Faisons donc

Hyd^ z—dzdy = X , dzd* x — dxd' 2 = Y, dxd^ — dyd' x=Z.

X, Y, Z sont les aires du parallélogramme des deux éléments MM', M'M'^ pris comme on vient de dire et projeté successivement sur les trois plans coordonnés.

L'aire du parallélogramme non projeté a pour expression

mais elle est égale aussi au produit de deux côtés contigus et du sinus de Tangle compris, ou à

ds.ds. — y

à cela près d'une quantité du quatrième ordre et négligeable. Donc on a, pour déterminer p, la formule

(1) • — = v/x»Tï^+z*,

où Ton prend le radical avec le signe H-, parce que ds et p sont toujours supposés positifs .

On a aussi, pour les cosinus des angles que fait le plan du parallélogramme, c'est-à-dire le plan osculateur en M, avec les trois plans coordonnés, les trois projections X, Y, Z divisées par Taire non projetée. Ces cosinus sont donc

/ \ • pX pY pZ

^^' ds*' ds*' ds''

ou

^ ' v/X«-+.Y*-f-Z'' VX»-f-Y* + Z«' VX«-hY* + Z»' .

expressions qui représentent aussi les cosinus des angles faits avec les axes des 0?, /, z par une normale au plan osctilateur, élevée en M du côté de ce plan où les cosinus ont les mêmes signes que les binômes X, Y, Z, c'est-àdire du côté où l'on voit, en s'adossant à la normale, l'élément ds à gauche d'une parallèle à l'élément suivant, menée'par M, ou du coté où l'on mit la ' convexité h gauche et la concavité, à droite de Vêlement MM' de la courbe, en se plaçant enM. - ^

S. La considération du même parallélogramme peut fournir, d'une manière simple, une autre formule donnant p.

Projetons, comme a f^it Navier, sa petite diagonale successivement sur vin de ses côtés et sur une perpendiculaire à ce côté, menée dans son plan. La première projection sera d^s^ diflférence entre les -longueurs dsy ds -\- d^s

des deux côtés; la seconde sera — , produit d'un des côtés par le sinus —

de leur angle. La somme des carrés de ces deux projections sera égale au carré d^x^ -+- d^y^ -+- rf^z^ de la diagonale. Donc

ds

6. L'angle — des tangentes menées en deux points dont la distance est rf>,

est aussi l'angle des normales à la courbe aux mêmes points, menées l'une et l'autre dans le plan des deux tangentes; ces deux normales doivent, par conséquent, aller se rencontrer à la distance p. Donc la ligne que nous avons appelée p est la longueur du rayon du cercle osculateur de la courbe au point M, et la direction de ce rayon est celle de la normale en M menée dans le plan osculateur.

On peut voir facilement que cette direction est celle de la petite perpendiculaire dont nous avons parlé au numéro précédent; mais, pour l'obtenir simplement, il vaut mieux prolonger les deux côtés MM', MN du parallélogramme, de manière à les rendre égaux à l'unité de longueur, ou mener, comme a fait encore Navier, par un point quelconque tel que M, deuk droites égales à l'unité et respectivement parallèles aux deux tangentes en M et M'.

Puisque dXydy^ 6k;sontles projections de la petite ligne positive MM'= ds^ les projections de la première droite, ou les cosinus des angles que fait, avec les demi-axes positifs des a;, j, z, la demi-tangente en M menée du côté MM', sont

/p;\ dx dy dz

^ ' ds ds ds

I>es projections de la seconde droite seront

//.x dx j dx ' dy j dr dz ^ j dz

Donc, si l'on joint les extrémités de ces deux droites égales à l'unité, on aura une ligne infiniment petite qui , supposée tirée, de la première à la

SUR LES LIGNES COURBES NON PLANES. g

seconde, a, pour projections sur les a:, j, z,

(7) '^ST' ^f' ^^î

mais la longueur de cette petite ligne est —, puisqu'elle mesure l'angle des

deux droites, et sa direction est celle du rayon de courbure, puisqu'elle est parallèle à la normale comprise dans le plan de deux tangentes consécutives. Donc les cosinus des angles que le rayon de courbure en M supposé tiré de M -vers le centre fait avec les demi-axes positifs des a?, j, 2, sont les

quotients de (7) par —, ou

^ * ds ds ds ds ds ds '*

ds

et Ton a, pour déterminer p, ou l'angle de contingence —, cette troisième formule

<9) ^=v/(W^P¥nW"'

(*) Il n'est pas inutile de discuter ici une autre démonstration que plusieurs géomètres donnent de cette expression (9) de l'angle infiniment petit de deux tangentes consécutives. Ils la déduisent de la formule qui exprime le cosinus de Tangle de deux droites par la somme de trois produits deux à deux des six angles que ces droites font avec trois axes rectangulaires. Mais cette formule générale donne zéro pour Tangle quand on y met les cosinus (5)

, . dx dy dz

des angles de la tangente en M , et ceux (6)

fb) dx ,dx dr dy dz ,dz

ds ds ds ds ds ds

des angles de la tangente en M'; car on a

et, par suite, en diiïérentiant ,

ds ds ds ds ds ds '

ce qui réduit rigoureusement à Tunité le second membre de la formule générale en question , tandis

lO MEMOIRE

que l'on aurait pu déduire analytiquement, ainsi que celle (4), de celle (i), comme on le verra au tableau de la Note II [formules (n) et (o)] .

7. L'angle — de deux plans osculateurs consécutifs peut s'obtenir comme

nous venons d'obtenir Tangle de contingence, en menant par le point M, du côté oii Ton voit le rayon de courbure à droite de MM' en se plaçant en M (n® 4), deux droites égales à l'unité et normales respectivement à ces deux

plans. La petite ligne qui joindra leurs extrémités mesurera leur angle — ?

et, en égalant son carré à la somme de ceux de ses trois projections, déter-

(|if on devrait avoir Tunité plus on infiniment petit du second ordre. Aussi , pour en tirer quelque chose , les uns, au nombre desquels est Poisson (Méc, 2*édit., Introd., 18), prennent pour les cosinus des angles de la seconde tangente, non les expressions (b), mais des développements tels que

— -hd— ^\d^—y tirés de la série de Taylor et poussés jusqu'aux difféi^entielles secondes ; et,

après la substitution dans la formule générale du cosinus, ils réduisent son second membre au moyen de réquation (c) et de sa différentielle (d) ; puis ils éliminent les différentielles secondes au moyen de réquation qui résulte d'une nouvelle difFérentiation de celle-ci, ce qui fournit finalement une expression de l'angle cherché en substituant d'abord à son cosinus l'unité moins le double du carré du sinus de la moitié.

Les autres , pour arriver à ce double c^rré , prennent pour bonnes les expressions (a), (b) des cosinus des angles formés avec les coordonnées par les deux tangentes, sans chercher à rendre celles-ci plus exactes par l'addition de termes d'ordre supérieur; mais c^est l'équation différentielle (d) dont ils ne se contentent pas et qu'ils complètent en y ajoutant les infiniment petits du second ordre qui ré-

sultent de la substitution de -7- -f- rf ~- à la place de — -, etc., dans l'équation (c).

as as as

Je ne viens pas contester absolument la rigueur de ces deux méthodes; mais, si Ton peut les légitimer, elles me paraissent toujours peu satisfaisantes , indirectes , ou tout au moins difficiles à reti*ouver, car on ne se rappelle pas aisément comment on doit regarder comme inexactes, tantôt les expressions (b) des cosinus de la tangente en M', tantôt l'équation (d) qui résulte de la différcntiation d'une équation exacte.

Aussi je crois qu'il est préférable de regarder la formule ordinaire du cosinus de l'angle de deux droites données de position par rapport à trois axes , comme se prêtant mal au cas où cet angle est infiniment petit, et d y substituer, comme plus simples, les considérations géométriques mêmes qui servent à démontrer cette formule connue. Ces considérations, celles, du moins, dont on se sert aujourd'hui généralement, sont celles des projections de lignes droites et brisées, presque toujours aussi faciles à retenir que les formules auxquelles elles conduisent.

C'est ce que Navier a fait (Leçons d* Analyse, n® 287) pour le cas qui nous occupe ; le raisonnement qui nous a conduit à la formule (9) n'est même guère que la reproduction du sien , et je pense qu'ilconvient de l'adopter à l'exclusion des autres dont nous venons de parler.

minées comme on a fait tout à l'heure , on aura

On verra à la Note II [formules {s')j{g^)] le développement du calcul de cette expression fait par Navier, et auquel Lancret avait suppléé par des considérations indirectes; mais on l'évite, ainsi que l'ambiguïté des signes, en donnant aux deux normales des longueurs numériquement égales, non à l'unité, mais aux aires respectives des deux parallélogrammes consécutifs MM' M'', M'M'^M''', et en formant un nouveau parallélogramme sur les deux lignes ainsi mesurées. Comme les angles qu'elles font avec les trois demiaxes positifs ^, /, 5; sont les mêmes que ceux que les plans osculateurs font avec les côtés positifs des plans jrzj zx, xy^ les projections de la première ligne sur les .r, les j, les z seront

celles de la seconde seront