Hx

L’équation à laqueDe on parvient, dans la dernière hypothèse, savoir ;

offre, sous une forme nouvelle, une intégrale qui, suivant la remarque d'Euler, peut servir à en calculer un gi-and nombre d’autres.

Lorsque la fonction yzT, ) s’évanouit pour x = — « ,

quel que soit J, et pour y^<x>, quel que soit a;, alors, en posant

x,= — 00, Xaao, = 0, V=ite>,

on tire de l’équation (88)

- 4 . • P— oa ( Q •

On peut , de cette dernière formule, combinée avec l’équation (î) 4 )» déduire des résultats dignes de remarque. Supposons, par exemple.

r et a désignant deux quantités positives, dont la seconde soit inférieure à l’unité. Comme la fonction (p(j?) pourra être présentée sous la forme

iVr.y, {x-ry-y ' on tirera de l’équation (9.4)

•o (r+xv.)‘ "" (V-.)* ”

A[ étant une valeur particulière de la constante A. Au contraire , en présentant la fonction /(x) sous la forme

i-vzr.y i-a:+rvr,y’

on tirera de la formule (96)

■ dx :

— VTT y-- «Ptjvr;)

(r+xVZy (-yZiyJo J(r^)y^j'.-<(r + A",

A" étant une constante différente de A'. Si maintenant on ajoute les équations (97) et (98), en observant que les deux pro-

Kryr,)

■luits

ivr,y[{j-r)vz-,y, {-vz,y

se niduisent, pour y>r, aux expressions

(vz-,r(f—r, (- vzr ('—/)%

et pour y < r, h la seule quantité

]>uis, remplaçant par x — r, on trouvera (î.o) /"

{r+xvzy ,

[( vc)-” + ( - vzy- ] j;°°. ^ +A-4-A-'

= a sin «7T,^ *lîl[(r-^-a:)V~]f^J!^^-A'+A''■

l^n raisonnant de la même manière, et supposant /(*) =

<pC*)

(r4-ÆV,)" /(/-fxV-.)

on établirait la formule

(loo)

(p(jc).rfx

* (r+arvr;)' /('+xV“)

/'* •îrcos <nr -I- sin air . / ( ) ,, ^ , , ,

On pourrait construire encore un grand nombre de formules du même genre , parmi lesquelles nous indiquerons celle h laquelle on parvient quand on suppose

^ îlfZ

(r-f-jry-)* [/(r+xV~)]‘ '

«, h désignant deux quantités réelles dont la première est inférieure h l’unité.

Si, dans l'équation (99) , on pose successivement

"" (s—xvzy'

kxy-.

b, s désignant des quantités positives, les constantes A. A' s’évanouiront, et l’on obtiendra les formules

{r+xv^,y

dx =

= a6'~'e ‘'■r(i — a).sin air.

(r+xvz,y(s—xvzy~

X dx

Ces dernières, en vertu des propriétés connues de la fonction r, peuvent s’écr'ire comme il suit :

(loi)

{r + xy/Z,)'

(loa)^

® dx

® {•’+xYz.y (« — JC vzÿ

= air(;+i)'-*-*

En les différentiant plusieurs fois de suite par rapport à la quantité r, on reconnaît qu’elles s’étendent au cas même où l’expo.sant a devient supérieur à l’unité.

Il est essentiel de remarquer que les équations (qy) , (loo), (loi), (102), etc., subsisteront encore pour des valeurs imaginaires des constantes a et ô, toutes les fois que les intégrales comprises dans ces formules conserveront des valeurs finies.

Lorsque la fonction f{x-\-jr yz,) s’évanouit pour x—±. x> , quel que soitj, et pour = » , quelquesoit x, alors en prenant

a:.= — œ, X—xi, y. — o, Y = x. ,

on tire généralement de l’équation ( 88 )

ou, ce qui revient au môrae,

(io4) . J " . M+ Ii- f ) dx=^i^ .

Dans les seconds membres des formules qui précèdent, la somme représentée par A se compose uniquement de .termes relatifs, les uns aux racines réelles de l’équation (ig) , les autres aux racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de ‘\/~ est positif. De plus, comme, pour obtenir ces foi*mules, il a fallu prendre les intégrales relatives à y, h partir de yz=o, il en résulte qu après avoir déterminé, k l'aide de la formule ( 87 ), les termes correspondans aux diverses racines, on devra réduire à moitié ceux qui se rapporteront k des racines réelles, c’est-kdire , k des racines dans lesquelles le coefficient de yz, sera nul.

Les formules (io3) et (io4) réduisent, comme on le voit, la détermination des intégrales qu’elles renferment k la recherche des racines de l’équation (ig) dans lesquelles le coefficient de yZ, est positif. Elles fournissent les valeurs de presque toutes les intégrales définies connues et d’un grand nombre d’autres, parmi lesquelles on peut remarquer celles que j’ai citées dans le ig* cahier du Journal de l'Ecole royale Polytechnique, dans le résumé des leçons données k celte école , et dans le Bulletin des sciences d’avril iSa.'i.

Il est important d'observer que, dans le cas où l'équation (ig)" a des racines réelles, lesintégrales (io3) et (io4) sont du nombre de celles dont les valeurs générales restent indéterminées. Mais, en vertu des principes établis dans les paragraphes précédens, les intégrales dont il s’agit doivent être alors réduites k leurs valeurs principales. Il est d’ailleurs facile de transformer ces va-

leurs principales en intégrales definies, dans lesquelles les fonctions, sous le signe f, cessent de devenir infiniment grandes pour des valeurs particulières de la variable x.

On peut remarquer encore que , dans plusieurs cas , l’équation ( 19 ) aura une infinité de racines. Alors la somme désignée par A SC composera , du moins en général, d’un nombre infini de termes; et, par conséquent, chacune des intégrales (io3), (io 4 ) se trouvera représentée par la somme d’une série infinie. Mais il arrivera souvent , ou que la plupart des termes de la série devront être rejetés, parce qu'ils appartiendront k des racines dans lesquelles le coefficient de sera négatif, ou que la plupart des termes seront deux k deux égaux et de signes contraires; ou que la somme delà série pourra être facilement déterminée par la méthode que nous indiquerons dans le paragraphe i3. Lorsque l’une de ces conditions sera remplie, les équations (io 3 ) et (lo^) continiicrontk fournir ,. en termes finis, les valeurs des intégrales qu elles renferment.

Enfin, il peut arriver que l’équation ( 19 ) n’ait pas de racines dans lesquelles le coefficient de y/T., soit positif ou nul ; et, dans ce cas, les intégrales (io3), (io4) se réduiront k zéro. On trouvera, par exemple, en désignant par a, h^r^s des quantités positives ,

r “ àx

J (r xV')"

Si l’on combine l’équation (lo.*!) avec l’équation (loi), on eu tirera

^•* (/— xVr:)-+fr.4-j:VC)’-

cos. bxidx = 7. b‘~‘ e~'',

1 y''‘(r-xVZ.)-^-(r+xVZ.y‘ ^ ^