A:=0 ou A

l82 p. PAINLEVÉ.

qui exprime que y = i est racine de Q: on peut donc poser

y = 27»— 3/-, el l'équation (2)' doit coïncider avec la suivante

(3)' 67(7--i)/=4Mj«— i2Mr»-f-9M>*4-2N7»— 3Ny«-+-P, ce qui exige qu'on ait

6ao

avec les conditions

(5)' «5=^ — 3^6=:: — 1^4, 3flrj-h2«j=0, /ï, = 0.

Quand ces dernières conditions sont remplies, l'équation se ramène

par la transformation

y HZ 27'— 37»

à l'équation

/=rMy*-hNy4-P.

Supposons enfin que Q ait deux racines doubles. Ramenons l'équation à la forme

L'intégrale est donnée par la formule

avec

y'=My'-hNyH-P.

L'équation considérée est donc de la forme

Nous avons énuméré ainsi toutes les équations qui répondent a la question et pour lesquelles v = 6. Soit maintenant v = 5 : si les trois racines de Q sont distinctes, on peut écrire ainsi l'équation donnée

^'^ ^- lU^)

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l83

Son intégrale satisfait à la relation

avec la condition

AB-h-2(A-+-B)-f-3 = o.

L'équation (6) doit donc coïncider avec Téquation (3) calculée précédemment, ce qui ne peut avoir lieu que si (y — a) est en facteur dans les deux membres de (3). S'il en est ainsi, on a

a^— 6,— (xb^,

et les coefficients a,- satisfont aux relations (5). La première donne

— — ce 9

c'est-à-dire

En remplaçant dans les trois dernières a et les a/ par leurs valeurs en fonction des bj, on a les trois conditions nécessaires et suffisantes auxquelles sont assujettis les coefficients invariants de (G) pour que l'intégrale soit de la forme voulue. Je me dispense d'écrire ces conditions, qui sont sans intérêt. Deux de ces conditions sont d'espèce différentielle, et renferment l'une la dérivée de

l'autre la dérivée de

a^a^ " (bo-hbi)(bi-hb^)'

l84 p. PAINLEVÉ.

Quand ces conditions sont remplies, Inéquation (6) se ramène à l'équation

par la transformation

les A, B, M, N, P sont donnés par les formules (6) à l'aide des a,, a, par suite en fonction des B/.

Une remarque importante est la suivante : un calcul pénible vérifierait que 7 = a est une intégrale de (6); donc

Ba-h i

est une intégrale de l'équation de Riccati, et cette équation s'intègre par quadratures. Mais ceci est évident a priori : nous faisons

dans l'équation de Riccati; elle devient

Pour que soit une intégrale, il faut et il suffit que l'équation précédente soit

/if

vérifiée quand on y h\iy=y^\ or j = a annule à la fois -p et le second membre de cette équation ; donc

est une intégrale de l'équation de Riccati. C'est là d'ailleurs un fait que nous démontrerons tout à l'heure d'une manière générale. Nous l'avons rencontré déjà dans le cas particulier où w = 2, v = 3.

Admettons maintenant que, v restant égal à 5, Q ait une racine double. L'équation peut s'écrire

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRIL» l85

l'intégrale doit être de la forme

yzz: V*(V4-A).

Nous pourrons toujours changer r en — ^ Av et poser

y = v'(av~3).

Si l'on se reporte aux calculs faits pour le cas de v ;= 6, on voit que l'équation (6)' doit coïncider avec l'équation (3)', ce qui exige que (y — i) soit en facteur dans le second membre de (3)' et qu'on ait

Aux conditions (5)' correspondent alors les conditions

Quand elles sont remplies, la transformation ramène l'équation (6)' à l'équation de Riccati

L'équation (6)' admet l'intégrale 7 == i , et l'équation en (y) admet l'intégrale r = — 1.

Si T^ n'est pas une constante, l'équation (6)' se trouve ramenée ellemême aune forme qu'on peut regarder comme une forme canonique de seconde espèce. Il suffit de poser

l8G p. PAINLEVÉ.

et Téquation devient

(£( Ho(X) (I -h Yj- JtV'-+-J,Y ^-H ...-f- \V^ ) d\~ ■ V

Les J/, po, X sont des invariants Jiés par les relations

Si T^ est constant, Téquation se ramène à une équation dont les

coefficients sont constants.

Le cas où v = \ se traite sans plus de difficulté, en exprimant que les deux membres de l'équation (4) contiennent à la fois en facteur

y — I et y — -jTj et en ramenant ensuite Téquation à une forme canonique par une substitution

On connaît alors, en général, deux intégrales particulières de l'équation (i), qui, toutefois, peuvent se confondre dans certains cas. Mais je n'insiste pas davantage, pour ne pas multiplier les calculs, sur cette classe d'équations que nous étudierons tout à l'heure d'une autre façon, et je passe, pour terminer cette discussion, au cas oii v serait égal à 3.

Nous ramenons d'abord l'équation à la forme

Son intégrale s'écrit

j»-h Aj»-h (B — (>/) V -H y - o,

et nous pouvons toujours nous servir de la substitution

de façon que cette dernière équation devienne

et en posant C,(a-) = X on aura

avec

Ceci suppose, toutefois, B différent de zéro et C, fonction de x. Dans le cas où ces conditions ne seraient pas réalisées, on donnerait à y l'une des expressions

on y

^oJ-Hl

c^ désignant une constante.

Prenons d'abord le cas oii Ton a

et exprimons que Téquation

coïncide avec l'équation (i) donnée quand on y remplace y l>ar cette valeur. 11 faudra exprimer qu'un polynôme du sixième degré est divisible par un polynôme du troisième : d'où trois équations linéaires en M, N, F, dont les coefficients dépendent de X. Ces équations ne peuvent être indéterminées; sinon on pourrait disposer arbitrairement de l'invariant unique J de l'équation, et toutes les équations

par exemple, auraient leur intégrale de la forme cherchée, quelle que fût la fonction J(X). 11 en résulte qu'une seule valeur de M, N, P satisfait aux conditions précédentes; il n'existe donc qu'une équation (i) distincte qui soit de l'espèce cherchée, autrement dit toutes les équations qui répondent à la question se déduisent de l'une d'entre elles par une substitution

//Y -h A, ,vx

y-jx^i^^ -=?(X)

qu'on détermine par des opérations linéaires.

|88 p. PAINLEVÉ.

Pour ce qui est des cas où y est de la forme

on voit aussitôt qu'ils correspondent à une équation (i) de l'espèce

«0» ^0» ^0 étant des constantes.

Si donc l'équation (i) (v = 3) n'est pas de la classe d'une équation à coefficients constants, il suffit, pour voir si elle fait partie des équations cherchées, de reconnaître si elle se ramène à une de ces équations particulières, par exemple à l'équation

dont l'intégrale générale est donnée par l'égalité

(xy-\-i){y-'iy [{a- — 2) V -h i]-' = consl.

Ceci nous montre que (i) s'intègre alors algébriquement, ce qui était à prévoir, puisqu'on connaît trois intégrales particulières de l'équation. Ces trois intégrales ne sont pas distinctes quand (i) est de la classe d'une équation à coefficients constants; on reconnaît algébriquement si l'intégrale d'une telle équation

est une fonction à trois valeurs de X, et l'équation s'intègre alors par une quadrature.

On serait arrivé aux mêmes conclusions en se servant de la forme

réduite

de l'équation (i). En identifiant cette équation avec celle qui se déduit de l'équation de Riccati par la substitution

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l8c)

on trouve, si Ton élimine M, N, P, A, B, C, que J vérifie la relation

Une équation de cette forme définit, comme nous le savons, les invariants J d'une même classe d'équations (i) (v = 3). Elle s'intègre sans difficulté ainsi que l'équation en y correspondante. Si l'on ramenait par une substitution

l'équation à la forme canonique de seconde espèce

^ = A(X.)(Yî-^iY,-^.),

on trouverait

par suite, d'après (a).

L'équation cherchée est donc

Elle s'intègre algébriquement.

Cette réduction n'est impossible que si -^ est égal à une constante k, c'est-à-dire si l'équation se ramène à une équation à coefficients con-

stants. Cette constante doit être telle que -73=^ satisfasse à l'équa-

tion (a); il faut pour cela et il suffit que k soit égal à f^

T90 p. PAINLEVÉ.

9. Nous avons dit tout à Theure que, chaque fois que v n'était pas égal à 2/z, on connaissait sans intégration au moins une intégrale de Téquation (i) et par suite de Téquation de Riccali à laquelle elle se ramène. Le fait, comme nous l'avons remarqué dans l'exemple v = 5, /i = 3, est une conséquence même de la marche du calcul. Voici comment on peut le démontrer directement.

L'intégrale de (i) est donnée par une égalité

Y vérifie une équation

(?) /i:=My'-+-Ny-hP,

OÙ nous pouvons toujours supposer M 7^0, sinon on changerait j en -j et Y se changerait en -• Dans ces conditions, l'équation (P)', transformée de ([3) par la substitution (a)

a son second membre de degré 2w, et l'ordre «le son coefficient diflerentiel ne peut s'abaisser que si P et Q renferment au moins un facteur commun (y — cy. D'autre part, si ce facteur figure dans P à la puissance r, (r-h 1) valeurs de j deviennent égales à a, pour la valeur correspondante de y- Donnons k x une valeur quelconque; l'intégrale de (i) qui prend pour x la valeur c(x) n'admet ce point a? que comme point de ramification d'ordre r— y-hi, c'est-à-dire que les {r — q -\- i) branches de cette intégrale constituent toutes les fonctions de X qui satisfont à l'équation (i) et prennent en x la valeur c Mais, d'autre part, l'équation (a) définit (r-hi) fonctions de x qui jouissent de ces propriétés; ces (r-h i) fonctions coïncident donc avec les (r— 5^ -h i) précédentes; autrement dit, l'équation (a) se décompose. Mais, par hypothèse, l'équation (a) est irréductible, c'est-k-dire qu'elle ne se décompose que pour des valeurs exceptionnelles de la constante C. Donc y(^) correspond à une valeur invariable de C quand X varie;

est donc une intégrale de (i);

SLR LES ÉQUATIONS DIFFÊRRNTI ELLES Di: PREMIER ORDRE. 19 1

^«-iC^-'H-. . .4- ^iC 4- I

est une intégrale de (p) (*). c. o. f. n.

Donc chaque Tois que v ne sera pas égal à 'in, l'équation (i) s'intégrera par quadratures. On connaîtra même en général plusieurs intégrales de Téquation de Riccati. Cherchons d*abord à distinguer les cas 011 Ton n'en connaîtra qu'une seule.

Nous pouvons toujours adniettre que cotte intégrale soit j=(> [sinon on changerait y en y -^y^i^)] et que v = oo ne soit pas une intégrale; dans ces conditions, y dépend toujours de la constante C, et

nous avons

.r" 4- On- 1/'*" * ^: • 1^-^- ^xy-

Kn formant Téquation en y, on voit aussitôt que le coefficient de y' (de degré 2/1 — 2 au plus) contient en facteur j^~*, tandis que le second membre de l'équation est divisible par y^. Donc, si les deux membres n'ont pas d'autres facteurs communs, on a

'Â n — X -h I in V

ou encore

Comme X est au plus égal à/i, ce cas ne peut se présenter que si n est

inférieur ou au plus égal à v — 1 .

Passons aux équations (1) pour lesquelles on connaît seulement

deux intégrales particulières. Nous pouvons admettre que ces deux

intégrales soient

Si ces intégrales correspondent à deux valeurs de la constante C, y dé-

(') On peut rattacher coltc proposition au théorème déjà connu dEuicr : On obùeui une intéf^raie d'une équation du premier ordre en annulant son facteur intégrant. Voir le Mémoire de M. Darboux Sur les équations différentielles du premier ordre ( Bulletin des Sciences mathématiques, 1873).

192 p. PAINLEVÉ.

pend de C, et Ton a

bpyt* -h ... 4- I

{p<in — t), avec f- = N.

Si ces intégrales correspondent à la n)éme valeur de C, on peut poser

avec Y- = Ny, -h P, {p<in — i).

Dans les deux cas, on trouve

Toutes les équations qui n^appartiennent pas aux mêmes classes que ces équations que nous venons d'énumérer s'intègrent algébriquement. D'une manière générale, si y = oLi(œ) est une intégrale multiple d'ordre X/, on a

cette égalité est analogue à celle qu'a donnée M. Darboux pour les intégrales algébriques.

Appliquons rapidement ces remarques à l'exemple v = 4. /î = 3. On connaîtra en général deux intégrales de l'équation (i), soit r = o, y = 30. Si ces intégrales correspondent à deux valeurs de C, on a

donc

/[aBr'-h (AB -h 3)7 4- AJ

:^N7(7 4.A)(Br-+-i)-hB'j(r-+-A)-AXB7 4-i).

Comme on dispose encore du changement de fonction j = aj,, on peut supposer AB = — 1. D'autre part, si l'on prend comme forme

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. igS

canonique des équations (v = 4) la forme suivante

rfY ^,^,Y» + J,Y«-i-J,Y-i-J,

,^=MX)

O'^'-^-aT.)

(l'un des J étant égal à X), l'équation qui précède nous permet d'écrire aussitôt les conditions auxquelles sont assujettis ces invariants K, Jj, hfK' ^^ c^s où les deux intégrales j = o, y = qo correspondent à la même valeur de C se traite aussi aisément.

Pour que les racines du dénominateur soient égales, il faut que B et A (liés par la condition AB = — i) soient constants; l'équation se ramène alors par une quadrature aux équations à coefficients constants. La quadrature qui reste à effectuer doit être algébrique.

On formerait de même, à l'aide des égalités

By4-i

/=Ny4-P,

les types des équations v = 4» /i = 3, pour lesquelles les deux intégrales connues se confondent.

10. Je n'insiste pas davantage sur ces applications particulières. Elles suffisent à montrer comment l'introduction de la substitution

rend relativement faciles des calculs qui autrement seraient inextricables.

Cette transformation rend d'ailleurs les mêmes services quand l'équation (i), au lieu d'être résolue par rapport à y, est de genre/? quelconque.

Cherchons à reconnaître si l'intégrale de l'équation

ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, le genre u de la relation entre les constantes intégrales étant nul.

L'intégrale s'écrit alors

les P/ sont des polynômes en y de degré m (si /w est le degré de F en y), et la fonction y est définie par l'équation

/ = My*H-Ny4-P.

Le coefficient de la plus haute puissance de j' dans F est de degré V — 2/w, quand on fait subir à cette équation la transformation (3) la plus générale, v est le degré dix coefficient différentiel, par définition. Si le coefficient a une racine infinie d'ordre a, P^ et P^^, ont a facteurs communs en y. De même, si ce coefficient a une racine nulle d'ordre p, Po et P, ont p facteurs communs. Quand les coefficients de j^'", j"*"*, y"'^^ admettent la racine y = o, les polynômes P©, P,, Pa, . . . admettent un facteur commun, etc.

Par exemple, si /n'= 2 et /i = 2, on peut toujours se servir de la transformation (3) pour rendre nulle et infinie deux racines du coefficient dey. Dans ces conditions, l'intégrale s'écrira

Av-f-B .

OU bien

avec

/:=iMy«4-NyH-P.

Cette forme de l'intégrale se prête k des calculs assez simples. On* peut se rendre compte, avec elle, de la nature des équations les plus générales de cette espèce. Le degré de leur coefficient différentiel est au plus égal à 8, c'est-à-dire que leur équation s'écrit

A^, Ae, Ag désignant des polynômes en j de degré 4f 6, 8.

Quand l'équation (/w'= 2, /i = 2) est d'une forme plus simple, on connaît en général des intégrales particulières de l'équation de Riccati auxquelles on la ramène. Le raisonnement que nous avons em-

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. igS

ployé au paragraphe précédent est, en effet, susceptible d'extension. Toutefois, les choses se passent ici d'une façon plus compliquée, à cause de la double nature des points critiques de l'équation (i),

points où j- est infinie, et points où ^ est indéterminée. La recherche

de la limite inférieure de n, au delà de laquelle l'équation de Riccati s'intègre par quadratures, nécessite une discussion détaillée (*) qui nous entraînerait trop loin des équations rationnelles en y\ auxquelles nous bornerons ces applications.