TT ; • * I 4J
p=o, et p=-“. En opérant ainsi, désignant par (p (â;) une
fonction réelle et rationnelle de la variable x , et prenant
= cosV,.li£ ^ [p-yzicosp],
Ir — 1
on réduira l’intégrale (io4) à la suivante :
(lio)
Cette dernière coïncide avec l’une de celles que j’avais présentées dans le mémoire de i8i4 (a* supplément). De même, si l’on fait, pour abréger.
(ui)«
“ a avi:
on déterminera sans peine les valeurs des intégrales
(tia) u.lcmp. dp, u.îsinp.dp, u.ltan^p.dp,
(i3) f'u{xm^pydp, dp, r. dp
(il4) /%(Ung />)*<//», f'ip^li^Ldp, J" -.. ■ dp,
etc. . . .
On trouvera, en particulier, pom* des valeurs de r comprises entre les limites — * » + i ,
(ii5) f K pdp=^Ki.+r),
O I — a/'cos 4
(,i6) r dp ^ -r^, \ *+(t^'')
J O I— 21 - cos ip+r‘^ 4cost l M +
. - , (..n,py dp == ^ S ,-(^;)*
2rcos2^4”' Jjsin— ( • +' 3
(1.8) r’ ^-rco.ap j ^ ^
^>0 .— arcos2;)4-'“ 4^4-'
-ardoaap+r* I — r cos 2 ^
(i2o) — î — iMx^p.dp = 2 ^(irr;.)’
>^0 I — 2/-cosa/?4-r 4 '»4-'
etc...
Oi> trouvera, au contraire, en prenant pour r une quantité
réelle dont k valeur numérique sui passe l unité,
(»aO pdp = y 1(H- i),
u/o I — arcosa^+r’ 4 r
(,.,) ÿ — (u.,8.rt-,»=^. s
.^o I — arcos.3/) + r 4 oo» T i V' + i/ )
• etc....
De pfus, sï, ékns les équations (107) et (108), on pose r=o ou , , = , ^ et a:=ung;>, on en déduira sans peine plusieurs
formulés' dignes de remarque, parmi lesquelles je citerai la suivante t ' ■
(ia 3 ) ^ (cos/?)**-*"*
cos(i — a)p .dp —
Cette dernière peut être remplacée par l’e' quation
cos /? ) * cos bp .dp =
ST r (a+ * )
a— r('-îi+. )r(^‘+i) ’
qui subsiste pour des valeurs réelles et même pour des valeurs imaginaires des constantes a et ÿ, toutes les fois que l'intégrale comprise dans le premier membre ne devient pas infinie. Si , pour fixer les idées, on suppose b — k y/Z, , l'on trouvera
la valeur de S étant donnée par la formule
kl{x)
dx
\+\fo
. kl(x)
'sm — dx
Après avoir déduit des équations (io3) et (io4) un grand nombre de formules particulières, on pourra en établir de nouvelles à l'aide de différentiations ou d’intégrations relatives aux . constantes contenues dans les premières formules. On déterminera facilement par ce moyen la valeur de l’intégrale définie
a désignant nne quantité réelle ou imaginaire , (p(a;) une fraction rationnelle quelconque , et n un nombre entier. On trouvera encore
dx
etc. . .
dx
5 ; • . /iir ^
= TT "S t sin I sin - - > .
Lorsque la fonction s’évanouit pour x=drcc,
quel que soit y, et pour j = — x, quel que soit a;, alors en posant
x. = — a>i X = (X}, j-. = — 00 , y=o, on tire généralement de l’équation (88)
(130) J'^/(x)dx = — A, ou , ce qui revient au même ,
Dans ces dernières formules , la somme représentée par A se compose uniquement de termes relatifs, les uns aux racines réelles de l'équation (19), les autres aux racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V~. est négatif. De plus, après avoir déterminé ces différens termes k l’aide de l'equation (87), on devra réduire k moitié ceux qui correspondront k des racines réelles.
Lorsque la fonction fix+j-VZ,") s’évanouit pour ^ = ± » , quel que soit x, alors, en posant
jo = — « , y = 00 ,
on tire de la formule (88)
(.3a) y'* [f(^X+jVZ)-/(x.+jrVZ)]dr = :^.
— CCS V-I
Dans celte dei’iilëre, A se compose de termes relatifs aux ra-* cines de lequation (19) pour lesquelles les parties re'elles demeurent comprises entre les limites x,, X. Si l’on suppose en outre que la fonction f{x+jr V--} s’évanouisse pour 1 une des valeurs x = — œ, x= « , alors, en désignant par a une quantité positive et prenant
ou bien
on obtiendra l’une des formules
Les formules (iSa), (i33), (i34) sont particulièrement utiles dans la résolution des équations pai' les intégrales définies, et dans l’intégration des équations différentielles linéaires. ( Voyez le 19' cahier du journal de l’École royale Polytechnique. )
5 i3. Lorsque la fonction f(,x-\‘jyz.y s’évanouit pour x = ±.x, quel que soit J, et pour dt oe , quel que soit a: , alors en posant
on tire généralement de la formule (88)
Lorsque la fonction f(x) devient rationnelle, la formule (i35) reproduit un théorème que J’ai démontré dans Ve 17 cahier du journal de l’École Polytechnique , et à l’aiae
duquel on peut établit inaitiédiateinent la fotmulç d'interpolation de Lagrange.
Lorsque l'équation (ig) a une infinité de racines» la formule (i35) renferme un nombre infini de termes et peut être appliquée à la sommation des séries. Ainsi» par exemple, si l’on prend successivement '
' Slll ‘KX ' ' ' ' j,„
r désignant un nombre entier inférieur h ■rr, èt ip(d') une fraction rationnelle dans laquelle le numérateur soit d'un degré plus petit que le dénominateur, on deteffâmérà immédiatement , à l’aide de la formule (i35), les sommes des séries
i (o) — ^ > cos T H ^ ' cos U /• — etc..,
Si l'on fait d’ailleurs
(i38) s=3 ± (ans-l-i)it ± r» ,
m étant un nombre entier quelconque, l’arc j restera entière ment arbitraire, et les séries (iSy) deviendront
î(p(o) + ^ — —cos s — ^cos as + etc...,
sin 5 4- ,it.
Enfin, si l’on pfose s = o, la première des séries (i3g) sera réduite k
En attribuant h
<p (.t) les valeurs particulières '
etc...
on obtiendra les formules connues
-rr
• • 1 ■ COt t TT U .
■JT
