etc
En conséquence, on aura, sans erreur sensible, pour de
la
grandes valeurs de n ,
Si l'on observe d’ailleurs que l'expression (n-f = diftere très peu du produit n"^'e, et si, après avoir réduit k moitié les deuk rntTulM-cs de la formule (i5o) , on passe des logarithmes aux nombres, on trouvera
1 =(ai7)'
( 2 ir)‘ n
La formule (iSa), q^ui est d'isufant plus exacte que l’on attnbue à n des valeurs plus eonsidérables , est très utile dans le calcul des produits composés d’un, grand nombre de ^.cteurs. ElUe a été donnée, pour la première fois, par M. Laplace.
Si l’on posait successivement
I — co!«j:
sin X ■
■ X cos X
etc..
on déduirait de l’équation (i 35) les sommes des séi'iesde la forme (i53) <P(^.) + <P(^.) + <P(x.
X., *.,*>••• représentant les diverses racines réelles ou imaginaires de l’une des équations
(i54) x — e^j x=sinx, x = iaiigx, cic.
Ainsi, par exemple, en prenant pour a:,, .r,... les racines de la première des équations (i54) , on trouverait
I r — sinr — rcosr r r* — arsin r-|- t
§ i4- Dans les applications que nous avons faites de la formule(88), nous avons suppose que les intégrales comprises dans cette formule s’évanouissaient avec les fonctions qu'elles renferment. C’est ce qui a lieu en général. Néanmoins le contraire arrive dans un petit nombre de cas particulrcrs, et alors les équations que nous avons établies doivent être modifiées. Ainsi, par exemple, si l’on prend pour J^{x) une fraction rationelle dans laquelle le degré du numérateur soit inférieur au degré du dénominateur, la valeur de la somme A, relative h cette fraction rationnelle, sera généralement nulle, et vérifiera l’équation (i35j. Néanmoins cette valeur de A cessera d’étrc nulle , comme on l’a prouvé dans le 19” cahier du Journal de l’Kcole Polytechnique, si la différence entre le degré du dénominateur et le degré du numérateur est précisément égale h l'unité. Pour retrouver dans cette hypothèse la véritable valeur de A , il suffira ou de suivre la méthode indiquée dans le journal dont il s’agit, et de chercher ce que deviennent les intégrales comprises dans la formule (88) quand les fonctions sous le signe f s’évanouissent, ou d'appliquer la formule (i 35 ) k l’une des fractions rationnelles
