X-hrfX, Y-hrfY, Z-hrfZ
Donc, d'après ce qu'on a vu (n** 5), les trois projections du parallélogramme qu'elles forment seront, sur les plans /z, zx^ay,
YdZ — ZdY, ZdX — XdZ, XdY — YdX;
mais YdZ — T^dY = Y {dxd^y — dyd^x) — Z{dzd^x — dxd^z) revient à dx (Yd^y 4- Zd^z -+- Xd^x) , parce que Xdx -+- Ydy H- Zdz = o. Les deux autres projections reviennent au même trinôme entre parenthèses Xd^x -H Yd^jr h- Zd^z^ multiplié successivement par df et dz. Observons aussi que ces trois mêmes produits de dxj dy, dz par le trinôme peuvent être regardés comme les projections, sur les axes des Xy j, 2, d'une perpendiculaire au plan du parallélogramme, numériquement égale à son aire et élevée de M dans le sens où Ton voit son premier côté à gauche du second en se plaçant au point M (n° 4) . Cette perpendiculaire n'est autre chose qu'une portion de la tangente à la courbe en M, dont nous savons qu'une autre portion MM'= ds a pcfUr projections ctr, rf^, cfo. Sa longueur, ou l'aire
du parallélogl'amme, est donc
ds{Xd'x-^Yd'y^Zd'z),
et cette expression aura, comme on voit, une valeur positive ou une valeur négative, selon qu'en se plaçant sur la demi-tangente MM' on apercevra à gauche la normale au plan osculateur en M, et à droite celle au plan en M^ ou réciproquement.
D'une autre part, l'aire non projetée de notre parallélogramme, dont les
deux côtés contigus ont des longueurs — , -^-+-rf. — et comprennent Tangle— , est
d.s^ ds
Égalant ces deux expressions, on obtient celle
qui donnera, non-seulement la grandeur, mais encore le sens de la deuxième affection de la courbe.
- n'aura pas toujours le signe -H, comme -; il sera positif (avec le numé-
rateur trinôme) lorsqu'en s' adossant à la demi-tangente MM' prolongée et regardant les deux plans osculateui*s du côté de M où sont les rayons de courbure, on verra à sa gauche le plan mené en M et à sa droite celui mené
en M'; et - sera négatif dans le cas contraire.
8. On peut démontrer cette formule d'une manière plus directe en considérant . géométriquement les deux parallélogrammes consécutifs MM'M'', M'M"M'" {fig. 2) formés sur les éléments de la courbe. Si du point M'", appartenant au plan du second, on abaisse une perpendiculaire sur le plan du premier et une perpendiculaire sur leur intersection conmiune , qui est M' M" prolongée, le quotient de la première perpendiculaire par fa
seconde sera le sinus — du petit angle de leurs deux plans. La seconde per-
pendiculaire, celle qui est abaissée sur l'intersection, est égale au troisième élément M'' M"^ multiplié par l'angle infiniment petit qu'il forme avec le se-
SUR LES LIGNES COURBE;^ NON PLANES. l3
cond élément prolongé; sa longueur est
•I ^ as —y
à cela près de quantités du troisième et du quatrième ordre que nous négligeons . Quant à la première perpendiculaire, qui mesure la distance du sommet M''' du deuxième parallélogramme au plan MM' M''' du premier, nous obtiendrons facilement sa longueur en construisant un troisième parallélogramme MQRQ' sur les lignes MQ, MQ' égales et paraDèles respectivement aux deux diagonales M'N, M'^N'des deux autres. La petite diagonale QQ' de ce nouveau parallélogramme aura d^x^ d^y, d^z pour projections sur les trois axes coordonnés, car les projections de M'N, M'^N'sont d^x^ d^y, d^z et d^x-^d^x, d^y + d^y^ d^z -f- d^z. Cette même nouvelle diagonale QQ' aura pour projection, sur une normale au plan MM'M'', précisément la distance de N' ou de M'" à ce plan. Donc, d'après les expressions (2) des trois cosinus des angles de la normale au plan osculateur MM'M'', on a, pour la longueur cherchée de la première perpendiculaire.
En la divisant par la seconde perpendiculaire dont nous avons trouvé la longueur égale à ds—^ nous devons obtenir, avons-nous dit, le petit sinus—. Donc
OU la formule déjà trouvée ( ii ) , dont le second membre est positif lorsque M'^ ou Q', est en avant du plan du tableau pris pour plan de MM'M''.
9. Observons que la petite perpendiculaire (12) est la hauteur d'un parallélipipède formé sur les trois éléments consécutifs MM', M' M'', M'^M"', en prenant pour sa base le premier parallélogramme MM'M'^N. Gomme la super-
ficie de cette base est — (n® 4) , on voit que le trinôme
• xd'x -H Ydy + Td'z, ou, ce qui est la même chose, le sextinôme
dxd-yd^z — dxd^zd^y + dyd^zd^x — dyd^xd^z -h dzd^xdy — dzd^yd\x
représente le volume de ce parallélipipède infinitésimal dont les angles plans aigus sont —, dont les angles dièdres aigus sont —, et qui, par conséquent,
ds* I
étant divisé par le carré du parallélogramme — , donne ~. On pouvait déduire ce résultat d'un théorème de Lagrange sur le volume de la pyramide {*) , ou de cette simple remarque, que le parallélipipède en question est équivalent à celui qui a la même base MM'^FN, avec une arête égale et parallèle à QQ', et que celui-ci équivaut à la somme de trois autres ayant la même arête, et pour bases les projections X, Y, Z de sa base.
10. La considération des cures ou aréoles de contingence ou de courbure, formées sur les éléments consécutif des lignes courbes, peut faciliter la solution de plusieurs problèmes de Géométrie ou de Mécanique. Donnons-en deux exemples (**).
i*". Supposons qu'on veuille avoir l'expression du rayon de courbure lorsque les coordonnées ^, j, z sont rapportées à des axes obliques. Les trois aires, ou les projections obliques du parallélogramme du n*^ 5 sur les trois plans /z, zx^ xy, ne seront pas les binômes désignés par X, Y, Z (n® 4),
mais il est facile de voir qu'elles seront
X sin/z, Y sin ar, Z sin xy.
L'aire non projetée sera mesurée par la diagonale d'un parallélipipède fonné avec trois lignes perpendiculaires aux plans coordonnés, et proportionnelles aux aires projetées. Donc
fis
1 __ / X^sin^jz H- Y" sîn* zx+ Z'sin* xy V -f- 2 YZ sin zx sin xy cos (zx^ xy) H-aZX si
sinxysinjz cos(xy^yz)'\-7XYsinyzsm zx cos (jz^ zx).
On donne une autre forme à cette expression en remplaçant les cosinus des angles des plans coordonnés par leurs expressions, données par une formule de trigonométrie sphérique, en fonction des seuls angles des axes, c'est-à-
dire en mettant cos jz — cos zx cos o^y-au lieu de sin zx sin o^ cos (zx^xy).
{*) Académie de Berlin, 1773, Nouvelle solution du problême du mouvement de rotation, i4; ou bien, voye^ Cauchy, Leçons sur les applications du Calcul infinitésimal, p. 29. {^) On en trouvera d'autres ci-après, troisième partie, et fin de la Note de la deuxième partie.
SUR LES LIGNES COURBES NON PLANES. l5
Il en résulte, en remplaçant sin^yz par i — cos* jz, etc. :
p \ -en
+ Z* + 2 YZ cosjz + 2ZX cos zx + 2XY cos or^' (X cos jz + Y cos zx 4- Z cos J^)*.
2**. Supposons (en revenant aux coordonnées rectangulaires) qu'ime verge élastique soit encastrée quelque part, en sorte que l'élément MM' de sa courbe d'axe soit maintenu fixe, tandis que le reste change de position. On demande de déterminer, sur la section normale à l'élément suivant M' M'^, la direction de la ligne dite des fibres invariables, qui est l'intersection des plans normaux aux deux directions successives de M'M'^, considérées avant et après le changement.
Soient ^ la caractéristique des changements éprouvés, et M'' {fig. 3) la nouvelle position du point M''. Prolongeons l'élément fixe MM' d'une longueur M'P égale à la sienne. Le petit triangle M'PM", égal à la moitié du parallélogramme qui serait construit sur MM', M' M", aura pour projections sur les trois plans coordonnés { X, {Y, ~Z comme nous avons vu, et les projections de M'PM^ seront 1 (X -t- <^ X) , i ( Y + ^ Y) , | (Z -f- i^Z) . Mais la projection du second triangle, sur un plan quelconque, est égale à la projection du premier, plus les projections des deux autres triangles M'M"M"^, PM" M'j qui forment avec eux un tétraèdre complet ; et le dernier est infiniment petit par rapport à l'autre, puisque VW^V1A\ sont du second ordre, tandis que M' M", M'M'^ sont du premier ordre. Donc la projection dePM"M''j peut être négligée, et le petit triangle M' M" M^^ a pour projections {cTX, {<r Y, I J'Z sur les trois plans coordonnés.
Mais l'intersection, dont nous cherchons la direction, est une perpendi-
culaire commune à M' M", M'M"^, et par conséquent, au .plan du petit triangle dont nous venons de parler. Donc les cosinus des angles de cette droite avec les trois axes coordonnés a:, j, z sont
3X ^Y dZ
^/ST+àYy+Jzj' s/^X* + oY' + âZ'' v^âX' + JY'H-dZ''
On ne peut arriver analytiquement à ces expressions que par de longs calculs. 11. La démonstration géométrique, donnéç au n**5, des expressions des
projections d'un parallélogramme infinitésimal^ s'applique à des parallélogrammes finis, et aussi à des triangles quelconques.
Soient x\y\z et x" ^ y^\ z" les projections de deux des cotés d'un triangle sur les trois 'axes rectangulaires (disposés comme on a dit n** 5); les projections du double de son aire sur les trois plans que ces axes déterminent sont
pourvu qu'en se plaçant sur cette aire au sommet commun, on voie le premier côté à gauche et le second à droite; car, sinon, les projections seraient ces trois binômes pris avec des signes contraires.
De ce théorème, donné, je crois, pour la première fois par Monge (*), et qui peut être démontré de plusieurs autres manières (**) , on déduit beaucoup de conséquences.
Par exemple, si les deux côtés du triangle sont égaux à l'unité, on obtient les trois binômes ci-dessus pour les cosinus des angles feiits, avec les trois axes, par ime perpendiculaire commune à deux lignes droites faisant avec les mêmes axes, dans le sens où on les suppose tirées, des angles dont les cosinus sont x\y\ z' pour la première droite, et x" ^y" ^ z^' pour la seconde droite, cette perpendiculaire étant tirée elle-même dans le sens convenable pour qu'en s'y adossant on voie la première des deux lignes à gauche de la seconde.
Nous en ferons plusieurs fois usage dans la deuxième partie.
12. Définitions et notations. — Par les motifs que je développe dans une Noti {***), j'appellerai, dans la suite de ce Mémoire :
fis
Angle de courbure , l'inclinaison mutuelle — des tangentes à une courbe
en deux points indéfiniment voisins dont la distante MM' est ds toujours positive, et dont le premier M a pour coordonnées a?, j, z;
ds
Angle de cambrure y l'inclinaison — des plans osculateurs aux mêmes points;
(*) Essai d'application de l'analyse, etc., Journal de l'École Polytechnique, xv" cahier, 1809. (**) fort mal de M. Liodville, t. IX, p. 3i i . (♦♦*) Note I , à la fin du Mémoire.
Courbure dinpointM y V affection- de la courbe, ou le petit angle des tan-
gentes rapporté à l'unité de distance de ce point M de la courbe à un autre qui s*en rapproche indéfiniment (p est toujours positif);
Cambrure, l'affection analogue - au même point (v peut être négatif);
Rayon de courbure, rayon de cambrure, les longueurs p et f, dont la première est le rayon du cercle osculateur à la courbe, ou la distance du point M au centre de courbure.
Nous appellerons aussi rayon de courbure, quand il s'agira de direction et non de grandeur, la droite indéfinie qui joint ces deux points, ou la normale à la courbe, comprise dans son plan osculateur, et supposée tirée de M A ers le centre;
Binormale, celle des normales qui est perpendiculaire au plan osculateur. Cette ligne, que l'on est obligé de considérer très-souvent aussi, et à laquelle il n'a pas encore été' donné de nom, est, en effet, normale à deux éléments consécutifs à la fois, tandis que les autres normales à la courbe ne le sont qu'à \xn seul de ses éléments; on la suppose tirée coînme il a été dit à la fin dun^4n. •
Nous appellerons encore , avec Monge et Lancret ,
Droite polaire, l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins, ou la perpendiculaire au plan osculateur, menée par le centre de courbure;
Surface polaire, la surface développable formée par l'ensemble des droites polaires;
Sphère osculatrice, la sphère ayant un contact du troisième ordre avec la courbe donnée au point jM : son centre est à l'intersection de deux droites polaires , ou de trois plans normaux , et la suite des centres des sphères forme \ arête de rebroussement de la surface polaire, ou cette ligne que Lancret a appelée la dés^eloppée par le plan;
^) On pourrait appeler aussi pemormale cette normale , qui Test en quelque sorte plus que les autres. Je l'aurais appelée simplement normale principale, sans faire un mot nouveau, si je n'avais craint la confusion, car cette dernière dénomination (qui lui conviendrait) est déjà employée, dans plusieurs écrits, pour désigner la direction du rayon de courbure , peu utilement à mon avis.
l8 MEMOIRE
Rayon de cette splwve, quand il s'agira de direction , la droite indéfinie qui va du point M à son centre;
Surface des éléments^ surfaxie des tangentes, la surface développable. formée par Tensemble des éléments de la courbe, prolongés indéfiniment, ou la surface engendrée par le mouvement de son plan osculateur;
Surface rectifiante, la surface engendrée par la suite des plans rectifiants qui sont menés, par chaque point de la courbe, perpendiculairement au rayon de courbure correspondant; Lancret l'a appelée ainsi parce que, dans son développement, la courbe donnée de^dent rectiligne : c'est la dé^^eloppée (Monge, XLI) de la surface des tangentes, comme on verra plus loin;
Droite rectifiante, ou simplement rectifiante en M, une des génératrices de cette surface, ou l'intersection de deux plans rectifiants consécutifs. Cette droite joue un rôle important, moins comme charnière de rectification de la courbe que comme perpendiculaire commune aux directions de deux rayons de courbure consécutifs, et comme lieu de centres de courbure de la surface des tangentes, ou axe du cône droit qui lui est osculateur sufvant la tangente en M. [Voyez la troisième partie.) Nous la supposerons toujours
tirée de M, de manière qu'en s*y adossant on voie à gauche le rayon de courbure en M, et, à droite, une parallèle au rayon de courbure en M', menée par M.
Nous nommerons :
H, l'angle que fait la rectifiante avec la tangente à la courbe en M;
I, l'angle (complément de H quand H est aigu) de la même droite avec la binormale;
L, la longueur de cette droite jusqu'à sa rencontre avec la droite analogue relative au point M', ou la distance, au point M, du point correspondant de V arête de rebroussement de la surface rectifiante;
R, la longueur du rayon de la sphère osculatrice;
ds . . .
— » l'angle infiniment petit de deux rayons de courbure consécutife, ou
des deux plans rectifiants qui leur sont perpendiculaires : nous l'appellerons quelquefois angle de courbure et cambrure composées {ji est toujours supposé positif);
?, w, ^, les coordonnées courantes, hors de la courbe donnée.
Outre les abréviations du n"* 4 :
djd^z — dzd'y = X, dzcPx — djcd^z = Y, dxd^y — dyd'x = Z,
nous ferons quelquefois j dyd'^z — cP%dy = X' , d^zd^x — d'xd'z = Y' , (Pxdy — d'fd'x = 7! ,
et .
d^^'^4-d^cP^=K. d^d^^—d^<p^=r,, rf^f^f-c;$^^=z;.
ds ils as ds * ' as as as as ' ' as as as as
