ALGÉBRIQUES
l. L'étude des transformations birationnelles des courbes algébriques ou des surfaces de Riemann a été l'objet, comme on sait, de travaux considérables. C'est Riemann qui, le premier, en a montré l'importance, et ses idées ont été développées depuis lors par un grand nombre de géomètres : Clebsch, MM. Nœther, F. Klein, etc.
Un des problèmes les plus intéressants qui se rattachent à cette étude consiste à former toutes les substitutions birationnelles qui transforment une courbe algébrique en elle-même ou en une autre courbe donnée. M. Scharwz (*) a montré que, si le genre p de la courbe est
(^) ScHWARz, Journal de Crclle, t. 87.
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 5l
supérieur à l*unité, il ne peut exister de telles substitutions dépendant d'un paramètre arbitraire. M. F. Klein a complété ce théorème, en indiquant que ces substitutions sont alors en nombre limité. Sa démonstration, qui repose sur les propriétés des groupes fuchsicns, se trouve développée dans un Mémoire de M. Poincaré (*), Mémoire qui renferme on même temps une application du théorème à l'intégration des équations diiïérentielles du premier ordre, dont l'intégrale générale n'a que des points critiques fixes. Plus récemment, M. Hurwitz (*) a étudié les groupes de substitutions birationnelles qui transforment en lui-même un domaine algébrique. Enfin, ces propositions ont été étendues par M E. Picard (') aux transformations birationnelles des surfaces.
Je me propose d'établir ici, au sujet des transformations simplement rationneUes des courbes algébriques, certains théorèmes qui correspondent aux précédents (*).
Soient
les équations de deux courbes indécomposables, la première de genre p et de degré n on z, la seconde de genre p' et de degré n' en s, .
Supposons qu'il existe une substitution rationnelle permettant de passer de (i) à (2) :
Les û/, bj désignent des fonctions rationnelles de j, et les fonctions o et 4* sont telles que le point ( j, z) parcourt la courbe (i) quand le point (y,, z^) parcourt la courbe (2). Autrement dit, à un point de (2) correspond rationnellement un point de (i), mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie.
En premier lieu, je dis que (^ et '^ ne peuvent renfermer algébrique-
(*) H. PoiNCARK) Sur un théorème de M, Fuchs {Acta mothematica^ t. Vil).
(*) Hi'RWiTZ, Nnchricftten von der Unherxitàt zu Gœtfingen, 20 avril 1887.
(') K. Picard, Théorie des fonctions algelfriques de deux variables {Jour nai de Mathématiques, 4" série, t. V; 1889).
(*) f^oir à ce sujet une Note Sur les transformations rationnelles des courbes algébriques {Comptes rendus de r Académie des Sciences, octobre 1887).
52 p. PAINLEVÉ.
ment un paramètre arbitraire t^ si le genre p de (i) est supérieur à r unité.
Pour le voir, il suffit de répéter le raisonnement par lequel M. E. Picard (* ) démontre le théorème de M. Schwarz.
Soit J|(y, 5) une intégrale abélienne de première espèce de la courbe (i)
Donnons au paramètre / une valeur quelconque, et remplaçons dans J,, y et z en fonction de j, et s^ d'après les équations (3). L'intégrale J, devient une intégrale de première espèce de la courbe (2)
A priori, les coefficients X^, X,, ..., X^ peuvent dépendre algébri- ^ quement de /, puisque 9 et ^ sont supposées fonctions algébriques de /; s'il en est ainsi, un au moins de ces coefficients devient infini pour une certaine valeur t^ de /. Laissons constants j^^, z^ dans le second membre de l'égalité (4) et faisons tendre t vers /q- Le point ( j, z) se déplace sur la courbe (i) et tend vers une position limite (y\ z'); par suite, le premier membre de l'équation (4) reste fini, puisque J/ est une intégrale de première espèce. Au contraire, le second membre . croît indéfiniment. Les Xy ne sauraient donc dépendre de t.
Nous avons dit toutefois que le second membre de (4) devait croître pour t = tQ indéfiniment. Il convient de le démontrer d'une manière plus précise.
Supposons que Xy soit infini pour/=:^o» d'ordre (Xy, et appelons [x le plus grand des nombres (Xy. On peut écrire le second membre de (4)
les Xy restant finis pour / = /^, et n'étant pas tous nuls.
( *) E. Picard, Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables {loc. cit.).
Donnons à y,, z^ des valeurs qui, pour 1 = 1^, n'annulent pas le
facteur de - Cela est toujours possible, sinon les p' intégrales
J' vérifieraient identiquement une relation linéaire et homogène k coefficients constants, et ne seraient pas indépendantes. Dans ces conditions, le second membre de (4) croit indéfiniment quand / tend vers /q.
D'après cela, nous pouvons écrire
[^O) —, — zr, "Jri»
et, de même, en considérant une seconde intégrale abélienne de première espèce J^^ de (i),
\K}} -p — Tîï "yi'
J s Tsj
(Dans ces égalités, les Ay, (Xy sont des constantes.) D'où, en divisant membre à membre,
Pi(y, z) ^ l,P\(y,, z,) -hl,P',{y,, z,) ^, . .-^Ip.P'piy,, z,)
Laissons fixe le point (j,, z^) et faisons varier t : le point ( r, z) décrit la courbe (i) et vérifie la relation
Pdy.^)-^à^Ay,z) = o,
oit h est une constante, ce qui est impossible, les deux polynômes P/, P^ correspondant à deux intégrales J distinctes.
Les substitutions rationnelles (3) ne sauraient donc renfermer algébriquement un paramètre arbitraire. c. q. f. d.
Cette proposition établie, nous allons examiner successivement les cas où le genre de la courbe (r) est nul, égal à l'unité, ou supérieur à l'unité.
Auparavant, je ferai la remarque suivante :
Quand on connaît une substitution rationnelle qui transforme une courbe donnée en elle-même, on peut en déduire d'autres qui jouissent de la même propriété.
d4 p- païnlevé.
Soit, en effet,
une telle substitution. Remplaçons dans les égalités (3) j, par ?(j2» ^2) et 5, par '|(j2, -2)» nous aurons
Quand le point (/a» ^2) parcourt la courbe (i), le point (j,, s,) et, par suite, le point (v.z) parcourent la même courbe. Les égalités (3)' définissent donc une transformation rationnelle de la courbe (i) en elle-même. On en obtiendra une nouvelle en remplaçant, dans les
équations (3)', y^ et -2 P^"* ?( Ja» ^3)» I^Cja» ^3)» ^" trouve ainsi
un nombre indéfini de transformations, à moins qu'on n'arrive à la transformation
Plus généralement, supposons que la substitution (3) permette de passer de la courbe (i) à la courbe (2). S'il existe une substitution
rationnelle
j = cT(Y,Z),
qui transforme la courbe (i) en elle-même, en remplaçant Y par ?(jo ^« ) et Z par ^(ji, 2,), on obtient une nouvelle substitution qui transforme (i) en (2).
De même, si la substitution
-*! = Xl ( * ï» ^i )
transforme la courbe (2) en elle-même, quand on remplace, dans les égalités (3), J4 par Gy,(Y4,Z,) et z, par )r4(Y,,Z,), la substitution transforme (i) en (2).
Toutes ces remarques sont analogues a des propositions connues de la théorie des transformations birationnelles. Mais il convient de signaler une différence importante : Etant donnés deux systèmes de
substitutions qui transforment la courbe (i) en la courbe (2), on peut toujours passer de l'une à l'autre par une transformation birationnelle qui transforme la courbe (i) ou la courbe (2) en elle-même. Ceci n'est plus vrai pour les transformations simplement rationnelles. Connaissant deux transformations rationnelles de la courbe (i) en la courbe (2), on n'en saurait déduire une transformation rationnelle de la courbe (i) [ou de la courbe (2)] en elle-même, à moins, toutefois, qu'une des transformations ne soit birationnelle.
J'ajoute que, si l'on étudie les transformations rationnelles d'une courbe en une autre, il est loisible d'effectuer sur les deux courbes une transformation birationnelle quelconque.
2. Cela posé, supposons d'abord que le genre ^ de la courbe (r) soit nul. On peut écrire
avec
gn h, k étant des fonctions rationnelles.
D'après les formules (3), t sera fonction rationnelle de^,,^^, et inversement, si / est une fonction rationnelle du point analytique (7m ^<)» les égalités (7) définissent une correspondance rationnelle entre les deux courbes.
On peut toujours passer d*une courbe de genre o à une courbe quelconque par une infinité de substitutions rationnelles ; ces substitutions dépendent d*une fonction rationnelle arbitraire du point (7^, :;,) de la seconde courbe.
Si la transformation est birationnelle, le genre de (2) est également nul; 7, et s, s'expriment rationnellement en /^ ; t doit être fonction rationnelle de /, et réciproquement, c'est-à-dire que
OLt
Passons maintenant au cas oii/i = i, et ramenons la courbe (i) k la forme
dO p. painlevé.
L'égalité (5) devient
' =H(7„si)û(r,.
La fonction de^,
doit vérifier Téquation (5'), et inversement, quand l'équation (5') admet une intégrale algébrique j(j,), qui s'exprime rationnellement en r^, 5^, cette intégrale <f{y^fS^) correspond à une transformation rationnelle de (i) en (2). Posons, en effet,
il vient
'^ étant rationnel enji, 5^.
Si l'équation (5') admet une telle intégrale, J]. a toutes ses périodes de la forme
m et n désignant deux entiers.
Inversement, si les périodes de J) se réduisent à deux, co et o)', la fonction elliptique snfi./, dont les périodes sont co et co', est une fonction rationnelle de (j,, z,), quand on y remplace /par J/(j4»-i), de même que en a/, dnfji/. Si donca;^ désigne le module de ces fonctions elliptiques, il existe une substitution rationnelle
qui permet de passer de la courbe
à la courbe (2) et qui vérifie l'équation
I dY
= H(j,,S|)rfj'i.
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 5j
Comparons cette équation à l'équation (5). Si elle admet une intégrale v rationnelle en 7,, 5,, en appelant a, p les périodes de l'intégrale
dr
on a
cj =ma -h /la', ûi)'= m'a' -h /l'a',
ce qui nous montre que Y est liée à j par l'égalité
qui définit une transformation d'ordre quelconque v des fonctions elliptiques : k^ est lié à x^ par la relation qui correspond à cette valeur de V.
Si l'équation (5') admet une intégrale algébrique en ^i, s^, on a
/wa -4- /la'
, m'a' -^ n! ad
r désignant un entier.
Posons donc
t y ^r sn -j TQ = sn/;
y] est une fonction rationnelle de j», 5, ; 7 est lié à yj par la relation qui donne sn- en fonction de sn/. Il suffit de multiplier par rie second membre de (5') pour que son intégrale soit rationnelle en y<, s,.
En définitive, pour que la courbe (2) soit la transformée rationnelle d'une courbe de genre (i), il faut et il suffit qu'une des intégrales J] de première espèce de la courbe (2) n'ait que deux périodes distinctes.
Pour que la courbe (2) soit la transformée rationnelle d'une courbe donnée (i) de genre i, il faut de plus que, parmi les intégrales J', à deux périodes, il en existe une dont les périodes co et o)' satisfassent à la condition
a /wci)4-/iû)'
(3 /n'co'-H/i'o)''' P. 8
58 p. PAINLEVÉ.
a et ^ sont les périodes de l'intégrale de première espèce de (i), w, 71, m', n' des entiers.
La question qui nous occupe ne diffère donc pas du problème de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques. Je renvoie, pour cette question, aux travaux bien connus de MM. Weierstrass, E. Picard, Poincaré, etc.
On peut décider algébriquement si la courbe (2) est une transformée d'ordre v d'une courbe de genre j : j'entends par transformation d'ordre v une transformation (3) telle qu'à tout point ( j, -) de (i) correspondent V points (/i.^i) de (2). Mais on ne sait pas, en général, déterminer une limite supérieure de v.
Le genre de (2) est au moins égal à i, puisque cette courbe possède une intégrale de première espèce. Si ^'= i, on peut ramener la courbe (2) à la forme
et l'équation (5') s'écrit
dy __ >v dy^
On retombe ainsi sur le problème de la transformation des fonctions elliptiques. Pour qu'on puisse passer rationnellement de (i) à (2), il faut et il suffit que k] vérifie une des équations modulaires relatives
Ceci a lieu en particulier si A = A, . 11 vient, en faisant X = - ,
on doit avoir
]uta)'-= m' (ù-\- n'(ù\
Si l'on pose
on trouve
