N(AB -+-!) + AB'- BA

7«(NA -}- PB*— A') -h 2PB7 -4- P.

l8o p. PAINLEVÉ,

D'où l'on conclut sans peine

2a$ 2 6^0 OC

avec les conditions

8«aJ 8a;'

dx\a^açi) «0 \ «« «0/ 4««î 4«j'

Les coefficients a,, a de l'équation (2) sont des invariants de l'équation la plus générale de la classe. Nous avons ainsi les (v — 2) = 4 conditions auxquelles doivent satisfaire les invariants de l'équation (i) (v = 6) pour que son intégrale ne prenne que trois valeurs autour des points critiques mobiles. Quand ces conditions sont réalisées, l'équation se ramène par la transformation

^-' Bj^ + i

à l'équation

A, B, M, N, P s'exprimant en fonction des invariants de (i) par les formules (4).

Si l'on veut ramener l'équation (2) à une forme canonique de seconde espèce, il convient de distinguer plusieurs cas.

Quand la quatrième racine a de Q dépend de x^ on pose

X = OL{x)y

et l'équation devient

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l8l

les J vérifient les relations obtenues en remplaçant dans les équa-

tions (o) a par X, a,- par (GJ,), ^ par ^^ -

Si a est une constante, les conditions (5) nous montrent que A et B sont constants.

L'équation (2) peut alors s'écrire

dy ___ 6( y' -4- CjY* -hb^y'^-h,. .-{- b^y- -h Ct boY H- ^0 ^

les b sont des fonctions de x, et a, c,, c^ des constantes qui vérifient les relations

Les deux autres relations (5) deviennent

CjaH ^— = —64,