DEUXIÈME PARTIE

Démonstration analytique de diverses formules et de divers t/iéorèmes relatifs aux courbes dans V espace^ ainsi qu'aux lignes et aux surfaces qui ont avec elles des rapports intimes.

15. Angle^de courbure et cambrure composées . Formules de réduction de tous les calculs. — Cet angle est, avons-nous dit, celui que font entre elles les direptions des deux rayons de courbure en deux points M, M'

infiniment voisins. Nous l'avons appelé — ? ds étant la distance MM .

Cherchons-en la valeur.

Les cosinus des angles faits avec les trois axes des x^ j, 2 , par le rayon de courbure en M, sont [formule (8) du nP 6]

^dx ^dy jdz

ds ds ds

Ceux des angles faits par le rayon de courbure en M' sont les ti-ois mêmes quantités augmentées de leurs différentielles respectives.

Donc , d'après le raisonnement du n*" 6, qui a conduit à la forhiule (9), on aura, pour Tangle infinitésimal cherché,

,fix\' / ,dr\^ / jdz

liO MEMOIRE

Si , pour le rayon de courbure p, on met une de ses valeurs , tirées des formules ( i ) , (4) , (9) de la première partie , on est conduit à un calcul qui prend un développement excessif, surtout si [comme il faut bien le faire pour conserver la généralité] on fiait varier ct^ ainsi que les autres différentielles. On peut, après une longue analyse, ne pas apercevoir eftcore comment arriver à un résultat simple , et faire entrer la cambrure - 7 dont l'angle

-— doit cependant dépendre.