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tracera le côté du diagramme des b^ (ou de celui des a'\ situé dans la travée /^.
Puis on construira successivement les deux tronçons de ligne d'influence, situés dans les parties de travée Aj^G et A^C, en se fondant sur ce que :
1" Ces tronçons sont deux segments d'un polygone funiculaire
de distance polaire B, = m. ■ I ou B, = — =-= 1, cotres-
pondant aux forces fictives s, — p ou s\ —p ;
2° Ces tronçons respectife doivent (§ 55. — jRemar(pie finale) se raccorder tangentiellement avec les parties de ligne d'influence situées à gauche 'et à droite de la travée l^, parties qui ont été déterminées précédemment.
I 58. — Lignes d'tullaenoe du moment fléchissant, relatives à certaines sections remarquables.
La connaissance de la ligne d'influence du moment fléchissant en une section donnée, résulte immédiatement de celle du diagramme des z, (ou des a'J correspondant à cette section.
Nous allons passer en revue certaines sections remarquables, pour lesquelles les diagrammes en question présentent quelques particularités.
LIGNE d'influence DU MOMENT FLÉCHISSANT EN UN APPUI QUELCONQUE DONNÉ.
Soit l'appui Aj,.
Nous pouvons, à volonté, considérer la section Aj j comme appartenant à la travée i^, ou à celle l^ {"). •
Regardons-la, d'abord, comme faisant partie de cette dernière. Alore, le centre Oj, qui lui correspond, coïncide avec le foyer dedroîteFjde la travée (j(§52. — /h'scusston). Le diagramme des» est, en conséquence, celui représenté en traits pleins sur la figure 20 de la planche 202.
(*) Cette section peut, en effet, tire priga immidUtemeat à gaucbe ou immédiabonenl à droMe de l'appai.
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La distance polaire à adopter pour le tracé du poï^one fuaioulaire 1
des forces fictives s^ -p est dans ce cas : B, = — ^= -[ § 56,
p. iâO, — formule (o)).
Le diagramme des s' qu'on peut également employer, est indiqué sur la même figure, en traits poinlillés ; la distance polaire à prendre, pour construire le polygone funiculaire des forces fictives
«; ~, a pour valeur B; = ^~^iS i§ 86; P- <24- formule (/)].
Si nous considérons, au contraire, la section Aj j comme appartenant à la travée l^^, le diagramme des s^ est celui en traits pleins de la figure 21 (pi. 202) et la distance polaire à adopter pour le tracé du polygone des forces fictives y relatives, est égale
Le diagramme des s\, qu'on peut également utiliser, est indiqué en traits pointillés (fig. 21), et la distance polaire à prendre
pour le tracé du polygone fïiniculaire des forces fixitives g\ -p
LIGNE d'influence DU HOHENT FLÉCHISSANT EN UN FOYER QUELCONQUE,
Considérons fe foyer'de gauche T^ de la travée t^.
Le centre correspondant au point F^ est l'appui de droite A^ de la travée; le diagramme des z^ est donc celui de la figure 22, {pi. 202).
Ce diagramme se confond avec A^^A^ dans la partie de poutre
(') On remarquera que celle distance polaire est négative, carO^jF|j| est négalif, puisque P' est à gauche de ^.
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située à droite de la travée Z^. Les efforts fictifs a^ . sont
par conséquent nuls dans cette partie, et il en résulte :
i° Que dans le polygone funiculaire des 2, iL la ligne de
fermeture de la travée l,^ , ligne qui, d'après les indications du § 56, doit être prolongée jusqu'à la verticale de la section considérée Tf., se confond avec le dernier côté du dit polygone funiculaire;
2° que dans la partie A^A^ de la poutre, la ligne d'influence cherchée se confond avec l'horizontale U U' à laquelle on la rapporte."
Ce dernier résultat était évident à priori, puisqu'on sait que toute charge agissant à droite de la travée {^ ne détermine aucun moment fléchissant au foyer de gauche de cette travée.
La distance polaire à prendre pour le tracé du polygone funiculaire est, dans le cas considéré, égale à - -*.
LIGNE d'influence Di; MOMENT FLÉCHISSANT AU CKNTBK FIXE d'cHE TRAVÉE QUELCONQUE.
Considérons, par exemple, le centre fixe 0^^ de la travée l^.
Quand la section C dont on cherche la ligne d'influence vient en Oj, le centre 0\ correspondant à cette section s'éloigD£ a l'inâni positif ou négatif sur A,A^ (§ 52. — Diseuseion).
Par suite, le c6ié a[^ a.\ du diagramme des z,, qui s'obtient en menant par Oj^ une droite faisant un angle de 4S° avec A^A,,, est fejeté à l'infini; les côtés dudit diagramme, appartenant aux travées qui précèdent celle /^ , coïncident alors avec les verticales des foyers de gauche de ces travées, tandis que les côtés appartenant aux travées qui suivent celle l^. coïncident avec les verticales des foyers de droite.
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— 43Î — Donc les 2, sont infinis, et il en est de même des forces
OjO;xn\
De plus, la distance polaire B, = = , à prendre pour le
tracé du polygone funiculaire des s — p , est inSnie , puisque OjO'j est infini.
La construction générale de la ligue d'influence du moment fléchissant au moyen du diagramme des s,, devient donc illusoire pour les sections des centres fixes des travées.
Il faut alors avoir recours aux forces fictives s,' -j— et à 1»
T XÏÏ^ distance polaire *t = p *
Le diagramme des z'^ est celui représenté à la figure 33(pt. âû2). Le côté qui correspond à la travée i^, est parallèle à A^Â^, puisque C^ est rejeté à l'infini.
g 68. — Sur qa«lqa«8 propriétés des lignes d'inilceiu».
ThÉOBÈHE. — La ligne d'influence de Ceffort tnmdiant, relative à une section arbitrairement choisie d'une travée /^, présente un point (Ttnflearion dans chaque travée de la poutre.
Ces points sont situés :
Dans la travée l^, sur la verticaîe du cenh-e fixe 0^ de cette travée; dans les travées qui précèdent l^, sur les verticales des foyers de gaw^e; dans les travées qui suivetU l^, sur les verticales des foyers de droite.
Ce théorème résulte immédiatement de ce qu'aux foyers et au
changeant de signe.
On voit de même que :
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Théobëhe n. — La ligne iTmfluence du moment (léchMsant en. une section quelconque d'une travée l^, présente toujours on point d'infkœion dans chacune des autres travées; ces points sont situés sttr les verticorles des foyers de gauche des b-avées qui précèdent i^, et sur les verticales des foyers de droite des travées qui suivent l^.
De plus, si la sedtm est située entre ks foyers de la travée /^, il n'y ajamaisdepointd'inflexiondanscettetravie;si,aucontr(àre,ellee8tsiiuieen dehors des foyers, Uy a toujours un pomt d'inflexion dans latravéeli^, et ce point est situé sur la verticale du centre 0'^ correspondant à la section.
Exception. — Lorsque les travées de rive reposent librement sur les appuis extrêmes, le foyer de gauche de la travée l^ et le foyer de droite de la travée i„ coïncident respectivement avec A.^ et A^; dans ces travées, les lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant, relatives à une section quelconque G d'une travée l^, ne présentent pas de point d'inflexion, puisque, les diagrammes des s^ et des a^ ne se continuant pas à gauche de A^, et à
à droite de A^, les efforts fictifs s^ —j- et a,— j- ne changent pas de signe en ces pointa, — bien qu'ils s'y annulent.
S 60. — Lignes d'iuCueaice do moment fléchissant et de reUort tranchant, relatives à ime section arbitrairement choisie d'une travAe de rive.
11 y a lieu de distinguer suivant que la poutre continue est
encastrée ou, au contraire, repose librement sur ses appuis
extrêmes.
i° Poutre continue encastrée sur ses appuis extrêmes.
Dans ce cas, la méthode générale de déterminatloQ des lignes
d'influence, indiquée précédemment pour une section quelconque,
appartenant à une travée de rang k, s'applique sans restriction
aux diverses sections des travées de rive(»).
(') On TérjSeni foeitemeni que les lignes de fermeture des courbes funicnlaireB dce
~dai et des -pdc, menées solvant la méthode générale dans h trtvée qui précèdf! (ou
qui mit) eelle de rang k, doi?eal £tre rempliicéc», quand il s'agit d'une section de U travée de rive gauche (ou droite), par les tangentes aux eitrémités de gauche (on de droite) de cœ ooutres.
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2° Poutre contikue reposant librement sur ses appuis extr^ues.
Dans cette hypothèse, la mélhode générale est en défaut.
En effet, cette méthode est fondée sur la considération des déplacements élastiques que prendraient, sous l'action de la charge mobile, les extrémités (1) et (2) des deux tronçons A^ (i) et (3) A., obtenus en coupant la poutre suivant la section transversale relativement à laquelle on cherche les lignes d'influence (§§ M et 54),
Or, si on effectue cette coupure en un point G d'une travée de rive, — la travée /„ pour fixer les idées (fig. 25), — l'un des tron-
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çons formés, celui (2)A^, ne possède d'autre liaison que la fixité de
son extrémité A^, ce qui est insuffisant pour en détenniner la position dans l'espace. On ne saurait, par conséquent, y appliquer la charge mobile et considérer les déplacemenis élastiques correspondants de son extrémité (2).
La méthode générale est donc bien en défaut.
Nous y suppléerons en déduisant les lignes d'influence cherchées, de celle du moment fléchissant M,^, sur l'appui A^^.
Celle-ci se construit par la méthode générale, en considérant la section A^i comme appartenant à la travée l^^. Supposons-la tracée ; ses ordonnées représentent, non pas précisément le moment
M„, , mais le quotient -tj — r — ,
Soient, pour une position donnée de la chaîne mobile, M le moment fléchissant et T l'effort tranchant en C. Les quantités M,, M et T varient simultanément lorsque la charge se déplace.
Rendons libre la travée l^ : à cet effet, séparons-la du reste de la poutre et, à chaque instant, appliquons à sa section d'appui A.^^^ un couple — M^^j égal et contraire au couple de flexion M^|.
Dès lors, quand la charge mobile se trouve sur la partie de poutre A|jA,^j, la travée /^ n'est sollicitée que par un seul effort
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directement appliqué, le couple -— M,^^^ ; et on a, par conséquent,
(a) M = M^Xy, (b) T==^
QuandlachargemobilePestsur la travée l^, celle-ci est soumise aux efforts — ^n~i ^t P ; on a, par suite, en vertu du principe de
la superposition des effets des forces,
en désignant par M' et T' le moment fléchissant et l'effort tranchant que produirait, en C, la charge mobile agissant sur la travée l^ supposée appuyée librement à ses extrémités.
Introduisons dans les relationsprécédentes, la longueurO^jA^.p ea les écrivant comme suit :
Quand la charge mobile se trouve sur la partie de poutre A^
(M TXn
Quand la charge mobile se trouve sur la travée (^ ; " '. X.-, , M' '.
(''' fTT— Xï=(r-— +
