M ET

D,j.,.db,Googlc

où n et P„ sont des constantes ; n est un nombre quelconque ; r„ est l'inverse de la constante spéciâque d'un nœud arbitrairement choisi, la plus grande ou la plus petite, par exemple.

On montrerait, comme au § 36, que l'expression (1) du déplacement (/y)c doit alors être remplacée par la suivante :

(«. = =5-Bxc,C.

n. — Aro rétfoulalre encastré à hs deux extrémités.

On dit qu'une extrémité d'un arc réticulaire est encastrée, lorsque la nœud extréme-A d'extrados ou d'intrados, est astreinte rester fixe, tandis que le nœud extrême A' d'intrados ou d'extrados, est assujetti A demeurer sur la droite AA' fixe dans l'espace. Il en résulte que la barre extrême AA' a une situation angulaire invariable et qu'une de ses extrémités est fixe, mais que sa longueur peut varier avec les inlensités des forces agissant sur l'arc.

Nous désignerons respectivement par les lettres A et B, les nœuds fixes des extrémités encastrées de gauche et de droite de l'arc.

La droite AB sera la corde de l'arc.

i" Forces extérieures fixss

Des forces extérieures quelconques sont appliquées aux nœuds d'un arc réticulaire encastré. On peut se proposer de déterminer le moment fléchissant M en un nœud quelconque C, ainsi que les composantes rectangulaires X et Y de la résultante de translation des forces élastiques développées dans la stction transversale passant par ce nœud et rencontrant la barre opposée.

Le problème analogue a été traité pour l'arc plein, au chapitre II (§§37 et 38).

En s'y référant, on voit que, dans le cas de l'arc réticulaire, le centre fixe o' est le centre de forces fictives parallèles =, appliquées aux diffépents nœuds.

Les centres o" et o'" correspondants au nœud C, sont les centres de

forces fictives parallèles^ et =, agissant en chaque nœud, — a; et y dé-

sigaant les coordonnées des nœuds, par rapport à deux axes rectangulaires Cx et Cy passant par G et parallèles aux directions suivant lesquelles on veut évaluer les composantes Xet Y.

Le centre variable u est le centre de forces fictives parallèles -=- , appliquées â chaque nœud, — M représentant les moments fléchissants que développeraient, aux nœuds, les forces extérieures données, si l'arc était scindé en deux tronçons-par une section transversale rencontrant le lumid C et la barre opposée A ce nœud.

JigiLizedbyGoOglc

Les intégrales ?', f', f", S devienneot des sommes ayant pour expressions

?' = 2r' ^"^ 2r' ?'"=2dr' ^ = 2dT'

A et B étant les nœuds extrêmes de l'arc.

Enfin, lesineonnues -^, X et Y sont encore exprimées par les formules finales (1) du § 37.

Remarque. — Pour la détennination des centres o', o", o"*, <o et des sommes ?', f', 9™, S, il sera avantageux de remplacer, — par analogie

avec ce qui a été feit au § 38, — les forces fictives —, j;, — et -=-,par

b -=-, y — p— , aï — =- et M' — =-, n et T^ étant les constantes déflaies

plus haut. (Corutruction des déformations élastiques. — Nota.}

*', *", *'" et S représentant les longueurs des polygones de ces forces fictives, les inconnues seront alors données par les formules (1 61s) du § 38.

2" Chaugeb mobiles. — Lignes D'iKn-DERCE.

Dans le cas des pièces pleines, nous avons défini les lignes d'influence, en considérant une chaîne mobile P dont le point d'application décrivait la ligne moyenne. Dans le cas des systèmes réticulaires, les forces extérieures n'agissant, par hypothèse, que sur ies nœuds, nous supposerons que le point d'application de la charge mobile P se transporte brusquement d'un nœud à l'autre, en passant alternativement de l'extrados â l'intrados et de l'intrados â l'extrados, c'est-à-dire en suivant le contour brisé des barres dites de remplissage. On voit, dès lors, que les lignes d'influence qui, dans les pièces pleines, étaient des courbes continues, se rèdui8ent,"en réalité, dans les systèmes réticulaires, à une série de points isolés correspondants aux nœuds. Quoi qu'il en soit, nous appellerons ligne d'influence dans les systèmes réticulaires, le polygone formé en joignant ces points deux â deux, dans l'ordre qui correspond au cheminement sus-indiqué du point d'application de la charge P C").

(*) En &it, U charge mobile ne peut passer alternativement de l'eitrados fl IHntradoB, einsi que nous le Bupposooa poor faciliter lathéoriei elle agit constamment, soit sur l'extrados, lorsque te tablier est au-dessus de l'arc, soit sur l'iatradoa, lorsqu'il est suspendu à l'arc ; elle peut également, et c'est le cas où le tablier est à mi-hauteur de l'arc, agir sur t'eitrados, dans le voisinage des retombées, et sur l'intrados, dans la région dn sommet. Il faut remarquer enfln qu'elle peut, dans son cheminement réel, n'avoir d'action que sur une partie seulement des nœuds de l'extrados ou de l'iotrados.

Quoi qu'il en soit, ayant construit, par la mélbode que nous allons indiquer, la ligne d'inâueuce répondant au cheminement théorique de la charge mobile, on pourra lonionrs ne conserver ensuite que les sommets de c«tte ligne, qui correspondent à ceux des nœuds o£i la cbargn peut eD'eclivement (Ire appliquée.

DigiLizedbyGoOglc

Cela posé, le théorème fondamenta! Il dn § 13 se transforme en le suivant :

Étant donnés un arc rétieulaire encastré à ses deux extrémités, un nœud quelconque G, et une charge mobile P parcourant cet arc en passant alternativement d'un nœud d'extrados à un nœud d'intrados et inversement,

si on applique successivement des forces fictives verticales 1" ^— — — , 2°

— = — , 3" — - — , aux divers nœuds de l'arc (y — s', y — z', y — z'"

étant respectivement les longueurs des segments de verticales compris entre ces nœuds et les côtés o"o'", o'o'", o'o" du triangle formé par le centre fixe o' de l'arc et par les centres o" et o'" correspondants au nœud C) , qu'avec des distances polaires arbitraires, on construise les trois polygones funiculaires correspondants à ces trois espèces de forces, en suivant l'ordre du cheminement de ta charge mobile, qu'enfin on prolonge les côtés extrêmes de ces polygones jusqu'à la verticale du nœud G:

Les segments de verticales, compris entre chacun de ces polygones et leurs côtés extrêmes prolongés, sont respectivement proportionnels aux ordonnées des lignes d'influence du motnent fléchissant au nceud G, et des composantes horizontale et verticale de ta résultante de translation des forces élastiques, développées dans la section transversale passant par le nœud G et rencontrant la barre opposée.

Les théorèmes I, II et III du § 44 s'appliquent aux polygones funiculaires ci-dessus, les côtés extrêmes de ces polygones remplaçant, bien entendu, les tangentes considérées dans ces théorèmes.

La construction des lignes d'influence s'effectuera conformément aux indications du §45:

On attribuera aux forces Actives les valeurs

ir. ir„ ir,

(y — -zO-p-. fe— ■3)-p-, (y — ^ ^~r~'

n etr ^ étant les constantes définies précédemment (Construction des déformations élastiques. — Nota) ; et on prendra des distancés polaires

afin d'obtenir à l'échelle des forces, les ordonnées des lignes d'influence cherchées.

Dans ces formules *', *", *"" représentent les quantités définies plus haut. (Forces extérieures fixes. — Remarque.}

Nous croyons inutile d'entrer dans plus de détails et d'indiquer ce que deviennent les théorèmes et les constructions des§ 46 et 47, l'application de la règle de transformation ne présentant aucune difHculté.

Nous n'insisterons pas davantage sur les théorèmes et les indications des n" i, 3, 5 et 6 de la Nota I ; nous ferons seulement remarquer que

DigiLizedbyGoOglc

l'ellipse centrale d'inertie corresponil alors aux nœuds de l'arc, considérés comme formant un système de points matériels dont le poids, variable

( 1 d'un ncBud à l'autre, a pour expression générale ^r; ou =■- (*)

3" Effets des vahiations db température.

Tout ce qui a été dit au § 49 ainsi qu'au n' 7 de la Note I, s'applîqu* Â l'arc réticulaire ; la corde AB = a est alors la droite de jonction des nœuds fixes A et B des extrémités encastrées,