Quand le genre de la relation

en y et y est nul, une transformation birationnelle permet, comme nous l'avons dit, de ramener l'équation différentielle à la forme

où R désigne une fraction rationnelle en y.

Si l'intégrale générale d'une telle équation n'admet que /i valeurs se permutant autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire

M et N étant deux polynômes en y de degré /i et C une constante; ou bien encore

L'un au moins des coefficients y, (x) dépend de la constante C. Pour fixer les idées, admettons que y^ dépende de C. (Pour échapper d'ailleurs au cas exceptionnel où cela n'aurait pas lieu, il suffirait de rem-

l32 p. PAINLEVÉ.

placer r par j^ 4- ^, k représentant une constante quelconque.) Dans cette hypothèse, exprimons C en fonction de yoî o" voit que

/i = Al yo-i-Bt, /i ^A, /©H-B2,

7/1-1 — A;,jyo+ *^n-\'

L'équation (2) devient ainsi

(3) j"-H(A„,yo4-B„-i)7''->-i-...-h(Ar/o-f-B,)/4-yo = o,

ou encore

7''-hB,,/«-»-hB„sV«-M-^.-+-B,y

Dans cette égalité les A et B désignent des fonctions de x bien déterniinées, et Yo une fonction qui satisfaite une équation de Riccati

Si l'intégrale de l'équation (1) est de la forme (2), il existe un système de fonctions A,, By, //z, /e, /?, et un seul, telle que cette intégrale soit définie par l'équation (3 j. Il en résulte qu'étant donnée une équation (1), on reconnaît à l'aide d'opérations linéaires si l'on peut déterminer un pareil système, et, dans ce cas, le système s'obtient lui-même à l'aide d'opérations linéaires.

Ceci rappelé, voici quelle doit être la marche du calcul : on diiïérentie l'équation (4) par rapport à x, et on remplace Yo ^t Yo P^'* leurs valeurs en j^ et j' dans l'équation ( >). En identifiant l'équation ainsi obtenue avec l'équation donnée, on forme un certain système de relations qui doivent être compatibles, et qui, si elles sont compatibles, sont parfaitement déterminées. L équation se trouve alors ramenée, par des opérations purement algébriques, à une équation de Kiccati.

Inversement, ce procédé permet de former toutes les équations (i)

y -Hb,(r)] ^-^y^^-;,^j>

dont l'intégrale prend seulement n valeurs autour des points critiques mobiles {ji étant donné). On voit que, dans le cas plus général, P est

SIR LES ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l33

(le degré 'in, et Q de degré in — 2. Les (4'i — 1) coefficients de R s'expriment en fonction des (2/1 -h i) fonctions arbitraires A,, By, m, n, p, et de leurs dérivées premières. Ces coeftîcients satisfont donc à (2/1 — 2) relations différentielles. Pour calculer ces relations, on élimine entre les {\n-'\) valeurs des coeflicients de \\ les (2/^ — 2) dérivées des A,, By qui figurent seules. Il reste ainsi (2/1 -i-i) égalités, d'où Ton peut tirer les A/, By, m, n, p en fonction des coefficients

de R, et, en portant ces expressions dans les valeurs de -t--> -t^j on

forme (2/? — 2) relations où figurent les coefficients de R et leurs dérivées premières, ou, d'une manière plus précise, (2/1-+- 1) fonctions de ces coefficients et dérivées de (2/1 — 2) de ces fonctions.

Mais il peul arriver que l'équation (1), formée en partant des équations (4) et (.5), soit telle que P et Q aient un ou plusieurs facteurs communs en y. (Kn particulier, P et Q peuvent avoir leurs premiers termes nuls à la fois.) SoitX le nombre de facteurs communs à Pet Q. L'équation correspondante est alors de la forme

Les deux coefficients a .^n-i)^ i(2«x-2) ne sont pas nuls à la fois; j'ajoute qu'aucun d'eux n'est nul dans l'équation la plus générale de la classe étudiée. Car, si une équation ((>) appartient à cette classe, la nouvelle équation obtenue en faisant le changement de fonction

jouit de la même propriété, et les coefficients correspondants a,2n~i)* A(a/,x-2) sont différents de zéro.

Les (i/2— 2A — i) eoefficients distincts de l'équalion (G) s'expriment en fonction des (2/1-4- i) fonctions A/, By, m, /i, />, liées par les X conditions nécessaires pour que P etQ aient X facteurs communs.

Ces conditions renferment les dérivées premières ,-> -7-^- Il résulte

de là que les coefficients de Téquation (6) satisfont a {in — X— 2) relations, où figurent ces coefficients et leurs dérivées jusqu'à un ordre d'autant plus élevé que X est plus grand.

l34 p. PAINLEVÉ.

En définitive, soient une équation (i) donnée, [a le degré du numérateur de R, tx' celui du dénominateur. Désignons par v le plus grand des nombres [jl et [x'-f- 2, et mettons l'équation sous la forme

; . ^v r^ + ^v-t y"^^ -4- ■ . . -h qp

en introduisant, s'il est nécessaire, des coefficients nuls. Pour que l'intégrale d'une telle équation ne prenne que n valeurs autour des points critiques mobiles, il faut et il suffit que les (2v — 1) coefficients «/, bj satisfassent à un système de (v — 2) relations, (a));, bien déterminé pour chaque valeur de n et de v. Le nombre n ne peut être infé-

rieur à-; si /i=:-, les relations (a);| dépendent des coefficients de j'

et de leurs dérivées premières; de plus, ces coefficients s'expriment explicitement à l'aide de (v — 1) fonctions indépendantes. Si n dépasse -, les dérivées des a,, hj figurent dans les relations (a)]; avec un

indice d'autant plus élevé que (2/1 — v) est plus grand ; les coefficients a,, hj s'expriment à l'aide de (2/1 -h i) fonctions liées par (2/1 — v) équations différentielles, qu'on ne sait pas intégrer en général.

Si les coefficients d'une équation (1) vérifient le système (a)^, l'équation se ramène linéairement à une équation de Riccati, par une transformation (3).

Pour appliquer à un exemple simple les remarques générales qui précèdent, étudions les équations (i) dont l'intégrale ne prend que deux valeurs autour des points critiques mobiles. L'intégrale peut s'écrire

(7) j'-^(B — Ay)y— 7 = 0,

OU encore

' Ar-M Y vérifiant l'équation

Si l'on remplace y et y' en fonction dey et y\ il vient

Ay*-h 27 -h B

SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. i3*)

L*équation sous sa forme la plus générale peut donc s'écrire

V ' rry v»-h \a^ )-^4-6^s y- -h \a^ y -^ a^, __ P[.K, (>r)1

(Considérons d'abord les équations telles que P et Q n'aient pas de facteur commun (en particulier, telles que a^ et b,^ ne soient pas nuls à la fois).

Les sept rapports des coefficients a,, bj s'expriment en fonction de A, B, 771, n, p de la manière suivante:

î^fc/^o . ^'^fh— fh^\

rt^>; ^ 2^o/>t , b\b^ —b'^b^ bx bi bi

Si nous égalons les trois valeurs de n, déduites de ces dernières équations, nous trouvons les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (i)' jouisse de la propriété énoncée. Ces conditions sont les suivantes :

i blib] -^ bob,) (^a^b^— 2a,bo-h b^b\ — b^b',) (9) -- blb^[6a,b\^ aj}l — aobl-\- by {b'^bt— bob'^)]

I —bib,{b\-h ^o^s)(1«i^i — ^ao^î-h b^bi — b\bo).

Si les coefficients a,-, bj vérifient ces relations, l'équation (i)' se ramène, par la transformation

/; , y* - h ^0 y ^ lj,y ^b, '

à l'équafion

7* 7* H- 7-V-(^^'3^i — ^flr^^o-^- btb\— b'^bi)y -h yp

Le calcul précédent suppose que y dépend de la constante d'intégration. Les conditions (9) sont néanmoins générales; il serait aisé

l36 p. PAINLEVÉ.

(le le voir directement en écrivant l'intégrale ainsi

Y» vérifiant l'équation

Mais, plus simplement, il suffit de remarquer que, si une équation (i)' satisfait aux conditions (9), Téquation obtenue en remplaçant y par y s -H ^ jouit de la même propriété.

Observons à ce sujet que, dans l'équation (8), le coefficient de y au dénominateur n'est jamais nul. Le cas où è, serait nul dans (i)' correspond au cas où y ne renfermerait pas de constante. Si, en effet, on exprime y, et ^\ en j et j , le dénominateur de R [j, (a:)] dans l'équation ( I )' ainsi obtenue est y^ — C.

Étudions maintenant les équations (i)', telles que P et Q aient un facteur commun et un seul. (Us n'en sauraient admettre deux, autrement l'équation serait une équation de Riccati.) Dans cette hypothèse, le numérateur de j' dans. l'équation (8) doit s'annuler identiquement, si l'on y remplace y par une des quantités

— i±v/i— AB d'où une condition entre /w, n, p^ A, B, A', B', et l'équation (i)' s'écrit

, ,. flTs y» 4- 3 ^2 y ' -h 3a,.v-4-an

les a, b s'exprimant en fonction des quantités m, n, p, A, B, A', B', liées par la condition précédente. Inversement, en tenant compte de cette condition, on peut calculer m, n, A, B, A', B' à l'aide des cinq

rapports ^ et de p. En écrivant que A' — -^^ B'= t- > on forme deux

relations où figurent «^, bj, p et leurs dérivées premières. L'élimination de la fonction p conduit a une équation unique portant sur les a^,

bj et leurs dérivées jusqu'au second ordre au plus. En réalité, ^ n'intervient pas, et la condition finale est du premier ordre par rapport auxa/, bj. Mais on voit que le calcul ainsi conduit serait déjà pénible

SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE, iS']

Cl deviendrait impraticable pour des équations plus compliquées. En outre, certaines particularités ne se trouveraient pas mises en évidence, celles-ci par exemple que les équations (i)" de la classe qui nous occupe s'intègrent toujours par quadratures. Pour rendre les calculs plus simples et plus élégants, nous allons introduire ici une transformation dont nous avons déjà dit un mot, et qui permet de ramener les équations (i) à des formes réduites sur lesquelles leurs propriétés se laissent mieux apercevoir.