OL

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 5g

OU bien

(b) m-hna — n^— ^^^ ^^ — . o.

Dans le cas général, a* -h P^ est incommensurable; l'égalité (a) exige que m' et n soient nuls, et Tégalité (b) que m = n' . On a alors

|ut 3z m =1 /i'

et on peut écrire

y =sn/,

y,= sn(mi -f- C){

y^ est donné en fonction de y et de v^(« — 7')(ï — ^*y ) P^^r les formules de multiplication et d*addition des fonctions elliptiques.

Dans le cas particulier où (a^-+-^*) est commensurable, il peut exister d'autres transformations de la courbe (i) en elle-même. On voit immédiatement que, si (a^-f- P^) et a sont deux nombres commensurables (autrement dit si a et ^^ sont commensurables), il existe une infinité de transformations rationnelles de la courbe (i) en elle-même; ces transformations correspondent aux valeurs des nombres m, /i, m\ n\ (jL obtenues de la manière suivante :

On pose

\2'1J étant irréductibles j > et on prend pour n un multiple quelconque des entiers rf, d' ( ou û?, - si rf'est pairV Appelons D le plus petit commun multiple de ces deux nombres; on a

nz=v])=z qd = q'd' ( OU ç'' — ) ;

on fait ensuite

m' = — qc

mz=i n' -h iq'c' (ou m = n' -^-q' c'y si d' est pair);

l'entier n' est choisi arbitrairement.

6o p. PATXLEVÉ.

Les nouvelles transformations dépendent de deux entiers arbitraires V et n! et se confondent avec les premières pour v = o. Cette classe exceptionnelle de courbes de genre i correspond aux fonctions elliptiques qui admettent la multiplication complexe.

En résumé, une courbe de genre {}) se laisse toujours transformer en elle-même rationnellement d'une infinité de manières. Ces transformations dépendent d' un paramétre C et d'un entier ^ arbitraires , Quand le module k^ de la courbe est un module singulier pour lequel les fonctions elliptiques admettent la multiplication complexe, ces transformations dépendent d'un second entier arbitraire.

Si la transformation est birationnelle, X = i, et la transformation ne dépend plus, comme on sait, que de la constante arbitraire C. On obtient toutes les transformations rationnelles de la courbe (i) en ellemême, en opérant la substitution birationnelle la plus générale sur toutes les substitutions rationnelles obtenues en laissant constant le paramètre C.

Ce point établi, supposons qu'on ait trouvé une transformation rationnelle de la courbe (i)en une courbe (2) de genre/?'. On peut en déduire une infinité d'autres qui dépendent d'un paramètre et d'un entier arbitraires, en se servant des transformations de (i) en ellemême. Dans certains cas, la substitution la plus générale qui transforme (i) en (2) renferme d'autres entiers arbitraires, mais elle ne saurait dépendre d'un second paramètre C continu.

Pour le voir, revenons à l'égalité

Les X, satisfont aux ip' égalités

XiCi)y-f-Xsa)î'"-+-. . .-hXpwjr=:/njpûL) 4- n^pC,}'.

Dans ces équations les co^î, ..., cof ' désignent les 2/1' périodes élémentaires de J^, les /W/, n, des entiers.

Admettons qu'on ait trouvé un système de nombres m,, ni pour lesquels les équations précédentes soient compatibles. Ces équations

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 6l

ne sont pas indéterminées, sinon on pourrait se donner arbitrairement au moins un des X, et les autres en dépendraient algébriquement, ce que nous savons absurde (*). D'autre part, les X,- une fois déterminés, Téquation (5') définit une transformation (3) qui ne contient que la constante C. C'est donc le seul paramètre continu qui figure dans la transformation la plus générale.

Nous arrivons ainsi aux conclusions suivantes :

On ne peut passer rationnellement, en général, d'une courbe de genre i à une courbe de genre p\ Une telle transformation, quand elle existe, dépend d'une seule constante et d'un entier ou de plusieurs entiers arbitraires {en nombre au plus égala 2/?').

3. J'ai insisté sur le cas de /? = i pour bien marquer les différences essentielles qui le distinguent du cas où/? est quelconque, que nous allons maintenant étudier.

Tout d'abord, /?' est au moins égal à/i, car les/? intégrales distinctes J/ de première espèce relatives à (i) se transforment en/? intégrales distinctes de première espèce de la courbe (2).

Si (JL désigne l'ordre de la transformation (3), il est même facile d'établir une relation entre (jl,/? et/?'.

Soient en effet m et m' les degrés des courbes (i) et (2), et considérons toutes les courbes C, de degré {m — 3), qui passent par les points doubles A de la courbe (i). Ces courbes adjointes ont pour équation

AiPi(7, 5)-+-A,P,(v, c)-h...-hApPp(7, :;) = o.

L'une quelconque de ces courbes se transforme par la substitution (3) en une courbe adjointe C de (2), ainsi qu'il résulte des tbéorèmes établis dans le premier paragraphe.

Une courbe C rencontre la courbe (i) en (2/? ~ 2) points, distincts des points A. D'autre part, à chaque point (7,, 5,) de (2) correspond

( » ) Ceci nous montre que le déterminant des coefficients des X est différent de zéro au moins pour un système de p' des équations précédentes : par exemple, pour celui des p' premières équations. [Autrement, d'ailleurs, il existerait des intégrales de première espèce J' de la courbe (2) sans périodes.] Une fois connus les a/?' entiers m^^ fix, . . ., /Wp», rip-^ les X sont donc déterminés. Il en résul e que la transformation (3) ne saurait dépendre de plus de 2/7' entiers arbitraires (en dehors du la constante C;.

62 p. PAINLEVÉ.

un seul point (j, s) de (i), sauf pour des points (y\ s') exceptionnels, et à chaque point (j, z) de (i) correspondent (jl points (j,, 5,), sauf pour des points (y\ z') exceptionnels. Choisissons donc une courbe C qui ne passe par aucun de ces points (y, 5') : aux (2/? — 2) points communs à C et à (i) correspondent (2/? — 2)(jl points communs à C et à (2). Ces points sont distincts; autrement» à un point (y,, s,) correspondraient plusieurs points (y, z); il en résulte qu'on doit avoir

(2/>— 2)|utz= 2/>' — 3, ou bien ix=z

Ceci nous montre, comme nous le savions déjà, que/? =// si (jl = i, mais aussi que la réciproque est vraie : toute substitution rationnelle qui transforme une courbe en une courbe de même genre est nécessairement birationneUe (^^).

De plus, si (/?'— i) est un nombre premier, la courbe (2) ne saurait être la transformée rationnelle que d'une courbe degenre 2. Si(/?'— i) admet des diviseurs, p — i doit être un de ces diviseurs. Enfin, (jl ne peut dépasser/?'— i.

Nous allons démontrer maintenant qu'il n'existe qu'un nombre fini de substitutions (3) permettant de passer de la courbe (i) à la courbe (2), quand/? est supérieur à i.

Nous savons en effet qu'une telle substitution vérifie l'égalité

V,(y.z) ^ lh^\(y,,z,) Pî(7, -) ifx,P;(7„5i)'

Cette équation, jointe a l'équation (i), détermine algébriquement j et z en fonction de Xi, z^. Par exemple, si on élimine 5, il reste une équation en j, y^, 5,; Quand on exprime qu'une racine de cette équation est fonction rationnelle du point y^, z^ de (2)

et qu'il en est de même de z, on obtient un certain nombre de conditions algébriques entre les X/, (jl/. Si ces relalions sont incompatibles, il n'existe pas de substitution (3) répondant à la question. Si elles

(*) Colle proposilion a déjà élé établie par Weber {Journal de Crelle, 1879).

sont compatibles et déterminées, il existe un nombre fini de telles transformations. D'autre part, elles ne peuvent être indéterminées; autrement, une infinité de substitutions, dépendant algébriquement d'un paramètre, transformeraient (i ) en (2).

La démonstration, ainsi présentée, ne comporte pas d'exception. Nous allons toutefois en indiquer une seconde, qui met en évidence quelques particularités intéressantes.

Parmi les courbes C adjointes à (i), choisissons-en deux qui aient, sur (i), un point commun et un seul. La chose est toujours possible quand (i) n'est pas hyperelliptique. C'est là un fait bien connu dont on se rend compte aisément ainsi :

Quand il n'existe pas deux courbes C répondant à la courbe imposée, c'est que toutes les courbes C passant par un point M< de (i) ont avec cette courbe au moins un second point commun N, (en dehors des points multiples A). Par suite, toutes les courbes C qui ont un point fixe M« sur la courbe (i) ont, par le fait même, un second point fixe N, sur cette courbe.

Assujettissons les courbes C à passer par (/? — 2) points fixes M,, M2, ..., M^,, pris sur (i) en dehors des points A. L'équation du faisceau de courbes ainsi obtenu est de la forme

et ces courbes ont sur (i) (p — q) autres points fixes, N|,N2, ..., N^-a- Quand / varie, le nombre des points variables de l'intersection de (1) et de (C) est

m {m — 3) — [(m — i){nt — 2) — ip -^ ip — 4] = 2.

Les coordonnées de ces deux points d'intersection sont données par des équations de la forme

5=^i(0-hAi(0v^TÛ7), avec cette condition

c'est-k-dire que la courbe (i) se ramène, par une transformation birationnelle, à la forme hyperelliptique.

6i p. PAINLEVÉ.

I n versement, quand ( i ) est de l'espèce hyperelliptique, deux courbes C n'ont jamais un point commun avec (i) sans en avoir un second.

II suffît de vérifier le fait, en supposant l'équation de (i) ramenée à la forme

les courbes C sont alors décomposables en droites

Supposons donc, en premier lieu, que la courbe (r) ne rentre pas dans cette classe exceptionnelle, et soient

les équations de deux courbes C qui ont sur la courbe (i) un point commun et un seul Mo ou (jo» ^o) (^'ï dehors des A). Ces deux équations peuvent s'écrire

P.(7»^)-Pi(/,^)=o,

P3(r»^)-Pi(7.^)=o,

P3, P2, P« étant linéairement indépendants. Comme nous l'avons démontré, la substitution (3) vérifie les égalités

g. ) Pi(j>5) ^iPi(/i>-i)-^-----+-^P'(ri»-i)'

' Pa(rt^) VlP'|(rn^l)-^--•-^-V(.rl>^^)

où les X/, [jL/, v^ sont des constantes convenablement choisies.

Pour toutes valeurs des jk«» ^i vérifiant l'équation (2), ces deux équations (8) doivent être compatibles avec l'équation (i). Si nous exprimons qu'il en est ainsi, nous formons un certain nombre de conditions algébriques auxquelles doivent satisfaire les X, [jl, v.

Pour tout système X, (jl, v (*) répondant à ces conditions, les équa-

( 1 ) Nous supposons écartées les solutions où

et aussi celles où les X, (i, v sont nuls.

tions (8) et(i) ont au moins une solution (y, s) commune. Ce point Vf z varie avecy,, 5,, sinon on aurait constamment

et les polynômes P^ vérifieraient une relation linéaire et homogène dont les coefficients (constants) ne seraient pas tous nuls.

D'autre part, les équations (8) cl (i) ne peuvent avoir, pour un point quelconque de (2) (y,, s,), plus d'une solution (^,5) commune, puisqu'elles n'ont qu'une solution commune pour les valeurs (y, , 5< ) qui correspondent à (jo^^o)-

Les valeurs (j, s) de cette solution commune s'expriment donc rationnellement en fonction de j,, z^,

J'ajoute que deux systèmes distincts de solutions X, [jl, v correspondent à deux transformations (3) distinctes. En disant que les deux systèmes (X, [jl, v), (X', (jl', v') sont distincts, j'entends que les X, [jl, v ne sont pas respectivement proportionnels aux X', (/.', v'.

En effet, si les deux substitutions (3) coïncidaient, on aurait

i\{y,z)dz ClhPAyu ^^)dz, C2X:p;( y., 3,) r/^.