CA^, = 0^Â^, , GA
d'autre part (fc') donne
Substituant ces valeurs dans l'expression de F^O)^ , il vient F^O; = + » .
En résumé, tandis que le point G se déplace de l'appui de gauche au foyer de gauche, le centre correspondant 0^ se déplace du foyer de droite à l'appui de droite, et pendant que C passe du foyer de gauche au centre fixe 0^, de la travée, le centre 0\ s'éloigne à l'infini dans la direction de A^ .
En continuant la discussion, on reconnaît qu'au moment où le point C franchit le centre 0^ de la travée, le centre 0^ passe brusquement à l'infmi dans la direction de Â^, ; puis, tandis que C marche vers le foyer de droite, le centre 0^ se rapproche de l'appui de gauche qu'il atteint, lorsque C arrive au foyer de droite ; enfin G, continuant à cheminer vers l'appui de droite, Oj s'avance vers le foyer de gauche, où il parvient en toéme temps que G atteint l'appui de droite.
g 53. — Détenoinatlon des Taleors des produits (c]^— c^^^t ^
Valeur dd produit (c'^ — Cj)?^- — ^ous avons vu précédemment (§ S2) que fj était la résultante des forces fictives parallèles s^ et e^, appliquées respectivement au foyer de droite et au foyer de gauche de la travée {fig. 6, pi. 201); donc
D'autre part, e^ et ï^ sont données par les formules {/) el (s) du § 32, savoir :
ri» rk
qui, en vertu des relations (o') et (6') du § 50, p. 84, deviennent :
En substituant ces valeurs de e^ et de s^ dans l'expression de fj^, il vient
(c, ft~ ^177 ■
Mais le théorème I du § 52 donne
d'où l'on tire
Substituant dans l'expression (c) de ?j , il vient 1 VÀx+i,
Or la seconde fraction de cette formule représente précisément la valeur de la composante au foyer de gauche de la travée de rang k considérée [§ 50, p. 89, équation (e')]; donc
m ,.=gL.X..(.).
Enfin, remarquons que la longueur 0^0)^ est égale, en grandeur et en signe, à {c\ — c^), à la condition, bien entendu, de compter positivement cette longueur lorsque 0^ est à droite de Oj, et négativement dans le cas contraire; on a donc' 00'
Valeur du produit (c^ — f^t^v'k- — ^^ moment de la Tésullante /îclive Çj par rapport au centre fixe O^de la travée (c'est-àrdire le pro-
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duit (c'i^ — c^ ^'ii) est indépmdant de la position du point G. — Eq effet, nous avons vu (§ 62) que <f\ est la résultante des forces fictives — 6êj et + 0^1 appliquées respectivement en F^ et en F^ (yîj. 7, pi. 201); sa valeur est donc
Son point d'application est 0'^ .
En prenant les moments par rapport à 0^, il vient, en regardant les bras de leviei-s comme positifs dans le sens O^A^ et comme négatifs dans le sens O^A^ :
(A) 0^0'^ X ?; = + a <;^ X O^F; — te^ X O^F,^ .
Mais Oj et un point de la résultante des forces fictives ~\- s^ et + sj appliquées respectivement en F^ et en F^ ; par conséquent
Tirant de cette équation la valeur de s^ x O^F^ et substituant dans la relation (b), il vient
Si on remplace &'^ par sa valeur en fonction de il-^, par la seconde formule (6), on a
ou, en remarquant, comme plus haut, que
A,.ff',Xf^ 0^0^= c' — c^ et que — -. = Tt' :
quantité constante, ainsi que nous l'avions annoncé.
g 54.— Expressions du moment fléchissant et de l'etfort tranchant pi^uitB en une section quelconque par le passage d'une charge mobile, — Les efforts fictifs ^ dx, ^ dtc.— Théorèmefondamental relatif aux lignes dinfluence.
Revenons aux formules finales (4) du (§ 51) et calculons les tei-mes inconnus des seconds membres, c'est-à-dire les déplace-
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mesls angulaires et linéaires que tes forces extérieures, qui se réduisent ici à la charge mobile, imprimeraient aux sections (1) et (2) des deux tronçons kj^i), A^(2) de la poutre supposée coupée en G (fig. 49, p. 91).
Il y a lieu de distinguer suivant que la charge mobile se trouve sur le tronçon (2)A^ou,au contraire,8urle tronçon Ajj(l).
\° hk CHARGE MOBILE SE TROUVE SUR LE TRONÇON (2)Â^.
Soit, à un instant donné, D le point d'application de la charge mobile P sur le tronçon {2)„ considéré.
Le tronçon kj^i) ne supportant aucune charge n'est pas déformé, et l'on a
n reste à calculer ij^ et (Q , déplacements angulaire et linéaire produits en (2) par le poids P appliqué en D, et que nous représenterons maintenant par g^^ , (IJ* , pour rentrer dans un système de notation déjà employé (/" Sortie).
En vertu du second théorème de réciprocité {§ 7), le déplacement angulaire g^ imprimé à la section (2) par la charge P appliquée en D, est égal au déplacement vertical (i\^ qu'imprimerait au point D, un couple -|- P agissant sur l'extrémité (2) du tronçon (2)A^ ; en sorte que
De même, en vertu du premier théorème de réciprocité (§ 6), le déplacement vertical (1)° produit en (2) par la charge P appliquée en D, est égal au déplacement vertical (Q* qu'imprimerait au point D une force verticale -|- P appliquée à l'extréraité (2) du tronçon (2)A^ ; en sorte que
Nous sommes maintenant ramenés à calculer les déplacements verticaux (jy et (['y ; nous nuus servirons à cet effet des formules du § 32. Il faut, au préalable, détenniner les moments fléchissants produits par le couple + P et par la force -|- P.
Le couple + P, appliqué à la section (2), développe dans le tronçon (2) A^ des moments fléchissants que nous désignerons (l'une manière générale par s'.
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Dans la partie à porle-à-faux (2)Aj, {^g. 8, pi. 201) le moment est constant et a pour valeur (d) 3'=i — P;
puis, à partir du point A^, les travées n'étant pas chargées, les moments varient suivant les ordonnées de lignes droites qui passent par les foyers de droite (§ SO), et l'on a en vertu de la formule (1) (§ 50) ; En un point quelconque de la travée A^A^ , ^ ;
Mft+)
En un point quelconque de la travée A„,,A^ :
if) ;î'=-Pxp,^^ X p.^^x p„. x*— — ;
X étant l'abscisse du point considéré, mesurée à partir de l'appui ■ de gauche de la travée où se trouve ce point.
D'autre part, la force verticale -|- P, appliquée en (2), produit dans le tronçon (2)A^des moments fléchissants que nous représenterons d'une manière générale par s". Dans la partie en porteà-Eaux {2)Aj (fig. 9, pi. âOl), le moment, nul au point (2), croit linéairement jusqu'en A^oii ilatteint la valeur -}-P6,' puis, dans les travées AjA^ etc... non chargées, il varie encore linéairement en s'annulant en chaque foyer de droite. On a donc : En un point quelconque de la partie en porte-à-faux (2)A^ :
(g) '■ = +fi,
Ç étant l'abscisse du point considéré, mesurée à partir du point (2] pris pour origine.
En un point quelconque de la travée A^Â^.|, :
En un point quelconque de ta travée A^| A^ :
(i) 2"=+p&xpj^,xp^.x ?^-,x-^ — ;
X ayant la même signification que plus haut.
Les moments s' et s" étant connus, nous pouvons maintenant calculer les déplacements (Q* , (J'y par la formule (!) du § 32- Il faut se rappeler que dans l'application de cette formule,
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nous dévoua rameser la pièce à n'être soumiae qu'à des liaisons indépendantes de l'élasticité et que noua aommea maitrea du choix de ces dernières parmi toutea les liaiaona existantes.
Si le point D, dont nous cherchons les déplacements, est situé dans la partie de poutre (2)Aj, nous coosidérerons comme liaiaona indépendantes de l'élasticité celles qui imposent la flxité des points Aj et Aj^, , et nous écrirons en conséquence :
formules qu'en vue des calculs aubaéquents, nous mettrons sous la forme suivante :
^■'d d iil D bl ^ ' D D m D m
Si le point D est situé dans une travée quelconque, placée à droite du point d'appui A^, celle A^,A^ par exemple, nous considérerons comme liaisons indépendantes de l'élasticité celles qui imposent la flxité des points A^, et A„ ; nous aurons par suite
W (r)' =M7^dx; (Q' = MT^dx.
^ *^D a Cil ^ " D D iil
En adjoignant à chacun des deux groupes d'équations (m) et (n) celles (a) (b) et (c) qui précèdent, on obtient, par substitution dans les formules (4) du § 51, et en tenant compte des relations (!)Bt(6)du583;
Lorsque le point D est dans la partie de poutre (2) A^ :
o'MT-dx + c KY YdiL + jn-^dx+ XYrfdx
XY ' , dx+ HT -^ du
MY^dx+ MY ^dx+c^MY-rdx+c, MY y''*
D 1 Il 1 ' D t D 1
o,F,xit;
MY =-^iii:+ MY Y^-dx
D,j.,.db,Googlc
Lorsque le point D est dons une travée quelconque située à droite à point Aj, celle ^„f^„ par exemple :
O*,»,' »-*-3'' "^'■^cz' + s"
c- MY -^dx -^ XT ^dx Jf F -î— dx
MT^dx + o,M7^dx
OiF;xii; o»Fixir;
Or, les valeurs de s' et de s" dans les intervalles (2) A^, A^A^^, ^m-Am ^^^^ données par les formules (d) (e) (/) (g) (h) (l).
En substituant ces vateurs dans les expressions précédentes de M et de T, il vient :
Lorsque le point D est dons la partie de poutre (2) A^ :
ro
M D I ' p «.ti X I
I OA o,o;x.;
lorsque le point D fs( dans tjiw (rowic quelconque située à draile de Aj, celle ^,„,^^ par exemple :
Jf7(4-<!;)f,„Xf„X =^f— '^^^xf*
,„, I oA= ^ o.oix^;
*5'-('-«.)fwXf.+ix ^^f— iXT^n*"
2° LA CHARGE MOBILE SE TROUVE SUR LE TRONÇON A^ (i).
En suivant identiquement la même marcIie que dans l'iiypotbèse précédente, en arrive aux résultats suivants ;
D,j.,.db,Googlc
Lorsque te point D est dans ta partie de poutre (1) Aj, :
MI
lorsque le poirU D e«t dans une travée quelconque située à gmtdie it A^,, celle Â(jAj par exemjAe :
^^'"«'(Xl
Jfr'-(«+«.)pLiXfUx...
o»F' X Tt;
Ces formules établies, construisons les diagrammes suivants : 1" Par le centre 0^ correspondant au point C {{ig. 40, pi. 20i), menons une droite faisant un angle égal à -j- 45" avec la ligne Â^A^, et limitons-la à ses intersections 3'^|, a^, avec les verticales des appuis An|, A^ ; puis, à partir du point a^, traçons la ligne brisée x[ a'^^^ «^.^.j , dont les côtés passent par les foyers
rte droite des travées situées à droite de A^, et dont les sommets se trouvent sur les verticales des appuis ; enfin, à partir
du point aj,, traçons la ligne brisée aj, a'f.^ aj^^ , dont les
côtés passent par les foyers de gauche des travées situées à gauche (le A^^,Nous désignerons, d'une manière générale, parsi une ordonnée quelconque de ce diagramme ;
2» Par le centre fixe 0^ de la travée {fig. 4i, pi. 20i), menons une droite faisant un angle égal à — 45** avec A^A^ et limitons-la à ses intersections «j^, a^, avec les verticales des appuis Â^, et Aj ; puis, à partir des points â[^ et a^, achevons la construction du diagramme, comme il a été dit au 1°. Nous désignerons, d'une manière générale, par Sj une ordonnée quelconque de
bvGoot^Ic
Les ordonnées it et Zj ont les valeurs suivantes : En tm fmint quelconque de. la travée Â^^Aj;
En tm point quelconque de la travée A^A^ , , :
£n un point guefcon^ de ia travée ^„^^^„ ■
3, = {b-e,)f,^,Xfi^X X(>^X-ïj— ;
.En tm point ^Iconque de la travée Aj jAj| :
(g + cJfcUi — »^) (ii + e.)(ii;i, — l) ,
'■■" «U ' '■ «Li '
iïn un po»n( quelconque de la travée kf ik. :
«'( — œ »i = {" + <)p»-|Xp„x Xf,, X— — 1
». = -{« + «.) pLi X pUx Xpi+iX -^-j —
Ces expressions différentes de s, et de 3j entrentdans les formules (7), (8), (9) et (10); si on introduit zi et ïj dans les dites formules, il vient :
Lorsque le point D se trouve dons la partie de poutre (2) Aj !
j, XT ^dx MY 4dx
/Tblsj ™ p P >- T p P t
Lorsque le point D $e trouve dans une Irtlvi^ ^uefcon^ située i droite de \, celle A,^, A^ par exemple :
«r^'ii nr'-f-dx
(gbi.) ïï__pj; ! , T = P-!— !
OA o.o;x.t; o,f;x.;'
lorsque h point D se trouve dans (a portte de powfre (i) A^^ i
,1 SY ^ dç irr 4* dx
D,j.,.db,Googlc
Lorsque le point D se trouve daas une travée quelconque située à
gauche de A^|, celle A^|Aj par exemple :
MT 4dx MT 9 dx
Eu se rappelant que D désigne toujours le point d'application de la charge mobile, on traduit comme suit, les formules qui précèdent :
Théorème 1. — Etant données une poutre coiUinue parcourue par une charge mobile, et une section C arbitrairemeni choisie dans une tracée quelconque Aj,Aj, si on applique successivement des efforts fictifs verticaux i" y dx, 2" -j- dx, tout le long de celle poutre, et qu'on
considère les i-éactions fictives correspondantes, développées aux extrémités de chaque travée supposée séparée du reste de la poutre et repoimi librement sur ses appuis, — z, et Sj étant les ordonnées des diagrammes polygonaux précédemmetU définis :
A. — {i°) la somme des moments, — par rapport à un point quelconque T) appartenant aune travée A. ^^k^ située à droite de celle
Aj Aj, — des forces fictives Y dx réparties enti-e ce point et l'appui A^,
et de la réaction fictive en cet appui, est proportionnelle au moment ^dûsiant que la charge mobile produit au point G lorsqu'elle passe enD.
(â°) La somme dts moments, — par rt^port à un poitU quiconque D appartenant à une travée A^^A^ située à gauche de celte A^.^ A^, —
(les forces fictives y dx réparties entre ce point et l'appui A,,, et de
ia réadxon fictive m cet appui, est proportionnelle au moment fléchissant que la charge moitTe produit au point G lorsqu'elle passe en D.
(3") La somme des moments, — par rapport à un point quelconque D appartenant au ^onçon de ù^avée GA^, — des forces fictives
-T tir répai-tiés entre ce point et Cappui de droite A^j^^ de la travée
fidjacenfe à ce trohçon, et de la réaction fictive en cet appui, est pro^ poTiionnelle au marnent fléàùssant que la charge mobile produit au poihJ G lorsqu'elle passe en D:
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{k") La somme des moments, — par rapport à un point quelconque D appartenant au tronçon de travée CAj,, — des forces fictives -j dx réparties entre ce point et l'appui de gauche À.,^^ de la travée adjacente à ce tronçon, et de la réaction fictive en cet appui, est proportùmnelle ou moment fléthissani qut la charge mobile produit au point G lorsqu'elle passe en D.
B, — Les quatre propositions qtù précèdetU s'appliquent également
aux forces Rétives -=- dx et aux efforts tranchants développés au point li
par la charge mobile.
Les {i") et (2°) peuvent encore être énoncés de la manière suivante :
Le momerU fléchisf(mt fictif développé par les forces fictives -4 dx, en
un point quelconque D d'une travée située soit à droite, soit à gauche de celle A^. ^A^, — la dite travée étant consiiérée comme séparée da reste de la poutre et comme reposant librement sur ses appuis, — est proportionnel aumoment fléchissant que la charge nuAile produit en C lorsqu'elle passe en D,
En se référant à des propriétés connues des courbes funiculaires et à la définition des lignes d'influence, on transforme comme suit, le théorème qui précède.
Théorème II. — Éttmt données une poutre continue parcoui'ue par une charge mobile, et un« section C arbitrairement choisie dans une travée quelconque Aj,Aj, si oh applique successivement des efforts
fictifs 4" -s- dx, â° -y dx, tout le long de la poutre, — x, et s^ étanA
les ordonnées des diagrammes polygonaux précédemjnent définis, — qu'avec des distances polaires arbitraires, on construise les deux courbes ftmiculaires respectivement relatives à ces efforts, qu'on leur mène des lignes de fermeture correspondantfs à diacune des travées autres que celle Aj^Aj, et qu'enfin on prolonge jusqu'à la verticale du point C ks ligtKS defermeture afférentes aux travées conliguës à celle A^^^ Aj. Les segments de verticales, compris entre chacune de ces courbes et les lignes de fermeture y relatives, sont respectivement proportionnels oui ordoitnées des lignes d'influence du moment fléchissant et de f effort tranfMnt dévekppés dans ht section C.
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{ 05. — Prt^riétés des oonrbas fiudoiilaires oorreBpcoulantes aux sihnta fictUs^ dm «t -^dx
Théorème î. — Dœis la courbe fvnicuiaire des zi dx, les lignes de
fermeUav correspondanies aux travées adjacentes à celle Aj^Aj mi se trouve le point G, fie coupent tur la verticale de ce pmnt. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la résultante de»
réactions flctivesen ces appuis, passe par le point G; ou, parsuite, que la somuie des moments de ces forces par rapport à C soit nulle.
Fiff.2Û
Une ordonnée quelconque du diagramme des x (ix\ t\ x\ *'*+() if^- ^^)i 6st égale à la somme algébrique ig[ -}->!* des ordonnées correspondantes des diagrammes *'t,iï'i,Aj et z\.
(a) ^(te=^dx+^dj;.
Or, en vertu du lemme du § B2, la résultante des efforts fictife
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!^ da; et de la réaction fictive corresporidante en Aj j est appliquée en F^; elle a pour valeur
be même, la résultaate des efforts fictifs y lir et de laréaction fictive correspondante en Aj , , est appliquée enF^, et elle a pour valeur
puisque A^a^ = O^A^.
Mais il résulte de la relation (a) que la résultante des efforts fictifs J. dx et des réactions fictives correspondantes en A^^, et en A^ . ^, est la même que celle des forces fictives
0A-tX«i «* o;a^x«..
La condition nécessaire et suffisante pour que cette résultante passe en C est :
o;A,xe» — cf;
ou, à cause de l'équation (A) (§ 52, p. 98),
o;a, o,f;ce; o;a^,^ô^~cë;'
Cette relation n'est autre que celle (p) démontrée au para' graphe 52, p. iOO; la condition ci-dessus est donc satis^te, ce qui justifie l'énoncé.
TnÉoitiENE II. — Dans la courbe funiculaire des ~ dx, les lignesàt fermeture correspondantes aux traoéet adjacentes à ceOe A^,A^ 9Ù se troutse le point G, sont paraMts.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'il y ait coïncidence entre le premier et le dernier rayon polaire du polygone des forces formé : 1" de la réaction fictive en A^ , ,, 2" des forces
fictives * dx réparties entre A^ . ^ et Aj j, 3" de la réaction fie*
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live enAj,; ou, par suite, que la résultante t nulle.
ces «ffoïts soit
Une ordonnée quelconque du diagramme des z^ (*"jt,«'i,»t *'*+,) (fis- ^0 ^* égale à la somme algébrique i)\+% des ordonnées correspondante des diagrammes »'t j«'j , A^ et «'it+,«ÏA,j , ; on a donc
(a) lî<tc=Iïda.+Ilï<ir.
Or, la résultante des efforts fictifs -p (£r et de la réaction fictive en Aj,, a pour valeur
puisque A^,a'^., = — O^Aj,.
De même, la résultante des efforts fictifs ^ da: et de la réaction
Sctive en A^ . ^, a pour valeur
— O^A^Xï^, puisque -*-»** "^ — *-*ji^*-
correspondantes en Aj j et A^, ^, a donc pour expression (6) - O^A^,Xe'^-0,A^X V
Uais, d'autre part, (A) et (bf) (§ §2) donnent
u OA-,'
"H — Oj,A^,Xe;— 0AX*»=0'
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La résultante exprimée par la formule (6) est donc nulle ; ce qu'il fallait démontrer.
z Théorème III. — Dans les courbes fumadaires des -r dx et des ;
Y dx, les lignes de fermeture ccrî-espondantes aux travées qui précédent
celle Aj Aj où se trouve le point G, sont en ligne droite; il en est de même des lignes de fermeture correspondantes aux trtKées gui suivent ceUe Aj,Aj,
Revenons aux calculs du § 54.
Pour déterminer les déplacements entrant dans les expressions (4) {§ 31) de M et de T, nous avons dû supposer les deux tronçons de poutre Â^^C, CA^, privés de leurs liaisons surabondantes. Dans le c^ où le point D d'application de la charge P se trouve dans une travée quelconque A^^A^, située à droite de celle Aj,Aj où est le point C, nous avons considéré comme indépendantes de l'élasticité les liaisons qui imposent la fixité des pointa A„., etA„.
Or, d'après une remarque déjà plusieurs fois renouvelée, nous savons qu'on peut également regarder comme telles, les liaisons qui imposent la fixité de deux appuis quelconques, ceux A^ et A, par exemple. Dans cette hypothèse, les formules finales i(8 bis) du § 84, deviennent :
MT^dx XY^dx
(»'") ÔÂ='' 0.0-.X.-. ■ '^-^ O.F-.X.-. -
n résulte de ces expressions et de propriétés connues des courbes funiculaires que :
Si, avec des distances polaires arbitraires, on trace les deux
courbes funiculaires des jdx et des — dr, et qu'on leur mené
des lignes de fermeture les coupant respectivement en leurs pointS' d'intersection avec les verticales des appuis Aj^ et A„, les segments de verticales, compris entre ces courbes et ces lignes de fermeture, 9ont proportionnels aux ordonnées des portions des lignes d'influence du moment fléchissant et de l'eflbrt tranchant en C, afférentes à la partie de poutre AjA„.
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En comparant la construction qui vientd'être indiquée, à celle donnée au théorème II du paragraphe 54, on voit que la première ne diffère de la seconde que par la substitution d'une ligne de fermeture unique aux Lignes de fermeture partielles répondant à chaque travée.
Ces deux constructions devant nécessairement donner les mêmes résultats, il faut que la ligne de fermeture unique coïncide avec les lignes de fermeture partielles qui, par conséquent, sont en ligne droite.
Même démonstration en ce qui concerne les lignes de fermeture partielles correspondantes aux travées situées à gauche de celle Aj^Aj.
Corollaire. — En rapprochant les théorèmes I et II, du théorème III, on voit immédiatement que :
lignes de fermeture iks travées qui précMent celle l^ où se trouve le point G considéré, S" par les ligms de fermeture des travées qui suivent cette dernière, se coupmt s»r la v^ticaie du point G.
aur précédentes sont parallèles.
Remarque. — Les portions de la courbe funiculaire des -^ (te,
correspondantes à deux travées adjacentes quelconques /„, el '„,, se raccordent tangentiellement sur la verticale de l'appui A^^ commun à ces travées, puisque dans le polygone des forces
travée I est en même temps le premier rayon polaire des forces fictives de la travée l^^.
La même remarque s'applique à la courbe funiculaire des
DigiLizedbyGoOglc
) tm- ~- Cmstruoticai dea lignes dlnflnenoa du Moment fléohie- ■ant et de l'EUort tranchant déTsloppéa en une section C srbltralrement choisie dans une travée l^ quelconque.
Le théorèiQd II du § 54 ramène cette constructioQ à celle des deux courbes funiculaires correspondantes aux forces fictives ver-
ticales y dœ et -r-dx réparties tout le long de la ligne moyenne
de la poutre.
Nous opérerons conformément aux indications données au § 45 pour les tracés analogues relatif à l'arc encastré.
La ligne moyenne de la poutre continue a été précédemment divisée en un certain nombre de parties Aœ, égales entre elles, pour la détermination des verticales trisectrices (§ KO).
Conservons cette division et, aux milieux des éléments A»,
il, li„
appliquons des forces fictives verticales s^ -— et a^ -=-• descendantes ou ascendantes suivant que les z^ ou les 2, sont positife ou négatifs (PI. 201, Fig. i% à 49).
Gela fait, avec des distances polaires B^ et B^ , positives ou négatives, et d'ailleurs pour l'instant arbitraires, traçons les deux polygones de ces forces fictives (fig. 4B et 4A et pg. 41 et 48) {*), en ayant soin de commencer par l'extrémité A„ de la poutre et de placer' les pôles à gauche, ou adroite, des verticales choisies pour porter bout à bout les forces fictives, suivant que B^ et B^ sont positifs ou négatifs ; construisons les deux polygones funiculaires y relatifs a^ H, 0^, C, m.... {fig. 4S) {") et a\ Hj a'^ C, *\ Hj et^ (fig. 49) ; menons-leur des lignes de fermeture correspondantes aux travées autres que celle l^ qui contient la section C; enfin, prolongeons les lignes de fermeture des travées f^,, et ijj^ jusqu'à la verticale du point G.
Ces polygones funiculaires ont pour limites, lorsque A»
(*) Pour M pas Borcharger les figures, chacna de cee pohrgoaes a àté idodé en deu parties, et toutes les forces fictives n'y ont pas été représentées.
d'indiquer
D.-,:cdbïC00gIC
décroit indéfiniment, tes deux courbes funiculaires des -j dx e>t
Donc :
1' Dana chacun des polygones &d question, les lignes de fermeture des travées qui précèd«it celle l^ doivent former une seule lignedroite; celles des' travées qui suivent /^ doivent former uiie autre droite.
2" Dans le polygone funiculaire des s^ -=- » ces deux droites
doivent se couper sur la verticale de C au point c . (Cette vérification n'apparaît pas sur la figure iS, la partie du polygone
funiculaire des «i ^ cowespondante aux travées qui Buivenl celle
Ij n ayant pas été tracée.) Dans !è polygone des « ^ les droites
en question (a'^ c^ et «' y,) doivent être parallèles. Ce sont là des vérifications de l'exactitude des tracés. Cela posé, soient K^H^ , K^H, , les segmente interceptés sur la verticale d'un point quelconque D par chacun des polygones fuaicuiaires et par les lignes de fermeture correspondantes. Par des considérations identiques à celles exposées au § 45 pour l'are encastré, on établirait, en partant des équations fondamentales {7 bis) (8 bis) (9 bis) et (10 bis) du § 54, que, lorsque la charge mobile passe en D, le moment fléchissant M et l'efi'ort \ dans la section C sont donnés par les relations nia: ^ M, X"^ '
Bij; -f— X B,
'r. = PX o>.x.-. x'^^-
(*} Od remarqnen que H, élaot nn raonieat MO^^^ \
D,(,.,:edbïG(>OgIC
En remplaçant la composante au foyer de gauche «'^ par : valenr tirée de la formule
qui est celle if) du § SO (page 89), à la substitution près de l'indice k à l'indice t, il vient :
M„ PxB,
PxB,
Soient maintenant P,B,, B,, Ô^;, Ô/^,l!„Tfi, et"^,leslongueurs brutes, abstraction faite de toute échelle, des lignes qui, sur l'épure, représentent les quantités désignées par ces lettres
et j celle dee longueurs ; on a :
p=Px/; b,=b;xi, b,=b,x(, o,o;=ôp;xi, o,F,=ô^xl, n;=n;xi, k,h,=k;h^xI, K,H,= ïyÇxi,' et en substituant dans les deux équations ci-dessus, on obtient :
M. ( PxB, \
OA \o.o;xn; 'V / PXB, — ^\
Or, on peut toujours prendre pour distances polaires, les valeurs suivantes :
âôlxïï'.
- ô^LxB; (») ''==-^^'
auquel cas les relations précédentes se réduisent à
(«) ôX''^'^''^''
D,j.,.db,Googlc
et l'on peut dire, dès lors, que les segments de verticales K^H^ et KjHj, correspondants aux polygones funiculaires tracés avec les dislances polïiires sus-indiquées, représentent, à l'échelle des forces, les
K quantités jrp-j- et T^,, ou encore qu ils sont égaux aux ordonnées
des lignes d'influence desdites quantités.
Par suite, si on les porte en ordonnées à partir de deux horizontales U|U', et UjU'j choisies comme axes des abscisses, on obtiendra les lignes d'influence cherchées aEfli^Gfi^a^ et a'ïi^a'^fi^ C\a\a\ (fig. 43 et 49).
Remarque I. — Au lieu de construire en une seule fois le poly- -1„
gone funiculaire des forces fictives s^ —pi pour toute la poutre,
on pourra procéder travée par travée, ce qui aura l'avantage de rendre les traces plus clairs et d'éviter qu'ils ne sortent des limites de l'épure.
On tracera donc autant de polygones des forces fictives et autant de polygones funiculaires qu'il y a de travées, en ayant soin de tenir compte de ce que le dernier côté du polygone funiculaire correspondant à une travée et le premier côté du polygone funiculaire de la travée suivante doivent être en ligne droite, ainsi qu'il résulte de la remarque finale du § 55.
Il sera également commode de faire en sorte que les lignes de fermeture des polygones funiculaires successifs, lesquelles doivent être en ligne droite, coïncident avec l'axe horizontalU U' auquel on rapporte la ligne d'influence ; ces polygones funiculaires constitueront alors la ligne d'influence cherchée ellemême, et l'on aura évité le report d'ordonnées indiqué plus haut.
Pour cela, on construira, avec un pôle quelconque de distance polaire B^ , un polygone funiculaire d'essai des forces fictives
ï, -p, pour la première travée A, A^ seulement ; la ligne de fermeture de ce polygone sera en général oblique ; on corrigera la position du pôle, suivant une règle connue, de manière à ramener ladite ligne de fermeture à être horizontale ; puis on retracera le polygone funicul^e en question, en partant du point de
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U,U'j situé sur !a verticale de l'appui A^ ; !e dernier côté de ce polygone coupera U|U',9ur la verticale deA^ et fera connaître ladirec-
tion à donner au premier côté du polygone funiculaire des -^ *,
correspondant à la travée suivante A, A,. On construira ce nouveau polygone, dont le dernier côté coupera U,U', sur la verticale de Aj. On continuera ainsi, de travée en travée, jusqu'à la verticale de la section G, relativement à laquelle on cherche la ligne d'influence du moment fléchissant M.
On obtiendra, de la sorte, toute la portion de laligne d'influence de M, correspondante à la partie de poutre A^ G.
On construira de la même manière, la portion de la ligne d'in- Quence qui correspond à la partie de poutre CA„, en partant de la dernière travée A^^, A^, au lieu de la première A^A , et en allant de travée en travée jusqu'à la verticale de C.
Il est clair qu'au lieu de commencer les tracés par tes deux travées de rive, on peut commencer par deux, travées quelconques A,.,A( et A,,,|A^, situées, l'une avant, l'autre après la travée A^__, A^ qui contient le point C.
Ainsi, on construira le polygone funiculaire des forces fictives
-1„ ï, -p pour la travée \,k^, par exemple ; et on corrigera la position de la ligne de fermeture de ce polygone de manière à la faire coïncider avec l'horizontale UjU,'. En prolongeant respectivement le premier et le dernier côté dudit polygone, à gauche de la verticale de l'appui Aj^ et à droite de la verticale de l'appui Aj. ou aura le dernier côté du polygone funiculaire correspondant à la travée A(jÂ,, et le premier côté du polygone funiculaire correspondant à la travée A^A^^. On pourra dès lors tracer ces derniers polygones, et on continuera ainsi, de proche en proche, d'une part en allant de la travée A;,A(^ à la travée de rive A^A,, et d'autre part en allant de la travée A,A^ jusqu'à la section C. On obtiendra ainsi la partie de la ligne d'influence afférente à la partief de poutre A^ C.
Une construction semblable, faite en partant de la travée A^ ^
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A^, fera connaître la partie de la ligne d'influence afférente à la partie de poutre C A^.
Les indications qui précèdent s'appliquent aussi au polygone
funiculaire des forces fictives x^ -s—, c'est-à-dire à la ligne d'influence de l'effort tranchant.
Remarode II. — Lorsque la section C dont on cherche les lignes d'influence, se trouve entre les foyers F^ et F^, le centre 0^ correspondant est situé en dehors de la Gravée, et il est d'autant plus éloigné, soit dans la direction Aj^ A^, soit dans celle Âj^^, qne le point C est plus rapproché du centre âxe 0,^ de la travée ; il est rejeté à l'infini positif ou négatif lorsque G coïncide avec 0^ (§ S2, p. 101 : Discussion.).
n en résulte que, pour certaines positions de la section G, entre les foyers, la longueur 0^0|^ est très grande 0^.32, p. 124); il en est de même, par suite, de la distance polaire B, , d'après la
formule (a) (page lîO), et des efforts flctife x^ — r- , d'après la construction même du diagramme des z,.
Le polygone de ces efforts fictifs peut alors prendre des dimensions incompatibles avec celles de l'épure.
On obvie à cet inconvénient en apportant aux tracés sus-indiqués la modification suivante qui s'applique, d'ailleurs, quelle que soit la position du point C dans la travée.
Remarquons qu'on ne modifie en rien le polygone funiculaire
des efforts fictife x^ -y- , en multipliant par un même coefficient lesdils efforts fictifs et la distance polaire B^. Attribuons à ce coefficient la valeur q-q<', X étant une longueur arbitrairement choisie ; les efforts fictif à considérer deviennent alors
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— iu'-
en posant
tandis que la distance polaire prend la valeur "P
if)
D'après(e), e^ ets^ sont proportionnels; les côtés du diagramme des z\ coupent donc A^^A^ aux mêmes points que les côtés correspondants de celui "des z,, savoir : aux foyers de gauche des travées qui précédeut celle i^, aux foyere de droite des travées qui suivent /^, et enfin au point 0^ pour le côté répondant à la travée Z^.
Dès lors, pour tracer le diagramme des z'^, il sufBt d'en connaître une seule ordonnée. Calculons celle dont le pied est au centre fixe 0^ de la travée l^ ; en ce point on a
(',)o,= -OA, puisque le côté a\___ ^x'^àa diagramme des z^ fait un angle égal à — ■4S degrés avec A^A^et passe par OJ^. Donc, en vertu de (e),
D'où la construction suivante {fig. 22) :
\ Am
Fig.,22
Porter en ordonnée O^S^ =^X, au-dessus de A,A^; joindre
S(0^ : la partie aï, «^ de cette droite est le côté du diagramme des ï'j, qui correspond à la travée l^ ; enfin, achever le diagramme, en partant dés points a^| et «^ comme il a été indiqué pour le diagramme des s^.
Résumé des opérations à effectuer, pour déterminer les lignes d'in-
^uence du moment fléchissant M ( ou plus exactement de (a qtionfité , |
et de l'effort tranchant T pioduits en une section C arbitrairement choisie dans une travée l,^ , par k passage d'une charge mobik P.
La construction des verticales trisectrices, des foyers, et des longueurs telles que 1IJ, qui représentent les composantes aux foyers de gauche, étant préalablement faite, on devra :
1" Déterminer le centre fixe 0^ de la travée, et le centre 0'^ correspondant au point C(§ 52), puis les diagrammes polygonaux des !,(ou des s'^^ et des z^ qui s'ensuivent immédiatement (§ S4).
2° Tracer deux polygones funiculaires de distances polaires
U K s Kl ^,, U' Kl
L5(oub;:.:
respoûdants à des efforts fictifs verticaux, égaux respectivement à i / 1 \ 1
îj — j— I ou s^ — j— / et a Sj— T- , — net 1^^ ayant les valeurs déjà
employées pour la construction des verticales trisectrices et des longueurs telles que ïl',^. Mener à ces polygones des lignes de fermeture correspondantes aux travées autres que celle l^, et prolonger jusqu'à la verticale du point C, les lignes de fermeture des i celle /. .
3" Ramener les ordonnées de ces polygones, mesurées à partir de leurs lignes de fermeture , à avoir leurs pieds sur les axes l'iU'j et UjU'^; joindre les extrémités de ces ordonnées par des droites, ou mieux par des lignes courbes, ce qui donne les lignes d'influence cherchées.
Ou bien, la détermination: 1° étant effectuée, construire les polygones funiculaires du 2", conformémeut aux indications de la remarque I du.présent paragraphe, ce qui supprime l'opération 3".
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s 57. — Zdgnw d'influsno* dn marnant fUohlaunt «i d* l'«tfort tranchant, ralativas anx dUtérentes MOtlais d'nna même travée.
Supposons qu'on ait déterminé, comme il vient d'être dit, les lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant, relatives à une section C de la travée /».
Nous allons montrer comment les constructions faites à cet effet doivent être utilisées, pour simplifier les constructions similaires à effectuer pour la détermination des lignes d'influence correspondantes à une autre section quelconque C de la même travée.
1" LœwEs d'influence de l'effort tranchant
Théorème. — Le 'polygone funiculaire d'où se déduit la ligne tf mfluence de l'effort tranchant reiatitx à une section G quelœnque d'une travée l^^, est identique au polygone de même nature correspondant à la section G située dans la même travée.
i" Ces polygones correspondent aux efforts fictifs a, — j — qui
ne changent pas de valeur quand on passe de la section G à la section G', puisque le point 0^ qui déflnit le diagramme de s^, est fixe dans la travée ;
2" Leur distance polaire est la même, en vertu de la formule (b) (§ ^)i l^i' Q^ contient que des constantes.
Ils sont donc identiques.
Par conséquent, un seul polygone funiculaire, celui des forces
fictives 2, — j—. fait connaître les ordonnées des lignes d'influence
de l'effort tranchant, relatives aux différentes sections d'une même travée /j.
Conformément aux indications du § 66, on devra, pour chaque section considérée, prolonger les lignes de fermeture des travées 'j , et ij , , jusqu'à la verticale de cette section.
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Il résulte de ce qui précède que, pour toutes les secti<HiB d'une même travée, les parties des ligues d'influence de Te&rt traucbaiit, situées eu dehors de ladite travée, sotot identiques.
2° Lignes d'influence du moment fléchissant A — Parties de la ligne (finfiuenee situées en dehors de la tnwée /^.
Théok£me. — Les ordonnées correspondantes à une même abscisse, tles Ugnes d'influence relatives à deux sections G et C de la travée Ij^, sont entre elles:
1° Pour la partie de ces lignes située à gautAe de la travée l,^, comme les distances du foyer de droite F^ de cette travée aux sections GetC ;
2° Pour la partie de ces lignes située à droite de la travée l^, comme les distances du foyer de gauche F'^ de cette travée aux sections C et C.
La charge esl à gauche de
CoBsidérons d'abord les portions de lignes d'influence situées à gauche de la travée l^.
Quand la charge mobile se trouve sur la partie de poutre A.^^./^ , le diagramme représentatif des moments fléchissants dans la travée ij est, à chaque instant, une droite qui passe par le foyer de droite de ladite travée (fig. S3) et qui pivote autour de ce point, tandis que la charge se déplace (§ 50. Foyers). On a donc, en désignant par Mg et M^, les valeurs simultanées du moment fléchissant en CetenC,
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Cette proportion ayant lieu quelle que soit la position de la charge mobile sur la partie de poutre A^A^.|, on en conclut que, dans cette région, les ordonnées correspondantes des lignes d'influence du moment fléchissant en C et du moment
F.C fléchissant en C, sont entre elles dans le rapport constant iwr-
On démontrerait de même que, quand la charge mobile se trouve à droite de la travée ij, on a (fig. S4)
et que, par suite, dans la région A^A^^, les ordonnées des lignes d'influence du moment fléchissant en C et du moment fléchissant
F.C en G, sont entre elles dans le rapport constant ^nv-
GoNSÉQUENCK. — La partie de ligne d'influence du moment fléchissant en C, située à gauche de /^, se déduira de la partie correspondante de la ligne d'influence du moment fléchissant en C,
par la réduction ou l'amplification des ordonnées de cette der-
F.C nière, dans le rapport ^rp-.
De même, la partie de la ligne d'influence du moment fléchissant en C, située à droite de l^, se déduira de la partie correspondante de la ligne d'influence du moment fléchissant en G, par la réduction, ou l'amplification, des ordonnées de cette dernière,
dans le rapport y-rr-
Il est sous-entendu que les rapports en question sont susceptibles d'un signe : ils sont positifs si C et C sont d'un même côté de Fj, oudeF^; ils sont négatifs si C et C sont de part et d'autre de Fj, ou de F^.
B. — • Partie de là ligne d'influence du moment fléckiasant, située dans la travée i^..
Pour la détermination de cette partie de la ligne d'influence du moment fléchissant en C, on appliquera la méthode générale indiquée pour la section C et complétée par la remarque I
On cherchera le centre correspondant à la section G' et on
