X- + Z/^-=o, Pa = 0' i,/i= 1, 2, 3, • • • n

en d'autres termes, pour chacun de ses éléments, les équations diflérentielles de la caractéristique doivent être complètement indéterminées.

La théorie de l'élimination des constantes paraît donc conduire d'une manière normale à une solution singulière satisfaisant aux

équations précédentes. Or il est très facile de reconnaître directement que, pour une équation aux dérivées partielles quelconque, les équations précédentes ne peuvent conduire à une solution. L'explication de cette contradiction est la même que pour les équations différentielles ordinaires.

En généralisant une proposition déjà établie dans la théorie des équations différentielles ordinaires, je suis même arrivé à un résultat qui paraîtra plus singulier. Dans le cas des équations aux dérivées partielles formées par félimination des constantes, les 2n-j- i équations

F = o, X- + Z/),= o, Pii. = o,

admettent, en dehors de la solution singulière, une autre solution commune, dans laquelle elles équivaudraient à deux relations seulement entre les 2n-\- i variables

z,x^, . . . j:„,/Jj, • . . /v

Quoi qu'il en soit, la solution singulière, quand elle existe, devant satisfaire aux 2n-h i équations déjà indiquées

F = o, P, = o, X-4-Zp, = o,

je prends cette propriété comme définition de l'intégrale singulière, et j'indique comment on reconnaîtra s'il y a des intégrales singulières et comment on les trouvera quand elles existent.

Dans l'exposition des résultats de cette partie, j'ai employé un lemme dû à MM. Lie et Mayer et employé par eux pour un autre objet. La facilité avec laquelle la théorie des équations aux dérivées partielles se déduit de ce lemme et s'y rattache montre bien qu'il ne constitue qu'un changement de forme. Mais ce changement est très intéressant et m'a paru mériter à tous les égards d'être adopté.

Après avoir donné une définition précise des intégrales, singulières, définition s'appuyant uniquement sur l'équation aux dé-

Sav.étraxg. t. XXVH. — N° 2. 2

rivées partielles, il importait cVétudier par une méthode rigoureuse les relations de ces intégrales avec toutes les autres, en un mot, d'intégrer complètement l'équation aux dérivées partielles dans le voisinage de la solution singulière considérée. C'est à cette étude essentielle qu'est employée la troisième partie de mon travail, où je reprends l'examen de la méthode de Cauchy pour l'intégration des équations aux dérivées partielles par l'emploi des séries. Je résous d'ahord cette question en employant les caractéristiques et en discutant le système d'équations aux dérivées ordinaires qui les définit. Je montre que, si l'équation proposée

admet une solution singulière pour laquelle y- soit différent de

zéro, il y aura une infinité de caractéristicpies tangentes en chaque point à la solution singulière, retrouvant ainsi une des propriétés des équations formées par l'élimination des constantes.

Dans le cas où il n'y a pas de solution singulière, l'équation en x^y.z que Ton obtiendrait, par exemple, dans le cas de deux variables indépendantes en éliminant /), q entre les trois équations

ï^=^' D^ = ^' Vq-""^

est le lieu des points de rebroussement des caractéristiques.

J'examine le cas où l'on assujettirait f intégrale à passer par une courbe tracée sur l'intégrale singulière. Dans ce cas remarquable, la méthode de Cauchy ne suffirait pas à indiquer comment on doit associer les caractéristiques pour obtenir une intégrale, et une objection faite par M. Bertrand à cette méthode acquiert ici toute sa valeur et ne peut être levée que par des recherches spéciales. L'intégrale considérée par Cauchy est réellement infinie pour chaque caractéristique.

Une autre méthode d'intégration où Ton n'emploie plus les caractéristiques, et qui, par conséquent, s'applique à tous les ordres, est ensuite étudiée. Je cherche les intégrales qui peuvent être

tangentes à l'intégrale singulière, en essayant d'apporter la plus grande rigueur dans cet examen, qui est fondamental pom* l'étude qui nous occupe. Voici quels sont les résultats obtenus.

Considérons d'abord les équations aux dérivées partielles pour

lesquelles l'équation — = o n'est pas vérifiée par tous les éléments

de la solution singulière. J'obtiens le résultat remarquable qui suit. Soit

l'équation de la solution singulière.

Il y a « classes de solutions développables en série et, si je puis m'exprimer ainsi, tangentes à la solution singulière. Ces classes sont représentées par des équations des fornies suivantes :

Z = f[x^, • • •^nj+tt'+w'H ^««

OÙ M, ... a„ désignent des séries convergentes. Les premières, taiigentes en tous les points d'un lieu défini par une seule équation

contiennent les coefficients d'une fonction arbitraire de «— j variables. Celles de la k^ classe contiennent les coefficients de h fonctions arbitraires àen — k variables. La dernière dépend de n constantes. C'est elle qui joue le rôle de l'intégrale complète.

Quelques-unes de ces classes disparaissent, en tant que solutions développables, dans des cas déterminés. Prenons, par exemple, le cas de deux variables indépendantes, et soit

Téqualion aux dérivées partielles. En général, il y a deux classes

de solutions, les unes représentées par l'équation

qui jouent le rôle des intégrales générales de Lagrange, les autres définies par l'équation

tangentes en un seul point à la solution singulière et tenant lieu de l'intégrale complète.

Celte dernière classe disparaît, si la forme

est un carré parfait. Les deux classes disparaissent si cette forme est nulle; ou plutôt elles ne disparaissent qu'en tant que solutions développables; les surfaces qu'elles représentent continuent à exister, mais acquièrent des points singuliers à la place du point de contact.

Je dis aussi quelques mots du cas où ^r- serait nul en tous les

points de la solution singulière. Alors, si l'on trace une courbe quelconque sur cette solution, on ne pourra pas, en général, trouver d'intégrale tangente à la solution singulière en tous les points de cette courbe, à moins que cette courbe n'ait été convenablement choisie.

Par contre, il y a des solutions singulières pour lesquelles on trouve toujours deux intégrales développables d'espèce tout à fait différente, tangentes en tous les points de la même courbe à fintégrale singulière. Je crois que c'est dans cette partie de mon travail que sont, je ne dirai pas complètement résolues, mais abordées les véritables difficultés de cette étude, et que toute la théorie des solutions singulières se résume dans la solution de telles questions : Après avoir reconnu l'existence de cette solution, telle que

nous l'avons définie, examiner les rapports de^contact qu elle peut avoir avec les autres intégrales.

Je citerai ici la confirmation d'une remarque des plus curieuses de Poisson. Dans la plupart des cas on peut mettre, par une substitution convenable, la solution singulière en facteur et l'éliminer de l'équation aux dérivées partielles.

La quatrième et dernière partie contient la généralisation d'une belle théorie de Lagrange et de M. Serret sur les solutions singulières des équations différentielles ordinaires. Je fais connaître une classe d'équations aux dérivées partielles, qu'on intègre en les différentiant et dont le type le plus simple est la suivante :

généralisation de celle de Clairault. Je montre que cette généralisation a des rapports étroits avec la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, et qu'elle donne notamment la solution des deux questions suivantes :

1** Trouver toutes les équations du second ordre pour lesquelles les équations différentielles de la caractéristique admettent une intégration complète;

2° Former les équations du second ordre ayant deux intégrales premières du premier ordre.

La théorie précédente est équivalente à celle du contact du premier ordre. Pour la généraliser, j'étudie les questions relatives au contact de deux surfaces. Cette théorie présente des difficultés particulières, parce qu'on n'a pas toujours le nombre de paramètres nécessaire pour assurer un contact d'un ordre déterminé, et l'on en a trop pour établir le contact d'ordre immédiatement inférieur. J'essaye de lever ces difficultés, mais la théorie du contact ne m'a conduit à des équations intégrables par différentiation que dans le cas des surfaces à quatre et à cinq paramètres. Les autres cas paraissent ne pas se prêter à la formation de telles équations aux dérivées partielles.

Dans ce travail, j'ai fait abstraction de toutes les difficultés te-

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nant au choix des axes ou aux valeurs infinies des dérivées de z. On sait que, par un changement d'axes ou par une substitution hnéaire, on peut toujours les éviter. J'indique, en terminant, comment on pourrait développer la théorie en employant dès coordonnées homogènes, ce qui ne laisserait plu£ de place à des difficultés de ce genre.