BY

B étant choisi de façon que le coefficient de Y' dans la nouvelle équa tion soit égal au coefficient de Y^; il suffit de prendre

à moins que / ne soit égal à i, auquel cas B doit vérifier l'égalité

-B-hMB^,=z:MB\

l6o p. PAINLEVÉ.

Faisons «égal au plus petit des indices autres que i, pour lesquels di n'est pas nul. L'équation est ainsi réduite à une des formes

^ :=. N(^) (Y^-h Dv-,\'^-^H-. . .-h I)| Y -f- I)

(6) { ou

dx

= N(jc) (Y^-h l)v--2Y^-'-+-. . . -h Y' -h I), Y).

Ceci suppose que l'équation en t n'appartient pas à la classe

Cette dernière équation s'intègre, comme on sait, à l'aide de deux quadratures, effectuées successivement sur des fonctions de x\ lille admet un groupe continu de substitutions (2).

Laissons de côté ce cas particulier et revenons aux équations (G ). Si tous les coefficients Dy sont des constantes, Téquation se ramène comme précédemment à une équation dont les coefficients sont constants. Sinon, soit C(.r) le premier des coefficients

qui dépende de x. En faisant X = C(ar), Téquation (i) se trouve ramenée a la forme canonique

■ % =P(X)(Y» + Kv-,Y^'-« + ...+ Ky+,Y>*-' + XY^ + Jy,\v-'-4-... + .I,Y + i)

ou

(7) { ^=P(X)(Y^+Kv,Y^-'-f-... + Ky^,Y>+'+XY/ + J,,Y^-'+ Y +J,Y).

' Cl /^

ou enfin dY

= P(X) (Y^-4- Kv-,Y^-2-h. . . -H K,^,Y'-^»-h Y'H- \Y),

LesK, J, P, X(a?) sont des invariants; les K désignent des constantes.

Par exemple, l'équation

correspond à la forme canonique

(8) J^=P(X)(Y»-4-XY-4-i),

à moins toutefois» qu'elle n'appartienne aux types exceptionnels

JÏ=N(a.)(Y» + KY+i).

(^=N(.)(Y«H-rf.Y)

(K désigne une constante, rf, une fonction de a;). Comparons ces équations à la forme réduite