Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre

Dans un mémoire inséré au tome IV des Œuvres complètes, Lagrange s'occupe des intégrales singulières (qu'il appelle solutions particulières) des équations différentielles et aux dérivées partielles de tous les ordres. Pour ce qui concerne les équations aux dérivées ordinaires du premier ordre, il est conduit à la règle suivante :

Etant donnée une équation différentielle

la solution particulière devra satisfaire aux deux équations

c^F , ?F , DF

lesquelles, dit-il, devront s'accorder. Il ne précise pas davantage et n'indique pas ainsi si elles s'accordent nécessairement, ou s'il

Sav. étrang. t. XXVII. — iN'o 2. i

est nécessaire qu'elles s'accordent pour qu'il v ait une solution singulière.

Dans une autre partie de son mémoire, considérant les courbes représentées par une équation générale contenant im paramètre arbitraire, et qui satisfont par conséquent à une même équation différentielle du premier ordre, il fait remarquer que ces courbes auront une enveloppe qui satisfera nécessairement à la même équation différentielle, sans être identique à aucune d'elles et, par conséquent, sans être comprise dans ce qu'on nomme l'intégrale complète ou générale. Toute la discussion de Lagrange repose nécessairement sur l'hypothèse qu'une équation différentielle quelconque admet une intégrale générale fmie et continue, dans une étendue du plan suffisante pour qu'on puisse appliquer les principes de la théorie des enveloppes. Cette hypothèse, quoique non justifiée, était universellement admise du temps de Lagrange. Tous les auteurs, et ils sont nombreux, qui ont écrit sur ce sujet, font la théorie des solutions singulières en partant de l'intégrale complète contenant une constante arbitraire, et ils supposent toujours, d'une manière plus ou moins explicite , qu'elle demeure une fonction bien déterminée de cette constante. C'est ainsi que Poisson , dans un mémoire inséré au i 3^ cahier du Journal de l'Ecole polytechnique , se préoccupe avant tout de reconnaître si une solution donnée d'une équation différentielle est une solution singulière, ou si elle peut être complétée de manière à contenir une constante arbitraire et à devenir alors un cas particulier de l'intégrale générale.

La théorie de Lagrange consistant à considérer les solutions singulières comme les enveloppes des courbes représentées par l'intégrale générale constitue certainement ce qu'on a écrit de plus simple et de plus net sur ce sujet difficile. Mais elle conduisait à cette conclusion qu'étant donnée une équation différentielle, il y aura d'une manière normale une solution singulière, ne disparaissant que dans les cas exceptionnels, et devant satisfaire aux deux équations que nous avons données plus haut.

Or il n'est pas difficile de se convaincre qu'étant donnée une équation différentielle formée directement d'une manière quelconque, les trois équations

ne sont pas satisfaites en général, pour tous les points d'une courbe; en sorte que l'application de la règle même qui semblait établie pour la recherche des solutions singulières conduit à cette conclusion qu'il n'y a pas, en général, de telle solution.

L'explication de ce paradoxe est facile à donner. Lagrange et ses successeurs admettaient l'existence d'une intégrale complète finie et continue dans toute l'étendue nécessaire pour qu'on puisse chercher l'enveloppe des courbes qu'elle représente. Ils excluaient donc, sans même le dire, le cas où ces courbes auraient des points singuliers, cesseraient d'être continues ou même d'exister au delà d'une région limitée du plan. Nous avons aujourd'hui des notions plus précises sur les intégrales des équations différentielles. Une fonction y satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre est, certainement, dans une étendue limitée, une fonction continue à la fois de la variable indépendante et de sa valeur initiale, qui peut alors jouer le rôle de constante arbitraire. Mais cette intégrale complète cesse précisément d'être bien déterminée dans la région du plan où la courbe qu'elle représente serait coupée par la courbe infiniment voisine. Il résulte, en effet, des principes établis dans le beau mémoire de MM. Briot et Bouquet, que cette courbe acquiert généralement un rebroussement

aux points où l'équation en j- admet deux racines égales.

En général, l'élimination de j entre les deux équations

donne le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales; ce lieu ne devient une solution que si la forme de la fonction F a été choisie d'une manière convenable.

II importe donc de distinguer soigneusement les équations différentielles formées par l'élimination des constantes, par exemple entre les équations algébriques et leurs dérivées, et celles dont l'origine est quelconque et tout à fait inconnue. Les premières, la théorie de Lagrange le démontre nettement, ont généralement une solution singulière. Les autres n'en ont que d'une manière tout à fait exceptionnelle.

Une remarque bien simple explique pom'quoi cette distinction, qui, si elle avait été faite tout d'abord, eût pu contribuer beaucoup au progrès de la théorie des équations différentielles, n'a été exposée que dans ces derniers temps. Les équations dont on s'est surtout occupé, quoiqu'on ne les considère plus exclusivement, sont celles qu'on peut intégrer, c'est-à-dire celles pour lesquelles il existe une intégrale générale qui, formée avec des fonctions simples et entières, est le plus souvent fmie et continue et donne, par conséquent, naissance à une intégrale singulière. On a été ainsi conduit à donner à la théorie de Lagrange une extension et une portée qui n'étaient sans doute pas dans la pensée de ce grand géomètre.

Les conclusions précédentes s'appliquent sans aucune modification aux équations aux dérivées partielles. Ici encore, il importe de séparer les équations obtenues par l'élimination des constantes de celles qui ont été formées directement d'une manière quelconque. Les premières ont le plus souvent une intégrale singulière, qui est l'enveloppe des intégrales que Lagrange nommait complètes; les secondes n'en présentent que dans des cas tout à fait exceptionnels. De là résulte la nécessité de distinguer, dans cette étude, ces deux classes d'équations. J'ai commencé mon travail par l'examen de celles qui résultent de l'élimination des constantes, afin d'obtenir des résultats précis, permettant de reconnaître et de définir la solution singulière, quand elle existe.

La première partie est consacrée à l'étude détaillée et géométrique des équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes. Elle peut être considérée comme une exposition com-

plète de la méthode des caractéristiques de Monge. J étudie avec soin toutes les espèces différentes d'intégrales d'une équation aux dérivées partielles à deux variables indépendantes, les conditions diverses auxquelles on peut les assujettir, afin de bien établir, d'une part, les caractères qui distinguent l'intégrale singulière de toutes les autres intégrales, et, d'autre part, de bien reconnaître les relations de contact que présente l'intégrale singulière, soit avec les autres intégrales, soit avec les caractéristiques. J'indique ainsi plusieurs propriétés de l'intégrale singulière. Elle est l'enveloppe des intégrales complètes; il passe en chacun de ses points et dans la direction de chacune de ses tangentes une caractéristique; si l'on trace sur elle une courbe quelconque, il y a deux surfaces intégrales tangentes l'une à fautre en tous les points de cette courbe, fintégrale singulière et une intégrale générale, etc. Chacune de ces propriétés conduit à la môme règle pour obtenir l'intégrale singulière au moyen de féquation aux dérivées partielles et sans passer par fintégrale complète, supposée inconnue.

Je signalerai dans cette partie de mon travail quelques résultats qui me paraissent nouveaux. Les caractéristiques une fois connues, il importe de savoir comment on doit les associer pour former une intégrale. Ceci me conduit à dire quelques mots de la génération des surfaces par des courbes qui se déplacent et se déforment d'une manière continue sans se couper. Les unes sont analogues aux surfaces gauches, et la distance de deux génératrices infmiment voisines est du même ordre dans toute f étendue de la surface. Pour les autres, qui sont analogues aux surfaces développables, les génératrices admettent une enveloppe, c'est-à-dire une courbe qui leur est tangente. Généralisant alors un beau théorème de M. Bouquet, je prouve que, dans le voisinage de fenveloppe, la plus courte distance de deux courbes infiniment voisines n'est jamais du second ordre, mais qu'elle est au moins du troisième. Dans ce cas, la courbe enveloppe de toutes les génératrices eit réellement une arête de rebroussement, en tous les points de laquelle deux nappes de la surface viennent se raccorder, qui , en un

mot, est géométriquement semblable à celle des surfaces dévelop-

pables.

Si l'on associe les courbes caractéristiques de telle manière qu elles aient une enveloppe , on obtient généralement une intégrale avec une arête de rebroussement. Mais j'ai obtenu aussi une classe nouvelle et remarquable d'intégrales, en associant les caractéristiques de telle manière qu'elles aient un contact du second ordre avec leur enveloppe. Ces intégrales se distinguent des autres en ce qu'elles n'ont plus de rebroussement apparent. Par exemple, si les intégrales complètes sont des spbères, il y aura des intégrales pour lesquelles les sphères inscrites seront osculatrices à une courbe, tandis que, pour les autres intégrales, les sphères inscrites ont seulement trois points communs confondus avec l'arête de rebroussement.

Un autre point nouveau de cette première partie consiste dans l'extension à toutes les caractéristiques des propriétés des tangentes conjuguées d'une surface. Un des caractères déjà signalés de l'intégrale singulière consiste en ce qu'il passe en chacun de ses points et dans la direction de chacune de ses tangentes une caractéristique. Cela posé, soient, en un point M de l'intégrale singulière, Mt,Mt' deux tangentes jouissant de cette propriété que , si l'on associe les intégrales complètes tangentes à l'intégrale singidière aux points d'une courbe ayant en M la direction de la droite M^ la caractéristique située sur leur enveloppe et passant en M ait pour tangente M^'. Cette propriété sera réciproque, elle subsistera quand on échangera M^ M^'. Si en particulier on prend comme intégrales complètes les plans tangents à une surface non développable, les caractéristiques sont les tangentes à cette surface, et l'on retrouve la propriété des tangentes conjuguées comme conséquence d'une propriété générale de l'intégrale singulière, par rapport aux caractéristiques.

J'étudie aussi les questions relatives à l'ordre du contact des intégrales générales et complètes avec l'intégrale singulière. Si les intégrales complètes touchent en un nombre limité de points lin-

tégrale singulière, et qu'en ces points il n'y ait pas osculation, c'està-dire si la courbe d'intersection des deux surfaces n'a pas un rebroussement au point de contact, ce qui est le cas ordinaire, aucune intégrale générale n'aura un contact du deuxième ordre avec l'intégrale singulière. Au contraire, si les intégrales complètes sont osculatrices à l'intégrale singulière, toutes les intégrales générales auront avec l'intégrale singulière un contact du deuxième ordre. Un exemple remarquable est offert par la considération des sphères osculatrices à une surface quelconque.

Un article spécial traite des intégrales singulières des équations linéaires ou plutôt des équations qui se décomposent en plusieurs équations linéaires.

La deuxième partie traite encore des équations aux dérivées partielles formées par l'élimination des constantes, mais en supposant quelconque le nombre des variables indépendantes. Je commence par la définition de l'intégrale singulière. A cet effet, je reprends, en la généralisant d'après M. Lie, la notion de l'intégrale complète due à Lagrange. Ce point de départ paraît conduire, on le sait, à plusieurs classes de solutions, suivant le nombre de relations qu'on établit entre les constantes arbitraires. Pour montrer que cette division est arlilicielle et tient au choix de l'intégrale complète, j'étudie la question difficile du passage d'une intégrale complète à toute autre. La conclusion de cette élude est la suivante : la théorie de l'intégrale singulière ne peut être faite d'une majiière simple avec une intégrale complète quelconque. Une seule intégrale, celle d'où l'on était parti, permet d'exposer cette théorie avec netteté.

Pour rendre compte de la nature de ce fait, il me suffira d'indiquer ce qu'il devient dans le cas de deux variables indépendantes, hnaginons que l'on considère un premier groupe d'intégrales complètes, touchant leur enveloppe chacune en un nombre limité de points. Toutes les autres intégrales complètes toucheront nécessairement la solution singulière, chacune en tous les points d'une courbe. Ainsi leurs relations avec l'intégrale singidière sont

tout à fait ditlérentes de celles des intégrales primitivement choisies. L'ne des conséquences consiste en ce que, si Ton associe ces nouvelles intégrales complètes de manière que leur enveloppe donne une intégrale générale, cette intégrale générale comprendra toujours en facteur dans son équation la solution singtdière. Prenons, par exemple, comme intégrales complètes, les plans tangents à une surface (2) non développable. Si nous remplaçons ces premières intégrales complètes par les cônes circonscrits à (2) ayant, par exemple, leurs sommets dans un plan (P), toute intégrale pourra s'obtenir en prenant l'enveloppe d'une suite de ces cônes, de ceux qui ont leurs sommets sur une courbe quelconque du plan (P). Mais celte enveloppe comprendra toujours évidemment la surface (S) comme solution étrangère.

Il m'a paru inutile de faire une théorie rationnelle de l'intégrale singulière avec de telles intégrales complètes. Me bornant donc à signaler ce fait si important, j'ai obtenu une proposition précise applicable à tous les cas et permettant de déduire la solution singulière de l'équation aux dérivées partielles. Voici quelle est cette proposition :

Etant donnée l'équation aux dérivées partielles

dont j'écris la différentielle totale sous la forme

Zdz-hX^dx^-h ' . . -h'P^dp^-h . ' . =o,

la solution singulière doit satisfaire, quand elle existe, aux 2n équations