CIC

I — ix' I — t'x' i-J-r'x*' ’

et de poser ensuite 1 = 0.

De même les équations

sin ac , sin 3r ir sin /■«

a’ — 4 ~ — 9 2 gin TT U '

sinar , gin 3c ir e'“ — e~''

auxquelles on parvient en supposant

. X sin rx

U ^ X sm ir X

et qui subsistent poui‘ toutes les valeurs de r comprises entre les limites o et w , deviendront inexactes, si l’on a précisément /■ = ir. Alors, en effet, leurs premiers membres se réduiront à zéro , et leurs derniers membres à l’unité. Mais , pour retrouver les équations exactes qui doivent les remplacer , il sufTira.de substituer à /"{x) la fonction

/■(x) I X sin rx

I 4- 4* x‘ 1 -)- «■ X* u' zf. x‘ sin nx

En appliquant à cette dernière fonction la formule (i35) , et posant ensuite ; = ir, puis t = o, on obtiendra les équations identiques

,sin TT sin air , sin 3 t:

-4 clc.

li* — I U* — i\ u‘ — y

sin TT sin a -ir , sin 3 tt

-j CIC.

§ i5. Concevons maintenant (|tie , la valeur de A étant toujours di’tcrminée par Téqnation ( 87 ), on pose

un" 0 ,

ensorte que 9 représente l’angle formé par la droite, menée du j)oint(.r. , jo) au point [X, Y), avec Taxe des a:. Enfin partageons A en deux parties A' , A" , dont Tune renferme celles des constantes f, , f.,... qui correspondent à des points du triangle formé par la ligne dont il s’agit et les deux droites x = x,, j = Y, tandis que l’autre sera relative aux points du triangle forme par la même ligne et les droites J = 7 . , x=T.

Si ‘l’on compare successivement les deux valeurs extrêmes de l’intdgrale (4) à la valeur moyenne présentée sons la forme

= li+long ®- Vir|/|c>+l®n€®-VIT)*+0 '.— >

on trouvera

(*59) [»+«ngO- Vr.]/[Æ(i+uog 0 . ar.tangô) vin

*=/„/(^+j'.vi:m«+vi: /, /(Jr+rVi:)<(r-A',

(r6o) [»+i»g6 VI3/E*(*+-ia«>g5-VII)'i-0.-^*.»»“«®)Vi;]<fcc

= y) VC)

Si la fonction /(x+^VH) s'évanouit pour x=«, quel que soit y, et si l’on pose x. = o, X=», j. = o, on tirera de l'équation (iSq), en écrivant dans le premier membre X cos G au lieu de x ^

(i6x) J'^ /[(co»0+V“*'n9>]-<^*=(c<»®— A'|.

Cette dernière équation comprend, comme cas particuliers, des formules connues. Si l’on suppose, par exemple.

a désignant une quantité positive. A' s'évanouira, «tl'on tirera de la formule (i6i)

^ X*”' x*. 'e “ dx ,

puis, en égalant i“ les parties réelles, 2“ les coefGcients de VC , l’on trouvera ' '

I x*”'«~''"‘*cos(xsinO).<ix = cosaQ^y^ x*~;'e~‘dx,

§ 16. Enauivantjes prinçipes établis dans le 11* paragraphe, on peut évaluer non-seulement la différence qui existe entre les valeurs extrêmes et la valeur moyenne de l’intégralê (4), mais encore la différence entre denx intégrales ou deux sommes d'inlégrales semblables à l’intégrale (i4)» correspoudantés à deux systèmes de coux'bes tracées arbitrairement dans le plan des X de manière à lier le point Çx, ^ y„) au point •( X, T). Or, pour obtenir un pareil système, il sufGt de prendre k"volonté , dans le plan des x,y, une suite de points dont les coordonnées soient respectivement désignées par

puis de lier paj une première com’be le point (x,,y,) au point (x,,y,)‘, par une seconde courbe, le point (a?, ,y.)“au point

(.tr., J.); enfin, par une dernière courbe, le point'

, j',, ) appoint (X, JT). ^ Cela posé, représentons par^ ,

deux fonctions réelles de n variables r.., et par /t,, 9., r,...

( St )

P , Q ^ R... t des valeurs particulières p. r... propres à ve'rifier les équations ’ ’ ' •

x. = <p(P,Ç,r...), J. = x{P,Qt

' ecc. ' ' etc.

Pour lier par une première courbe le point {x,, y,) au point (a;,, y.) J il suffira évidemment d’asujettir les coordonnées a; et jy k la relation que déterminent' les deux équations simultanées

' * * * • . Il

Cette relation étant admise, on obtiendra l’intégrale correspondante k la première courbe , en remplaçant dans la formule (i a) la variable t par la variable p, les fonctions ip(0» X(0 par les fonctions <p{p, q,. r ,. . X (P» 9»* '■*•• •)» «t les limites T par p. et P. En conséquence, l'intégrale correspondante k la première courbe deviendra

De roèmci comme il sufBt d’assujettir les variables y aux équations simultanées .

(iGC) x=v(,P,q,r^,;..), . J =x(Pj9» '’«.•••)»

pour qu'elles représentent les coordonnées d’une courbe tracée de manière k lier le point {x. , y.) au point (a?, , y ,) , l’intégrale relative k cette seconde courbe pourra s’écrire sous la forme