CHAPITRE III
POOTBE DBOm GOHTIMDE. - POUTRE OBOITE ENCASTRÉE CHARGES MOBILES {*)
de* eOtort» tranchanl» et des réactions des appui*.
CSO. — Rappel de propriétés connueB. —Hypothèses et Définitions.
Principe de la superposition des effets des forces et des dénivellations DES appuis. — Si une pièce dont la ligne moyenne est rectiligne avant toute déformation élastique, est posée sur un certain nombre d'appuis qui ne sont pas de niveau et si elle est, en outre, soumise à des charges quelconques, « le moment fléchissant et
[') L'élude des effets produits |iar des cliaraes fixes ajaaC fail l'objet d'un Mémoire
■pK'kàaol {Calcul despmilre» continues. UéOiom pénérale analytique et méthode graphique. — Bulletin de la Société des Ingêuieurs civils de septembre 1385, aous db reviendrons pas ici sur cette question.
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9 l'efFort tranchant qui se produisent en un point quelconque, » sous l'influence simultanée de c*s charges et des dénivellations » des appuis, s'obtiennent en faisant la somme :
» \° De ceux que chaque force agissant seule produirait, toutes » les autres étant supprimées et, de plus, tous les appuis étant » supposés de niveau ;
9 2" De ceux qui se produiraient s'il n'agissait aucune force, » par la seule influence des difi'érences de niveau des appuis {'). »
Dans la recherche des lignes d'influence, nous supposerons toujours que les appuis sont de niveau,
Lorsque, en réalité, il n'en sera pas ainsi, il suffira, en vertu du principe précédent, d'ajouter au moment fléchissant et à l'elTort tranchant, développés en un point quelconque sous l'action de la charge mobile, les quantités de même nature résultant des dénivellations des appuis.
Nous renvoyons d'ailleurs aux ouvrages classiques pour l'étude de ces dernières quantités.
Convention relative aux signes. — Les positions des différents points de la poutre, avant et après la déformation élastique, seront rapportées, dans chaque travée, à l'horizontale des appuis comme axe des 3;, et à la verticale de l'appui de gauche de la travée comme axe des y ; le sens des x positifs sera celui de la gauche vers la droite ; le sens des y positifs sera celui de la verticale descendante.
Il résulte de là qu'un segmeut donné de la droite des appuis devra être considéré comme positif ou comme négatif, suivant qu'il sera parcouru de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche.
Les forces verticales seront affectées du signe -j- ou du signe — suivant qu'elles seront descendantes ou ascendantes.
Eniîn, quand nous rapporterons un diagramme ou une courbe quelconque, à une horizontale comme axe des abscisses et à une verticale comme axe des ordonnées, le sens des abscisses positives sera celui de la gauche vers la droite, et le sens des ordonnées positives sera celui de la verticale descendante.
Points trisecteurs. — Résultantes trisectrices. — Si, en
chaque point d'une travée quelconque , celle / par exemple, on applique une force fictive verticale , ayant pour inten- (•) Maurice Lévj. — Statique graphique : II' partie, p. 167.
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e A. de la travée (fig. 43), la ligne d'action delà résultantfi de
ii Ai
te...
Fig.15
ces forces est dite verticale trisectrice de droite, et le point d'intersec- 'ion g de cette ligne avec A A^ est le point trisecteur de droite
La résultante des forces fictives yds, que nous appellerons résultante trisectrice de droite, a pour valeur
et l'abscisse du point trisecteur de droite est égale à
de droi
De même, si on applique, tout le long de la travée, des forces fictives verticales ^—s — dss, la ligne d'action de leur résultante est
dite «erftcoie irisecirim de gatt(^ et le point d'intersection g'i de cette ligne avec A À est le point trisecteur de gauche.
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La résultante de ces forces fictives, que nous appellerons résultante trisectrice de gauche, a pour valeur
et l'abscisse du point trisecteur de gauche est égale à
ur de gauche
Xîz
ConstnuÀion des verticales trisectrices e( des valeurs des résultantes trisectrices. — Considérons, par exemple, la verticale trisectrice de gauche de la travée de rang i.
Si l'on trace une courbe funiculaire correspondante aux efforts Q—x) fictifs verticaux — î — dx, répartis tout le long de la travée, les
tangentes aux extrémités de cette courbe se couperont en un point de la résultante des dites forces fictives, c'est-à-dire sur la verticale trisectrice de gauche.
Pratiquement, on opérera conformément aux indications données au § 38 pour la construction des centres de l'arc encastré : on divisera la travée en un certain nombre de parties Ax égales entre elles (*), au milieu de chacune desquelles on appliquera un efi'ort
fictif égal à (/( — x^-j~ {x étant l'abscisse du point milieu de la
division considérée, I le moment d'inertie de la section de la poutre en ce point, 1„ le moment d'inertie d'une section arbitrairement choisie, etn un nombre quelconque); puis, partant du point Aj,, on tracera un polygone de ces efforts (^. 46), lequel se réduit à une droite ^i fi^^; enfin, avec une distance polaire quelconque, on construira le polygone funiculaire correspondant.
(') Pour la simplicité des déterminations uHérienrea, 11 conTiendra de choisir, pour la longueur Ax, une commune mesure des portées de toutes les travées de la poutre. Celte commane mesure eiisle en sénéral, car il ast d'usage de conatituer les poutres continues de panneaux d'égale largeur. ^ sera doac égal soit â la largeur totale d'un panneau, soit à une partie aliqnote de cette larfeur.
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Les côtés extrêmes de ce polygone se couperont en un point y appartenant à la verticale trisectrice cherchée.
ngi6
La verticale trisectrice de droite se construira de la mémo ma-
nière, mais en partant d'efforts fictifs égaux à x—r- . Nous représenterons par W^ la longueur A(^a; , du polygone des efforts fictifs fl. — ^Vt" 0'> ^^^^ 6st égale à -
L, n^" I il, (l.—x)
* ^^' ' l nAx ^ I
OU, à la substitution près de l'intégrale
; I — ï — ctràlas I n^K — ^ I
('] Oa remarquera que V^ est une longueur; en effet, les efforts flctlb dont celle qauitité représente la somme, sont des loag:neiirB, puisque n est no nombrs et y un
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De même, la longueur T^ du polygone des forces fictives a: -=est égale à
* nia;
Des deux formules qui précèdent on tire les valeurs suivantes
des résultantes trisectrices «ij et -l-^ :
FoTERS on Points fixes. — Si la partie d'une poutre Â^Aj, à appuis de niveau, comprise entre un appui quelconque A . et l'un des appuis extrêmes, ne supporte aucune charge, quelles que soient les
„ Diagramme
Fig.l7
charges agissant sur le restant de la poutre, — c'est-à-dire quelle que soit la valeur du moment fléchissant sur l'appui Aj, — le dia-
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gramme des moments fléchissants, dans la partie non chargée, est uEe ligne polygonale concave dont les sommets se trouvent sur les verticales des appuis, alternativement au-dessus et au-dessous desdits appuis, et dont les côtés coupent la droite A^A„ une fois dans chaque travée, en des points dits Points fixes ou Foyers.
Suivant que la partie non chargée estconliguëà l'appui extrême de droite, ou au contraire à l'appui extrême de gauche, les foyers correspondants se trouvent dans la moitié de droite de chaque travée (diagramme I, fig. il), ou au contraire dans la moitié de gauche (diagramme II).
Dans le premier cas, ils portent le nom de foyers de droite, dans le second, celui de foyers de gauche.
Il y a donc dans toute travée, celle l^ par exemple, deux foyers, l'un de droite F^, l'autre de gauche F^ {fig. 48).
fi\
Fi Ail ipi.,
Fi„ :Af.,
Ui
Vi ! Ui.,
Fitf.l8
Nous définirons la position de ces points par leurs distances , essentiellement positives W; et v^^ u^ et v'., aux appuis de la travée à laquelle ils appartiennent.
il résulte de ce qui précède et de l'examen du diagramme I f^j. 41), que si la partie de poutre A^A^ est vide de charges, le moment fléchissant en un point quelconque E d'abscisse x, apparteaant à une travée de rang m>fr, est donné, en fonction du moment Mj sur l'appui A^^., par l'expression
(1) M=M,XPt+,xp,^,X X?„-ix\ — .
dans laquelle
en convenant de supprimer les facteurs p quand le point E est dans la travée du rang ft -|- 1 .
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Si, au contraire, c'est la partie A^A^ qui est vide de charges, (diagramme II) le moment fléchiœant en un point quelconque E d'abscisse x, appartenant à une travée de rang i<;ft-|-l, est donné par la formule
(2) M = M,xp;xp',,X fVi><-V^'
dans laquelle
en convenant de supprimer les facteurs p quand le point E est dans la travée de rang k.
Rappelons enfin que les distances des foyers de droite de deux travées consécutives aux appuis des dites travées sont liées entre elles par la relation suivante {*) :
(* .^ / El ^",+,',,,/ Êi "^^
Si on remplace dans le premier terme u. par l^ — w^, il vient
(En changeant « et w en u' et v', on obtient les relations analogues
relatives aux foyers de gauche.) D'auti'e part, le foyer de droite de la travée de rive droite et le
foyer de gauche de la travée de rive gauche sont connus a priori;
en efi'et :
Si la poutre repose librement sur ses appuis extrêmes, les foyers
en question coïncident avec ces appuis, en sorte qu'on a : w„ = /„
Si elle est encastrée à ses extrémités, le foyer de droite de la travée de rive droite comcide avec le point trisecteur de droite de cette travée, et le foyer de gauche de la travée de rive gauche coïncide avec le point trisecteur de gauche de cette travée, en sorte qu'on a : w„=A„^g'„, u\ — A^^.
(*) Maurice l^rj, Stattgiie gmpKiitve : 11* partie, p. 803.
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La détennination dea foyers de droite s'effectue au moyen de l'équation (3 bis) où l'on fait successivement i = n — 1 , n — 2, etc. .. 1 , et oii l'on introduit les valeurs de u„ indiquées précédemment.
Même marche pour les foyers de gauche.
Cesdéterminations peuvent également être faites très rapidement par des constructions géométriques simples. Nous renvoyons à ce sujet à la Statique graphique de M. Maurice Lévy et à notre travail précédent sur les Poutres continues, que nous avons déjà cités.
GoMPOsAKTEs Acx FOYERS. — Décomposous la résultante trisectrice de gauche ^\ de la travée de rang t, en deux forces parallèles appUquées, l'une à l'appui de gauche Aj^, l'autre au foyer de gauche F',, {fig. 46, page 8S).
Nous appellerons cette seconde force Corï^>ostatte au foyer de gauche, et nous la représentons par t:\.
En effectuant une décomposition similaire relativement à la résultante trisectrice de droite, à l'appui de droite A., et au foyer de droite F,., on obtient la Composante au foyer de droite.
Si on prend les moments autour du point A^^ , on voit que la composante au foyer de gauche a pour valeur
On li-ouve de même, pour expression de la composante au foyer
de droite,
Pratiquement, au lieu de faire porter les décompositions sur les
résultantes ^\ et -(/;, nous opérerons sur les quantités connues
"P j etTj,quinediffèrentdecesrésultantesqueparlefacteurcoastant
-r— Iformules (c') et (c), pages 85 et 86] ; de sorte qu'en posant
V I i nix • " ' ' nia: '
on aura
n'^== ' ' J et n. = -^—^ — ■■{*}
(*) Il faut remarqner que, V, ^ V^ élaot des bmgueun, lea quaniitég tl^ et 11^ soot
^KaletueQt des k
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— go- Ce sont ces dernières quantités qu'il importe de connaître pour la suite.
Voici comment on peut les construire : pour lîxer les idées, considérons celle n'i; menons {fig. 46, page 88) la droite F'(0,.|, et par g\ conduisons-lui une parallèle qui coupe la verticale K^^a^^ en un point h^^ ; on a
A. .g'.XK .a. , A .)7',xV'i
quantité cherchée.
Nota. — Dans l'exposé qui va suivre, nous supposerons déterminés les points Irisecteurs, les foyers et la composante au foyer de gauche de chaque travée.
I 51 . — ExpreeBions âa moment fléchissant et de l'eifort tranchant produits en une section «{nelconque par des charges données. — Centre Uxe d'une travée; centre correspondant à une section.
Soit C le centre de gravité de la section considérée {fig. 19). Les forces intérieures ou élastiques, développées dans cette section, considérées comme actions du tronçon A^C sur le tronçon A.fi, sont réductibles à un couple dont l'axe a pour valeur le moment de flexionM et à une force égale à l'effort tranchantT, en C.
Imaginons qu'on coupe la poutre suivant la section C ; les deux tronçons AjjC, A^C vont se déformer et leurs extrémités respectives (1) et (2) ne resteront pas en contact. Si maintenant nous appliquons : 1° à l'extrémité (1) du tronçon Â^C, un couple +M et une force -|-T, 2° à l'extrémité (2) du tronçon A^^C, un couple — M et une force — T, ces quatre efforts, agissant en tant que forces extérieures sur les deux tronçons, auront pour effet de ramener en coïncidence les extré.mités (i) et (2), et par suite de rendre à l'ensemble de la poutre la forme qu'elle affectait avant la coupure.
De là, résulte la méthode suivante pour la détermination de M et de T : on coupera la poutre en C, puis on calculera les déplacements linéaires et angulaires absolus des extrémités (1) et (2) des tronçons ainsi formés, sous l'action des forces extérieures données, et on en déduira les déplacements relatifs de ces extrémités. Gela
fïùt, Où appliquera: 1' à l'extrémité (1), des efforts inconnus + M, -|-T; 2" à l'extrémité {2),des efforts — M, — T, égaux et contraires
A-T Ai. Ak-t Ak-i G
T:j^rT
Ak.l Am^ Am An X -I- M ^ — f^ ^^'
Jt..iJfa.
V FigM
aux premiers. Enfin, on déterminera ces efforts en exprimant que les déplacements linéaire et angulaire relatifs, par eux imprimés aux extrémités (1) et (2), sont égaux et contraires à ceux produits par les forces extérieures.
Soient :
Si' Q']v^^^ déplacements angulaire et linéaire absolus imprimés à la section (1) par celles des forces extérieures qui agissent sur le tronçon A^ (1) supposé séparé du reste de la poutre;
Sî' V )»' l^s déplacements de même nature de la section (2),"produits par celles des forces extérieures qui agissent sur le tronçon A. (2).
Les déplacements, sous l'action des forces extérieures, de l'extrémité (2) reUUivemmt à l'extrémité (1), ont pour valeurs :
^.-!l\' {''.),-('■,),■ Soient, de même :
ff , fi) jlesdéplacemenlsangulaireetlinéaireabsûlusqu'impriraeraient à l'extrémité (1) les efforts -f- M, -t-T agissant seuls sur le tronçon \{i), supposé détaché du reste de la poutre ;
g , U] ..les déplacements similaires qu'imprimeraient à l'extrémité (2) du tronçon A^ (2) les efforts — M, — T, y appliqués.
Les déplacements, sous l'action de + M, +T, — M, — T, de l'extrémité (2), relativement à celle (1), ont pour valeurs:
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D'après ce qui a été dit précédemment, on a l /, — 9', + »', — s", = 0.
Calculons, au moyen des formules (I) et (III) du § 32, les déplacements o, g , [l j , [M .Dans l'application de ces formules, nous considérerons comme liaisons indépendantes de l'élasticilé celles qui imposent : l^dans le tronçon A„ (1), la iîxité des points A.fc,, Aj,, dans le sens vertical; 2° dans le tronçon A^ (2), la fixité des points A^, K^ . Nous avons, en conséquence, en désigEsnl d'une manière générale par M" les moments fléchissant produits soit dans le tronçon A^ (1) par les efi'ons +M, -|- T agissant seuls, soit dans le tronçon A„ (2) par les efforts — M, — T agissant ; seuls :
«).=-'/ îi"»' ro.=+*/s*
d'où :
Désignons par ji," le moment fléchissant que produirait, soit en un pointquelconque du tronçon A^(l), uneouple+1 appliquée l'extrémité (i) de ce tronçon, soit en, un point quelconque du tronçon A„ (2), un couple — 1 appliqué à l'extrémité (2) de ce tronçon, et par [*■■■ les quantités similaires correspondant, soit à l'application d'un effort vertical + 1 en (1), soit à l'application d'uD effort vertical — 1 en (2) ; on a
d'où :
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Les diagrammes des moments n" et iJ sont représentés respectivement par les figures 4 et 5 (PI. 201).
Soient a et 6 les distances essentidlement positives du point G aux appuis A^^, et A^.
Dans la partie en porle-à-faux A^ (1) du tronçon A^ (1), le moment t*" est constant et égal à -|- 1, tandis que le moment jjt^, nul au point (1), croit linéairement jusqu'en Aj^^, oùilatteint la valeur + a.
Dans la partie A,^ A^,, qui est vide de charges, les diagrammes des moments (x" et [i' sont des lignes polygonales concaves, dont les sommets se trouvent sur les verticales des appuis et dont les côtés coupent les travées en leurs foyers de gauche (§ 50. — Foyers m P(mts fixes).
Dans la partie en porte-à-faux A^ (2) du tronçon A„ (2), le moment [(." est encore constant et égal à -|- i, tandis que le moment \J, nul au point (2), décroît linéairement jusqu'au point d'appui Aj, où sa valeur est — 6.
Dans la partie A^ A^^, ^tii est vide de charges, les diagrammes des moments ja" et \J sont des lignes polygonales concaves, dont les sommets se trouvent sur les verticales des appuis et dont les côtés coupent les travées en leurs foyers de droite.
Gela posé, remarquons que les expressions
qui entrent dans les formules (b), représentent les résultantes res
Aj(, et Aj,|, et des réactions fictives correspondantes en A,^j Âjj^ ; tandis que les expressions
XI ^da;, M Y
représentent les sommes des moments de ces mêmes efforts rapport au point G, ou, ce qui revient au même, les moments leurs résultantes.
Soient ;
îti f'kt '®s valeurs respectives des résultantes en question ;
îdbyGoogk'
0^, 0\, les points d'intersection de leurs lignes d'action avec la droite \gA.^, points que nous appellerons : le premier, cenire fixe de la travée; le second, centre correspondant au point G;
Cj, c'j, les abscisses de ces centres relativeraentau point C pris pour origine, abscisses mesurées positivement de G vers A^, négativement de G vers Â^.
On a
cl * cl *
MT ^ dx=co^< ULY ^(ir=:cV ;
cl ** ci **
et les formules (fc) deviennent dès lors ^^.^ U-,-/,=(-t.M-,.T)i,
Ces expressions substituées dans les équations (o) donnent ».M + j',T=E(s;-s;), V." + «'/. T = - E ( (f )^ - (f y .
D'où l'on tire
\ '^ fi -«.)'•.
Ces formules font connaître M et T en fonction des déplacements linéaires et angulaires que les forces extérieures imprimeraient aux sections extrême3'(l) et (2) des tronçons A^ (1) et A^ (2) de la poutre supposée coupée en C.
Avant de les appliquer au cas d'une charge mobile, nous allons étudier les propriétés des centres et calculer les valeurs des produits («/^ — cAçj et ^c'^ — c*)?'*-
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g 52 — Propriétés fit détermination des Centres.
Lehhe . — T) représentant les ordonnées du diagramme (orme : 4° dans une travée de rang k, arbitrairement choisie (Qg. 6, pi. 201), par une divergente qttelconque A^ B^ issue de [appui de gauche A,^^ et limitée à son point d'intersection avec la verticale de l'appui de droite Aj ; 2° dans la travée de rang k-\-i, par une droite joignant ce point d'intersection au foyer de droite F^ , de celte travée, et prolongée jusqu'à la verticale de Vappui de droite de la dite ti'avée :
Si on applique, tout le long de ces deux travées, des efforts fictifs
dével(^pent sur l'appui A.^, de la travée de rang k-\-i supposée indépendante de celle de rang k, passe par le foyer de droite de la travée de rangk.
Le foyer de gauche de la travée de rang k jouit de la même propriété relativement à la résultante des efforts fictifs correspondant à un diagramme analogue au précédent, et formé, dans la travée de rang k, d'une div^gmte issue de l'appui de droite Aj, et dans la travée de rang k — 1 d'une droite passant par le foyer de gauche ^f.^ de ladite travée.
Nous ne diminuerons en rien la généralité de la démonstration en dirigeant la divergente A^,\, de manière que
En un élément dx, d'abscisse x, de la travée l^, la force fictive
1 xdx
En un élément analogue de la travée l^^^, elle est égale à 1 « , ,— œ
La réaction fictive en A^^ s'obtient en prenant les moments, par rapport à A^, des forces fictives agissant dans la travée l^^^; elle a pour expression
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Enfin , la résultante s^ des forces fictives réparties entre Aj, et A^^, ainsi que de la réaction fictive en ce dernier point, a pour valeur
" 'Jo I V» ".+. • l|,^Jo «.+■ I
=i / L-i-L rKl.-^)('...-»)^,.
Cherchons l'abscisse Ç du point d'application de cette résultante relativement au point d'appui A^ considéré comme origine ; à cet effet, prenons les moments par rapport à ce dernier point. On a, en remarquant que la somme des moments des forces fictives réparties sur la travée /^^, et de la réaction fictive en A^^, est nulle,
OU , en remplaçant e^ par sa valeur,
1 /=^%-a:) )ar sa valeur.
En groupant les intégrales qui ont mêmes limites, on peul mettre cette équation sous la forme suivante :
1 A±4dJi]^+^ riï
La racine de cette équation en Ç est — «^ ; effectivement, si on y fait Ç = — tîj, il vient, en observant que /^ — (î^= u^,
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qui n'est autre que la relation connue (3) du § 50, où l'on aurait
remplacé i par k et supprimé le facteur constant-.
On a donc bien
ce qui justifie le lemme énoncé.
Théorème I. — Le centre fixe 0^ de la travée divise dans le même rapport la longueur de la travée et la distance focale F^F^. Le point 0^ est, par définition, le centre des forces fictives
verticales ydx, réparties dans les trois travées l^^ , i^, 1^^^, et des réactions fictives correspondantes en Aj j et en A.^,,.
Le diagramme des quantités [a" est représenté à la planche 201 ifg. 4).
Une ordonnée quelconque de ce diagramme est égale à la somme des ordonnées correspondantes des deux diagrammes Ai,BjBj^, et A^Bj,B^j,(^(/.4ou^g.6,pl.201),défimsaulemme
On peut donc, pour la détermination du point 0^, remplacer
niers diagrammes.
Or, la résultante des forces fictives répondant au diagramme Aj^BjBj|| est, d'après le lemme, appliiiuée au foyer de droite ^\ et elle a pour valeur, en vertu des relations (d) et (e),
forces fictives réf e au foyer de gauci
De même, celle des forces fictives répondant au diagramme ^t''*-i^ft-i ®^* appliquée au foyer de gauche F ^ et elle a pour valeur
Oj est donc le point d'application de la résultante y^ de tj^ et de V' en sorte qu'on a, en regardant comme positives les longueurs
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mesurées à partir de 0^ dans le sens O^A^ et comme négatives celles mesurées dans le sens O^A^ ,
ou, à cause de (f) et de (g) ,
OjF; ~ «; Ai if; ~ "^ f;a»i'
ou enfin, ,„, O.F> O.F.+ F.A. 0.A,
^ ' o^f; ~ o^f; + f^a»., ~ o^Aj., '
ce qu'il fallait démontrer.
CowsTRucTioN DU CENTRE DK L\ TRAVÉE. — La relation (k) conduit immédiatement à la construction suivante (fig. 6, pi. 201 j :
Porter.en ordonnées, F^H^ — u^, F^'H^ — u^, en sens inverse l'une de l'autre ; tirer H^H^. Le point d'intersection de cette ligne avec ^k-i^k ^^^ '® centre cherché.
Remarque. — La position du centre de la travée est indépendante : de celle de la section G dont on cherche le moment fléchissant | et l'effort tranchant ; d'où la dénomination de cen(re ^^Ê.
Théorème 11. — Le rapport aitharmoniqae de la division de quùtrt \ points formée par les deux foyers F^, F^., par le centre fixe 0^ de (a travée l^ et par le centre 0^ correspondant à un point G arbitrairement choisi dam celle travée, est égal au rapport des deux segments en b- (fuels ce point partage la travée. j
Le centre 0^ correspondant au point G est, par définition, le centre des forces fictives verticales ^ dx, réparties dans les trois | travées consécutives l,^^, l^, /^ , ,, et des réactions fictives en h.,^ etenAj j.|. '
Le diagramme des i** est représenté à la planche 201 (fig. S}.
Une ordonnée quelconque de ce diagramme est égale à la j somme algébrique des ordonnées correspondantes des deux diagrammes Aj^,BjB^i^ et A^Bj^jB^j. I
D'autte part, une ordonnée quelconque du diagramme Aj,Bjlt',^| est égale à l'ordonnée cori'espondante du diagramme Aj^jB^B,^, j (pg. 6, pi. 201 j, amplifiée dans le rapport de -" fe à + 1, puisjjue A^B'^ = — 6 et que à,Bj = + 1. j
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Ue même, une ordonnée quelconque du diagramme A^Bj|Bj j (fg. 5} est égale à l'ordonnée correspondante du diagramme \Bj,Bj j (fig. 6), amplifiée dans le rapport de -f- a à + 1 , puisque A^,B)j| ^-^ael que A^|B^^ — -|- 1.
On peut dès lors, pour la détermination du centre 0^, remplacer les forces fictives ydr, correspondant au diagramme BJj jBj jBjBJ^^i (fig. 5j, parcelles répondant aux deux diagrammes Aj^BjB^^j et A^Bj,Bj j (fig .6), multipliées respectivement par — i et par -4- a.
Ces dernières et les réactions fictives correspondantes en A^^, d'une part, et en A^^ d'autre part, peuvent elles-mêmes être remplacées par leurs résultantes, lesquelles, en vertu du lemme, sont appliquées en Fj et en F^, et ont pour valeurs
— ÔEj et + °E*i puisque t^ et e^^ sont les résultantes des forces fictives correspondant aux diagrammes Aj^^B^B^,^ et AjBj|Bj,, non amplifiés.
0^ (fig. 1) est donc le point d'application de la résultante Tj des forces — frs^ et -f- a^i^ ; on a par conséquent O^F» at\ OÏFÎ ~ éT. ' Ou, à cause de (A), ,. o;F» o 0,Ft CAw 0.F,
^' ojF;~ 6^o»f;^ ga» o,f;'
ea ayant égard à la convention relatives aux signes. Cette dernière relation donne
o\t^ OjF; ga»,
ce qui justifie le théorème.
Henajg-quK — L'énoncé qui précède peut être transformé en le suivant :
ie rapport anharmontque de la dmsion de çtiûire points formée par les (îetuc appuis de la tfac^, par le centre fixe 0^, et par le centre 0| correspondant à un point G arbitrairement dtoisi dans cette travée,
.db^CoOglc':
est égal au rapport des distoMXS du pMnt t\ aux deux foyers F^, F^; — cest-A-dire que
OjA^i^ 0,A ~CWJ En effet, la relation (l') peut s'écrire
o;f, CA 0,F,
ou, en titinsfonnant le premier membre, d'après la figure 7 (planche 2(H),
0;A,X CF^ + F,A, (0,Aj — F^Aj— CF^) 0/,
^ 0La^.xcf:+fx , (0.a^,-f:a^, -ce') = ox'
OU encore
O'A xCF +FA XOC OF
lm\ î-i ^-^ — * *
D'autre part, on a, en vertu du théorème I,
^k\ *^*^* FA^~5^' ou
F^A^xO^C O^P^
Les deux premières fractions des relations (m) et (n) sont donc égales entre elles; en les retranchant terme à terme, il vient : O'A xCF^ OF
o;a^,xcf;"
cf = Ef
ou enfin
puisque
(Ihéorhnt I) OF
OjF ~ OjA, '
*''* '•ÂH^'ôÂT^Ef;'
qm est la relation que nous nous proposions d'établir.
D,j.,.db,Googlc
Détermination du centre 0'^ correspondant a vu point G. De l'équation (I) on tire, en y faisant
Cette formule fait connaître la position du centre cherché en fonction de certaines constantes de la travée, qui sont la distance focale
FjFj et le rapport tt-tt = ; , et en fonction du rapport
-KT- qui définit la position du point G.
Discutgwn. — Supposons que le point G se trouve d'abord en Aj j et qu'il se déplace vers A^.
1" Quand G est en ki^, on a GA^, = et par suite F^O^ = F^F^; le centre 0]^ coïncide donc avec le foyer de droite F^.
Lorsque G avance vers F^, le rapport p . augmente en valeur
absolue ; F^O^ augmente, et par suite le centre 0]^ se rapproche deA,.
2° Lorsque G passe au foyer de gauche F^, on a
d'ailleurs la relation (A) donne
Substituant dans l'expression de Vfi\, il vient FF, FF. X F'A
