Reprenons, en premier lieu, l'étude des équations

dont l'intégrale générale ne prend que deux valeurs autour des points critiques mobiles.

L'intégrale s'écrit

7*-f-(ayo-l-?)-H-yo=o,

et l'équation (i), qui lui correspond, a son coefficient difl*érentiel de degré v = 4 ou v = 3.

Soit d'abord v = 4- Le dénominateur Q a ses deux racines distinctes; car si 7 = a est racine double de Q, trois valeurs d'une intégrale particulière deviennent égales ensemble à a, ce qui est impossible dans le cas actuel. D'une manière générale, quand l'intégrale d'une équation (i) ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles y l'ordre de multiplicité des racines de Q est au plus égal à /^ — i .

Ramenons donc d'abord l'équation (i) a la forme

l'intégrale vérifie alors l'équation avec

/iziMy«-+-Ny-hP,

c'est-a-dire que l'équation (i)' doit coïncider avec la suivante

2 jy'= M/* 4- N^' -h P.

178 p. PAINLEVÉ.

Cette équation, ramenée à la forme canonique de seconde espèce,

devient

dY A(X)(Y^-}-XY^H-i) ^X ~ Y

Pour qu'une équation (1) (v = 4) soit de la classe considérée, il faut et il suffit que, dans sa forme réduite

^Y A(X)(Y^-f-J,Y^-HXY^-^J^Y-f-i) d\ ~ Y '

les invariants J, et J, soient nuls. Signalons le cas particulier où le coefficient J.^ de Y^ serait indépendant de œ; l'équation correspondante

dY __ A(.r)(Y^4-CY*-M) dx '" Y

s'intègre par deux quadratures.

Passons aux équations v = 3. On ramène d'abord Téquation considérée à la suivante

et son intégrale s'écrit

Posons

rintégrale prend la forme

avec

-/-:3M/-hNy4-P.

L'équation en z s'écrit donc

et pour que v = 3, il faut que le second membre soit divisible par z (donc que P soit nul), ou encore que M soit nul : le second cas se

ramène au premier en changeant z en -> et l'équation étudiée est de

l'espèce

équation que nous avons déjà signalée et qui s*intëgre par deux quadratures. Dans la forme canonique

qui lui correspond,

8. Voici donc traité, bien aisément, un exemple qui n'était pas exempt de difficulté avant l'introduction de la substitution (2). Abordons maintenant l'étude plus compliquée des équations (i) dont l'intégrale générale ne prend que trois valeurs autour des points critiques mobiles.

Le degré v du coefficient différentiel de (1) peut être alors égal à 3, 4, 5 ou G. Considérons, en premier lieu, le cas où v = G, les quatre racines du dénominateur Q étant distinctes.

Réduisons d'abord l'équation à la forme

,__ OeJ^t/jJ^-f- «4.1'*-}-. . .-+- a, J H- Oo

L'intégrale s'écrira ou

avec

y'=My*4- Ny -hP

(y dépend toujours de la constante d'intégration, sinon y ne renfermerait pas de constante).

Les fonctions A(a?), B(x) sont liées, de plus, par l'égalité

AB-4-2(A-hB)-h3 = o,

qui exprime que j^ = i est racine de Q. L'équation en y doit coïncider avec la suivante :

I 2By(7 — i)('jK-g'\/i=zMr«-h2MA7'^ + j*(MA^-hNB + B')