,A., ft~0.,A., 0„,A

\ Ces équations conduisent aux constructions suivantes :

i° Ligne d'influence du moment fléchissant. — Au lieu de considérer

dans les calculs de résistance relatifs à une poutre continue, le

I moment fléchissant M dans une section donnée C, on peut envi-

: sager la quantité proportionnelle (jr — r — xf/ïl'i^ooi'S représenterons par A.

C'est la ligne d'influence de A que nous allons construire.

On remarquera qu'au point de vue de l'homogénéité, M est du premier degré par rapport aux forces et du premier degré aussi par rapport aux longueurs, tandis que 0^|A„,,/„ et b sont des longueurs ; A doit donc être regardé comme une force.

DigiLizedbyGoOglc

SoH (ftg. ft$, pi. 202) a^a,^ra^j..., la ligne d'influence connue, de la quuitité^? — j — . j

La formule (a') montre que, dans la partie de poutre \^^,, \

cette ligne est précisément la ligne d'influence cherchée, qui se i

trouve ainsi toute tracée. :

Dans la travée l^, la ligne d'influence de A s'obtiendra, en vertu j

de (c'), par addition algébrique des ordonnées de la courbe connue ' ObÎ"*»-) ^* ^^^ ordonnées correspondantes de la ligne d'influence

de la quantité tt — r — x r-, ligne qui se détermine comme suit :

M' est, par définition, le moment fléchissant qui serait produit en G, par la charge mobile agitant sur la travée t^, si celle-ci reposait librement sur ses appuis ; on sait que la ligne d'influence : de ce moment fléchissant se compose de deux droites o„,y et %f, qui se coupent sur la verticale de C en un point dont l'ordonnée |

Pot '

cyspourvaleur — -7 — Par conséquent, la ligne d'influence de la \

quantité Q — r — Xt- proportionnelle à M', se compose aussi de

deux droites 0,^,6 et 0^6 telles que 1

1 L Pab 1 /, a ■

•^ ^ ô::>z; =^ »■ = " X ^ câ::; ^ »■ = ~ '' (5;::?;::

Si maintenant on porte a,^,w ^ 0„,A^j et si on élève en w une perpendiculaire wo sur U,U',, on voit immédiatement, par la considération des triangles semblables o„,c6 et o„,(w, qne MO = — P, à condition, bien entendu, de lire la longueur ui à l'échelle des forces.

Par conséquent, pour construire la ligne d'influence o,,to,de !

d'élever en u, une ordonnée ms représentant — P à l'échelle des forces, de tirer ■o„,3, de prendre l'intersection 6 de cette Ugne avec la verticale de C et enfin de mener o^e.

De ce qui précède, il résulte qu'en un point quelconque m de ia travée de rive/^, l'ordonnée de la ligne d'influence de A est

DigiLizedbyGoOglc

égale à la somme algébrique' ntp +m«, dont les deux termes sont à présent connus.

Pratiquement, au lieu de construire le diagramme a„,Oa^, ou en construira le symétrique «,,0'o^ pai" rapport à U,U,' ; de sorte qu'en tout point m on aura s'jj = mp — ms' ~mp~\-ms; ei les segments de verticales compris entre le diagramme a^j6'o^etla courbe a„,p «„ seront, par conséquent, égaux aux ordonnées correspondantes de la ligne d'influence de la quantité A.

On ramènera ces segments de verticales à avoir leurs pieds, tels que s', sur l'axe U|U,'; le lieu dô leurs extrémités sera la ligne d'influence cherchée.

Remarque I. — Lorsque la section G considérée décrit la travée l^, la courbe ajt a„__/ (!„,■■•■ ne change pas, il en est de même de la droite o„,5'; la droite a^6' seule se déplace en pivotant autour de a^.

La courbe en question et la droite o„,t', tracées une fois pour toutes, font donc connaître immédiatement les lignes d'influence de la quïmtité A, relatives aux différentes sections de la travée de rive.

Ainsi, pour une section G, par exemple (fig. 24, pi. 202 ), la ligne

M, r d'influence de la quantité y relative A, = jr j — ^ îT ^ composera, dans la partie de poutre A^^^A^^, de la courbe o„,''a„j

(fig. iS). -

Quant à la partie de cette ligne d'influence située dans la travée /„, il suflira, pour en obtenir les ordonnées, de prendre le point d'intersection 6^ de la verticale de C, avec la droite flxeo„,o' et de joindre ajt\ : les segments de verticales compris entre le diagramme a^^a^^^ ainsi formé et la courbe oj'o„,, seront les ordonnées cherchées. On pourra, si on le veut, rapporter ces ordonnées à l'axe U,tJ,'.

Remarque II. — Il résulte des constructions indiquées précédemment que si la section G vient en A^, la ligne d'influence de

la quantité A = j=j j X~r" reste déterminée; mais alors

6 = 0, et par suite, M = o. Les ordonnées de la ligne d'influence du moment fléchissant en A^ sont donc nulles, d'après les tracés, comme cela doit être d'ailleurs.

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8° Ligne cTinfiwaee de Veffart trtmehani. — Par analogie avec ce que nous avons fait pour le moment fléchissant, au lieu de considérer l'efifort tranchant T en la section C donnée, nous considérerons la quantité proportionnelle T;? T — , que nous représente-

rons par 6.

On remarquera que, i, et 0^^A^, étant des longueurs et T une force, 9 doit être regardé comme une force.

Soit, comme précédemment ^^gf. as, pi. 202), a^a„,ra,j

M, la ligne d'influence connue, de la quantité ,. ■ ■■ ; — .

La formule (6') montre que, dans la partie de poutre kj^^^^, cette ligne est précisément la ligne d'influence de la quantité 6, qui se trouve ainsi toute tracée.

Dans la travée /„, la ligne d'influence de 9 est, en vertu de ((f), la somme algébrique des ordonnées de la courbe connue ajt a^^ et des ordonnées correspondantes de la ligne d'influence de la

/ quantité T' ^=7 j — , ligne qui se détermine comme suit :

T' est l'effort tranchant qui serait produit en G, par la charge mobile agissant sur la travée /„, si celle-ci reposait librement sur ses appuis; on sait que la ligne d'influence de cet effort tranchant se compose de deux droites parallèles o„,p et a^l, limitées à la verticale de G et dont les prolongements déterminent sur les verticales de A^ et de k„^ deux longueurs o.^-^„ et o„^-t„, représentant, en valeur absolue, le poids P à l'échelle des forces. Par

conséquent, la ligne d'influence de la quantité T' jr — ^ — proportionnelle à T' se compose aussi de deux droites parallèles fl„,6 et 0^8, dont les prolongements rencontrent les verticales des appuis A^ et A^, en deux points e^ et e„,, tels que l'on ait, en tenant compte des signes conventionnels des ordonnées,

Si maintenant on porte o„,w = 0^,A^, et si on élève en u une perpendiculaire ws sur U.U,', on voit par la considération de» triangles semblables a„,o„e, et fl„,w que «<T = — P,

la longueur ut? étant lue à l'échelle des forces.

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La droite %^fi àe la figure â6 est donc la même que celle a,„i6 de la figure 28; la droite a„8 lui est parallèle.

Gela posé, on voit qu'en tout point m de la travée de rive t^, situé à gauche de G, l'ordonnée de la ligne d'influence de 9 est égale à la somme algébrique mp -\- m$, et qu'en tout point m, situé à droite de G, l'ordonnée en question est égale à la somme algébrique m^p, -|- ffljS,.

Pratiquement, au lieu de construire le diagramme a, , 6 S o„, on en construira le symétrique o^,8'8'(i„ par rapport à UjU',, de sorte que les segments de verticales compris entre ce second diagramme et la courbe a^ ,p% seront égaux aux ordonnées correspondantes de la ligne d'influence de la quantité 9.

On ramènera les segments de verticales à avoir leurs pieds tels que s' et «^ , sur l'axe UjD', ; le lieu de leurs extrémités sera la ligne d'influence cherchée.

Semargue. — La courbe fl„po„,ro,,.--. et les droites «„,«', et a„e^^ sont indépendantes de la position de la section G dans la travée de rive. Elles font donc connaître les lignes d'influence de la quantité 9 relatives aux difierentes sections de cette travée.

S 61. — Lignes dinniunoe des réaaUoiu des «ppols.

On pourrait déterminer directement les lignes d'influence des réactions des appuis, mais il est aussi simple de les déduire des lignes d'influence des efforts tranchants.

Soient, pour une position quelconque de la charge mobile, Y^ la réaction de l'appui A^, T,^ l'effort tranchant dans la section. située immédiatement à gauche de Aj,etTj l'effort tranchant dans la section située immédiatement à droite, on a

d'où

Donc:

Les ordonnées de la ligne d'influence de la réaction d'un appui Aj s'obtiendront par différence entre les ordonnées de la ligne d'influence de l'effort tranchant T^ et les ordonnées correspondantes de la ligne d'influence de l'effort tranchant r„.

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§ 62, — Cas partlonltor oft la pontr* conUaoe est de ■•otion oonstanta.

Ce cas particulier est caractérisé par la relation

(1) ï = I„ = constante .

L'introduction de cette condition dans la méthode générale conduit à quelques simplifications que nous allons indiquer brièvement.

Les formules (6} et (6') du § 50- montrent que les points trisecteurs divisent alors les travées en trois parties égales.

D'autre part, la formule (o'} du même paragraphe donne, pour valeur de la résultante trisectrice de gauche d'une travée de rang k quelconque,

Par suite, la composante au foyer de gauche de la môme travée |§ 50, fonnule (e')] a pour valeur

'^' "•= — s; — = 6îir;

Quant aux forces fictives s, — r- et s^ —r—, considérées au § 56

pour le trace des polygones funiculaires qui font connaître les lignes d'influence de M et de T en une section donnée, elles pren-

nent les valeurs simples a, - et s, -.

K,H, et KjHj désignant toujours les segments de verticales compris entre ces polygones funiculaires et leurs lignes de fermeture convenablement menées, on a, comme au § 56 (p. 119),

XB.

= Px ^

Ou, à cause de (i) et de (2),

M. 6nto<PxB, ,,^„ 5Â 0.0: X S "^ '

D,j.,.db,Googlc

En remplaçant, comme au § Sô, les quantités qui entrent dans ces fonnules par leurs expressions en fonction des longueurs brutes qui les représentent sur l'épure et des valeurs des échelles adoptées, il vient

M, 6nïœûIPx'B,

5° jo;x?. x'^-''-xf-

Ces relations montrent que pour que les segments K,H, et KjHj

représentent ■r—' ®* "^c ^ l'échelle des forces, c'est-à-dire soient

égaux aux ordonnées des lignes d'influence cherchées, il suffit de prendre des distances polaires égales à

"6nÂœ%P' *"~6nïâwrp*

Remarque. — Dans une poutre continue de section constante, tes lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant se composent de branches de paraboles du troisième degré. (*)

Cette proposition résulte immédiatement de ce que, I étant constant, les intensités des forces fictives y dx et-»' (ic sont des fonctions linéaires des abscisses des points d'application de ces forces.

g 63. — Foutre à une seule travée, encastrée horizontalement à ■es extrémités.

Lehhe. — La poutre à une seule tra^e, encastrée horizontalement à ses deux extrÉmitéSj pmit être considérée comme la forme Unùte d'une poutre continue horizonttde à trois travées dont les longueurs des travées de rive tenderU vers zéro .

Soit une poutre à trois travées Â,AjA,A5 (fig. 36, p. 142/ Imaginons que les deux points d'appuis extrêmes A, et A» se rapprochent indéfiniment des points d'appuis intermédiaires A^ et A,. A la limite, la ligne moyenne de la poutre a deux points confondus en Ag et deux points confondus en A, avec l'horizontale AgA, ; autrement dit, elle est tangente en A, et en A| avec cette droite. La poutre satisfait dès lors à la définition de la poutre encastrée, ce qui justifie la proposition énoncée.

(*) naiula eu particnlier où latection conaiijèrée coincide avec le centre- Aie de U travée, les deni EraDches de parabole qui constituent U partie de la ligne d'InDuene* da moment fléctaiesant comprise dans celle travée, unt du secoad dtgré seulemeot.

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Ce iemme nous autorise à applique^ à la poutre encastrée les théorèmes démontrés pour la poutre continue, en introduisant dans ces théorèmes la condition caractéristique limite dela = limite delji= (').

t^ Vr-

-ii-~

Foyers. — Cherchons d'abord la position du foyer de gauche de la poutre encastrée. A cet effet, appliquons la formule 3 Ws du § 80 aux deux travées t, et /, de la poutre continue A,A,, en accentuant les lettres u et «, puisqu'il s'agit des foyers de gauche, et en tenant compte de ce que wj = /„, puisque le foyer de gauche de la travée de rive t^ comcide avec l'appui A, ; il vient

■x)dx

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