A SES DEUX EXTRÉMITÉS

Propriétés des droites qnl Joignent les centres.

1. — Théorème. — Lafbre moyenne de l'arc étant considérée comme une ligne matérielle dont le poids rapporté à l'unité de longueur serait, en

chaque point, égal à r^, si le point G décrit celle ligne en entraînant d'un

mouvement de h^ntlalion deux axes rectangulaires quetcontfues Gx et Gy:

i" Les droites fixes o'o" et o'o'" correspondant à ces directions (taxes (§ 46. — Théorèiùe I), sont les diamètres respectivement conjugués aux cordes parallèles à t'acee des x et aux cordes parallèles à l'axe des y, par rapport à l'ellipse centrale d'inertie de ta fibre moyenne ;

t" La droite mobile o"o"' est constamment l'antipolaire du point mobile G, par rapport à la dite ellipse, à condition toutefois de prmdre pour longuwrs du grand axe et du petit axe de celle-ci, les rayons de giration principaux de la fibre moyenne.

Soient u' et v' les coordonnées courantes des trois droites o'o", o'o" et o'o'", par rapport â deux axes oV et oy parallèles à Ga; et â Cy i^pl. 200, pg. 3). (Nous réservons les notations a;' et y' pour désigner les coordonnées d'un point quelconque de la ligne moyenne par rapport à ces mêmes axes.)

(t'.S'), (y'", 5'") désignant, comme au § 46, les coordonnées des centres o" et o'" relativement à o'x' et o'y', les équations des droites dont il s'agit sont les suivantes :

(o-o") î^" = S'"-S' «'—y' y"'— y' ' Remplaçons y'.S'',y'"<S"', par leurs valeurs {d) du § 46 (p. 56); il vient :

(1) (o'o") B'tt' — C*v' = 0,

(2) {o'o'") Cw' — A''u' = 0,

(3) ' {o"o"') «'(B'V— C'»cr) + «'(A'V— CV) + C"— A"B" = Û. où:

I ds I ds I d>

Jk i/A Jk

D,j.,.db,Googlc

Cela posé, d'après la théorie des coniques d'inertie, l'équation de l'ellipse centrale de la fibre moyenne considérée comme ligne pesante, est, relativement aux ases rectangulaires oV, o'/ qui passent par le centre de gravité o' de cette ligne,

où A'',B'',C'' sont des constantes ayant les valeurs indiquées ci-dessus.

A' et B' sonif les rayons de giration de la ligne moyenne pesante respectivement autour des axes o'y' et o'a;'.

D' est une constante arbitraire dont nous fixerons plus tard la valeur.

Cette ellipse, rapportée à ses axes de symétrie, c'est-à-dire aux axes principaux d'inertie que nous désignerons par o'v. et o'y, a pour équation

(6) f{'<i,v) = B'W -f AV — D" = 0,

où A et B sont les rayons de giration principaux et où D'' a la même valeur que ci-dessus.

A et B sont liés â A',B' et C par la relation C* — A'>B" = — A'B', puisque la quantité caractéristique d'une courbe du second ordre est un invariant.

Ainsi qu'il est d'usage, attribuons à la constante arbitraire D'* la valeur

D" = A'B> = A"B'» — C; les équatioHS (5) et (6) de l'ellipse d'inertie deviennent

es bU) f (u',v') = B'*»*" + A''u'» — 2C'u't>' + G" — A''B'',

{6 bis) f(u,v) ~ B"u» -f- A'v' - A»B» =: 0,

et les longueurs des demi-axes de symétrie de l'ellipse centrale sont alors égales aux rayons de giration principaux A et B.

L'équation du diamètre de l'ellipse (5 bis), conjugué aux cordes parallèles â o'x' est

Celle du diamètre cooji^é aux cordée parallèles à oy est

(8) ' I /■; = 0, ou A'%' - C"w' = 0.

Ces équations sont précisément celles (i) et (2) des droites [o'o') et ao'"), ce qui démontre la première partie du théorème.

L'équation de la polaire d'un point quelconque (ujtj) par rapport à l'ellipse (S bis), est, en coordonnées homogènes,

|»r.;+|"T, + |<'f.;=0, dans laquelle C = ([ = 1 ;

u- (B"«; - cvi) 4- v' (A''f; — g^iî,) + c* — a'»b'' ^ o.

L'antipolaire du point {^,v',) étant la droite symétrique de la polaire par rapport au centre o' de l'ellipse, son équation est

(9) «' (B'»u; — G'»i;;) -I- V- (A'%: — CV) — (C* — A''B'') =

DigiLizedbyGoOglc

Les coordonnées du point o' sont c' et tf par rapport aux axes Cx et Cy ; celles du point G par rapport aux axes o'x' et oy, sont donc égales à { — c') et ( — d') ; substituant ces dernières coordonnées à cellee u| et v', dans (9), il vient, pour équation de l'antipolaire de C,

w' {B'»c' — C'd') + v' {A'*d' — Ce') + C* — A''B'' = 0.

Cette équation est précisément celle de o'o", ce qui justi&e le 2° du théorème.

On peut encore énoncer le théorème qui précède sous la forme suivante :

Les droites o'o", o'o"' et o''o'" sont respectivement les antipolairea i" du point à l'infini de Gx, 2° du point à l'infini de Cy, 3' du point C, par rapport à l'ellipse cenlraie d'inertie de la fibre moyenne.

En effet o'o", par exemple, étant le diamètre conjugué aux cordes parallèles à Gt, par rapport à, l'ellipse centrale, peut être regardé comme l'antipolaire du point à l'inAni de Gx.

CoBOLLAiBE I. — Le» centres o" et o'" sont retpedivement (es antipôles des axes Cr et Cy par rapport à l'ellipse centrale d'inertie de la fibre moyenne.

Le point o", par exemple, est bien l'antipôle de Cx, puisqu'il appartient à la fois à o'o", qui est l'antipolaire du point à l'inflni de la droite Cr, et à o"»"' qui est l'antipolaire du point C de cette même droite.

COROLLAiRi n, — Lorsque k point G décrit la ligne moyenne de l'are, la droite mobile o'o'" enveloppe la courbe antipolaire réciproque de ladite ligne moyenne par rapport à l'elUpsc centrale d'inertie.

Remarque. — Si la ligne moyenne est une branche de conique (ellipse, cercle, hyperbole, parabole), l'enveloppe de la droite mobile o''o"' est vm ellipse.

On sait, en effet, que la polaire réciproque d'une conique8,par rapport à une conique S, est une autre conique S', laquelle est une ellipse lorsque le centre de la conique S est situé à l'intérieur de la conique S. II en est de même de l'antipolaire réciproque, qui est la courbe symétrique de la polaire réciproque S' par rapport au centre de la conique S.

Ici, la conique S est la ligne moyenne de l'arc ; la conique S est l'ellipse centrale d'inertie dont le centre est toujours situé à l'intérieur de la ligne moyenne.

Théorème relatif à la droite (cj ntlliBée au S tô pour la détermination de la ligne d'influence de la tension élastique par unité de Burface développée en un point donné d'une libre arbitrairement ohoisie.

2. Définitiow. — Soient: G le centre de gravité d'une section normale quelconque (PI. 200, fig. 3) ; F l'intersection de la flbre considérée avec cette section ; v la distance CP, positive si F œt au-dessous de C, nég^ve

dans le cas contraire ; f le rayon de gîration de la section autour d'un axe horizontal passant par C.

Construisons un point J tel gue

CF X CJ = — p» ; ou, en représentant par l la distance GJ, qui sera regardée comme positive ou comme négatÎTe suivant que J sera au-dessous ou au-dessusdeC,

(10) vXl = — p*.

On voit que J n'est autre chcee que le transformé du point F par rayont vecteurs réciproques, le point C étant Je pôle de transformation.

Noua appellerons le point J point réciproque de F.

Pour le déterminer géométriquemeut, il suffit de porter sur la tangente en G â ta ligne moyeane Cs = p, de joindre F8 et de mener par 9 une perpendiculaire A Fft, laquelle rencontre FC au point J cherché. (*)

Thëohëhe . — La droite (c) uUlitée au § 48 pour la détermination de ia ligne ^influence de ta tension élastique par unité de surface développée en un point F quelconque d'une fibre donnée, est Panlipolaire du point réciproque de F, par rapporta tellipie cerUràle d'inertie de la fibr« moyenne.

L'équation de la droite (c), ou fa (Jig. 3 — PI. 200), rapportée aux axes Gj; et Gy, est {§ 48)

— X , , ,, , 3 — coeot - . „ .. j; ,; 3" -f Bina ___-^a"'

"^^ ^-'~Tb i i , . i

^ -|- sin a

Transformons-la, en y remplaçant les produits (oV )?', {o"?")?', o'"q"')^'", par leurs valeurs en fonction des paramétres A'', B'', C'' de l'^lipse centrale d'inertie de la ligne moyenne.

Le second et le troisième produits sont donnés par \e& formules (k) du \ 46 (page 59), savoir ;

D'autre part, on a [§ 37, page 23, formule (e) (12) -'- ■'"''*■

!e 23, formu

/\da

déplus, o'q' est l'ordonnée à l'origine de la droiteo''o'" rapportée aux axes o'x' et o'y', droite qui est représentée par l'équation (3) (n* 1) ; cette équation donne

Portons cesvaleurs (H), (li) et (13) dans l'équation de la droite (c) {') La constTOEtion n'«t pas indiqué* snr U figure 3— Pl-JOO.

DigiLizedbyGoOglc

i r^etA-B--

vient en supprimant les acteurs communs

en remplaçant -g par sa valeur — 7 tirée de (10),

— (A''rf' — CV) 5' + \'*l cas a s" -i- C'f sin g z*" ''''' — (A'^rf — C'cO + A'«ï cos a + Ci sin 1 Cherchons maintenant ce que devient l'équation de la droite fc^ quand on la rapporte aux deux axes o'x', o'y' parallèles à Cx et fi Cy et passant par le centre use 0'.

Soit V une ordonnée quelconque de la droite (c^ relativement à ces nouveaux axes, on a

Z = V -j- d', puisque d' e«t l'ordonnée du centre o' par rapport aux anciens axœ Ca: elCy.

D'autre part y désigne une ordonnée quelconque de la droite o'd" relativement aux axes Cœ et Cy, tandis que nous avons désigné {n° i) par w' et «' les coordonnées d'un point quelconque de cette droite relativement aux axes o'x et o'y. On a donc

a' = 1/ -1- (f, ou, en tirant t/ de l'équation (3) de o"©"' {n" 4),

, (A"B'' — C'*) — (BV — C'V) u' , ,

De même z" désigne une ordonnée quelconque de la droite o'o'" relativement aux axes O et Cy ; en effectuant la même transformation que pour s', il vient,'en tenant compte de l'équation (2) de o'o'".

Enfin, on trouve également, en utilisant l'équation (1) de o'o',

Substituant les valeurs ci-dessus de Z, a', s" et a'" dans l'équation fc'J, il vient, après réductions,

[— B'' (c' + t sin g) -f G" {d' — l cas a)] u' + A"B" — G" ''' ■* A" (d' — ( cos «) — C» (C + ( sin a)

ou

w' [B" {c' -1- ( sin a) — G" (d' — ( cos a)] -}- V [A-* {d' — ( C08 a) — C (c' -f / sin «)] + C* — A"B'> = ; telle est l'équation de la droite (c) rapportée aux axes «V et o'y'.

Or, si on l'eprésente, par w'j et v'^ les coordonnées du point réciproque J, par rapport à ces mêmes axes, on a

c' 4- ' sin a = — m'j, (f — I cos a = — v'j. {*)

C) n convient de rappela" que a déueiie (^ t8l l'angle de la partie descendante de normale en C à la hgne moyenne avec la verticale descendante du point C, et que cet angle est regardé comme positif s'il est ailué à gauche de cette verticale et comme négatif Hans le cas contraire.

DigiLizedbyGoOglc

L'équation de la droite (c) peut donc finalement s'écrire u' (B'^u'j - C'Vj) + V (A'%'j — C'»Uj) — {C* — A''B'») - 0.

En rapprochant cette équation, de l'équation générale (9) (n' 1} de l'antipolaire d'un point quelconque (i^,v',) par rapport à l'ellipse centrale d'inertie de la flhre moyenne, on voit immédiatement que, u' et Vêtant les coordonnées courantes, elle représente l'antipolaire du point (u'j,«/), c'est-â-dire du point réciproque J; — ce qui démontre le théorème énoncé.

Corollaire I. — Les droites (c) à tUilUer pour la détermination des lignes ^influence des tensions élastiques par unité de surface développées aux divers points, tels que F, d'une section transversale dojinée, de centre de gravité C, concourent en un mime point, qui est l'anlipOle de la normale en G à la ligne moyenne par rapport d l'ellipse centrale d'inertie de cette ligne.

En effet, les points réciproques J des points F de la section étant situés sur une ligne droite, qui est la normale en G à la ligne moyenne, les antipolaires (c) correspondantes passent, en vertu d'un théorème connu, par l'antipôle de cette droite.

Corollaire II. — Ligne Hnfliience de ta tension longitwUnaie totale relative à une section donnée.

Il résulte de la formule de définition (10) que le point réciproque du centre de gravite C d'une section donnée, est le point à l'infini de la normale en G à la ligne moyenne. La droite (c), à employer pour la construction de la ligne d'inlluence de la tension élastique par unite de surface en G, est, en vertu du théorème précédent, l'antipolaire de ce point à l'infini, c'est-à-dire le diamfitre de l'ellipse centrale d'inertie conjugué à la direction de la normale en C â la ligne moyenne.

D'autre part, N représentant la tension longitudinale totale relative à la section de centre de gravité G, la tension élastique par unité de sur^ face en C, a pour expression

Ira quantités N et R sont, par conséquent, proportionnelles, et il en est de même des ordonnées corrspondantee de leurs lignes d'influence.

Donc :

Étant donnée une section, de centre de gravité C, si on applique tout le

long de la ligne moyenne de l'arc des forces fictives verticales — - — ds, —

( y — z ) désignant les segments de verlieales compris entre la ligne moyenne et le diamètre de l'ellipse centrale Sinertie conjugué à la direction de ta normale en G à la dite ligne moyenne, — qu'avec une distance polaire convenablement choisie on trace la courbe funiculaire correspondante à ces efforts, qu'on mène les tangentes aux extrémités de cette courbe, et qu'on limite ces tangentes à ta verticale de G : les segments de verticales com~ pris entre cette courbe fumculaire et ces tangentes, sont égaux aux ordonnées de la ligne d'influence de la tension longitudinale totale relative à la section considérée.

DigiLizedbyGoOglc