l'équation de la droite o'o"', qui est la seconde du groupe (8) du § 43, on fait a; — 0, on trouve, pour l'ordonnée à l'origine de cette droite, la valeur
qui est précisément celle de X,.
D'où l'on conclut que le point K appartenant par hypothèse à la ligne d'action de F, se trouve sur la droite n'o'" .
On démontrerait de la même manière, par la considération d'une antre section C, qu'un autre point quelconque de cette ligne d'action 96 trouve encore sur o'o"'.
la. ligne F coïncide donc avec o'o"" .
Conclusion. De ce qui précède, il résulte que la détermination des quantités M, X et Y, afférentes à toutes les sections de l'arc, pourra être effectuée comme suit :
On construira le centre fixe o' de la travée, puis les centres o' et o'" correspondants à une section C arbitrairement choisie (les axes Ca; et Ci/ ayant bien entendu les directions indiquées plus haut) et, en même temps, les quantités corrélatives *', *"et *"(§ 38).
La droite o'o'" sera la ligne d'action commune des résultantes des réactions aux encastrements ; ce sera, en particulier, celle de la résultante F à l'encastrement de droite B.
On calculera ensuite la composante X par la formule (6) cidessus, en remplaçant (o"?') P^^" sa valeur mesurée sur l'épure à l'échelle des longueurs et ip'par sa valeur exprimée, en fonction de la longueur *", par la formule (3) du § 38, savoir :
nis ^ .
tp' = ^ — *■.
La direction de F étant dès lors connue, ainsi que l'intensité de sa composante X parallèle à la corde de l'arc, la valeur de la composante Y s'ensuivra, soit par une construction géométrique d'ailleurs évidente, soit par la formule
Y =: X tang 9, où 9 est l'angle de o"»'" avec la corde de l'arc.
Ces valeurs de X et de Y sont les mêmes pour toutes les sections de l'arc.
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Quant au moment fléchissant M en une section C quelconque, il sera donné par la formule (d)
M = — Xi: , dans laquelle ï représente le segment de perpendiculaire à la corde AB de l'arc, compris entre le point C et la ligne o'o'", segment qui sera regardé comme positif si C est au-dessus de o'o'", et comme négatif dans le cas contraire.
Cas particulier ou l'arc est de structure symétrique par rapport A LA perpendiculaire ÉLEVÉE SUR LE HILIEU DE LA CORDE. —
Dans cette hypothèse, on a vu (§ 47) que la droite o'o' se confondait avec la perpendiculaire menée sur le milieu de la corde; par suite, o"'q"' est infini, et la composante Y est, dès lors, nulle en vertu de la formule (c), dont le numérateur a une valeur finie et dont le terme f'" n'est pas nul.
La réaction totale F à l'encastrement de droite se réduit donc à X ; elle est, par conséquent, parallèle à la corde AB de l'arc. Ce résultat était d'ailleurs évident a priori, puisque, dans le cas particulier dont il s'agit, la droite o'o'", qui est précisément la ligne d'action de F, est parallèle à AB {§ 47).
