ES >" GS ^ GS

Par conséquent, en négligeant le travail des forces élastiques dans les assemblages, relativement à celui beaucoup plus important accompli dans les pièces proprement dites, on a :

m ^=1 I (iS + ET + ll + il + l + i^

6 représentant le travail des forces extérieures.

§ 27. — Théorèmes de réoiproclU. — Formules générales.

Les travaux accomplis pendant la déformation par une force F appliquée à un point, ou par un couple C agissant sur une section d'une pièce quelconque de la construction, conservent évidemment les expressions établies aux §§ 4 et 5 et rappelées aux §§ 19 et 20 ;

Ces deux formules et l'équation (1") sont, concurremment avec le principe de la superposition des effets élastiques des forces, le fondement de l'analyse à suivre pour établir les théorèmes de réciprocité et les formules générales dans le cas des constructions élastiques. Cette analyse est d'ailleurs identique à celle développée au chapitre I*"" et résumée au chapitre II ; les calculs à faire

sont simplement modifiés par l'introduction du signe V devant

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les intégrales, ainsi qiie ie montre la comparaison des équations (1) et (!'). Nous pouvons donc énoncer immédiatement les résultats auxquels on parvient.

Théorèmes de réciprocité. — Étant donné un système composé d'une pièce élastique unique, ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou gauche, ou d'un nombre quelconque de pièces de cette espèce, arbitrairement disposées dans l'espace et assemblées ou articulées etUre eUes. ce système pouvant d'aiUeurs être ou non assujetti à des liaisons surc^ndantes extérieures ou intérieures :

i° Si une force égale à l'unité et de direction ^^ , appliquée à un 'poinl(i) d'une pièce quelconque, imprime à un point (2), appartenant à la même pièce ou à une autre pièce, un déjdacement dont la projection sur une direction Aj a pour valeur X^, réciproquement, une force égale à Funité, appliquée au point (%) suivant la direction i^, imprime au point (i) un déplacement dont la projection >î sur la direction A, est égale à Xj (•).

3" 5» on couple égal à l'unité, et dont l'axe a une direction i,, appliquée une sectionD, d'une pièce quelconque, imprime à un point (2), appartenant à la même pièce ou à une autre pièce, un déplacemeiU linéaire dont la projection sur un« direction a.j a une valeur XJ, réciproquement, une force égale à l'unité, appliquée au point (2) suivant la direction A^, imprime à la section D, un déplacement de rotation qui, reporté sur l'axe représentatif, a pour projection yÎ sur i,, la même valeur Xj.

3° Si un couple égal à l'unité et dont l'axe a une direction A,, appliqué à une section D, d'une pièce qudconque, imprime à une section Dj , appartenant à la même pièce ou à une autre pièce, un déplacement de rotation qui, reporté sur Vaxe représentatif, a pour projection sur wne direction A, ut.evnleur f\,réciproquement, un coupleégalà Vunitè, appliqué à la section D,, et dont Caxe est dirigé suivant i^, imprime à la sec-

(■) Ce premier théorème a été établi par M. le professeur Krohn (Voir le Génie Civil, Quméi-o au 21 septembre 1885], en ce qui concerne eaxiusivemeni les déplacements des nœuds des systèmes élasliques librement dilatables, composés de barres ret:tiligDes articulées entre elles.

Notre savant et honoré mallre, M. Maurice Lévy, a donné une nouvelle démonstra'ion du théorème de Krohn dans les additions à son beau Mémoire sur la recherche des tentions dam tot systèmes de barrf» éltaliques et sur tes systèmes qui, à tolame égal de matiire,

rmde rétittanee possible , présenté à PAcadémie en 1ST3, additions seconde édition de son ^rand Traité de Slatitiue graphique (1888).

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(ton D, un déplacement de rotation qui, reporté fur l'axe représentatif, a pour projection y' sur A,, la même vtUturyl (**)■

Formules générales. — Dans le cas le plus général possible, où les pièces de la construction sont à double courbure ou bien, tout en ayant pour lignes moyennes des courbes planes, subissent des déformations non parallèles aux plans de ces lignes moyennes, les formules exprimant les déplacements linéaires et de rotation sont les suivantes :

Dans ces formules, M^, . . . . , N, , Tj représentent les moments, tensions longitudinales et efforts tranchants développés dans les sections transversales des pièces par les forces agissant surla construclion.

[*(,(*,, , V, , e, désignent :

i° Dans la formule (A"), les moments, tensions et efforts tranchants produits dans les sections transversales des pièces par une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée au pointdont on cherche le déplacement et ayant la direction suivant laquelle on veut évaluer ce déplacement.

2" Dans la formule (B"), les éléments de même nature produits par on couple auxiliaire, appliqué à la section transversale dont on cherche le déplacement de rotation et ayant pour direction de son axe la direction suivant laquelle on veut évaluer la rotation.

(") Ces Iroia Ihéorèmee sont le fondement d'une méthode çénèrale de recherche des HgTies iTinfluence dans les Ronstructioos Élastiques astreintes i des lisiaons surabondantes. tin lescombinanl avec i^eilains tracés résultant des formules générales, on peut démonirer que, quelles que soient les liaisons surabondantes auiquelles une conslruc^on est aseujeltie, les lignes d'influi'nce des forces de liaison, ou réâclioDS des appuis, sont des curbes /itnicuJaim, faciles à déterminer, et dont nous donnerons la construction notammeatpour les arcs et les poutres continues (U* Paillcj-Cetlepropositiona ètéénoncée pour la première fois, par M Maurice Lévy, en ce qui concerne i-pecialcment la Poussée

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Dans le cas d'une construction composée de pièces dont les lignes moyennes sont planes avant la déformation et restent ttdicsaprès, les termes M^, M^, T , s'annulent et on a simplement :

' =i / (Il + ê

en remplaçant les notations M^ , et Tç par M et T.

Ces équations sont de même forme que celles (A) et (B) du chapitre I■^

§ 28. — Sur l'application dan toimules géniralea aux constmotions assujettlea 4 des lialwms BurabondanteB, soit extérieures, soit intérieures.

On démontrerait, comme il a été fait au § 13 et rappelé au § 22, que, pour le calcul des termes auxiliaires |ij,,.. v,... 9^ des formules (A") et (B*) et de ceux fi, V, e, des formules (A,) et (B,'), on peut supposer la construction dépouillée de ses liaisons surabondantes extérieures.

Nous allons établir qu'on peut également, pour ce calcul, considérer la construction

sons surabondantes intérieures.

Afin de simplifier les formules entrant dans la démonstration, nous supposerons que la construction est composée de pièces dont les lignes moyennes sont toutes situées dans un

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même plan, et que les forces extérieures quelconques qui la sollicitent sont situées dans ce plan ; dans ces conditions, les déplacements des divers points de chaque pièce ont lieu parallèlement à ce plan et les formules exprimant ces déplacements sont celles (AO, (B^-

D'autre part, pour fixer les idées, nous supposerons que les liaisonssurabondantes inférieures sont dues notamment à la présence d'une pièce surabondante PR, assemilée en P et en R. (Fig- iO.)

Proposons-nous de calculer, par exemple, le déplacement d'un point H quelconque, suivant une direction i, arbitrairement choisie, en supposant connus les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants M, N, T, que les forces données produisent en toutes les sections transversales des pièces. Ce déplacement est exprimé par la formule :

dans laquelle jx, v, 6, sont les moments, tensions et efforts tranchants que produirait dans les pièces de la construction une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée en H, et dirigée suivant A.

Cela posé, comparons la construction considérée à celle qui serait obtenue en supprimant la pièce surabondante PR, ou, ce qui revient au même, en coupant cette pièce suivant une section transversale K quelconque. Désignons par (a) la première construction, par (p) la seconde.

Sous l'action des forces extérieures, il se développe dans la section K de la pièce P R de la construction (a) des efforts intérieurs équivalents à une force et à un couple : soient F et C cette force et ce couple, considérés comme actions de la partie de barre RK sur la partie PK. Si, à la construction (p) on applique, outre les forces extérieures données, 1" une force F et un couple C à l'extrémité K du tronçon PK; ^ une force — F et un couple — C à l'extrémité K' du tronçon RK', il est clair que les moments fléchissants, les tensions longitudinales, les efforts tranchants et les déformations qui en résulteront seront exactement les mêmes dans ladite construction que dans celle {«) : en particulier, le déplace- '

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ment du point H sera le même, et les deux extrémités de tronçons K et K' resteront en contact dans la construction (p).

De même, sous l'action de la force auxiliaire, il se développe, dans la section K de la barre PR de la construction (a), des forces intérieures réductibles à une force F, et à un couple C,. Si, à la construction (p) on applique, outre la force auxiliaire, 1° une force F, et un couple C, à l'extrémité K du tronçon PK; 2" une force — F, et un couple — Ci, à l'extrémité K' du tronçon RK', les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants en qui résulteront seront les mêmes dans la construction (p) que dans celle (2); leurs valeurs seront donc ji, v, 9.

Or, en toute section des pièces de (p), les moments, tensions et efforts tranchants sont respectivement les sommes des quantités de môme nature produites en cette section, par la force auxiliaire et par les efforts F,, G,, — F,, — C, , appliqués où il a été dit plus haut. Soient fi, y', o' celles de ces quantités qui correspondent à la force auxiliaire; soient, de plus, (*p , Vp , 8^ ; [»g,v j. ,9ç ; f*p , v j, , e j. ; n j, ,v j,, 6^ , les moments, tensions et efforts tranchants que produiraient respectivement des forces et des couples égaux à l'unité et ayant mêmes directions et mêmes sens que F,, G,, — F,, — C,. On a, dès lors, en chaque section des différentes barres :

(* = (*' + ^,t\ + f'c.Ct + l^-K.^"' + I^-c.^'. V = V' + VpF. H- v^C. + v^F. + y..^C..

Substituant ces valeurs dans l'expression (A,") du déplacement du point H, il vient :

y {-w'+Tw+iâ)''

D,j.,.db,Googlc

^ ■^ I \ El ^ ES ^ GS J \

Or, la première somme de la parenthèse que multiplie F„ renferme les produits des moments, tensions et efforts tranchants que développeraient les forces extérieures et les efforts F,, C„ — F,, — C, , dans la construction (p), par les moments , tensions et efforts tranchants i^^, Vp , 9^ , que développerait une force égale à l'unité, appliquée à l'extrémité K du tronçon de barre PK et ayant même direction et même sens que F,. Cette somme représente donc le déplacement imprimé au point K par les forces extérieures et les efforts F,, C,, — F,, — C,, déplacement estimé suivant la direction de F,.

De même, la seconde somme de cette parenthèse représente le déplacement du point K' dû à ces mêmes forces et estimé suivant la direction — F,.

Or, nous avons vu précédemment que dans la déformation de la construction {p) les deux extrémités K et K' des tronçons PK et RK' restaient en contact. Il s'ensuit que les déplacements des points K et K' sont les mêmes et que, par suite, le déplacement de K' estimé suivant — F, est égal et de signe contraire à celui de K estimé suivant -\- F,, Leur somme, c'est-à-dire la parenthèse dont F, est facteur, est donc nulle.

On démontrerait de même que la parenthèse qui multiplie C, est nulle, par la considération des déplacements angulaires et en se fondant sur ce que, dans la déformation de la construction (p), les deux sections extrêmes K et K' restent en coïncidence.

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La formule du déplacement du point H ae réduit donc finalement à :

Par conséquent, au lieu de faire entrer dans la formule (A,*) les quantités atixiliaires f*, v, 9, on peut y introduire celles fi, v', ô', correspondant à l'action de la force auxiliaire sur la construction (p), c'est-à-dire sur la construction (a) donnée, dépouillée des liaisons surabondantes intérieures dues à la présence de la pièce surabondante PR.

La démonstration qui précède s'étend à toutes les pièces et liaisons surabondantes intérieures.

Nous avons ('itabli préc^emment la même proposition en ce qui concerne les liaisons surabondantes extérieures.

On peut donc faire abstraction des liaisons surabondantes tant extérieures cçi'inlérieures pour la détermination des quantités auxiliaires (X, V, 6, qui sont dès lors indépendantes de l'élasticité et, par suite, calculables par les procédés de la statique.

U faut remarquer que, dans la formule qui précède, les termes v^, v', â' n'existent que pour les pièces non surabondantes; il en est

de même des produits M f>', N v', T S' ; la somme V ne concerne

donc que les pièces en question, dont nous représenterons le nombre par p ; le déplacement l ne dépend donc pas, explicitement du moins, des moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants développés par les forces extérieures dans les {n-f) pièces snrabondantes, et la formule qui l'exprime doit être écrite comme suit :

ïjh