CM

Cherchons d'autres expressions de --• On y parvient facilement par des

considérations tout à fait analogues à celles qui ont été employées aux n°'5,

4, 5, 6, pour déterminer —

Menons , en effet, par un point quelconque , des parallèles aux deux rayons de courbure en M, M', et dans le sens où ces rayons sont euxmêmes tirés de la courbe aux centres de courbure (n*^ 12) : portons sur elles des longueurs égales, non pas à l'unité, mais à

ds f ds jds

— et hd —

Les projections de la première sur les trois axes seront, d'après ce qui a été démontré au n** 6,

j dx j dy jdz as as as

Celles de la seconde seront [d'après un raisomiement semblable]

Donc la diagonale du parallélogranune formé sur ces deux petites lignes aura pour projections, sur les axes coordonnés ^, /, z,

as ds as •

Et les projections, sur les trois plans jr;, zx^ xy^ de Taire de ce parallélogramme infinitésimal, prise du côté de son plan où l'on voit à gauche la

parallèle au premier rayon en se plaçant au point d'où on les a menées, seront (n" 5)

as as ds as

et deux autres quantités analogues , c'est-à-dire ce que nous avons désigné (n"* 12) par ,

li'aire non projetée sera la racine carrée de la somme de ces quantités ; et elle doit être égale au produit — ( — >rd — \ des deux côtés adjacents, mul-

tiplié par l'angle infiniment petit —9 qu'ils font entre eux. Donc, en supprimant une quantité du quatrième ordre , on a

Si l'on projette successivement la diagonale du même parallélogramme, sur un de ses côtés , et sur une perpendiculaire menée dans son plan , comme on a Êdt au n^ 5, on aura

jds ^ ds ds

d— et — — .pour les deux projections; d'où, pour déterminer— ? cette troisième for-

mule , analogue à celle (4) , qui donne — > de même que celles ( 1 5) , ( 1 6) sont analogues à (9) et à (i) :

.(■7) %-^/i^W^^^WWWW-

Mais si l'on essaye de développer les formules (16), (17) que nous venons d'obtenir, on tombe dans une complication aussi grande qu'en développant celle (i 5), et l'on peut rester longtemps sans entrevoir le moyen de simplifier les résultats.

Cette difficulté , qui se présente dans presque toutes les recherches ana-

lytiques sur les propriétés générales des courbes dans L'espace , cesse enGn pour celui qui en a fait un très-grand nombre. Il remarque que certaines combinaisons qui se présentent très-souvent, sont réductibles à d'autres, et,' pourvu qu'il consulte fréquemment les formules de réduction qu'il a déjà trouvées, il finit par amener ses résultats à des formes simples et inattendues. Je crois donc faire une chose utile en donnant à part, dans une Note (*), un tableau des formules de transformation et de réduction que fournit la combinaison des expressions données dans la première partie , et qui servent à rendre praticables les divers calculs qui peuvent se présenter. J'ai été dans le cas de faire usage de presque toutes , et j'y renverrai souvent dans ce qui va suivre. On y verra qu'en laissant ds en dénominateur sous dx ^ dy, dzj on rend les calculs presque aussi simples lorsqu'on le suppose variable que lorsqu'on le suppose constant. On y verra aussi que c'est par les formules nowelles, désignées (/') à ce tableau, savoir :

dxds*\ ^;/ I /-y dyds^\ rjt i ( rv dzds^

que l'on introduit le plus ordinairement la ligne v dans les résultats pour

les simplifier.

En se servant des formules (j/), (m'), (/) {voir le tableau) qui sont des conséquences des trois (/') qu'on vient d!écrire, on réduit les trois expressions ( 1 5) , ( 1 6) , (17) ci-dessus à

^ — /^ ^ (,8)/ ^-Vp' + .»

14. Droite rectifiante, et plan rectifiant. — La droite menée par le point M, perpendiculairement aux directions des deux rayons de courbure en M et M', est nécessairement normale au plan du petit parallélogramme considéré au numéro précédent ^ et dont l'aire a X', , Y', , % pour projections sur les trois plans coordonnés.

(*) Note II à ia fin du Mémoire, à voir avant ce qui va suivre.

Les cosinus des angles que fait, avec les demi-axes positifs des ^', j, 2, cette droite rectifiante supposée tirée comme on a dit aux n*** 12, 13, sont donc proportionnels à

et de mêmes signes que ces trois quantités.

On arrive au même résultat, sauf la distinction du signe, en considérant la rectifiante comme T intersection de deux plans rectifiants consécutifs. Le plan rectifiant en M est perpendiculaire au rayon de courbure au même point; comme les cosinus des angles de ce rayon avec les trois axes sont

proportionnels à rf ^ ? ^'d^^'J^ T équation du plan sera

Le plan rectifiant au point suivant M^ de la courbe aura pour équation ce que devient celle-ci en y mettant x -{- dx^ y -\- dy, s-f-^fzàla place de

ot, j, z, ou

(Ç-.-&)(<i^+<fg)

Prises ensemble, ces deux équations représentent l'intersection. La seconde équation, appliquée ainsi aux points communs des deux plans, peut être simplifiée au moyen de la première, et l'on peut y supprimer aussi le trinôme

/j[y d'V dz

dxd 2". 4- ^X^'Js "*" ^^^ds^ ^"^ ^^* ^^ ^ [Note II, form. (h)] et le trinôme

dvd^ V -h djrd^ ^ H- dzd^ ^ , qui est infiniment petit de l'ordre supérieur à

ce qui reste. On a ainsi pour l'équation qui, avec celle (i9)*, détermine l'intersection des deux plans :

Eliminant — x, n — j, Ç — jsavec (19) on a, pour la droite rectifiante en

M, ces équations plus simples et conformes à ce qu'on vient de trouver:

Les cosinus des angles de cette droite, tirée comme on a dit tout à l'heure, avec les trois demi-axes positifs des .r, j, z sont donc, en regardant le radical comme positif,

(^^) v^x'/-hY;^4-z;'' s/x'/+y]'+Zs'' \/x;»+y;^+Z/

qui peuvent s'écrire^ d'après l'expression (i6) , en regardant a comme toujours positif,

' p»ax; p'^y; p«^z;

ou encore, d'après les formules (/'), (mf) du tableau de la Note II, et • l'expression (i8) de—, en regardant également le nouveau radical comme positif,

I pX I rf.r I pX i dx 1 pY 1 dy i pZ i dz

/ ,x pds^ x> ds p ds^ V ds ods^ v ds pds^ x, ds («4) ^ / =- 1 ' ^ . , ■ y •

La première de ces expressions (24), qu'on peut considérer comme celle du • cosinus de l'angle fait avec le plan jrz par im plan perpendiculaire à la droite

/ • / ûX dx

rectifiante, étant comparée avec celles ^^ et ^ (n*** 5 et 6) des cosinus des

angles que font le plan osculateur et le plan normal en M avec le même plan coordonné jz, montre que, si «ft», st, a désignent ces trois angles finis, ou, généralement, ceux que font avec un plan quelconque, respectivement le

plan du petit angle — (parallèle aux deux rayons de courbure consécutif^,

ds

le plan de la courbure ou du petit angle — (le plan osculateur), et le plan

de la cambrure ou du petit angle — (le plan normal), on a, entre ces trois

angles finis et ces trois angles infinitésimaux, la relation

ds ^ ds ds

— cos A, = — cos fit H cos a.

qui montre, ainsi que celle ^ = 1 -+- ^^ de la fin du numéro précédent, que V inclinaison mutuelle des rayons de courbure consécutifs est [conformément au nom que nous lui avons donné) une sorte de résultante des petits angles de courbure et de cambrure, composés comme des forces, ou plutôt comme des aires, tant pour la grandeur que pour la direction.

15. Angles de la rectifiante avec la tangente et avec lu binormale. — On obtiendra les cosinus de ces angles H et I en ajoutant ensemble les exprès-

dx dv dz pX pY pZ

sions (24), multipliées respectivement par ^' ^ ' ^' ®* P®'' ^' 3?' 3?" On a ainsi, au moyen des formules (g-), (w), (^r) du tableau de la Note II,

cosH = -, cosl = ---

Ce sont les deux projections, sur la tangente et sur la binormale, de l'unité portée sur la rectifiante qui se trouve dans leur plan, et dont ces expressions fixent complètement la direction et le sens. La première change de signe avec V , et la seconde a toujours le signe H- , en sorte que l'angle H, toujours positif, est tantôt aigu, tantôt obtus, selon que ,> est positif ou négatif; et l'angle I, toujours aigu, est positif ou négatif dans les mêmes cas. On a sinH = cosI dans l'un comme dans l'autre cas. Donc on a ces expressions,

oh le radical est toujours positif:

(25)tangH = -, cosH=^ = — ^i===, sinH=cosI=- =

J > Slllâl— WUO— — /

{26) ciH = cos*Hc?^=-sin'Heie = ^rfy=-ii^4-

Et la droite rectifiante se construit en portant sur la tangente en M une longueur égale à p, à partir de M et du côté de M' ou du côté opposé, suivant que ,> est positif ou négatif, puis élevant, à l'extrémité, une perpendiculaire ^'une longueur » au plan osculateur, du même côté que la binormale (n~ 4, 12), et joignant M à l'extrémité de cette perpendiculaire. Ce théorème est encore de Lancret, sauf la distinction des signes et des sens. Il nous servira, à la troisième partie, à décrire deux cônes osculateurs de la courbe

et de la surface de ses tangentes. •

16. Angle de deux droites rectifiantes consécutives. — Diaprés le raisonnement du n® 6, et d'après les expressions (22), le carré de ce petit angle doit être

donc, d'après la formule («") du tableau delà Note II, et les expressions (aS), (26), cet angle a pour valeur

(V) ^. = dH.

Il est nul lorsque Tangle H, ou le rapport - de la courbure à la cam-

brure, est constant. Alors les diverses droites rectifiantes sont les arêtes d'un cylindre, et la courbe est une hélice à base quelconque, ou une courbe dont les tangentes font toutes le même angle avec un certain plan.

L'hélice à base circulaire, ayant même centre et même rayon de courbure, et même cambrure que la courbe donnée, est celle que l'on appelle oscula^ trice à celle-ci, au point M. La rectifiante est l'arête de son cylindre.

17. Arête de' rebroussement de la surface rectifiante. — Cherchons un point de cette arête. Il peut être considéré à volonté comme l'intersection des trois plans rectifiants en M, M', M", ou comme l'intersection des deux droites rectifiantes en M, M'.

L'équation du premier des trois plans est celle (19) du n*" 14. L'équation du second plan, combinée avec celle du premier, donne celle plus simple (20). Si l'on change, dans ces deux équations, x^ /, z en x-i-dx, J ^~ ^> ^ + dzy on aura deux autres équations qui appartiendront également au point commun des trois plans: la première, combinée avec (19), se

se simplifie aussi au moyen de (ao), et l'on peut, après l'avoir développée,

remplacer ^^^ jf +^^^-H^^^ ^par — -^ [formule {v) du tableau], et

supprimer les termes tels que dxd^ -j- qui sont infiniment petits par rapport aux autres. On a ainsi, pour déterminer les coordonnées ?, w, ^ du point de

rencontre des trois plans, les trois équations Elles donnent :

.f j^dx \f ji^X 1* j%^^ Mômedén. ^ Mèmedén.

La formule (£/^^) du tableau de la Note II donne la valeur du dénominateur

commun en fonction des deux affections - ? -• En la substituant, ces exprès* sions deviennent

(a8) e-,..= i* .-y tlï^ Ç, = i!?i.

ds*d^ ds*d^ ds*d^

Cherchons maintenant les mêmes coordonnées ^^ »r, ^ en regardant le point auquel elles appartiennent comme l'intersection de droites rectifiantes. Combinons, pour cela, celles (21) de la droite en M :

avec celles qu'on en tire pour la droite suivante en mettant x-^dx^ f-^^fj z^ dz pour x,yy Zy et qui se réduisent, moyennant celles-ci, et en ayant égard à ce que Ton a [formule (/?') du tableau]

(et deux autres équations analogues) .

Nous obtenons ainsi ces deux valeurs pour Ç — x:

Ae — i" <t -y Ac — 5r ^ "T"

Zj d^Xi — Xi dis Xj é/ 1 i — ï f ûîX^

Elles s'accordent (parce que les deux droites se coupent) quand on met, pour les dénominateurs, leurs valeurs tirées du tableau [formules (g^O]^ ^^ ''^^ ^ les expressions (28) déjà trouvées.

En ajoutant les carrés de ^ — x^ w — /, ^ — z, on aurait le carré de la distance désignée par L (n^ 12) du point M de la courbe donnée, au point correspondant de Tarête de rebroussement de la surface rectifiante. Mais, pour éviter l'ambiguïté des signes, nous mettrons les expressions (28) sous la forme suivante, au moyen de celles (26), (26),

d$ sinH p*^X; ds sin H p»^Y; ds sin H p'aZ;

^~^— ~5h"'""S^' ''~«>'=~5ïr""5^' ^~^ = ""rfH IT'

Les seconds facteurs sont les cosinus (28) des angles de la rectifiante avec les demi-axes coordonnés. Donc on a, sans ambiguïté,

/ \ -r ds sin H

distance qu'on doit porter, selon qu'elle est positive ou négative, sur la rectifiante prise dans son sens (n® 12) ou sur son prolongement en arrière

de M.

18. Courbure, et cambrure de cette arête. — Pour les calculer, il faut

d'abord avoir la longueiu: de l'élément de cette courbe répondant à ds. Différentions pour cela les équations (28), nous aurons

X' d^ = dx — dj-i '

expressions que la formule (y^) du tableau réduit à une autre forme ; en sorte qu'on a, pour les projections de l'élément sur les axes des x, j, s,

(3o) d^=-P^d^. dn=^-P^d±, dr^-Qd^i

"^ dP ''^* d^ ^ dP

OU — ^ d multiplié successivement par les trois cosinus (2 3) des angles

de la rectifiante avec les mêmes axes. Donc la longueur de l'élément est

/o \ p r ds I ,/fosin'H dCLsinU)

(3l) — ^d = -T— ûrf — Tû — == ■ . „ S

^ ^ A. ,j9 sinH an smH

et son sens est le même que celui de la rectifiante quand cette expression est positive.

Divisant successivement cette longueur par Tangle dH de deux tangentes consécutives à Tarête, qui sont les droites rectifiantes (n*^ 16), et par l'angle

— = — ;r-^ (n** 15) de deux plans osculateurs à cette même courbe, qui sont

les deux plans rectifiants de la courbe donnée en M et M', on obtient :

Pour le rayon de courbure de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante.

et pour son rayon' de cambrure,

^^^^ ~d^''—o — ds

dp

19. Plus courte distance de deux rayons de courbure consécutifs de la courbe donnée. — Les rayons de courbure ne se rencontrent pas deux à deux comme les tangentes ou coftune les droites rectifiantes; ils forment une surface réglée gauche ou non développable. Cherchons la longueur infijiiment petite de la plus courte distance de deux rayons consécutifs et sa position.

Les rayons en M et en M' ont- respectivement pour équations

(34) Ir:^ ^'LriZ = i^il ,

jdx ydv jdz

a^ as as

(35\ g — (jg+^) n — {j^dy) ^ ti—(^Z'^dz)

^d^'^'^d^ ^i-^^i ^di-^'^dT

3o MEMOIRE

En appliquant à ces deux équations la formule connue f), on obtient, pour la plus courte distance, l'expression

X', dx + Yi dj+ ils dz

qui se réduit, au moyen des formules (m'), {ri) du tableau de la Note II, à

(36) - — . = ds cos H. .

Pour avoir les coordonnées du point où cette perpendiculaire commune rencontre l'un des deux rayons, le second par exemple, faisons passer par le premier un plan qui la contienne; le point où il coupera le second sera le point cherché. H est facile d'avoir l'équation de ce plan, car sa normale devra être à angle droit : i^ sur la perpendiculaire commune, et, par conséquent, sur la droite rectifiante, dont les angles avec les trois axes ont des cosinus proportionnels à X, , Y',^ Z', ; ^ sur le premier rayon, dont les angles ont

des cosinus proportionnels à rf^, d-^^ ^^*

Donc (n^ 11) l'équation de ce plan, qui passe par le point M, sera

(l.)(Y;rfJ-z,4)+(»-r)(z,dJ-x;4)l

Éliminant « — j, ^ — z entre cette équation et celles (35) du second rayon,

( ) En gênerai, si = — —- = et y- = — -—» = — -^ — sont les équations de

deux droites , leur plus courte distance est la distance d'un point quelconque de la première à un point quelconque de la seconde, projetée sur une troisième droite qui soit à angle droit sur toutes deux. Les cosinus des angles de celle-ci, avec les trois axes coordonnés, sont proportionnels à hd — cV^ ca' — ac', aA'— ha\ ainsi qu'il résulte du théorème cité n^ II. On a donc, pour la plus courte distance ,

V'(6c'— cb' Y 4- (cfl'— ac' Y + {û6'— ha* y

SUR LES LIGNES COURBES NON PLANES. 3l

on obtient, eu égard à ce que [formule (Â) du tableau] dyd -j dzd-^=i-j-^

Le second membre se réduit, au moyen des formules {m')^ (o^) du tableau, à , / t . ty ^t l'^ï^ peut, dans le preiftier, effacer dx au numérateur, et

d^ -1- au dénominateur. On a ainsi, pour les coordonnées ^, w, ^ du point où le rayon de courbure en M est le plus rapproché possible du suivant,

.dx ^dy ^dz

(37) ?-^=^-sr' ''-^=-p^*'-dr' ^-^=]?+7«-^îr'

et par conséquent, pour la distance de ce point au point M de la courbe.

(38) ^p-,33^, = psin»H;

et pour sa distance an centre de courbure,

(39) p^j^ = pcos»H.

Nous nous occuperons, à la troisième partie, de la courbe formée par l'ensemble de points semblables; nous nous bornerons ici à calculer la longueur de son élément ou de la distance des deux points ainsi placés sur le rayon de courbure en M et sur le rayon de courbure en M'; elle a, pour projections sur les trois axes, les longueurs de rff , dn^dl^ tirées des équations (87). On trouve, en se servant des formules (w') du tableau, et réduisant ensuite ce qui en provient avec le terme dxy

ipK idx ,dx

rf \ jy ds ûds^ vds ^ j 0%} " ds j r*^

(40) d%^——= / H-rfp^.-^-, c&,= .., <=...;

en sorte que le petit élément est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé sur la plus courte distance — , qui fait, avec les axes, les angles dont

les connus sont les expressions (24), et sur une petite ligne ^-i^fv portée

parallèlement à l'un des deux rayons (évidemment sur le second) . La longueur \d^^ -h rfw^ -f d^^ de ce petit élément est

20. Sphère osculatrice; son centre et son rayon. — Cherchons le rayon et la position du centre de cette sphère. Nous avons dit (n® 12) que ce centre se trouve à l'intersection de trois plans normaux consécutifs, ou, ce qui revient au même, à Tintersection de trois droites polaires consécutives.

L'équation du plan normal en M est

(? — x) dx -\- [m — j) dy H- (^ — z) dz = o.

Pour en déduire celle du plan normal en M', il suffit de changer ^, /, z en x-^-dx^ y-hdy^ z-+-dz^ ce qui donnera (^ — x — dx) [dx ■+- d^x)-^ . . .=0; comme il ne s'agit que d'avoir les points communs aux deux plans, on peut combiner cette nouvelle équation avec la première, de manière à la simplifier. On a ainsi, en supprimant les infiniment petits du troisième ordre,

(? — x) d^x 4~ (w — y) d-y H- (Ç — z) d^z = ds^.

Nous pouvons, sans poser l'équation du troisième plan, éliminer ^ — 5;, par exemple, entre celles-ci, ce qui nous donnera, pour l'une des équations de la droite polaire résultant de l'intersection des deux plans,

et changer, dans cette équation, a*, j, z en x-i-dx^ yA-dy^ z-hdzj pour avoir une équation de la droite polaire suivante. On obtient ainsi

(0 — .r) (Y-^dY) — {«—7) {K-i-dX) = dz(is'-hd{dzds^) — {Xdy—Ydx).

Le second membre, moyennant la formule (a') du tableau, qui change Xfij — Ydx en ds^d-^,se réduit à

dzds' -]- ^ d {ds'Y,

en sorte qu'en combinant cette équation avec la précédente, on obtient, pour la coordonnée ^ du centre de la sphère,

dz

(42) g — a: — xdY—YdX ~ Xd'x+Ydy + Zd'z'

On aurait pour n, ^ des formutes analogues, et ces expressions reviennent à celles de Monge (Mémoire cité de 1 77 1 , xxiv),

On ne pourrait en déduire le rayon R de la sphère osculatrice sans s'engager dans des calculs extrêmement compliqués; mais on simplifie ces expressions en remarquant que SXdsd^s — ds^ dX revient k — ^^^573» ^t ^^^ remplaçant le trinôme du dénominateur par sa valeur en fonction de la courbure et de la cambrure, valeur qui est -j^; elles deviennent ainsi

et elles sont susceptibles d'être transformées encore au moyen de celles f^g = e rf^ [(/) du tableau], d'où l'on tire la valeur de </ ^ et deux valeurs analogues pour rf^, d j^^œ^ax donne, en substituant,

djc dy j ^

(44) ^-^^p-dT-^-^'d?' '-^-P-dT^-dT-d?' ^-^-P ds -^ds ds^

Ces expressions donnent le moyen de déterminer géométriquement, d'une

jdx P ds

manière simple, le centre de la sphère osculatrice; en effet, -^ - et les deux autres quantités semblables sont les cosinus des angles que fait le rayon de courbure avec les trois axes des .r, /, z, tandis que ^^ et les deux autres

quantités semblables sont les cosinus des angles que fait la binormale (n^ 12) avec les mêmes axes. On voit que, si par le centre de courbure on élève sur le plan osculateur une perpendiculaire d'une longueur égale à

x.dp

l'extrémité de cette parallèle à la binormale, tirée dans son sens, sera le centre de la sphère osculatrice.

En ajoutant les carrés des expressions (44) ? on obtient le carré de l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur cette ligne et sur le rayon de courbure, ou le carré du rayon R de la sphère osculatrice. On a donc cette expression simple (que l'on prend toujours positivement)

La tangente de l'angle formé par le rayon de la sphère avec le rayon de courbure est

Si l'on veut avoir le cosinus de l'angle formé même par le rayon R et parla perpendiculaire commune aux deux rayons de courbure , on n'a qu'à multiplier, deux à deux, les expressions (44) ^t les cosinus (2 4) des angles formés par la rectifiante avec les trois axes coordonnés, et qu'à ajouter les résultats divisés par R. On obtient ainsi, eu égard aux réductions résultant des formules (A) , (m) , [q) du tableau , pour ce cosinus ,

dp

(4?) /-^— - •-»- = »«»H.^ = sin H sin (R,p).

21. Lieu des centres des sphères osculatrices, ou arête de rebroussement de la surface polaire [appelée aussi développée par le plan]. — Pour

[*) Les expressions nouvelles (45) et (46) pourraient être déduites de celles moins simples que M. Oli vier a données dans son Mémoire du 24* cahier du Juurnal de l 'École Polytechnique, page 72.

avoir la longueur de F élément de cette courbe, répondant à l'élément ds de la courbe donnée, sans faire sur ces deux courbes aucune particularisation , il faut difFérentier les expressions (44) des coordonnées ^, n, ^du centre de la sphère osculatrice. On a ainsi, eu égard aux formules (/), (a') du tableau,

ce qui donne, pour l'élément dont ces trois quantités sont les projections,

quantité qui sera portée, si elle est positive, sur la droite polaire tirée dans le même sens que la binormale à laquelle cette droite est parallèle.

Si Ton veut avoir le rayon de courbure et le rayon de cambrure de cette même ligne courbe , il faut diviser l'élément, successivement, par l'angle des deux tangentes consécutives , et par l'angle des deux plans osculateurs consécutife.

Ces deux angles sont, respectivement, — et — ; en effet, comme l'a ob-

serve Fourier, les deux tangentes à la courbe dont nous nous occupons sont des droites perpendiculaires aux deux plans osculateurs à la courbe donnée, et font le même angle que ceux-ci ; et les deux plans osculateurs de cette même courbe, lieu des centres des sphères osculatrices, sont perpendiculaires aux deux tangentes à la courbe donnée, et font par conséquent le même angle que ces tangentes.

On a donc , pour le rayon de courbure de l'arête de rebroussement de la surface polaire,

(*) Il est facile d*avoir les coordonnées Xy ^'y ^ du centre de courbure de cette arête ; car, ainsi que Fa remarqué récemment M. Lemonnier [Nouv, Ann. de math, de MM. Terquem et Gérono , novembre i845y p. 61 1), son rayon de courbure est parallèle à celui de la courbe donnée, puisque son plan osculateur et son plan normal ne sont autre chose que le plan normal et un plan parallèle au plan osculateur de la courbe donnée. On a donc , d'après les expressions (44) y (49)>

dx dx dx

* ^m m^rilî^ / ». t m,jJm.\ i Jm tt J m. m^t m,. m. Ji m». I ri n

ds . t^ppX lu I sdùY ds ^dù pX v judù ^ ds . ^.

tis ds ds^ \b ds dsj ds ds df^ ds ds ds

et pour son rayon de cambrure,

Ce qui fait voir que la réciprocité , remarquée par Fourier, entre les deux angles de courbure et de cambrure de la courbe donnée, et de sa développée par le plan, ne s'étend pas à ces deux affections elles-mêmes , comme on Ta cru quelquefois {*). La courbure de la développée par le plan ne pourrait être égale à la cambrure de la courbe donnée, et réciproquement, qu'en des points isolés pour lesquels il y aurait égalité entre les longueurs des éléments correspondants dset^ds-hd %^ j des arcs de ces deux courbes , ce qui exigerait qu'on eût, en ces points,

22. Lieu des centres de courbure. — Soient Ç, >i, Ç^ les coordonnées du centre de courbure répondant au point M (j?, j, z); on a, d'après les expressions (8) ,

, dr jdjr dz

y ^ ds ^ ds c^ ^ ds

On peut, sans particulariser la courbe non plane donnée, trouver, au moyen de ces expressions, quelques propriétés de la ligne courbe de ces centres qui, comme on sait, n'en est point ime développée.

Si l'on difFérentie, on a, eu égard aux formules (w') du tableau de la Note II,

, dx

(5i) e/Ç = £— ^I^H-rfp'-^p' rfw = ..., rfÇ=...;

(*) M. Olivier, à la page 66 du Bfcmoire cité , dit très-bien que Ton ne saurait admettre que k rayon de courbure de Paréte de rebroussement soit le rayon de flexion (cambrure) de la courbe donnée ; et M. Abel Transon remarque, dans une communication faite le 3 août i844 à la Société philomatique (Journal / 'Institut)^ que , faute d'avoir fait la distinction entre l'angle infinitésimal de deux plans osculaleurs et Tafïectîon mesurée par le rapport entre l'arc élémentaire de la courbe et cet angle, Lancret est tombé dans une erreur, article IV, et surtout article VI de son premier Mémoire, lorsqu'il dit qu'en développant la surfÎEice polaire , l'arête de rebroussement devenue plane a pour courbure , en chaque point , la deuxième courbure de la courbe donnée, quoiqu'il ait très-4)ien aperçu , plus loin , que les longueurs des arcs ne sont pas les raicmes.

d'où, pour la longueur \d^^ + e/w* H- rf^^ de rélément de la courbe dont nous nous occupons,

Cet élément, qui est la ligne de jonction de deux centres de courbure consécutifs, est donc placé sur la surface polaire, et, par conséquent, dans le plan normal en M à la courbe donnée, et il est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont l'un des cotés, porté sur le second rayon de courbure, est l'excès dp de ce rayon pH-c?p sur le premier p, et dont l'autre côté, porté sur la droite polaire répondant à M, a pour longueur

tds.

L'angle que la tangente à c^tte courbe fait avec la hinormale à la courbe donnée, qui est parallèle à la droite polaire, a pour cosinus le quotient de cette expression par la précédente, ou

en sorte que cet angle est égal à celui que fait le rayon de courbure avec le rayon de la sphère osculatrice.

Et l'angle formé par la même tangente à la courbe des centres de courbure avec le rayon de la sphère osculatrice, qu'elle va couper quelque part (puisque ces deux droites sont, l'une et l'autre, dans le plan normal à la courbe donnée) , a pour cosinus la somme des produits, deux à deux, des projections (44) du rayon de la sphère, et des projections (5i) de l'élément,

divisée par ce rayon R, et par cet élément — ? c'est-à-dire (53)-b?[(/-^+^-g)(''f'-^+^-g)+( X )+( )( )

sin a ( arc cos ^ j •

On trouverait de même, au moyen des expressions (24), (5i), (62), pour le cosinus de Tangle formé par la même tangente, avec la direction de la droite rectifiante, perpendiculaire commune aux deux rayons de courbure consécutifs , •

Ces divers résultats seront interprétés et démontrés géométriquement à la troisième partie. On voit que si nous y sommes arrivé analytiquement sans de longs calculs , c'est grâce à la précaution que nous avons prise de préparer d*avance un recueil (Note II) de formules de transformation et de réduction propre aux recherches sur les courbes dans l'espace.