TROISIÈME PARTIE
Démonstration géométrique des mêmes tfœorèmes, et de quelques autres .
25. Angle de deux rayons de courbure consécutifs. — Reportonsnous aux définitions et aux notations du n° 12, qui termine la première partie, sans plus nous occuper de la manière dont nous avions, aux numéros qui précédaient, exprimé en fonctions des différentielles des coordonnées
d'un point quelconque d'une courbe dans l'espace, les angles — ? — ? de
deux tangentes consécutives et de deux plans osculateurs consécutifs, en . des points M, M' de la courbe dont la distance infiniment petite est ds ; car, dans ce qui va suivre, nous ne ferons plus usage de coordonnées, et nous supposerons que les longueurs finies, désignées par p, t^, sont connues en chaque point de la courbe.
Cherchons à exprimer, au moyen de — ? — > l'angle, aussi infiniment pe-
tit, désigné par — > que forment ensemble les deux rayons de courbure aux points M, M'.
Soient trois éléments consécutifs MM', M'M'^ M'^M"' de la courbe {fig. 4)-
Appelons P le plan MM' M" des deux premiers, ou le plan osculateur en M, et P' le plan M'M'^M''' des deux derniers, ou le plan osculateur en M'.
Par le point de concours M' des deux pFcmiers éléments, menons trois droites :
I**. L'une M'G, dans le premier plan P, perpendiculairement au premier élément MM' : elle sera parallèle au rayon de courbure en M ;
2*". L'autre M'C dans le deuxième plan F, perpendiculairement au deuxième élément M'M" : ce sera le rayon de courbure en M' ;
3"*. La troisième M'B, dans le premier plan P, perpendiculairement au deuxième élément M' M''.
Celle-ci fera, avec la première MG, im angle — ? puisqu'elles sont perpendiculaires respectivement aux deux .premiers éléments, et situées dans leur plan P; et elle fera, avec la seconde M'C, un angle — > puisqu'elles sont comprises dans deux plans osculateurs consécutifs, et perpendiculaires à leur intersection commune; en sorte que leur angle est le même que celui des deux plans. Quant aux deux premières, leur angle sera celui des deux rayons de courbure. On a donc les angles
BM'C = -, BM'G' = -, GM'G'=^.
Ces trois angles infinitésimaux sont mesurés respectivement par les petites
lignes
BG, BC , ce ,
si l'on suppose que les trois droites, menées du point M', ont pour longueur l'unité.
Or, le petit triangle GBC, dont le plan peut être considéré comme perpendiculaire à l'une quelconque des trois droites, à la troisième M'B par exemple, est rectangle en B, puisque le plan BM'C, formé sur deux droites perpendiculaires au second élément M'M'^, est perpendiculaire au plan BM'G de la première et de la troisième droite, qui n'est autre chose que le plan P contenant cet élément M'M'^.
Donc
cg^'=bgVbc^\
4o MÉMOIRE
OU
ds^ ds* ds'
De plus, comme la petite base de la pyramide triangulaire MBCC^ est négligeable devant ses faces, et comme celles-ci ont pour aires les trois angles au
sommet ^? — » — ? ^^ voit que la projection du petit angle — sur un plan
quelconque est égale à la somme des projections des deux petits angles de
courbure et de cambrure — ? — sup le même plan.
Ces deux résultats, démontrés analytiquement aux n®' 13 et 14, motivent la dénomination d'angle de courbure et cambrure composées, que nous don-
ds
nons quelquefois à la rotation — du rayon de courbure, en raison de ce
qu'elle est comme la résultante des rotations — > — de la tangente et de la binormale.
24. Angle de la c^roàc rectifiante , perpendiculaire aux directions de deux rayons de courbure, as^ec la tangente. — Par les deux tangentes consécutives M*, M Y [fig^ 5), Élisons passer les deux plans dits rectifianJts, respectivement perpendiculaires aux plans osculateurs en M, M^ et, par conséquent, aux rayons de courbure aux mêmes points. Si, par un point h de leur intersection M&, qui est la rectifiante dont nous nous occupons, on abaisse des perpendiculaires bt^ bt' sur les tangentes M^, M^% elles seront perpendiculaires aussi aux plans osculateurs en M et en M'.
Donc on a leur angle
tbt' = ^.
Mais on a Fangle des deux tangentes
Si donc, sur la tangente, on a la longueur Mt ou M^^ = p, on aura la petite ligne m' = fl^, et la perpendiculaire tb = ^.
Donc on a, pour l'angle H que forme, avec la tangente, la rectifiante M'^
OU Mè , qui est la droite perpendiculaire aux directions de deux rayons de courbure consécutifs :
tangH=^
l'avons fait au n"" 14),
= — =—7 sinH = — , =— ?
comme on Ta démontré analytiquement au n° 15.
Ce théorème, et celui du numéro précédent, ont été démontrés par Lancret, d'une manière moins simple et moins directe, par des considérarations de trigonométrie sphérique et des développements de cosinus en série.
Es se vérifient mutuellement : car, d'après ce qu'on vient d'écrire, la perpendiculaire tkj abaissée de l'angle droit sur l'hypoténuse Mè, doit avoir
la longueur A; et, en efiet, le petit angle tkt' = -r> formé sur deux lignes
sensiblement perpendiculaires à l'intersection des deux plans rectifiants, est
bien l'angle que nous avons appelé — au numéro précédent.
25- Cônes osculateurs. — Les divers plans osculateurs de la courbe donnée forment, par leurs intersections mutuelles, une surface développable dont l'arête de rebroussement est cette courbe elle-même. Cette surface des tangentes ou des éléments prolongés de la courbe donnée a le rapport le plus intime possible avec elle; elle est aux courbes non planes ce que leur propre plan est aux courbes planes.
Tout plan rectifiant coupe normalement cette surface suivant une de ses génératrices rectilignes, et la surface rectifiante formée par les intersections des plana rectifiants consécutifs est sa déi^eloppée, comme l'a remarqué Lancret.
La surface rectifiante doit donc contenir tous les centres de courbure principale ou maximum de la surface des tangentes.
f\1 MEMOIRE
C'est ce qu'on peut voir facilement. La courbure principale de la surface des tangentes est égale, au point t par exemple {fig- 5), à l'angle des deux plans osculateurs qui lui sont tangents suivant ses génératrices M^, M'^', divisé par l'élément t£ de sa section faite normalement à M^. Donc cette courbure est -, d'après cequ'ona vu au numéro précédent, et le point è, appartenant à la droite rectifiante Mè, est un centre de courbure principale de la surface des tangentes. La même chose se vérifierait pour tous les autres points de Wb et des autres droites dont l'ensemble forme la surface rectifiante.
Décrivons donc un cercle du point h comme centre, avec le rayon ht=^x,. Il sera osculateur, en ^, à la section de la surface des tangentes, faite par le plan qui le contient.
Si l'on imagine un cône oblique indéfini qui ait ce cercle pour base, et le point M de la courbe pour sommet, toute section circulaire de ce cône, faite perpendiculairement à son apothème Mf , donne le cercle de plus grande courbure de la surface des tangentes, au point où l'apothème est coupé. Gomme la section normale de plus petite courbure, au même point, est la ligne droite M^ elle-même, suivant laquelle le cône touche la surface, il résulte du théorème d'Euler sur le rapport des courbures des diverses sections normales passant par le même point d'une surface, et du théorème de Meusnier sur le rapport des courbures des sections obliques aux courbures des sections normales passant par la même tangente à une surface, que toute section plane du cône aura un contact du second ordre avec la section de la surface dont nous nous occupons, par le même plan.
Donc le cône oblique en question est osculateur à cette surface des tangentes à la courbe, dans toute l'étendue de la génératrice commune.
On peut encore imaginer un cône droit qui ait pour axe la droite rectifiante M6, et, comme l'autre, M^ pour apothème; il est également osculateur à la surface des tangentes, car le rayon kt de sa section circulaire, passant par le point t, est égal à t/cos {ktb)\ et, en vertu du théorème de Meusnier, t cos {ktb) est aussi le rayon de courbure de la section de cette surface, faite par le plan du même cercle. Mais ce cône droit ne donne pas, comme le cône oblique, les cercles de courbure principale de la surface des tangentes, car les sections perpendiculaires aux génératrices de celles-ci sont elliptiques.
Ces deux cônes ont trois points communs avec la courbe donnée, comme il est Ëicile de le prouver rigoureusement en posant leurs équations (*).
26. Théorème général sur les surfaces développables . — La section, soit du cône oblique, soit du cône droit du numéro précédent, par un plan perpendiculaire àson apothème et passant par son sommet, ou infiniment près de son sommet, a un rayon de courbure nul ou infiniment petit.
Donc la section de la surface développable des tangentes, et,- en général, de toute surface développable par un plan normal à l'arête de rebroussement, et même par tout plan ne passant pas par une de ses génératrices, possède, à la rencontre de cette courbe, un de ces points de rebroussement ou le rayon de courbure est zéro et ou la courbure est infinie.
Je ne me souviens pas d'avoir vu ce théorème énoncé nulle part.
27. Angle de deux droites rectifiantes. Arête de rebroussement de la surface rectifiante, — Soient, aux deux points M, M' de la courbe, MT, M'T' {fig. 6) les deux tangentes, et M/, WU! les deux droites rectifiantes qui se rencontrent en /; on aura, pour Tangle infinitésimal que ces deux droites
font l'une sur l'autre,
mW = /M'T — /MT.
Le second /MT des deux angles finis qui sont dans le second membre n'est autre chose que l'angle H; le premier /M'T est égal à /M'T', puisque le plan des deux tangentes peut être regardé comme perpendiculaire au plan de ces deux angles, et cet angle /M'T' est H -h d¥L. Donc on a, pour l'angle M/M' de deux droites rectifiantes consécutives,
M/M'=rfH,
comme nous l'avons trouvé analytiquement au n° 16.
{*) M. Olivier (Mémoire de Géométrie descriptive. Construction des points d'inflexion d*une courbe tiacée sur une surface développable, Journal de l'École Polytechnique , 22® cahier, note IH, p. 119- 1 20) parle de ces *dcux cônes osculateurs pour le cas de la surface des tangentes à Thélice, et montre ijif on a également des cônes droits osculateurs pour une surface développable quelconque, Monge avait déjà observe qu'une surface développable peut être regardée comme composée d'une infinité (Fôléments de surfaces conicpies dont les sommets sont consécutivement placés sur son arête de rebrous spment, et dont les axes sont les arêtes rectilignes de sa surface développée.
Une perpendiculaire MP', menée du point M sur la seconde droite rectifiante, a pour longueur MM' sin /MT, ou
ds sin H.
Donc, si L est la longueur M/, distance du point M de la courbe donnée au point correspondant de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante, on a
ds sin H ,„ j ds sin H
comme nous l'avons trouvé analytiquement au n"" 17.
Si par le point / de l'arête de rebroussement on abaisse les perpendiculaires /T, /T, sur les tangentes MT, M'T', et si, par le point /' de la même arête, qui résulte de la rencontre de la droite rectifiante M'/' avec la suivante, on abaisse une perpendiculaire /'T' sur la seconde tangente, on a
IT = /T, = L sin H, /'T' = L sin H 4- rf (L sin H).
Donc, si dans le plan du trapèze T^ ll'V on mène Iq parallèle à TT', on aura
rf(LsinH) = r^ = //'sin(H + (^H);
■ d'où, en supprimant *é/H devant H,
jn j d (LsinH) .
sin H
expression de l'élément de l'arête de rebroussement que nous avons trouvée analytiquement au n° 18, et dont on déduit immédiatement le rayon de courbure et le rayon de cambrure de cette arête en la divisant successivement par fl?H, angle de ses deux tangentes, et par— = . angle de ses deux plans osculateurs en / et /'.
28. Plus courte distance d£s rayons de courbure consécutifs menés en M, M'. — Elle est égale à la ligne de jonction de deux points quelconques pris sur ces deux rayons, par exemple à la ligne MM' = ds, projetée sur une ligne perpendiculaire à tous deux. Or la droite rectifiante en M est à angle droit sur les directions des deux rayons, et elle fait, avec MM', l'angle H.
Donc la plus courte distance des deux rayons a pour longueur
ds cosH, ou
comme nous Tavons trouvé analytiquement au n*" 19.
29. Points ou chaque rayon de courbure passe le plus près du rayon suwant. — Ce sont les points tels que e {fig- 7) où la petite perpendiculaire commune es, qui mesure la plus courte distance, vient couper le premier rayon M^.
Pour en déterminer la position , menons par e une parallèle e P' au second rayon M'gCy, jusqu'à la rencontre, en P', de la droite rectifiante qui passe par M', et qui peut être regardée comme parallèle à eg. On a, pour l'angle des directions des deux rayons de courbure, comme on a vu ,
A p sinH
On a aussi la petite perpendiculaire ^V ^=id^ sm¥L . I^e triangle P'eM doime
Me — r-TT = dsmi H,
p sm H
d'oii, pour la distance du point e dont nous nous occupons au point M de Ja courbe,
Me= psin* H= û-r-- r-
On en déduit, pour la distance p — Me du même point e, au centre de courbure O,
Oe = û cos^ H = p -~-i'
Ces résultats, trouvés analytiquement au ïf 19, font voir que le point où un rayon passe le plus près du suivant est toujours compris entre la courbe et son centre de courbure, et quU partage cette distance, ou^le rayon de courbure proprement dit, en deux parties qui sont entre elles comme les carrés de la courbure et de la cambrure.
On a M'e = F^ == Me, à cela près d'une quantité infiniment petite d'ordre supérieur. Donc, si e' est, sur le second rayon, le point où il passe le plus près du rayon suivant, on a
se' = d.psin^ H;
d'oii, pour la petite ligne de jonction ee' des deux points analogues des deux rayons,
ee' = \/(rf^cosH)^-h(rf.psin^H)%
expression démontrée analytiquement au n"* 19.
On voit que l'élément ee' de la courbe formée par l'ensemble des points tels que e n'est pas généralement à angle droit sur les rayons de courbure ; il fait, avec eux, un angle fini dont la tangente est
dscosU.
d(p sin^H)
Il est facile de voir, soit par les formules, soit par des considérations géométriques, que le même élément fait, avec la tangente et avec la binorniale à la courbe donnée en M, des angles dont les cosinus sont respectivement
— -, cosil, — -, smH.
ee ^ ee
Mais les points e jouissent d'une autre propriété. Ils sont des centres de courbure principale de la surface rectifiante. En effet, les deux côtés égaux ^M, eï^ du triangle MeP' sont respectivement perpendiculaires aux deux plans rectifiants consécutifs, et le plan de ce triangle isocèle est perpendiculaire à la droite rectifiante M/; donc e e^t le centre de la courbure, en M, de la section de la surface faite perpendiculairement à sa génératrice rectiligne.
Si Ton joint chaque point e avec le point correspondant /de l'arête de rebroussem^nt de la surface rectifiante, la suite des droites e/, intersections de la suite des plans passant par chaque rayon de courbure et par la droite rectifiante correspondante, formera une surface dé veloppable, sur laquelle se
trouveront tous les centres de courbure principale de la surface rectifiante, et qui est à la surface rectifiante ce que celle-ci est à la surface des tangentes.
Si MI est une ligne menée perpendiculairement à la droite el^ on aura, en vertu d'une propriété de la perpepdiculaire, abaissée de l'angle droit de tout triangle rectangle sur l'hypoténuse,
m M« Mi P*«'»*H L'
Donc, en joignant Fl, on a, pour l'angle MIP' = ^^ , que font ensemble les deux plans tangents consécutifs de cette nouvelle surface, ou pour \ angle de cambrure de son arête de rebroussement,
Nous ne pousserons pas plus loin l'étude de cette surface, développée de développée de la surface des éléments prolongés de la courbe donnée .
50. Surface gauche des rayons de courbure. Surface gauche des binor-maies. Ligne de gorge ou de striction de ces deux^slirfaces , et de toute surface réglée. — Comme les rayons de courbure ne se rencontrent pas deux à deux , .ils font ensemble une surÊice réglée non développable, c'est-à-dire une surface gauche. ^
La ligne courbe, formée par la suite des points e {fg. 7), oii chaque génératrice rectiligne de cette surface gauche passe à la plus peti);e distance de la génératrice suivante , peut être appelée sa courbe de gorge ou de strietùm, car elle y joue le rôle du cercle de gorge d'un hyperboloide de révolution à une nappe, ou de la directrice rectiligne d'un conoîde, que M. Vallée appelle sa ligne de striction ou d'étranglement.
IjCs binor maies (n^ 12) à la courbe donnée font ensemble une autra surface gauche dont la gorge est cette courbe même, car la plus courte distance de deux de ses génératrices consécutives est l'élément même de la courbe donnée, qui se trouve compris entre elles.
Toute surface réglée a une courbe de gorge, et cette courbe fait, avec les génératrices rectilignes, des angles qui peuvent avoir toutes les grandeurs possibles.
Quand ces angles sont tous nuls, ou quand la gorge est tangente aux génératrices, la surface est développable, et la gorge n'est autre chose que son arête de rebroussement.
Quand ces angles sont tous droits, comme pour la surface des binormales dont nous venons de parler, on a un genre de surfaces réglées opposé, en quelque sorte, aux surfaces développables, ou occupant l'autre extrémité de l'échelle. On peut les appeler surfaces à gorge orthogonale {*).
51. Sphère osculatrice. — Soient MO = p, M'C = p -+- dp [fig- 8), les rayons de courbure aux points M, M' de la courbe donnée; OC, O'C les droites polaires y élevées par les centres de courbure 0,0', perpendiculairement aux deux plans osculateurs correspondants et dans le sens des binor-
(*) Toute surface réglée à gorge orthogonale peut , réciproquement , être considérée comme formée par l'ensemble des binormales à une courbe, qui est cette gorge même, car chaque génératrice est perpendiculaire à la fois sur deux éléments contigus. Si la gorge est une ligne droite , les génératrices peuvent être dirigées d'une inûnité de manières perpendiculairement à cette ligne, ce qui donne tous les conoïdes droits.
Une surface réglée est déterminée, comme on sait, quand on donne trois courbes directrices. Si Ton donne sa gorge, on n*a besoin que d'une autre directrice, pourvu , toutefois, que Ton donne aussi Tune de ses droites génératrices. En effet, si par un point M' pris sur la courbe de gorge infiniment près de celui M où elle est coupée par la génératrice donnée , on abaisse une perpendiculaire sur cette génératrice , ce sera la plus courte distance de cette droite à la génératrice en M' ; donc un plan mené par M' perpendiculairement à cette petite perpendiculaire coupera la seconde directrice donnée en un point qui , joint à M', donnera une deuxième génératrice, et l'on obtiendra ainsi successivement toutes les génératrices composant la surface.
Ne prévoyant pas que je puisse continuer des recherches sur ce sujet, qui me paraît intéressant, je crois devoir proposer ces questions, entre bçaucoup d'autres, aux géomètres qui s'occupent de la théorie des surfaces réglées: i® Sur la surface gauche formée par l'ensemble des rayons de courbure d'une courbe donnée , peut-on tracer une seconde courbe dont les génératrices de la surface soient aussi les rayons de courbure? 2^ Toute surface réglée peut-elle, pourvu qu'elle ne soit pas développable, être considérée comme formée par l'ensemble des rayons de courbure d'une certaine courbe? Où est cette courbe ? Et , s'il n'y a que certaines surfaces gauches qui jouissent de cette propriété , quels sont leurs autres caractères distinctifs ? 3° Quelles sont les surfaces réglées dont la gorge fait un angle constant avec les génératrices ; quelles sont celles dont la gorge est une ligne droite oblique aux génératrices? etc.
maies (n^ 12). Ces deux droites se rencontrent en G, centre de la sphère
ds
osculatrice, et Ton a leur angle OCCy = — ? puisqu'elles sont perpendiculaires aux plans osculateurs menés en M, M^
La partie QC du second rayon de courbure, comprise entre les deux droites polaires, a pour longueur rfp, puisque ces droites sont , ou perpendiculaires ou infiniment peu obliques aux deux rayons.
Donc on a, pour la distance finie QG ou OC du centre de courbure au centre de la sphère,
çyn ^ ^^9 .
ds ds ^
et le rayon de là sphère, MO, hypoténuse du triangle rectangle construit sur le rayon de courbure MO et sur cette droite polaire OC, a pour longueur
comme on Fa trouvé par l'analyse, au n^ 20, ainsi que l'expression
de l'angle qu'il &it avec le rayon de courbure.
La projection du rayon MG de la sphère osculatrice , sur la droite rectifiante, est égale à la somme des projections de MO, OG sur cette même droite; mais la projection de MO est nulle, puisque la droite rectifiante est perpendiculaire au rayon de courbure; donc, comme l'angle que fait avec la droite rectifiante la ligne OG, parallèle à la binormale, est
0Êm
H, on a, pour le cosinus de l'angle du rayon de la sphère^iavee la
droite rectifiante,
cos MGO sinH = sin H^ >
comme nous l'avons trouvé aussi au n^ 20.
52. Lieu des centres des sphères osculatrices . -^ Il est facile d'avoir la
5o MEMOIRE
longueur de son élément CC' {fig- 8), distance des centres C, C des sphères osculatrices en M, M'. En effet, comme CCy == GQ, àcela près d'un infiniment petit du second ordre, on a T élément
■ ce = C'Cy - GQ = OQ -h [GOr GO) = OQ + rf ^.
H reste donc à déterminer la longueur de la petite portion OQ de la droite polaire, interceptée entre les deux rayons de courbure consécutif.
Pour cela, soient ^g la plus courte distance de ces deux rayons, et MP = ei la portion de la droite rectifiante M/, interceptée par une perpendiculaire M'P, menée de M' sur cette droite. Projetons le petit triangle MM'P en Om'p sur un plan parallèle au sien, mené par le point 0, et qui contiendra nécessairement la droite polaire OG, puisqu'il sera perpendiculaire au rayon de courbure MO. La ligne projetante Vp passe par l'extrémité g de la plus courte distance : donc le plan qui passe par M^P et par sa projection m'p^ passe aussi par le second rayon de courbure M'O'; et m'p prolongé doit passer par le point Q, où ce second rayon perce le plan sur lequel nous avons feit la projection.
L'angle QO/n' est droit, puisque la droite polaire est perpendiculaire à la direction derélémentMM'delacourbedonnée,etronaranglem'Oi?=H. Donc
O/? = ûîy cos H = OQ sinH;
d'où, pour la longueur cherchée,
OQ = ds -r^ = ^ds.
Et l'on a, pour l'élément de la courbe des centres des sphères, ou de l'arête de rebroussement de la surface polaire,
ca =tds + dA=.ds^^.
V ds ^dp
comme nous l'avons trouvé analytiquement au n<» 21.
55. Lieu des centres de courbure. — L'élément OO' {fig- 8) de cette courbe, ou la distance de deux centres de courbure consécutifs, est, d'après ce que nous venons de voir, Thypoténuse d'un triangle rectangle dont les
SUR LES LIGNES COURBES NON PLANES. 5t
deux côtés sont Donc on a
Cet élément y ou la tangente à la courbe des centres de courbure fait, avec la droite polaire en O, un angle 0'0C,dont le cosinus est
