MÉMOIRE SCR LES ROÜES A AUBES COURBES

Suite du 2 'ableav.

TKMPS pour 3$ tour* de roue.

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4,aoa

Observations.

33. On voit que les vitesses et les quantités d'action fournies par la roue, suivent une marche très-régulière , quoique les évaluations des nombres soient poussées jusqu'à la quatneme décimale. Pour reconnaître si les lois ainsi données par les expériences se rapprocllaient de celles qu'indique la théorie , noos avons mis en usage le moyen très-expéditif et très-sim[ile des courbes; et comme d'après les formules établies n". le* pressio'ns ou efforts P exercés sur la roue, suivent une loi beaucoup plus facile à vérifier que les quantités d’action qui leur correspondent , nous avons pris çes pressions , ou plutôt les poids soulevés qui leur sont propoctionneb , pour les ordoimées de la courbe , et pour abscisses les vitesses ou (dutôl les nombres de tou^s de roue pendant l'unité de temps.

II'. PARTIE, EXPÉRIE5CES SVR LES EFFETS DE CES ROUES. 3l Afin (Tolueuir une npproximation suflûante , on a représenté par a millimètres chaque centième de tour de la roue , et chaque dixième <le kilogramme du poids élevé , de façon qu’on pût construire aisément les millièmes de tours et les centièmes de kilogrammes : le nombre des uns et des autres étant donné immédiatement par les colonnes 3 et 7 du tïihicau , il a été facile d’établir la courbe des poids DMC (Jîg> 7 ), qui ne se trouve ici représentée que sur une échelle beaucoup plus petite. .

Cette courbe ne diffère sensiblement d’une ligne droite qu’à partir de l'ordonnée qui appartient à l’expérience n®. 3 1 ; dans tout le reste de son cours , les différences ne s’élèvent pas eti plus ou en moius au-delà d'un -i- millimètre , représentant d’après l’échelle a5 grammes : ces différences n’étant pas même le centième des poids correspondaus , on doit uniquement les attribuer au* erreurs inévitables des observations j et en effet , pour les fiiirc disparaître entièrement , il suffit d’altérer d’un quart de seconde seulement les nombres pcM tés dans la seconde cqIoimic du tableau, ce qui est tout -à- fait en dehors des évaluations données par l’instrument mis en usage.

a3. La théorie exposée (n“. 4), donnant pour calculer les pressions P coiv respondantes aux différentes vitesses v de la roue , la formule

• • P=2o3,8g4D(\'-fr, .

on voit que la loi générale cpi'elle indique se trouve confirmée, d’une manière en quelque sorte rigoureuse, par toutes les expériences comprises entre les u°*. i et3i du tableau. Quant aux expériences suivantes , dont les résultats s’écartent trop sensiblement de cette loi pour qu'on puisse attribuer les différences aux erreurs d’observation, rappelons -nous ( 8 ) que la formule ci-dessus n’a été établie que dans la supposition où les aubes de la roue auraient une hauteur suffisante pour ne pas laisser échapper l’eau par-dessus : or cette condiuon cesse d’être remplie ici aux environs de l’expérience 3 1 .

Pour le constater, on remarquera que la plus grande hauteur à laquelle Peau puisse s’élever dans les courbes en les pressant est (i3)dc o'",ob‘a, et que la vitesse 1 '”,1 oaS, qui serait due à cette hauteur, doit , d’après les raisons données, art. 8 , égaler ou surpasser même la vitesse relative correspondante de l’eau et de la roue, exprimée par V-d. Or, en admettant que. la vitesse de l’c.iu, à l’instant où elle entre dans la roue , ne diffère pas beaucoup de celle qui est due à la chute moyeune o“,a 34 ^o"’,oi 5 =o'“,ai 9 , au-dessus du centre de l’ouverture de vanne (ai), hypothèse qui dqu s’écarter fort peu de la

ïJÉMOiaE sua LES houes a aubes courbes.

réalité, on aura \'=a”,0727 et V — <i;=i“,ioa8, d’où 'u=o“,9699; telle est donc, dans le cas actuel , la vitesse de la roue , au delà de laquelle l’eau cesse d’agir comme le réclame la théorie. La circonférence de cette roue étant d’ailleurs de i™, 59 environ , le nombre de tours qui correspond à cette vitesse est

— nombre qui se rapporte à peu près à rexpérience trentième

du tableau.

a 4 . Au surplus, nous avons déjà fait remarquer (i 3 ) que le défaut d’excentricité de la roue et sa mauvaise construction sont d’autres causes qui font que, pour les faibles vitesses, le mouvement du système cesse d’être régulier et uniforme; l’expérience a même appris que, dans toutes les espèces de roues, le mouvement s’arrêtait long-temps avant le terme assigné par la théorie , circonstance qui doit é.galement être attribuée à ce que l’imperfection des roues de la pratique exerce une grande influence sur les petites vitesses.

On pourra donc être surpris d’après ces diverses réflexions , que l’accord de la diéorie et de l’expérience se soit maintenu aussi long-temps pour le cas de notre appareil) mais on ne saurait l'attribuer au hasard, puisqu’il s’est manifesté de la même manière dans toùtes les séries d’expériences dont nous avions pris soin de déterminer un grand nombre de termes) souvent .même les ordonnées de la courbe des poids , ne différaient que d’une quantité tout à fait inappréciable de celles d’une véritable ligne droite. Ainsi Ton doit considérer comme suffisamment exacts et conformes à l’expérience, les principes d’où nous sommes partis (4) pour établir la théorie de la roue verticale à aubes courbes : nous verrons d’ailleurs bientôt de nouvelles confirmations de l’exactitude de nos formules

a 5 . Si l’on examine les nombres portés à la dernière colonne de droite du tableau ci-dessus, on remarquera que le maximum de quantité d’action de la roue a eu lieu poui" l’expérience 37, répondant à 0,6667 T ‘J® cette roue. Pour comparer cette vitesse à celle qui est assignée par la théorie dans le même cas , il faudrait connaître la vitesse moyenne de l'eau à l’instant où elle entre dans les courbes : or il ny a que des expériences directes de la nature de celles qui seront décrites à la fin de ce Mémoire, qui puissent nous la donner d'une manière suffisamment exacte ) le moyen employé d'abord par Smeaton pour le cas des roues ordinaires, conduirait en effet ici à des résultats peu satisfaisans , attendu la forme particulière des aubes.

D'un autre côté , ptour connaître la valeiu' moyenne et absolue de la vitesse

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II*. PARTIE, EXPl^RIZKCES SUR LES EFFETS DE CES ROUES. 33

de notre roue , correspondante au nombre de tours ci-destus , il faudra d’abord aavoû' à quelle distance du centre de cette roue on doit supposer le centre d'impression moyenne de l'eau ; tout ceci rend en conséquence difficile l’évaluation du rapport exact de la vitesse de la roue et de l’eau pour l’instant du majcimum d’effet. ‘ -

Or on peut y arriver d'une autre manière à Taide des constructions établies ci-dessus (fig. 7). Il est évident, en eHèt, que si l'on prolonge jnsqu'à son intersection eu D, avec l’axe AT des abscisses , la ligne droite UC , qui repiésente la loi des poids donnés par l’expérience , la distance A D de ce point à l’origine pourra être prise , selon l'échelle , pour celle qui exprime le nombre de tours répondant à une pression nulle exercée, par l'eau sur la roue , et par conséquent à la vitesse moyenne de l’eau elle - même. On trouve ains que ce nombre est égal à 1 ^3775, dont le rapport inverse à celui 0,6667, qui répond au maximum d’effet , est 0,5a ; ce qui s’écarte très-peu du rapport assigné par la théorie (4 ) ; encore la légère différence peut-elle être attribuée à l’incertitude qui existe naturellement daus la véritable {Kisiiion du maximum , puisque les valeurs des quantités, d’action ne varient vers cette position que par degrés presque insensibles, comme findique le tableau des expériences.

36. 11 nous reste à comparer la quantité d'action rournle par la roue pour le cas du maximum d’effet, quantité qui, d’après le tableau , est égale à o*,5a8a élevés è 1^. par seconde, avec celle qui a été réellement dépensée par l'eau motrice.

Le volume d’eau dépensé par' seconde ayant été (at) , d'après Texpérience, de 3 '”' ,894a , ce qui équivaut en poids à 3 *, 894 a , d s’agit de multiplier cette quantité par la hauteur due à la vitesse moyenne et effective que possède Peau k l’instant de son arrivée sur les aubes de la roue , afin d’obtenir des résultats comparables avec ceux de la théorie , et avec ceux qui ont été publiés par divers auteurs ,. notamment par Smeafon : nous éprouvons donc ici une difficulté pareille à celle que nous avons rencontrée plus haut (a 5 ), sans avoir les mêmes moyens pour la lever.

Toutefois, si Ton veut se contenter d’une approximation , on pour;ra estimer ^ la vitesse dont il s’agit , d’après le nombre de tours qui répond k la roue supposée sans charge et soumise néanmoins è l'action du courant : la construction nous a donné (a 5 ) pour ce nombre i*,377S, qu’il faut maintenant multiplier par U circonférence de la. roue répondant an filet moyen de l’eau dans le coursier; supposant ce filet placé au milieu de la section, U resterait cncqre ' 5

34 MÉMOUIE SUR LES RODES A AÜBI» CODRBBS.

k déterminer la hauteur de cette dernière, ce qui n’est pas &cile, puisqu’elk dépend elle -même de la vitesse qu’il s'agit de trouver. Mais, en considérant que la hauteur de la section de Teau à l’endroit de la roue ne doit pas différer beaucoiq) de celle o“,o 3 qui appartient à Pouverture de 1 a vanne , de sorte que la dilTércnce., a eHe existe, ne peut qu’être une fraction très^petiie du rayon moyen qu'on cherche, on sera suffisamment autorisé à* prendre, pour ce rayon , la distance du centre de la roue an point qui se trouve placé k o*°,oi 5 au-dessus du fond du coursier, sous l’axe de cette roue: la distancé jusqu’au fond du coursier, étant d’après les mesuras directes, o'*,a 5 i, le rayon moyen de la roue sera de o™,a 36 , et sa circonférence moyome de i'°, 483 . Ainsib vitesse cherchée aura pour valeur i", 483 . i*, 3775=1’“, 895, àlaquelle répond la hauteur de chute o“',i 83 : en multipliant donc cette hauteur par la dépense 3 ’, 894a que donne l’expérience , il viendra , pour la quantité d’action fournie par l’eau du réservoir, 0^,7136 élevés à i“. par seconde ; le maximum de celle qui est fournie par la roue , étant o’^,5383, son rapport à la première sera la fraction 0,741.

Ce rapport est près de 3 7 fois celui qui a été trouvé par Smeaton pour les roues ordinaires , et ne s’écarte guère du résultat donné par les mcilleutes roifes hydrauliques connues. La théorie exposée dans la 1’*. l'artie de ce Hémmre , se trouve donc encore justifiée pour les valeurs absolues des quantités d’action , autant qu’elle peut Têtre par l’expérience ; car on se rappellera que cette théorie ne tient pas compte de plusieurs circonstances qui ont lieu dans la pratique , telles que la perte due au jeu dans le coursier , le choc de l’eau contre la roue , la vitesse qu'elle conserve après en être sortie , enfin la rénstance qu’elle éprouve par ton ascension le long des coufbes.

37. S’il était permisderegarder comme entièrement exactela vitesse moyenne i*”, 895 obtenue ci-dessus, on trouverait , en la comparant à la vitesse 3*“, 073, due théoriquement i la haiiteiu' d’eau 319 au-dessus du centre du pertnis, qu’elle n’eu est environ que les o, 93, de sorte que les 8 centièmes de la vitesse de Peau au sortir de cette vanne, se trouveraient perdus par l’effet des • résistances et des contracbons qu’éprouve le liqiùde tant k rextérieur que dans Pintéiieur du résert oir. Nous verrons plus tard , par des expériences directes, que ces nombres' s’écartent très-peu des véritables, et queda diminution 0,08 est due principalement à ce que Tcau s’échappe du pertuis avec une vitesse moindre que ne l’indique la théorie. En comparant d’ailleurs les chutes qui répondent aux vitesses i", 895 'et 3“’, 078, on trouvera qu’elles sont entre

II*.- PAKTnr, EXPERirôCK SUR LES EFFETS DE CES ROÜES. 35 elles dans le rapport de (t”,895)'à (a™, 073)’, égal à (0,9a)’ ou 0,846: de sorte que la chute de Peau à la vanne se trouve aflaiblic d’environ i 5 centièmes par les causes ci-dessus. Pour comparer également la dépense effective, qui est de 3^,894a, i la dépense théorique, ou-remarquera que l'ouverture du pertuis est id de 3 centimètres , et sa largeur de 76 millimètres à très-peu près ; ce qui donne, pour l’aire par laquelle l’eau s'échappe, o'*',ooaa8: la vitesse due i la hauteur- au-dessus du centre de l’ouverture étant d’ailleurs, d’après ce qui précède, de a™, 0737 par seconde, -la dépense théorique pendant le même temps' sera de o,ooaa8. a, 0737=0“, 0047368 ou de 4 ‘< 7 a 58 en poids, quantité dont le rapport inverse à celle que donne Texpérienç:* est 0,834.

a8. On sera peut-être ciuieux de savoir si le rapport 0,74 1 des quantités d’action trouvées au n°. 36, est précisément le coeflident qui doit affecter la formule théorique des pressions P, rappelée au n°. a 3 . Pour y parvenir , il n’y a pas d’antre moyen que de comparer cette formule à celle qui serait donnée par féquation de la droite MC (fig. 7) des poids soulevés (>ar la roue. Or nous avons déjà trouvé que l'abscisse du point D, qui répond à un poids nul, représentait i*,3775 de roue, et d’une autre part U construction donne pour le poids AP, qui correspond à une vitesse mille de la roue, 7’, 55 : donc on a , en ayant égard aux échelles respectives des ordonnées et des abscisses (33), et ( étant d'ailleurs le nombre de tours qui répond à un poids quelconque P soulevé par la rode ,

P=fHfK^ia 775 — t).

Mais (at et 3^, le poids p s’élève à la hauteur O^jSiSd, tandis que le centre d’impression moyenne de la roue décrit la circonférence i”', 483 : donc on a entre ^ et la pression P exercée sur cette circonférence, la relation ^.o,ai 88 =P.i, 483 . D’une autre part, ai étant en général la vitesse du centre d’impression dont il s’agit, on a oi=i'°, 483 t: tirant de là les valeurs de < et de P et les substituant dans Féquation ci-dessus , on obtiendra tous calculs faits,

C’est cette équation qu’il faut maintenant comparer avec la suivante ,

tnHrvée art. 4 , et dans laquelle D exprime le volume de Peau écoulée pendant une seconde ) mais on a id (3 1 et 36),

• • • D=o“,oo 3894 a, ^=1*^8955