Y, = HY,+ H

avec

X, = x(XO.

Il en résulte que l'équation (5) reste inaltérée pour un tel groupe de transformations. Mais les seules substitutions (2)' qui conservent à (5) sa forme sont, comme nous l'avons démontré,

Y=Xi, X = B^»(XiH-A).

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l49

Les coefficients l/„}i deviennent, après cette substitution.

Ji(X,) = BïJ,[B^'(X, + A)], U x-, (X.) = B.Iv-x-, [B^' (X, + A)],

li=Br^-«Io[B^HXi+A)].

Par hypothèse, ces coefficients doivent rester les mêmes quand on remplace B^ et h par des constantes qui satisfont a une certaine relation. Cette relation peut être résolue, par rapport à h,

Autrement, les I, S ne changeraient pas quand on remplace X par X + A, A étant quelconque, et Téquation serait à coefficients constants. Nous sommes conduit ainsi à chercher des fonctions 1, J qui satisfont à une relation fonctionnelle telle que

/(X) = Bf/[B^MX + A)], ou encore, en posant 3^"^*= C, y^— = y,

Soit

/(X) = tt, X = F(M).

L'équation fonctionnelle équivaut à la suivante :

d'où, en différentiant par rapport à u,

rfX

c'est-à-dire

du VC»/C»+«'

quel que soit C.

l5o p. PAINLEVÉ.

Laissons u constant (w = i par exemple) et faisons varier C; on voit que

Nous tirons de la

F {u)— au

et enfin

T (u)^=:au -ha'

a et ^ étant des constantes arbitraires. Cette fonction u satisfait en effet à Téquation

«(X) = C^«[C(X-hA)],

quel que soit C* si h vérifie la condition

U en résulte, pour les fonctions I et J, les valeurs

Jv l =(X — (3) ' «v-,,

Jo =(X — (3) "" ao,

Les a, a' désignent des constantes, ainsi que [3, qui est le même pour tous les I, J, puisque ceux-ci doivent rester invariants pour les mêmes transformations.

Dans ces conditions, l'équation (5) admet le groupe des substitutions

Y=^, XrrB>^>X,-+-(3(i-B>-»).

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l5t

Si nous posons l'équation

est telle que son coefficient différentiel ne change pas quand on y remplace Y par CY, $ par C$ : c'est donc une fonction homogène, de degré, zéro. La substitution

ramène l'équation à une équation dont les coefficients sont constants par rapport à Ç.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante : les équations (i) qui admettent un groupe infinitésimal de transformations (2) se ramènent, par une telle transformation, aux équations homogènes (ou aux équations à coefficients constants). Cette réduction s'opère à l'aide de quadratures.

L'équation de Riccati fait seule exception à ce théorème : on peut encore la ramener à l'équation homogène

mais cette réduction exige la connaissance d'une intégrale particulière de l'équation.

Ce point établi, proposons-nous de reconnaître si une équation (i) donnée numériquementcorrespond, par une transformation (2), à une équation (i/ également donnée. On vérifie s'il en est ainsi à l'aide d'opérations purement algébriques. Quant aux substitutions (2) ellesmêmes, il n'en saurait exister qu'un nombre fini, et, par suite, elles s'obtiennent algébriquement, à moins que les équations ne rentrent dans la classe exceptionnelle que nous venons d'étudier. Dans ce dernier cas, elles s'intègrent par quadratures si ce ne sont pas des équations de Riccati.

4. Les équations canoniques que nous avons introduites dans le paragraphe précédent sont commodes pour certains calculs, parce

1J2 P. PAINLEVE,

que trois termes sont nuls dans le coefficient différentiel. Mais elles présentent plusieurs désavantages : une infinité de ces formes réduites correspondent à la même classe d'équations

Les invariants qu'elles définissent dépendent de deux constantes arbitraires, introduites par les deux quadratures qui figurent dans la substitution

Supposons, par exemple, qu'on étudie une propriété qui soit caractéristique d'une classe d'équations (i). L'équation canonique de cette classe dépend de deux constantes arbitraires Bq et A, et cette propriété se traduit par des relations différentielles entre les I, J, X, dont l'intégrale générale comporte ces deux constantes. C'est ainsi (pour fixer les idées) qu'une infinité d'équations de la forme

appartiennent à la même classe, à savoir les équations

Une propriété, caractéristique d'une classe de ces équations, se traduira donc par une relation

J étant une fonction déterminée, ou encore par une équation différentielle

(3) /(^^^,,jj^o.

Cette équation est d'une forme particulière; elle reste inaltérée si l'on substitue -j^ k Y et (BjX-f- A) à X. Or, les expressions j^» -jr gardent la même valeur dans cette substitution; posons donc

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OU PREMIER ORDRE. ï53

et exprimons J' et V en u et i' dans (3); la relation résolue par rapport à ^ devient

elle doit rester la même si Ton change J en BJ J ; par suite, F est indépendant de J, et la relation (3) s'écrit

Si Ion pose J'^ = r, i" == t, 1 équation (3'), comme le remarque M. Appell, s'intègre par quadratures. On peut poser encore -.j = u; il vient

Les quantités -rp» *-rj> sont elles-mêmes des invariants des équations de la classe, et s'expriment sans constante ni quadrature à l'aide des coefficients de ces équations. La propriété caractéristique de la classe se traduit par une relation en termes finis entre ces deux invariants. Cette relation connue, l'équation canonique s'obtient par deux quadratures.

N'est-il pas possible de trouver des formes réduites où n'interviennent que des quantités telles que ces deux derniers invariants, qui ne comportent, par conséquent, ni constantes ni intégrations? 11 suffit pour cela de définir des équations canoniques telles que la réduction d'une équation donnée à la forme canonique ne se puisse effectuer que d'une seule façon (ou d'un nombre fini de façons). Les équations canoniques d'une classe donnée seront, par le fait même, en nombre fini : la réduction s'opérera algébriquement.

Ces nouvelles formes réduites présenteront un autre avantage. Quand on a reconnu qu'une des équations canoniques introduites plus haut jouit d'une certaine propriété, par exemple est intégrable, on ne peut revenir a l'équation primitive (i) que par deux quadratures, qui souvent sont inutiles et s'éliminent dans le calcul. Par exemple, nous avons montré que les éfjuations (i), qui admettent un groupe continu de substitutions (2), se ramènent, par deux quadratures, à une équa- P. 20

l54 P« PAINLEVÉ.

lion à coefficients constants. Leur intégration semble donc entraîner trois quadratures; en réalité, deux suffisent dans tous les cas, comme nous le verrons plus loin.

De même, cherchons à reconnaître sur une équsition canonique (5 ), si l'intégrale générale n'admet que n valeurs autour des points critiques mobiles. Quand il en est ainsi, l'équation se ramène a une équation de Riccati. Mais, si nous repassons à l'équation (i) primitive, nous obtenons les coefficients de l'équation de Riccati correspondante à l'aide de deux quadratures. Or, nous savons que ces coefficients se calculent algébriquement. Ces exemples suffisent à mettre en évidence la nécessité d'éliminer ces quadratures parasites et justifient l'introduction des nouvelles formes canoniques.

De telles formes se peuvent définir d'une infinité de manières. Nous choisirons la suivante, dont l'utilité apparaîtra quand nous traiterons les problèmes que nous avons en vue dans ce Chapitre.

Ainsi que nous l'avons déjà remarqué, si les deux équations

sont de la même classe, les valeurs de y et de y^ qui rendent infinies y- et -7-^ y se correspondent par la substitution

(iCtte substitution conserve le nombre et la multiplicité des racines

des équations Q = o, Q, = o. Dans le cas particulier où — ~ est uiie

racine d'ordre X de Q,, une racine de Q d'ordre de A est infinie : Q est de degré v — X — 2.

Ceci posé, nous décomposerons les équations (i) en trois groupes :

Premier groupe. — Le dénominateur Q, de degré v — 2, a au moins trois racines distinctes.

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l55

Servons-nous de la transformation

/t(^)YH-A,

(le façon que les valeurs do Y qui correspondent à trois racines a, a,, a^ de Q soient trois constantes arbitrairement choisies, X), o et i, par exemple. Il suffit pour cela de faire

Il 1 t ^1 ^t — ^

A" aj — oci

Nous choisissons pour a, a«, cc^ les trois racines d'ordre de multiplicité le plus élevé

A — Aj 1 Aj-- Aj.

L'équation (i) devient

dY -., , Y^-hCvY^-^-h...-hCo

dx ' ^Y^.(Y— i)^.(Y^''-^-^«"^«-*^-h...-hyyY>H-...-hyo)

Supposons d'abord que tous les c,, Yy "^ soient pas des constantes, et soit C(a7) la première des quantités

^v-i» ^v— î> •••♦ ^0» y(v-x-x,— Xt— 3)» •••> yo

qui dépende de x. En posant Ç*{oc) = X, on ramené l'équation à une des formes

d\~ ^ ^ Y^(Y-i)^»(Yt^-^-V>.-»)4-...-+-I,Y-hIo)

(4) { ou

^ ^ p^ (Y^-hKv,,Yv-^-^...4-K,Y-hKo)

ûTX ^ ^YX,(V-i)^(Y(^-''^-^.-^-*)-h...-^L/H-iY'-^^4-XY'H-I/,Y^-»-h...4-Io)

Les K, L sont des constantes, les P, J, I des fonctions de X. Tous ces coefficients, ainsi que X = C(a?), s'expriment algébriquement à

l'aide des a/, ay, -^, ••• et sont autant d'invariants de l'équation (i). Pour que deux équations soient de la même classe, il faut et il suffit

l56 p. PAIN LEVÉ.

qu'elles soient réductibles à la même forme (4). Si Ton vent encore, il faut et il suffit qu'il existe une fonction x = ^(.t^) satisfaisant aux identités obtenues en égalant les invariants de (i) et de(f'), invariants mis en évidence sur l'équation (4). Dans le cas où A = X, = Xa = i , ces invariants sont au nombre de 2v — 4» d'où 2v — 4 identités. Si A, A,, Xa sont quelconques, il faut joindre à ces (2v — i — X — X, — X^) conditions les (X -f- X, -f- Xo — 3) conditions qui expriment que Q, a, comme Q, trois racines d'ordre X, X,, Xo respectivement.

La réduction à la forme (4) n'est évidemment possible que d'un nombre fini de manières. Si m désigne le nombre des combinaisons de trois racines de Q, a,-, a^^, a^, telles que a, soit d'ordre X, a^ d'ordre X,, a/ d'ordre Xa, à la classe d'équations (i) considérée correspondent m équations canoniques (4). Les invariants (K, L, I, J, P, X) sont

des fonctions algébriques à w valeurs des a,, ay, y-S — Ce sont les

racines d'une équation de degré m, dont les coefficients dépendent ra-

tionnellement des a.-, a,, -j-^> •••» et définissent les invariants absolus

de l'équation (i).

C'est ainsi, par exemple, que les équations

se ramènent à des équations de la forme

^/V ,^ ^, Y5-f.K,Y*-h\Y»-hJ,V^-h... + Jo

ou enfin

Les coefficients de ces équations se calculent aisément à l'aide des rt/, ay. A une classe de telles équations correspondent six formes réduites (4).

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l5']

Les équations (4) ne sauraient admettre de groupe continu de transformation (2); autrement la réduction de (i) à une forme (4) s'effectuerait d'une infinité de manières.

Mais celte réduction suppose que dans l'équation en Y et .r les coefficients r,, Yy ne soient pas tous constants. Si l'on se trouve dans ce cas exceptionnel, en posant

on ramène l'équation à avoir ses coefficients constants.

Ceci nous montre que l'équation (1) admet alors un groupe continu de substitutions (2), et, de plus, qu'elle s'intègre à l'aide de deux quadratures portant respectivement sur une fonction de x et une fonction de Y.

Deuviéme groupe. — Le dénominateur Q[7, (^)] n'a que deux racines distinctes

v'— ^ J (X-|-Ai = v — 2, A^A,).

En posant

on ramène l'équation à la suivante

7t' yv

Co est différent de zéro. Faisons ensuite

et déterminons A de façon que, dans la nouvelle équation, le coefficient de Y^ soit égal au terme constant du numérafeur; il sufBt pour cela que

L'équation ainsi obtenue s'écrit

l58 p. PAINLEVÉ.

Soit C(x) le premier des coefficients

qui dépende de x. Si l'on fait X = C(.r), il vient

les K désignant des constantes, les J des fonctions de X. Ces quantités, ainsi que P et X(a;), sont des invariants de (i). C'est ainsi que Téquation

se ramène à l'une des équations

^ __p.^. Y*-4-\Y*-+-J,Y«-hJ,Y-+-i

ou enfin

De même, l'équation

, «5 Y^ 4- ai, r* 4- «:, v' H- «2 V* -h ^1 . V -f- <7„

correspondra à l'une des formes canoniques

d\ __p (Y--i-XY*4-J3Y^4-...4-J,Y-hi)