Soit une équation

Ptv,(.r)]

dans laquelle nous effectuons le changement de variable et de fonction

A, A,, k, k^ étant des fonctions de x^. Si l'intégrale de (i) ne prend que /i valeurs autour des points critiques mobiles, l'intégrale de la nouvelle équation

jouit de la même propriété, et réciproquement. Nous avons remarqué d'ailleurs, dans le Chapitre précédent, que la substitution (2) est, pour les équations (i), la plus générale qui conserve cette propriété <les intégrales.

Si donc les coefficients de l'équation (i) satisfont aux conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale générale soit de l'espèce indiquée, ces conditions Siiront encore vériliées par les coefficients de (i)', et réciproquement. Autrement dit, ces conditions ne sont pas altérées par la substitution (2). Pour l'objet que nous poursuivons, il nous est donc loisible de nous servir de cette substitution pour ramener à certaines formes particulières toutes les équations (i) qui se déduisent l'une de l'autre par une telle substitution. Une fois connues

les propriétés d'une équation ainsi réduite, il est aisé d'en déduire les P. 18

l38 p. PAINLEVÉ.

propriétés des équations qui lui correspondent par la transformation (2) la plus générale. Nous sommes ainsi conduit à étudier les simplifications que peut apporter dans une équation (1) la substitution (2). Écrivons d'abord l'équation (i)' sans rien supposer sur les coefficients h,h^,k, *,, ç. Si [JL désigne le degré P, [x'celuide Q, cette équation est de la forme

{ky,^k,Y {ky,^k,)\^{i'[y,A^i)V

P' et Q' représentant des polynômes en y, de degré [jl et tx'; c'està-dire qu'on a, en appelant v le plus grand des nombres \k et pi' h- 2,

dy^ __ g j v^ H- g J-i y\-^ -h . . . + gp ^ ' ^ dx^~ W-j r""* -^ ^v-3 /'-' -H ... -h A^"

Les coefficients a^, b^^^ ne sont nuls que pour dés transformations (2)

particulières. Ils ne sauraient être nuls à la fois; autrement, P' et Q'

. P auraient un facteur commun, par suite, P et Q, et la fraction ^ ne serait pas irréductible.

Pour abréger, nous appellerons le nombre v degré du coefficient différentiel de (i), et nous dirons que deux équations (i) sont de la même classe, quand elles se correspondent par une substitution (2). Pour que deux équations soient de la même classe, il faut évidemment que leurs coefficients différentiels soient de même degré. Écrivons ces deux équations sous leur forme la plus générale

, dy, aiy\ 4- aj-i y\-' -h . . . -f- qj

^^ dx, ^i,^v-i^. .^^1

En effectuant sur (i) une substitution (2) quelconque, et en égalant les coefficients de l'équation ainsi obtenue à ceux de (i)', on a (2v — i) relations entre lesquelles on peut éliminer ç et les trois rapports des A, A,,*, i,;il reste ainsi(2v — 5) équations liant les coefficients de (i) et (i)' et qui sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations (i) et (i)' soient de la même classe.

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l3()

Les substitutions (2) forment un groupe : à ce groupe doivent correspondre des invariants, d'après la théorie générale de Sophus Lie. II est aisé, d'ailleurs, de s'en rendre compte dans ce cas particulier de la manière suivante :

Faisons d'abord j? = a?, dans la substitution (2). Pour une valeur donnée de /i, on peut alors éliminer, entre les (2v — i) relations dont nous venons de parler, les rapports des A, A, , k, k^. Les ( 2 v — 4) relations ainsi obtenues renferment les a,, bj, aj, bj et leurs dérivées; écrivons-les de façon que chacune d'elles contienne une des lettres a^, b] que ne contienne aucune autre.

Imaginons qu'on ait trouvé pour les équations (i) des formes canoniques telles qu'à toutes les équations d'une classe corresponde une équation canonique et une seule

Ay Y^ -h Ay-, Y^^* -^ . . . -4- Aq

les A/, By désignant des fonctions de X- Pour cela, nous disposons des quatre éléments arbitraires de la substitution (2), de façon que les A,, By vérifient quatre conditions convenablement choisies. Si (3) est Téquation réduite qui correspond a (i), les rapports des A/, By s'expriment en fonction des coefficients a^, bj,

et X est liée à x dans ces équations par la formule

'l* dépendant aussi des a/, bj et de leurs dérivées. D'autre part, si l'équation (i)' est de la même classe que l'équation (i), on a également

A/(X) ^ / , ,, da] dh\

avec

A/(X) / da\ dh] \

, / , , , da\ db) \

c'est-à-dire que les expressions F,,y et ^ sont des invariants. Ces in

î4o p. PAINLEVÉ.

invariants ne sont pas distincts, puisque les (2/1 — 1) rapports^

sont liés par quatre relations. Nous mettons donc ainsi en évidence (2/z — 4) quantités que n'altère pas le changement des a^, bj, a? en a\, bj, x^. Pour que les équations (i) et (i)' soient delà même classe, il faut et il suffit qu*il existe une fonction .r = (p(^,) vérifiant ces {in — 4) conditions d'invariance. 11 en résulte que les (2/1 — 4) invariants ainsi formés sont distincts : sinon il faudrait moins de (2/1 — 5) conditions pour exprimer que (i) et (1)' se correspondent. D'autre part, un invariant quelconque s'exprimera en fonction des précédents ot do leurs dérivées : sinon {in — 4) conditions au moins seraient nécessaires pour que (i) et (i)' fussent de la même classe. On le voit d'ailleurs directement en prenant l'équation sous la forme canonique :

un invariant quelconque est une fonction des A/, By, -^y ••• et, par

suite, une fonction des (2/1 — 4) invariants considérés.

Cherchons donc à déterminer de telles formes canoniques des équations (i). On peut, par exemple, procéder ainsi :

Mettonsen évidence dans l'équation (i) les (v -— 2)racines, simples ou confondues, du dénominateur Q[v, (^)].

Soit a la racine d'ordre de multiplicité le plus élevé de Q; y est un polynôme en y de degré v — X — 2,

Posons d'abord

11 vient

Les Ci, Yy se calculent sans peine à l'aide dcs«/,6y. Si P(a), P' (a), ..., y (a), 9'(a), ... représentent les polynômes P et y et leurs dérivées

Sun LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. I . * l

par rapport à j, oii l'on fait j^ = a, on a

C, = ^7 :P'"'(«). C, = î PM«)

On peut remarquer que Co = — «v. et que y^ = 1 5 'es coefficients c^, Yv>-2 sont tous deux différents de zéro.

Introduisons maintenant le changement de fonction

et déterminons A de façon qu'au numérateur de ^- ne figure pas de terme en f'\ il faut pour cela et il suffit que

et l'équation en / s'écrit

Les di, 8j s'expriment à l'aide des c,, y^ de la façon suivante : rf.= S(A)-A'T(A), .... rf,v-).-„- " <^) ^* (^'

a. = T(A), d.= ^\ ..., oV}.-i= , , ,' , T->-'(A):^y.; -, ,.

Faisons alors le nouveau changement de fonction

t ^ BY,

l42 p. PAINLEVÉ.

et déterminons B de façon qu'au numérateur de l'équation en Y, Y' ne figure pas de terme en Y^~^~\ c'est-à-dire, prenons

B^ flfy-X-l

B ^ ôv x>, ou

on a

^ Dy Y>^ 4- Dy-t Y"-» -h . . . + Dy-x Y^-^ -^ Dy-x-î Y>-^-« -4- . . . + D

avec

Dy =r BVy, . . . , Dy-Xr= B^" ^C^fy^X),

Dy x-, = B^-^-»(Bâ?y x-2- B'dy X-8),

D, = B^,-A'do, Do = flfo

Ay x j = ôy x i.B^-^-S . . . , Ao = ôo .B.

Introduisons enfin le changement de variable a? = ç(X), et cherchons a rendre égaux les coefficients des termes de degré le plus

élevé au numérateur et au dénominateur de j^; il faut pour cela et il

suffit que

^^^ Dy(a7)

Ay X-2(a:)

cette relation peut encore s'écrire

d\ = -^^^— B>'-^» dxzzz- 54^ B^* e^'-o ^-^~' t/^. yv-X-î 7 (a)

Ce changement de variable ramène Téquation à la forme

. dY __ JyY^-+-Jy-»Y^-»4-. . .-^-Jy-XY^-^H-Jy-X-iY^-^-'-f-. ■ . -t- Jp g[Y,(X)]

^ ^ ^X~ ly>x-îY^-^-*H-...4-Io ■"t[Y,(X)]"

Dans cette équation, le dénominateur est d'un degré inférieur au moins de trois unités au degré du numérateur; il ne renferme aucune racine de multiplicité supérieure à X. Au numérateur, les termes de degré v— r etv — X — i sont déficients. Enfin les coefficients des

termes de degré le plus élevé» au numérateur et au dénominateur, sont égaux.

Toutes les équations de la même classe sont susceptibles d'être ramenées à la même équation canonique (5); mais cette réduction est possible d'une infinité de manières; autrement dit, une infinité d'équations (5) appartiennent à la même classe. Tout d'abord, la racine a une fois choisie, les transformations mêmes que nous avons employées

montrent qu'on peut remplacer Y par rr^ et X par B^^* (X, -+- A), sans

changer la forme de l'équation (5); Bq et h sont des constantes. Cette substitution est d'ailleurs, parmi les substitutions

la plus générale qui jouisse de cette propriété. Pour le voir, il suffit d'opérer cette substitution et d'exprimer que Jv-.| est nul (ce qui donne

A, = o), que Jv x-i ^st nul [ce qui donne k = const. = ^\ enfin que

,^ ^ = I [ce qui donne X = Bj"^*(X, -h A)].

Cherchons maintenant les substitutions (2) les plus générales

susceptibles de faire correspondre l'équation (1) à une équation (H). Ceci ne peut avoir lieu, comme on l'aperçoit aussitôt, que si C est racine d'ordre X de l'équation Q [y (^ï?)] = o. Une fois cette racine choisie, soit C = a, si l'on pose

il vient

et la réduction n'est plus possible que de la manière que nous avons ïndiquée.

Si donc m désigne le nombre des racines a d'ordre X que renferme Q, il existera m formes distinctes de l'équation (5), correspon-

l44 P* PAINLEVÉ.

(lant à l'équation (i), et chacune d'elles dépend de deux constantes arbitraires, Bq et h. Les coefficients J et I sont des fonctions à m valeurs des coefficients a/, bj de leurs dérivées et de deux constantes, et ces

fonctions, ainsi que ^> sont des invariants de la substitution (2).

D'une raaniëre plus précise, ces quantités sont racines d'une équation d'ordre m, dont les coefficients dépendent rationnellement des a/, bj^

~y etc., et aussi de deux constantes Bq et h. Si l'on donne aux constantes Bo et h des valeurs particulières, et qu'on ren^place les a,, bj ei X \\Sir les al , bj et X ^ , ces coefficients gardent la même valeur, à condition de donner aux constantes des valeurs convenables.

Pour que deux équations (i) et (i)' soient de la même classe, il faut et il suffit que toutes leurs formes réduites coïncident. Il suffit» pour cela, qu'une des formes réduites de (i) coïncide avec une des formes réduites de (i)'. Ceci revient à dire que les relations

Ja ( . . . , «i , . , ,f bjf . . . , -z— > • • • j =r. J;^. ( . . . , a J , , . ., bj, . . . , nr-^ > • • • 1 » I / *. ^^r \ 1 / 1 11 ^^i \

sont vérifiées identiquement par une certaine fonction

I Ces relations sont au nombre de 2/2 — 4 dans le cas le plus général où X = i; si X est quelconque, il faut ajouter à ces (2v — 3 — X) conditions les (X — i) conditions exprimant que Q' a une racine d'ordre X, comme Q].

Nous obtenons ainsi pour les équations (1) des formes canoniques absolument analogues à celles qu'a introduites M. Appell dans l'étude (le la transformation

(G) /=/<('3r,)7,4-Ai(x,), x=:(p{jr,).

f!' équation de Riccati est la seule qui ne soit pas susceptible d'être

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l45

ramenée à une forme telle que (5). On peut, et d'une infinité de manières, la réduire par une substitution (2) à l'équation

mais la détermination d'une quelconque de ces substitutions nécessite la connaissance d'une intégrale particulière de l'équation. Pour s'en rendre compte, il suffit de se rappeler que l'intégrale générale est donnée par la formule

ky -\- ki

= const.

Pour toutes les valeurs de v supérieures k 2, le procédé de réduction que nous avons indiqué s'applique. Soit v = 3, par exemple. L'équation la plus générale est

, rr, y* 4- g, y* -H . . . -f- g»

si b^ n'est pas nul, on l'écrit

et, en posant

il vient

avec

5 — Cj 5 ~r~ «5 Cj 5 ~r~ o Ci Z "t~ Cq y

3ci = — 3 a, a — 2t7j,

Cq=: — «j.

Si 6, est nul, cette première réduction se trouve faite d'elle-même. En suivant alors la même marche que plus haut, on ramène l'équation

à la forme canonique

l46 p. PAINLEVÉ.

S ayant la valeur suivante, déjà calculée par M. AppelU

et X est liée à x par la formule

dx.

J et X sont deux invariants de l'équation (7). On voit qu'ils s'expriment en fonction des a,, bj et de leurs dérivées premières et secondes. Si l'on désigne par J^, X, ce que deviennent ces invariants quand on y remplace a,-, 6y, x par a^!, èj, a;,, la condition nécessaire et suffisante pour que deux équations (7) soient de la même classe est qu'il existe une fonction x = 9(0?,) vérifiant les deux identités

Cet invariant J a été déjà rencontré par M. Robert Liouville dans ses travaux sur l'équation (7).

Considérons de même le cas de v = 4»

Les formes de réduction seront différentes suivant que le dénominateur a, ou non, ses racines distinctes. Dans la première hypothèse, l'équation canonique s'écrit

dans la seconde

Y^-Io

Jq.

Les invariants J et I se calculent aussitôt à l'aide des formules générales que nous avons établies précédemment. Nous nous dispenserons d'écrire^es égalités, dont l'établissement ne présente ni difficulté

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l47

ni intérêt. Le plus simple est, dans chaque exemple particulier, de former directement ces invariants, en suivant la marche ordinaire de la réduction.

Citons encore les équations canoniques, qui correspondent aux valeurs de V,

Pour V = 5, il existe trois types d'équations canoniques, suivant que le dénominateur de y n'a que des racines simples, ou admet soit une racine double, soit une racine triple. Ces trois types sont

Y'-^J,Y'-hJ,Y-^Jo ~ Y*4-l,Y + lo '

Y»-hJ,Y» + J,YH-Jo

^~ yTT^ '

Y'=Y»-+-J3Y»-hJ,Y»-hJo.

Pour V = 6, les formes réduites sont les suivantes :

y, Y«-hJ,Y»-hJ,Y'-hJ.Y-hJo "" Y»-hl,Y«-hliY + lo

Y, Y'-hJ^Y^-^J^Y'-hJ^Y-^Jp ^ ^ Y*H-liY-hlc

v,__Y«4-J*Y*-hJ,Y»H-J,Y-hJ«

Y'^Y«-^J,Y*4-J3Y»^J,Y«-hJo.

3. On peut se servir de ces équations canoniques et des invariants 1 et J pour reconnaître les équations (0, qu'une substitution (2) ramène à des formes intégrables. Mais ceci nous entraînerait hors du

sujet. Remarquons d'ailleurs que, la substitution ^ = a -f- - une fois

effectuée, nous ne faisons plus subir à y que des transformations linéaires, et Je renvoie au Mémoire déjà cité de M. Appel! pour le développement des propriétés de cette transformation.

Il convient de signaler toutefois une classe d'équations qui joue un rôle particulier vis-à-vis de la transformation (2) : Je veux parler des

l48 p. PAINLEVÉ.

équations (i) qui admettent un groupe infinitésimal de transformations (2).

On connaît un grand nombre de telles équations : les équations homogënes» les équations a coefficients constants, l'équation de Biccati. Pour cette dernière, en effet, l'intégrale générale j^ est donnée en fonction d'une intégrale particulière par l'égalité

et cette égalité définit une transformation (2) infinitésimale de l'équation en elle-même.

Nous allons nous servir des formes réduites (5) pour déterminer toutes les classes d'équations qui admettent un tel groupe de transformations. II nous suftit, pour cela, de trouver toutes les équations canoniques qui jouissent de cette propriété. Soit donc

/^HX)Y+A}(X)

^*^ /t»(X)Y4->ti(X)' ^*-* ^^^

deux substitutions du groupe qui transforme une équation (5) en elle-même. Ceci n'est possible, comme nous l'avons remarqué, que si

— y> — xf sont racines d'ordre X de t[Y, (X)]. Si les deux substitu-

tions sont deux substitutions voisines, -^ doit être égal à t7> et Y^ est

lié à Y2 par la formule