E1 + ES

Gs;

dans lesquelles M, N, T ont les mêmes valeurs, et où les quantités auxiliaires [i, v, 9 d'une part, j^', v', 9' d'autre part, résultent; les premières, de l'application de la force auxiliaire définie plus haut, à la pièce donnée astreinte à ses liaisons surtibondatites; les secondes, de l'application de la même force à la pièce donnée dépoiiillM de ses liaisons surabondantes.

,db,GoOglc

Ce résultat, paradoxal au premier abord, s'expliquo aiséou comme suit:

Exprimons les quantités auxiliaires (a, v, 9. en fonction de («,', v , a'.

Commençons par le moment fx.

Soient L„ L^,..., L„, les points ou les sections de la pièce astreints aux liaisons surabondantes.

On sait qu'on peut toujours rendre libre la pièce par la suppression des liaisons surabondantes, à la condition d'appliquer aux points ou sections L,, L,i,..., L„, des forces (ou des couples) de liaison, ou réactions, s'opposant à tout déplacement de ces points ou sections, incompatible avec lesditos liaisons. Soient f„ f^.... /!,, les valeurs des forces ou des couples de liaison développés par la force auxiliaire.

Dès lors, la pièce est libre sous l'action simultanée de la force auxiliaire et des forces de liaison /i, f^.... f„.

Chacune de ces forces, considérée comme agissant isolément, donne lieu, en tout point de la poutre rendue libre, k un moment fléchissant, savoir :

La force attxiliaire produit un moment qui n'est autre que celui désigné précédemment par (*'; les forces /",, f^,... f„, développent des moments que nous représenterons par [*,/"!, |*j /",,,.., [*„/"„, — en désignant par (<,, t^j,..., (ji„, les moments fléchissants que produiraient respectivement des forces égales à l'unité, et ayant mêmes points d'application et mêmes directions et sens que /i,

Or, le moment total, produit par la force auxiliaire et les forces /■• AvM A> agissant simultanément sur la poutre rendue libre, est ^1 au moment fléchissant produit par la force auxiliaire seule agissant sur la poutre astreinte aux liaisons surabondantes, moment que nous avons désigné par [jl ; on a donc :

(/, = (*' 4- i>.,f,-^i^tft~\--... + (*„/;. ;

On établirait de même les deux relations de même forme suivantes, relatives aux tensions longitudinales et aux efforts tranchants :

D,j.,.db,Googlc

£n substituant ces expressions de [i,v, e, dans la formule (A), il vient :

, / /Mu , Nv , T9\ , / /Ma' , Nv' , Te-'i . ,

, I /Mp., , Nv, , Te,\ , , I , / /Mf. , N., , Te.\ .

'^' / (•Ër-+Eï+ïïi)*+--+'^ / (ÊT+Frf-Gsr-

M, N, T représentant les moments fléchissante, tensions longitu- Jinales et efforts tranchants produits par les forces extérieures, en chaque point de la pièce astreinte à ses liaisons surabondantes,

[mtégrale / ^^•4.^+^jdsn

'est autre chose que l'ex-

pression du déplacement que lesdites forces extérieures impriment au point ou à la section L, , suivant la direction de /l , et cela en vertu de la formule générale (A). Or, ce déplacement est nul en raison de la liaison même du point ou de la section L, . Les intégrales suivantes sont nulles pour le même motif; il vient donc finalement, les forces f,, /"î..../™ n'étant pas infinies:

*Jk %Jk

ce qui montre bien que l'on peut faire usage de la formule générale exprimant les déplacements linéaires, soit sous la forme (A), soit sous la forme (A&15).

Même démonstration, en ce qui concerne la formule générale (B) des déplacements angulaires.

Remarque importante. — Soit encore une pièce astreinte à des liaisons en nombre quelconque.

Nous venons d'établir que, pour le calcul des quantités auxiliaires n, V, 9, on pouvait considérer la pièce comme astreinte seulement aux liaisons indépendantes de l'élasticité.

DigiLizedbyGoOglc

Or it y a, en générai, plusieurs manièreg différentes de ramener la pièce à cet état (*). A chacune d'elles répond évidemment un système particulier de valeurs de |«, v, 6, et par suite une forme également particulière, soit de laformule(A), soit de la formule (B).

Ces formules renferment donc implicitement autant d'expressions différentes des déformations que les liaisons de la pièce peuvent former de groupes différents de liaisons indépendantes de Vélastidté.

Dans les applications, nous mettrons à profit cette remarque importante en choisissant, parmi les systèmes de liaisons indépendantes de l'élasticité, celui qui conduira aux calculs les plus simples.

S 14. — Identité des formules générales (A) et (B).

Il faut remarquer que c'est par une formule unique (A) que sont exprimés les déplacements d'un point d'une poutre de forme quelconque, quelles que soient les directions arbitrairement choisies pour estimer ces déplacements.

11 y a plus, l'expression (B) du déplacement angulaire d'une section quelconque se présente sous la même forme. Toutefois, les termes ix, v, s ne paraissent pas, au premier abord, avoir la même signification dans les deux formules (A) et (B) ; dans la première, ils désignent les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants produits par une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée au point dont on cherche le déplacement et ayant la direction et le sens suivant lesquels on veut estimer ce déplacement ; dans la seconde, ils désignent les éléments de même nature, correspondant à un couple auxiliaire égal à l'unité, appliqué à la section dont on cherche le déplacement angulaire et ayant le sens considéré comme positif pour la mesure dudit déplacement.

E) Soit, par exemple, ud arc encastré à ses deni extrÈmilés A et B. D -çteox considérer comme indépenâantes de l'étasticité les liaisons en vertu desquelles la section A est astreinte à rester fixe de position (système n' S, § î), et par snîle comme ■nrabondanie» celles qui imposent la fixité de la section 6.

Oq peut encore considérer comme indépendantes de l'étasticLté les liaisons eo Tertu dMqaelles: 1* un point quelconque (j) de la Hection A est astreint 6 rester abDolnnaiit fiie ; 3° un point quelconque (S) de la section B est assujetti à demeurer sur une droite W (i) W de direction arbitrairement choisie (système n' 1 - E 3); et par suite comme mrabondanles les autres liaisons, qui imposent : 1* l'invariabilité de la situation angulaire de» sections A et B, ï- la tiiW de poaition du point (î) sur la droKe WW,

DigiLizedbyGoOglc

Mais, en se rappelant qu'un couple n'est autre diose qu'une force infiniment petite agissant suivant la droite à l'infini du plan de ce couple, on voit que les deux expressions (A) et (B) constituent en réalité une seule et unique formule.

S 15. — Simplification des formules générales, dans le cas ot l'on néglige les défonoations de l'ordre de la tension longitudinale et de l'effort tranchant.

Dans cette hypothèse, le second et le troisième termes des formules (A) et (li) disparaissent et l'on obtient les deux expressions approchées suivantes :

dans lesquelles les lettres conservent les significations indiquées précédemment.

§ 16. — Corollaires des théorèmes de réciprocité.

On déduit immédiatement des deux premiers théorèmes de réciprocité les corollaires suivants :

Corollaire du premier théorème. — Qu'une poutre soil, ou non, astreinte à des liaisons surabondantes, si une force appliquée à un point (i), suivant une direction A,, imprime à un pu%nt (2) un déplacement de direction A,, une force appliquée au point (2), peipendieutairement à i,, imprime au point (1) un déplacement perpendtatlaire à ta direction i,.

Gorollaibk du second théorème. — Qu'une poutre soit, ou non, astreinte à des liaisons surabondantes, si yn couple appliqué à une seotion D, imprime à un point (2) un déplacement linéaire suivant uw direction A,, une force appliquée en (2), perpendiculairement ài„ n'imprime aucun déplacetnmt angulaire à la sectimt Z*,.

bvGooglc

Exteiuian de» formule* générBie* et des théorèmea de réciprocité anx pièce* a^iuil pour ligne moyenne une courbe gaache et aonmlsea à de* force* qnelconQHe* (*),

S 17. — HypoUièses et définltlona.

Le solide, dont nous nous proposons d'étudier les déformations, a pour ligne moyenne une courbe gauche quelconque. II est engendré par une figure plane, dont le centre de gravité décrit la courbe gauche et dont le plan est constamment normal à cette courbe ; cette figure peut, d'ailleurs, changer de forme et de dimensions pendant le mouvement, mais d'une manière continue.

Des forces quelconques sollicitent cette pièce et y déterminent des déformations et des efforts intérieurs.

Nous supposerons connues les formules exprimant les forces intérieures de flexion, de torsion, de tension et de cisaillement, en une section transversale quelconque, en fonction des forces extérieures agissant à droite de cette section.

Nous admettrons, comme précédemment, le principe de la superposition des effets élastiques des forces.

D'autre part, nous dirons encore que les liaisons auxquelles une pièce est astreinte sont indépendantes de l'élasticité lorsque les forces de liaison, ou réactions, correspondantes seront calculables par l'application directe des six conditions générales d'équilibre ; et nous appellerons toute liaison supplémentaire surcAondante ou dépendante de l'élasticité.

On reconnaît facilement, par exemple, que les systèmes de liaisons suivants sont indépendants de l'élasticité.

i° Une section de la poutre est astreinte à tourner autour d'un axe fixe situé dans son plan, tandis qu'un autre point quelconque de la poutre est assujetti à demeurer sur un plan fixe.

2" Une section de la poutre est astreinte à conserver une position invariable.

('} L'analyse à suivre pourèlablir les formules et les (héoràmes relatUs aux défurmatiom des pièces dont il s'agit étani identiquement celle exposée su chapitre I", aous serons très breiU, nous bornant i indiquer les calculs uécosaires.

DigiLizedbyGoOglc

g 18. — Travail accompli pendant la déformation.

En reprenant le raisonnement du § 3, on voit que la somme des travaux des forces extérieures et intérieures est nulle pour la durée de la déformatioQ.

Calculons d'abord le travail de ces dernières.

Soient :

MN, PQ, deux sections infiniment voisines, normales en G et en G' à la ligne moyenne oi», qui est une courbé gauche (/ig. 7J.

PM

Ge , la tangente à la courbe gauche.

G^ , G; , les axes principaux d'inertie de la section M N.

Les actions sur la portion de la pièce située à droite de la section MN peuvent être remplacées par leur résultante de translation appliquée en G et par un couple résultant dont l'axe passe par G; soient N, T , T^ , les composantes de la résultante de translation suivant les directions normales Gç , Gn , Gi; ; soient Mj , IL , Mç , les composantes du couple résultant suivant les mêmes axes.

Désignons enfin parR^ , R , Rç , les composantes de l'effort intérieur R rapporté à l'unité de surface, en un élément dS défini par les coordonnées i^ et il. On sait que ces trois composantes

DigiLizedbyGoOglc

sont liées aux quantités N, T^, T^ , M^, M^, Mj ,

par les rela-

lions suivantes :

dans lesquelles I^ , L , I^ , sont les moments d'inertiede la section par rapport aux trois axes rectangulaires Ge , Gi , Gï .

Si on désigne par ds l'épaisseur de la tranche infiniment mince M N P Q, et par E et G les coefficients d'élasticité dans le sens longitudinal et dans le sens transversal, le travail des forces intérieures pour la flbre de base dS et de longueur ds est:

— ^dSds-\--^-^dSds+^ -^dSds,

en vertu de la formule (a) du § 3.

Pour obtenir le travail produit dans toute la tranche HNPQ, il suffit de remplacer R^ , R,^ , R, par leurs valeurs indiquées plus haut, et d'intégrer la fonction obtenue, pour toute l'étendue de la section MN; on trouve, en développant les carrés et groupant les termes :

(1* + î') MJ

.S + ^ffi

'«+*fe^'"«-2Ëg7''"s

Les cinq derniers termes du développement sont nuls, car :

Ç TidS = 0, ft.dS =0, fy;ZdS = 0, puisque G est le

centre de gravité de la section et que les axes des n et desj i^ en sont les axes principaux d'inertie.

DgizedbyGoOglC

Quant aux six premiers termes, ils se simplifient en remarquant que :

L'expression du travail dans la tranche H N P Q se réduit à :

Et enfin le travail de déformation, ou des forces intérieures, est, pour toute la poutre, égal à l'intégrale de l'expression précédente, étendue d'une extrémité à l'autre de la poutre.

En désignant par 6 le travail ïiccompli par les forces extérieures, pendant la déformation, on peut donc écrire, en vertu de ce que nous avons dit au début de ce paragraphe, et en remarquant que le travail des forces intérieures est négatif:

~T / VGÏ^ + ËTJ + Ëi^ + ËS+GS + GS/

S 18. — Ddplaoement du point d'application d'une force extérieure, pendant la déformation.

Soit F la force extérieure appliquée à un point D, et X la projection sur la direction de cette force, du déplacement qu'imprimerait au point D une force égale à l'unité et ayant même direction et même sens que F.

L'expression du travail de la force P conserve la forme indiquée au paragraphe 4, c'est-à-dire ;

d'où, en vertu de (1') (2') X F»

D,j.,.db,Googlc

Et par suite te déplacement cherché l =: X F est exprimé par la formule :

T / IffT, + et; + ii; + Es + 6S +&§;■''

dans laquelle M^, M , T^ sont les moments, tensions et

efforts tranchants produits dans les diverses sections de la poutre par la force F.

- Déplacement angulaire d'un* seoUon A laqndle eet appliqué on oouple extérlenr qadoonqoe.

Comme il est d'usée, nous représenterons le couple et le déplacement angulaire, ou rotation, par leurs axes.

Le couple appliqué àla section Df/^.SJa d'abord une intensité nulle et croît progressivement jusqu'à une valeur finale donnée; en même

temps, la rotation croît / "-A

aussi, et, en vertu du principe de superposition:

1° L'axe de cette rotation pw. s.

conserve constamment la mâme direction ;

%" A chaque instant de la déformation, la valeur de la rotation, c'est-à-dire la longueur DE de son axe représentatif, est proportionnelle à l'intensité G du oiuple au même instant; il en est de même, par suite, de la projection D E' de ceUe rotation sur l'axe du couple (•), — en sorte qu'on peut poser :

DE' = yC , Y étant la projection sur l'axe du couple, de la rotation qu'imprimerait à la section D un couple de même direction et de même sens que C, mais d'intensité 1.

Gela posé, on sait que le travail d'un couple, pour un dépla-

(*) Ainii qnll mt d'usage, la prcgectioa de la grandeu

DiglizedbyGoOglc

oement do rotation, est égat ao produit du couple par la projection de l'axe de la rotation sur l'axe du couple.

Par conséquent, lorsque, à partir de l'instant considéré, C s'accroît de dC, et que par suite la rotation projetée DE' = tC s'accroît de d (DE') := d (yC) = y dC, le travail élémentaire accompli a pour expression :

Cd(yC) = YC dC.

Le travail total du couple G, depuis l'instant où il commenœ à agir, en partant de la valeur zéro, jusqu'à l'instant où il atteint sa valeur finale G, est donné par la formule :

= / ,C<iC=-|-

'équation (!') (§ 18) :

YCdC= -^ tO ; d'où, en vertu de l'équation (!') (g 18) :

Or Y C est égal à la projection de l'axe de la rotation totale de la section D sur Taxe du couple C qui produit cette rotation ; nous représenterons cette projection par g et nous aurons :

dans cette expression M^, T^, sont les moments, tensions et

efforts tranchants produits dans les diverses sections de la poutre par le couple C,

§31. — Thioràmes de réciprocité. — Formulas générales.

La marche à suivre pour établir les théorèmes et les formules générales applicables aux pièces dont la ligne moyenne est gauche, est identiquement celle exposée aux paragraphes 6 et suivants pour les pièces dont ta ligne moyenne est plane. Afin d'abréger, nous laisserons au lecteur le soin de reprendre les calculs.

bvGoot^lc

La démonstration. que aous avons donnée des théorèmes de réciprocité pour les pièces planes est fondée seulement sur le principe de la superposition des effets élastiques des forces, et sur ce que le travail des forces intérieures, pendant la déformation complète, ne dépend que des valeurs finales des forces extérieures.

Ces deux principes régissent encore les pièces qui nous occupent : le premier est effectivement bien connu; quant au second, il résulte immédiatement de la relation (1') du § 18.

On comprend donc, sans qu'il soit nécessaire d'en reprendre la démonstration, que les théorèmes de réciprocité s'étendent aux pièces dont la ligne moyenne est gauche.

Ces théorèmes, ainsi généralisés, peuvent s'énoncer' comme suit :

Qu'une pièce, ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou une courbe gauche, soit, ou non, astreinte à des lieàsons gurcJ)ondantes :

4° Si une force égale à l'unité, apj^iquée à un point (4) suivant une directioti \, imprime à un point (S) un déplacement dont la projection sur une direction \ a une vaieur X^ , réciproquement, une force égale à l'unité, appliquée au point (S) suivmt la direction A,, imprime au point (4) un déplacement dont la projection X, sur 4, es( égale à X^,

2" Si un couple égal à l'unité, et dont Caxe a une direciion ^^, appliqué à une section D, , imprime à un point (2) un déplacement linéaire dont la projection sur une direction \ a une valoir X^ , réâproquemefU, une force égale à Funité, appliquée au point (2) suivant la direciion \, imprime à la section i>, un déplacement de rotation qui, reporté sur l'axe représentatif, a pour projection t ^ sur i, la même valeur X ^•

3° Si un coi^le égal à l'imité et dont l'axe a une direction A,, appliqué à une section D^, imprime à une autre section D^ un déplacement de rotation qui, reporté sur l'axe représentatif, a pour projeclim\ sur une direction A,, une valeur y ^ , récipro(piement, un couple égal à l'unité, appliqué à la section />, et dont Vaaie est dirigé suivant \, imprime à la section D, un dèpkuxmerU de rotation qui, reporté sur l'aœe représentatif, a pour projection y sur A, la même valeur y ^ .

DigiLizedbyGoOglc

En ce qui concerne les formules générales, on conçoit qu'elles doivent se présenter sous la même forme que celles du chapitre I; il suffit, à cet effet, de comparer les relations ^i) (2) et (3) des §§ 3, 4 et S à celles de mêmes numéros des §§ 18, i9 et 20. On trouve d'ailleurs, en effectuant les calculs, les deux formules générales suivantes exprimant les déplacements linéaires et angulaires :

Dans ces formules, M^ N . . . . , T^'représentent les moments,

tensions longitudinales et efforts tranchants développés par les efforts, — forces ou couples — ^ssant sur la poutre :

f»,, , V, s. désignent :

i° Dans la formule (A'), les moments, tensions longitudinales et efforts tranchants produits par une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée au point dont on cherche le déplacement et ayant la direction suivant laquelle on veut évaluer ce déplacement;

îfi Dans la formule (B'), les éléments de même nature produits par un couple auxilitàre, appliqué à la section dont on cherche le déplacement de rotation et ayant pour direction de son axe la direction suivant laquelle on veut évaluer la rotation (*).

g 22. — Remarques mr les ttwmules générales.

Les indications données au § 13, relativement à l'emploi des formules (A) et (B) pour le calcul des déformations des pièces astreintes à des liaisons suratwndantes, subsistent encore ici ; c'està-dire que pour la détermination des termes auxiliaires i^^ ,

V , 9„ on pourra faire abstraction des liaisons surabondantes

et considérer par conséquent la pièce comme absolument libre;

e dirtctio» signifie diltr-

DigiLizedbyGoOglc

il en résultera une grande simplification, puisque ces termes dô^ viendront indépendants de l'élasticité.

Il est essentiel de remarquer, comme au § 13, que les fottnules {A') et {B') renferment implicitenumt autant d'expressions différentes des déformations que les liaisons de la pièce peuvent former de groupes différents de liaisons tndépendantei de Véiasticilé.

L'observation du § 14, relative à l'identité des formules générales (A) et (B), reste exacte pour celles (A') et (B') du § 21.

§ 23. — SimpUfioatlon des formules générale* dans le cas où l'on néglige les délonnations de l'ordre de la tension longitudinale et de l'ettort tranchant.

Dans cette hypothèse, les trois derniers termes des formules (A') et (B') disparaissent et on obtient les deux expression approchées suivantes :

dans chacune desquelles les lettres conservent les significations indiquées précédemment.

S 24. — Corollaires des théorèmes de réoiprocité.

On déduit immédiatement des théorèmes de réciprocité les corollaires suivants :

Qu'une pièce, ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou une courbe gauche, soit, ou non, astreinte à des liaisons surabondantes ;

4° Si une force appliquée à un point (1), suivant une direction i,, imprime à un point (2) un déplacement de direction A, , «ne force appliquée en (2) perpendiculairemeta à Aj, imprime au point (1) «n déplacement perpendiculaire à \.

a» Si tm couple appliqué à une section D,, et dont raax a une dtreo-

DigiLizedbyGoOglc

tùm &„ imprime à va point (2) un d^tacemeat linéaire de dtredt'onAj, une force appliquée au point (2), pa-pendiatlairemeiU à ^, tmprtme à la section D, un déplacement de rotation dont l'aae est perpendiculaire à A..

3" Si un couple appliqué à une section D, , et dont Paxe a une direction A, , infime à une section Dj un déplacement de rotation dont taxe a une direction A,, un couple t^liqué à la section D,, et dont l'axe est perpendiculaire à &,, imprime à la section D, un déplacement de rotation dont l'axe est perpendiculaire à L,.

ExIeBKlon dea fomvie* générales «t des tbéorèmea de réciprocité avx construction* élastlqMC*.

I 25. - HypothèMB et définitions.

Les constructions que nous envisageons sont supposées constituées par des pièces de la nature de celles étudiées aux cha* pitres l^' et II, réunies entre elles, soit par des assemblages, soit par des articulations ou des rotules. Elles sont soumises à des forces extérieures quelconques.

Dans le cas où les moments, les tensions longitudinales et les efforts tranchants produits par ces forces, dans les sections des différentes pièces, pourront être calculés directement, sans faire intervenir l'élasticité, nous dirons que la construction n'est astreinte qu'à des liaisons indépendantes de l'élasticité.

Dans le cas contraire, nous appellerons surabondantes toutes les liaisons qu'il faudrait supprimer pour rentrer dans la première hypothèse, c'est-à-dire pour que les liaisons restantes soient indépendantes de l'élasticité.

Les liaisons surabondantes peuvent être, soit ea:térieures , soit inWrieures.

Elles sont extérieures, lorsqu'elles ont lieu entre des points, lignes, ou sections, appartenant à des pièces de la construction et des points, lignes, ou surfaces^ extérieurs à la construction pro-

DigiLizedbyGoOglc

prement dite. Elles sont réalisées au moyen de rotules, d'appuis, d'encastrements, etc.

Elles sont intérieures, lorsqu'elles ont Heu entre des points, lignes ou sections appartenant à certaines pièces de la constraction et des points, lignes ou sections appartenant à d'autres pièces de la construction.

Par exemple : Étant donnée une construction astreinte seulement à des liaisons indépendantes de l'élasticité et comportant une articulation à l'intersection de trois de ses pièces A, OB, OC (^g. 9), si on remplace cette articulation par un assemblage, celui-ci impose entre ces trois pièces de nouvelles liaisons qui sont à la fois intérieures et surabondantes.

Par exemple encore : Si, dans la même construction, ou ajoute une barre supplémentaire AC, cette pièce établit entre les points A et C de nouvelles liaisons qui sont à la fois intérieures et surabondantes. On dit, en outre, dans ce cas, que la pièce A G est ellemême surabondante.

Nous supposerons expressément que, pendant la déformation, les liaisons que les assemblages établissent ontre les pièces de U construction ne sont pas modifiées par les efforts que ces assemblages peuvent avoir à supporter ; par exemple, il ne devra se produire aucun glissement entre dès pièces serrées entre elles.

Nous supposerons également que le jeu des articulations s'effectue sans frottement et qu'aucun arc-boutement n'est possible.

Il résulte de ces hypothèses que les déformations de la construction ne dépendent que de l'élasticité des pièces et des assemblages, et qu'en conséquence, le principe de la superposition des effets élastiques, applicable à chaque élément du système, pris isolément, s'étend à l'ensemble de la construction.

g 26. — Travail aooompU pendant la déformation.

En appliquant le théorème du travail, comme nous l'avons déjà l'ait aux chapitres I^'' et II. on reconnaît que, pendant toute défor-

DigiLized.hyGoOglc

mation, la somme des travaux des forces extérieures et des forces intérieures, ou élastiques, est nulle.

D'ailleurs, le travail de ces dernières est, pour chaque pièce du système, exprimé par la formule (1), et, plus généralement par la formule (i) (§ 3 et § 18); le travail total des forces intérieures est donc, pour la construction entière j que nous supposerons composée de n pièces, telles que AB :