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Remabqce. — Le théorème qui précède et ses deux corollaires ont éié démontrés pour le cas le plus complexe où l'arc est de structure dissymétrique. Ces propositions restent vraies dans le cas particulier où l'arc est symétrique par rapport â la verticale du milieu de la corde.
Remarque sur l'application des ttaterèmes qui précèdent.
3. — Toutes les fois qu'on se proposera de tracer les lignes d'influence de M, de X, de Y, ou de R, pour plusieurs sections et pour plusieurs ûbres de l'arc, il sera avantageux de construire d'abord l'ellipse centrale d'inertie de la fibre moyenne ; puis de déterminer les droites o"o'", o'o'", o'n", ou (c), en s'appuyant sur les théorèmes que nous venons d'énoncer.
La construction de l'ellipse centrale d'inertie s'effectue conformément à des règles connues.
Cette opération est en général assez simple, parce que dans la majorité des cas, l'arc admet un axe de symétrie ; de sorte qu'après avoir cherché la situation du centre o' sur cet axe, on connaît la position des deux axes de l'ellipse centrale, dont il ne reste plus à déterminer que la grandeur.
Quant aux droites o''o'", o'o'",o'o"ei (c), les propriétés élémentaires de l'ellipse en fournissent la détermination.
Expression simple de la distanoe polaire à ad^ter pour la construction des lignes d'inauenœ des tensions élastiques par unité de surface.
4. — Les considérations qui précèdent permettent de donner à la distance polaire B, à prendre pour le tracé de la ligne d'influence de la tension élastique R en un point d'une fibre quelconque, une expression plus simple et plus facile à calculer ou à construire, que celle indiquée au § 48.
Nous avons vu â ce paragraphe qu'on devait adopter
le produit m x m' étant d'ailleurs tiré de la relation (rf) du même paragraphe, savoir :
1 "* s^ 1 cos a sin a
^ ' mxin' ~ p» (oY)*' ~~ (o"?')*' {o"'q)"' *"'
Remplaçons dans cette relation *', *", *'", en fonction de 9', ç", ?*" ; il vient
1 ni* yvb 1 cos a , sin tt "]
remplaçons-y également (o'q')?'» {""ï")?"» ("'"9"')?'" P*^ leurs valeurs
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fournies par (11), (12) et (13) du n" 2, et— par — -; nous obtenons, après quelques transformations simples
m xm =
A'*(d' — / cos a) — C''(c' 4- ï sin a) nia
Or, si on calcule l'ordonnée à l'origine o'Q (PI. 200, Jï^. 3) de 1 droite (c) ou te rapportée aux axes o'af et o'y', en faisant «' ^ dans i'éqiiation (c") du n" 2, on trouve
^ A"(rf — ( cos d) — C'"(c' -I- ( sin «)
On peut par suite écrire
nA« Mais (§ 38, formule 2)
, / I - 6^'*'^'nis I I •
donc
W» , ni*
En substituant dans l'expression de B, on a finalement
Dans cette formule ïj retp"sont des quantités connues; olj^et *' se lisent sur l'épure.
Cette nouvelle expression de B est plus simple que celle du § 48, puisqu'elle n'exige pas le calcul du produit m X m' au moyen de la relation (d).
HstuaQDE. -~ Elle reste exacte dans le cas particulier où l'arc est de structure symétrique par rapport à la verticale du milieu de la corde.
RBmarqae sur les valeurs des loroes fictives et des distances polalns & employer pour la construction des lignes d'in-
5. — Considérons, pour fixer les idées, la ligne d'influence du laornent fléchissant M développé en une section C.
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La dislance polaire à employer et les forces fictives i appliquer am milieux tels que F (fig. 28) des diYisions is de la ligne moyenne de l'arc, ont pour expressions {§ i5)
Par o' et par F, menons des parallèles o% et FG, à une direction arbitrairement choisie ; on a
o'g; G.F , oV ~ GF '
ce rapport est indépendant de la position du point G sar la ligne moyenne : désignons-le far y.
D'après une propriété connue des polygones funiculaires, nous ne changerons rien au polygone d'où se déduit la ligne d'influence de M,
en multipliant la dislance polaire B' et les forces Actives GF x —r-' par le fact«uf constant y, c'est-à-dire en leur attribuant les valeurs
_____ 1, Il
K=:Xï£x"J=i!^' et GFx!L:x% = g,FxV.
P o'?' . P . . I (jF 1
qui ne diSërent des valeurs primitives, que par la substitution des lignes parallèles o'q^ et G„F, de direction arbitrairement choisie, aux lignes verticales </ct et GP.
On pourra, en particulier, remplacer, dans les expressions de la distance polaire et des forces fictives, les segmenta de verticales o'ç' et GF, par les longueurs des perpendiculaires abaissées de o' et de G sur o"»'". Cette substitution sera avantageuse, au point de vue de l'exactitude matérielle des constructions, toutes les fois que la droite o"o'" fera un angle assez aigu avec la verticale.
La même remarque s'applique aux dis^nces polaires et aux forces fictives à considérer pour la détermination des lignes d'influence de X, de Y, de R et de N.
6. — Les lignes d'influence dont nous nous sommes occupés jusqu'à présent sont relatives à une charge verticale P.
On peut généraliser la définition des lignes d'influence en considérant une force d'intensité P (fig. 28, p. 136), de direction donnée A, se déplaçant parallèlement à elle-même, tandis que son point d'application D décrit la ligne moyenne de l'arc.
La ligne d'influence d'un effort élastique d'espèce quelconque, développé en une section G (moment fléchissant, composante horizontale ou verticale de la résultante des tensions élastiques, etc.) est alors le lieu des points H^ obtenus en projetant ortbogonalement les points d'application D de la force mobile, sur un axe UiUJ perpendiculaire à la direction A, et en portant en ordonnées, à partir des pointa K, ainsi déterminés, des longueurs K,H, représentant les valeurs correspondantes de l'effort
Cela posé, remarquons que, dans la théorie des lignes d'influence relatives à une charge verticale, noua n'avons imposé aucune corrélation entre la forme géométrique de l'arc et la direction de la verticale. Les résultats de cette théorie sont donc applicables aux lignes d'influence relatives à une force de direction A arbitrairement choisie.
11 est sous^ntendu que les axes Ga: et Gy, précédemment considérés, doivent alors être remplacés par deux axes Cx, et Gp, respectivement perpendiculaire et parallèle à A, et que les forces fictives verticales doivent être remplacées par des forces parallèles à A.
Enfin, il résulte des directions données aux nouveaux axes, que les
s^ments de verticales, tels que y — s', y — z" qui entrent dans les
valeurs des forces fictives, et ceux tels que o'q', o"q" , qui entrent dans
les valeurs des distances polaires B', B",..., doivent être remplacés par
des segments^, — z\, yi — z'\ o'çj, o'ç',' mesurés sur des parallèles
Toutefois, la remarque du n" 5 montre que cette dernière condition n'est pas indispensable et qu'on peut mesurer les segments en question sur des parallèles à une direction arbitrairement choisie.
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Théor^b. — i" Les difjërentt polygones funiculaires d'où se déduisent le» lignes i^infiuence du momeat fléchissant en une section C, relatives è des foi-ces de directions A différentes, peuvent Sire tracés en conservant det valeurs constantes aux forces fictives et à la distance polaire. Les lignes daction des forces fictives changent seules, en pivotant autour de leurt points d'application respectifs, de manière à être constamment parallèles à A;
2° La même proposition s'applique aux polygones fumeataires d'oii se déduisent tes lignes d'influence de la tension éiastigue par unité de surface en un point donné d'une fibre de l'arc, et à ceux tfoù, se déduisent les lignes d'inflitence de la tension longitudinale totale en une section donnée.
Nous ne démontrerons que le 1" ; le 2" se justifierait de la même
La position de la droite o'o'", antipolaire de C par rapport à l'ellipse . centrale d'inertie de la ligne moyenne, est indépendante de la direction A de la force mobile.
D'autre part, — ainsi que nous l'avons fait remarquer plus haut, — nous sommes maîtres, pour le tracé de chacune des courbes funiculaires considérées, de la direction suivant laquelle doivent être mesurés les segments de droites, tels que GjF et o'gô. qui entrent dans les valeurs
GoF Xn et . " - — — des forces fictives et de la distance polaire à
adopter.
Nous pouvons, par conséquent, mesurer ces segments suivant une direction unique pour tous les polygones funiculaires. Les longueurs GoF et o'q'g sont dès lors constantes, à cause de la fixité de o''o"' ; et il en est de même des valeurs des forces fictives et de la distance polaire cor-
respoodantes aux difl'érents polygones, puisque — , *' et P sont des quantités invariables-
Théorème ralatll aaz Tarlationa d« températnre.
7. — La ligne d'action commune des réactions développées aux encastrements par une variation de température, coïncide avec le diamètre de VelUpse centrale d'inertie de la fibre moyenne, conjugué à la directÎM perpendieulaire à ta corde de l'arc.
Cette proposition résulte immédiatement du rapprochement du théorème du § 49 et de celui du n" 1 de la présente note.
GoHOLLAiBB. — Si l'arc admet un axe. de symétrie, la ligne d^acHon commune des réactiotis aux enaistrements coïncide avec l'axe de l'el^pf centrale perpendiculaire à cet axe de symétrie.
EXTENSION AUX 8Y8TÈME8 RÉTICULAIRES {•) HFS THÉORÈMES ET DES TRACÉS RELATIFS AUX PIÈCES PLEINES
Tous les résultats éDODcés daas ceUe seconde partie, pour les pièces pleines, s'étendent aux systèmes réticulaires plans, astreints aux mêmes
sujétions. L'analyse à suivre est, dans son ensemble, identique à celle que nous avons exposée ; elle doit toutefois être précédée d'une transformation des formules du chapitre III (t" partie) au moyen du théorème de Ritter, relatif aux tensions dans les barres des systèmes articulés.
Ne pouvant entrer dans le détail des démonstrations, sans dépasser les limites qui nous sont imposées pour ce Mémoire, nous nous bornerons à indiquer brièvement comment cette extension doit être entendue.
Dans l'étude des pièces pleines, c'est aux divers points de la ligne moyenne que nous avons appliqué, tantôt des forces données, tantôt des forces fictives. C'est aussi à ces points que nous avons rapporté les moments fléchissants M produits par les forces extérieures et les quantités MX, SI Y et T, relatives aux forces fictives.
Dans les systèmes réticulaires, la ligne moyenne n'existe plus, et on doit la remplacer par une série de points isolés qui sont les nœitds de la construction. C'est à ces nœuds que nous appliquerons, tantôt des forces données, tantôt des forces fictives, et c'est à eux que nous rapporterons les moments fléchissants M et les quantités MX, MY et T,
Tandis que, dans les pièces pleines, les forces fictives étaient infiniment petites et en nombre fini, dans les systèmes réticulaires, elles sont finies à la fois en intensité et en nombre.
Dans les pièces pleines, le rapport infiniment petit y (ou— pour les
poutres droites) qui entre toujours dans l'expression des forces fictives, est une constante spécifique de chaque point, ou mieux, de chaque élément ds {ou dx) de la ligne moyenne. Dans les systèmes réticulaires.
a pour valeur
F~SA»' où h est la distance du nœud à la barre opp(»ée, s la longueur et S la
section de cette barre.
On remarquera qu'au point de vue de l'homogénéité, F est du troisième d^ré par rapport aux longueurs.
Gela posé, la règle pour passer des propriétés des pièces pleines à celles des systèmes réticulaires est la suivante :
(*) Un tystème réticulaire eat on réseau de barres rectiligoe» articulas entre elles et rurmaDt une série de triaaglea jiulsposéa. Cette dénominatioa est empraotée A il. Maurice Lévy.
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fout les résultats (théorèmes et ctmstruetwns géométriqttes) indicés pour les piècet pleines, s'étendent aux systèmes rélicalaires astreints aux mêmes sujétions, par la substituHen :
]" De la série de points isoléx formée par les nœuds, à la série de points in/inimcnt voisins, quieoiulitue la ligne moyenne;
2° Des constantes spécifiques = = ^r^ à celles ■=- et — ;
3" De sommes à un nombre fini de termes, aux sommes intégrales. Voici les applications principales de celte règle :
