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II va de soi que la démonstration que nous venons de donner s'applique également aux constructions dont les pièces sont situées dans des plans différents, ou même ont pour lignes moyennes des

D,j.ii.db,Googlc

courbes gauches. Et la formule (A') du déplacement liatiaire devient :

On établirait de même que les formules (B,) et (B') des déplacements de rotation se transforment en les suivantes :

»=2. / (ët + ës + gsJ*-

^Ij^ ( <^+ it+-E\= +ËS +-U + W *

dans lesquelles |x', v', 9', (*',... v',.- ^'r sont les moments, tensions et efforts tranchants développés par un couple auxiliaire égal à l'unité, appliqué à la section dont on cherche le déplacement de rotition et ayant son axe dirigé parallèlement à la direction suivant laquelle on veut eslimer la rotation.

II est essentiel de remarquer enfm, comme nous l'avons déjà fait au § 13, que les formules générales qui précèdent renferment implicitemmt autant d'expressions différentes des déform(Uions que Its liaisons, tant extérieures qu'intérieures, auœqudles la construction est assujettie, peuvent former de groupes différents de liaisons indépeu' dantes de V élasticité.

% 29. — Application aux constructions oomposéeB de barres reotUignes.

Nous admettrons, — et cette hypothèse est ordinairement remplie dans la pratique, — que les lignes moyennes, ou axes de figure des bari-es qui ont un assemblage commun, concourent en un même point, ou nœud, de cet assemblage.

On pourra généralement, pour le calcul des quantités auxiliaires [»,,... V,. . Oç , ou pi, V, 9, remplacer les assemblages par

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des rotules placées aux nœuds (*) et, en outre, supprimer les barres surabondantes, ce qui a pour effet de faire disparaître les liaisons surabondantes intérieures.

Cela posé, si on se propose de calculer le déplacement d'un nceud quelconque, les termes k . . . v . , e ou [*, v, 0, des formules (A") ou (A",) répondront à l'application à ce nœud d'une force auxiliaire égale à l'unité. Or les barres de la construction modilîée par In suppression des liaisons surabondantes étant rectiligoes et articulées à leurs extrémités, la force auxiliaire n'y produit aucun moment, ni aucun effort tranchant; par suite, les termes j*. , [»,, , p.. , 6,, , e^ , ou j^ et d, sont nuls, et les formules (A") et (A,') se réduisent, l'une et l'autre, à la forme très simple :

puisque la tension longitudinale auxiliaire est constante tout le long d'une même barre.

Si on suppose en outre, — ce qui a lieu ordinairement, — que les forces extérieures sont appliquées seulement aux nœuds de la construction, et que chaque barre présente une section constante, (A'") devient, en représentant par s la longueur d'une barre :

g 30. — Corollaires des théorèmes de réciprocité.

Il est clair que les théorèmes de réciprocité, relatifs aux constructions élastiques, admettent les trois mêmes corollaires que les théorèmes concernant les pièces pleines. (Voir au § 24 l'énoncé de ces corollaires.)

(*) Il suffit pour cela qu'aprce le remplacement des assâmblages par des rotules, la forme géométrique de la cous^ruction reale détenoioée.

NOTE Sur le Théorème des Dérivées du Travail.

Nous allons moDtrerque le théorème des dérivéesdu travail, dû à l'ingénieur italien Castigliano, est une conséquence particulière des formules générales établies précédemment.

Pour simplifier, nous considérerons une pièce ayant pour ligne moyenne une courbe plane et sollicitée par des forces situées dans le plan de cette courbe. Le mode de démonstration que nous allons employer conviendrait d'ailleurs à une ptère ayant pour ligne moyenne une courbe gauche, ou à une construction élastique quelconque.

Soient F„ F, Fp F„ , les forces extérieures données.

Appliquons la formule (A) au calcul du déplacement du point d'application de la force F,, estimé suivant la direction de cette force. Désignons respectivement par :

Ml, M,... Mp... M„ les moments fléchissants, N„ N,... N;,... N„, les tensions longitudinales, T„ T.... Tp... T«,les efforts tranchants,

que produirait dans la pièce chacune des forces données agissant seule ; et par :

les éléments de même nature que produiraient respectivement des forces ^Ics à l'unité, ayant mêmes points d'application, mêmes directions et

^^^.^ ^..8 que F„ F». . . Fp. . . F,.

On a entre ces quantités les relations suivantes :

M, = ft F.

En désignant par M, N, T, le moment fléchissant, la tension longitudinale et l'effort tranchant produits en' une section quelconque de la pièce par les forces données agissant simultanément, on a :

(M = M,+ ... M, + ... M. = ftF, + ... f,F, + ... f.F.

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D'autre part, le déplacement cherché a pour expression, t formule (A) :

En différentiant les équations (1) par rapport à Fp, il vient ; ,„ dM <JN " ,

'" 3f7 "= i"" If; - "'■ 5Ë7 - *'

Substituant dans {%). on a :

'= / f "3F7 ^^ ''-dF; \ds.

J \ El + ES + GS /

„ dm 1^ j M-

IJF, 2 <(F, 1 El

El et, par analogie :

.. (iN

ES ~ 2 Par suite, l prend pour expression

El '