LXX

Une pièce de bois (Jîg. 9) posée sur deux supports A et I étant chargée et courbée pour un poids Q placé en E, les fibres de la face inférieure ACI seront distendues, et celles de la face supérieure aci seront comprimées ; ainsi il existe dans l'intérieur de la pièce un faisceau de fibres qui ne sont ni ralongées ni raccourcies, et qui conservent leur longueur primitive. Prenons maintenant une seconde pièce du même bois, mais d'une plus grande épaisseur, supposons-la chargée en d'un poids E' qui produise la même extension des fibres inférieures et la même compression des fibres supérieures que dans la première pièce. Cela posé, représentons par ck = e'k*

( KX) )

I0 ) l'extension des fibres sur la face inférieure des pièces , et par ab — a!V la compression des fibres sur leur face supérieure. Des deux proportions

ek : Eb :: Ee : Ea, e'A':E'i' :: EV:EV,

on conclut, à cause de ab = e t de ke = ,

Ee : EV :: Ea : EV, Ée -f Ea = ea : EV + EV == e'a' :: Ee : EV ,

par conséquent, les fibres en E et E' qui n'éprouvent ni extension ni compression, sont situées à des distances proportionnelles aux épaisseurs totales des pièces; concevons les distances Ee, EV partagées en un même nombre de parties égales , les fibres passant par les points de division correspondans au même quantième, auront les mêmes extensions dans les deux pièces. .

Représentons par Eset et EVeV les sections transversales de la première et de la seconde pièce (J!g. 1 1 ); et soient omr, o'/nV deux fibres d'égale tension, de même que pnq et p'n'q'; il est évident que les forces élastiques des deux surfaces différentielles opqr, o'p'q'r' seront proportionnelles à ces surfaces, et que les momens de ces forces seront dans le rapport du produit

E/7i X or X wn,

au produit

les points £ et E' répondans dans les deux figures à s la fibre qui n'éprouve ni extension ni compression. Supposons qu'on prenne les ordonnées or, o'r des sections Eset, YJs'e't' proportionnelles à leurs ordonnées st ets't' correspondantes aux fibres d'extension et de compression nulle, de sorte que Ton ait

st : s't' :: or : o'r ;

on aura, à cause de la division des hauteurs Ee, EV en parties proportiounelles ,

E//i X rnn : E'm' X ni ni :: Ee* : EV»;

et comme cette proportion a lien pour toutes les fibres soit étendues soit comprimées dans les sections semblables, il s'ensuit que le moment statique de la force qui produit une tension égale dans les fibres de deux corps semblables, sont entre eux comme les produits de leurs largeurs par le carré de leurs épaisseurs. Ainsi cette proposition qui n'avait été démontrée par la théorie et l'expérience que pour des poutres parallélépipèdes, est également vraie pour des corps dont les fibres

«ont également tendues et dont les sections transversales sont semblables.