DE PARAMÈTRES

La théorie du contact des courbes planes a été généralisée, pour les surfaces à quatre paramètres, dans l'article précédent.

Sav. étrang. t. XXVII. — N° 2. 3o

Nous allons montrer comment on pomra l'étendre, quand on emploiera des surfaces à un nombre quelconque de paramètres.

Considérons, par exemple, une surface à cinq paramètres (2), représentée par l'équation

z=--f[x,y,a^, ..., «si- Si l'on veut assurer le contact le plus intime de (2) avec ime surface quelconque, on assujettira d'abord (S) aux mêmes conditions que précédemment, et l'on disposera des arbitraires de telle manière que z,p,q soient les mêmes pour les deux surfaces et que dp, dq soient les mêmes pour une direction déterminée; ce qui donnera les conditions

( rdx + sdy = i\dx-\-s^dy, sdx-\- td.y = Sid.r-{-tydy,

Zi désignant la fonction/ et p^, q^, ''1,^1, ^, ses dérivées par rapport kx,y. Mais les équations précédentes ne suffisent pas à déterminer les cinq paramètres, en fonction de z et de ses dérivées des deux premiers ordres.

Nous écrirons alors que, pour la direction, définie par les formules précédentes, de la ligne d'osculation , direction pour laquelle déjà dp, dq, et par conséquent d^z, sont les mêmes pour les deux surfaces, d^z aura aussi la même valeur; ce qui donnera, en appelant OL, ^,y, e, (Xj, jSi,)/!, Êj les dérivées troisièmes de z et de z, respectivement, la relation

(46) {oL~ci,)dx' + 3(^-^,)dx'~dy^3(y-y,)drdy''+{e-s,)df=o.

Cette équation, jointe aux précédentes, permettra d'exprimer les cinq paramètres en fonction des coordonnées du point de contact et des dérivées des trois premiers ordres de z. Elle signifie, comme on le vérifiera aisément, que la courbe d'intersection des deux surfaces a, au point de contact, non un rebroussemenl ordinaire, mais un point où deux branches de courbe viennent se toucher.

Les paramètres étant considérés comme des fonctions des dérivées, on pourra ici considérer encore une équation

[à-]) F(ai,a2, ... ,«5) = o,

qui sera nécessairement du troisième ordre. Désignons par la caractéristique S les différentielles prises en faisant varier ces cinq paramètres seulement. Si nous différentions les formules (A5) en supposant que l'on se déplace suivant la ligne d'osculation, nous aurons, en tenant compte de ces relations [li5) et de la formule (46) ,

êi\ dx"^ -}- 2 Ssi dx c/j -j- ^^1 (/j- = G .

Ces équations sont au nombre de quatre. Elles déterminent donc les rapports de da^ , . . . , da^ , et nous montrent que ces différentielles seront de la forme

n étant un facteur de la forme Mc/j; + Nf/j et qui contient seul les dérivées du quatrième ordre, les quantités Q, dépendant seulement

des cinq paramètres et de la valeur de -v^ correspondante à la ligne

d'oscidation.

Cela posé, différentions l'équation proposée (47). Nous aurons

En égalant le facteur II à zéro, nous am^ons la solution générale. Dans ce cas , les cinq paramètres demeureront constants sur chaque ligne d'osculation; et, par conséquent, sur toute l'étendue de la surface ils seront fonctions les uns des autres. On devra donc poser

% étant défini par l'équation (47), et chercher l'enveloppe de la smface (2). On aura ainsi une première intégrale avec trois fonctions arbitraires.

Mais si l'on égale à zéro le second facteur de Téquation (48)

on pourra éliminer les cinq paramètres et ^-r- entre les équations

(45), (47), (49); et l'on sera ainsi conduit à une équation du second ordre, qui sera, en quelque sorte, une intégrale singulière de l'équation proposée.

Ainsi cette généralisation nouvelle de la théorie du contact tlonne lieu aux mêmes remarques que dans le cas des surfaces à quatre paramètres.

Si la surface (S) contient six paramètres, on pourra en disposer de manière à assurer le contact complet du second ordre, et l'on déterminera ainsi les six paramètres «j, ...,ao, en fonction des coordonnées du point de contact et des dérivées des deux premiers ordres; mais il est bien remarquable que, précisément dans ce -cas, où la théorie du contact devient si facile, les équations aux dérivées partielles que l'on doit associer à cette théorie ne se prêtent plus à l'application des remarques précédentes.

En effet, si les six paramètres ont été déterminés comme on -l'a indiqué, leurs différentielles satisfont aux seules équations

èzi = o, <5/Ji = o, S(]^ = o,

qui, il est vrai, ont lieu pour toutes les directions, mais ne permettent plus, pour aucune, de définir les rapports de day, , . . , c/a^.

En continuant cette étude , nous allons confirmer ce fait si intéressant et reconnaître que , toutes les fois que le contact sera plus complet que précédemment, les équations aux dérivées partielles associées ne seront pas intégrables.

Considérons, par exemple, les surfaces à sept, huit et neuf paramètres. On établira d'abord six relations par la condition que les dérivées du second ordre soient les mêmes pour les deux surfaces. Alors la courbe d'intersection aura un point triple au point de contact.

Si l'on dispose de sept paramètres, on exprimera que deux des tangentes en ce point triple sont confondues.

Si Ton dispose de huit paramètres, on exprimera que les tangentes aux trois branches de courbe sont les mêmes et, dans ce cas, l'équation approchée de la courlîe d'intersection sera

Si l'on dispose de neuf paramètres, on ajoutera à la condition précédente une nouvelle équation, en écrivant que d/^z est le même pour les deux surfaces dans la direction de la tangente unique au point triple; et la courbe d'intersection se composera alors de deux branches, représentées approximativement par les équations

.7 .,«'nr.2

On s'assurera aisément que ces différentes conditions sont indépendantes du choix des axes, qu'elles subsistent après toutes les transformations auxquelles on peut soumettre les deux surfaces.

Mais elles ne permettent pas d'associer à cette théorie celle d'équations aux dérivées partielles complètement intégralDles.

CiOnsicierons, en gênerai, une suriace (lij a -^ '-{-k pain+i) (n+2)

ramètres, k étant inférieur à n-{-2. On pourra établir

relations, assurant un contact du n""" ordre avec une surface quelconque; mais on ne pourrait obtenir un contact d'ordre n-j- 1. Si k est inférieur à n-j- j , on établira k relations en exprimant, par exemple, que /t+i des 71+ 1 tangentes à la courbe d'intersection au point de contact sont confondues. Si k est égal a n-\- i , on ajoutera la condition que d!^'*'^z soit le même pour les deux surfaces, quand on se déplace dans la direction de la tangente à la courbe d'intersection, et l'on aura ainsi les équations nécessaires pour déterminer tous les paramètres. On verra facilement que les conditions ainsi posées sont indépendantes du choix des axes.

On pourrait, d'ailleurs, substituer à quelques-unes des relations posées d'autres conditions du même genre. Supposons , par exemple,

qu'après avoir assuré le contact du n'"" ordre de deux surfaces, on dispose encore de k paramètres. Il suffira de considérer Téquation algé])rique, d'ordre w + i , dont dépendent les tangentes à la coiu'be d'intersection, au point de contact des deux surfaces, et d'écrire, entre les coefficients de cette équation, k relations, qui serviront à déterminer les k paramètres laissés arbitraires. Nous avons choisi celles qui se présentent le plus directement, en exprimant que k-{- 1 des tangentes sont confondues; mais on pourrait aussi écrire, par exemple, qu'il y a deux groupes de tangentes, formés, l'un de p et l'autre de k-\- i —p tangentes confondues. Pour que les relations ainsi écrites aient quelque valeur géométrique et qu'elles puissent servir de base à des recherches intéressantes, il suffira qu'elles soient invariantes, c'est-à-dire qu'elles subsistent et ne changent pas de nature, quand on soumettra les deux surfaces à une transformation homographique, et même à une transformation par polaires réciproques.

S 42. «EMARQUE SUR UNE NOTATION NOUVELLE QUE L'ON POURRAIT EMPLOYER DANS LA THÉORIE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.

Dans toute notre théorie, nous avons fait abstraction de toutes les difficultés relatives au cas où les dérivées partielles deviendront infinies, difficultés qu'on peut toujom^s supposer écartées soit par le cliangement des axes, soit par une substitution linéaire.

Mais dans la géométrie actuelle, on considère des transformations qui peuvent faire disparaître certaines surfaces et rejeter un plan à l'infini. Imaginons, par exemple, qu'une^ équation aux dérivées partielles admette comme intégrales complètes des paraboloïdes dépendant de deux paramètres; ces paraboloïdes sont tous tangents au plan de l'infini , qui devient ainsi une partie de la solution singulière et échappe aux méthodes ordinaires.

Pour lever toutes ces difficultés, il suffirait d'employer des coordonnées homogènes quelconques.

Soient x^, x^, x^, Xi^ les coordonnées homogènes servant à dé-

finir la position cViin point et dont les rapports seuls sont déterminés. L'équation d'im plan quelconque étant

nii Xi -f m.2 X2 + m^ X3 -|- 7«4 X4 = o ,

/?«!, 7712, ffÎ3, »Î4 seront les coordonnées tangentielles du plan.

Alors toute équation aux dérivées partielles se transformera en une équation

ou, pour abréger,

homogène par rapport aux coordonnées du point de contact, .ri, ...,.r4, et aussi par rapport aux coordonnées tangentielles du plan tangent, niy, . . . , 111^. Intégrer cette équation, ce sera trouver pour les variables qui y entrent des fonctions de deux variables indépendantes, telles que Ton ait identiquement

( mi Xi + /»2 .T2 + «îs '^3 + W4 .T4 = o ,

(bi) \

( nii dxy -\- m^ dx2 + m^ clx^ -\- m,^ dx^ = o ,

et , par conséquent ,

[5i bis) Xidmi-\- X2 dnu + «^^3 dm^^ -j- Xi^ dn\ = o .

On voit que cette manière de poser le problème met tout de suite en évidence la propriété de dualité dont jouit toute équation aux dérivées partielles; car, dans les fornmles précédentes, les deux systèmes de variables mi et Xi jouent absolument le même rôle.

Les équations de la caractéristique prendront alors une forme beaucoup plus symétrique. Elles seront

Par un choix convenable de / et du facteur de proportionnalité,

^/Jlj

qui figiu'e dans les deux systèmes de variables, on poiura les ramener à la forme simple

/-os dx- t)<t> dm- 3<I>

La solution singulière sera définie par les équations

qui, en vertu du théorème des fonctions homogènes, se réduisent à cinq distinctes.

Cette forme si simple que prennent les équations de la caractéristique nous met d'ailleurs sur la voie d'équations remarquables, cpie nous saurons intégrer.

Traitons, par exemple, l'équation aux dérivées partielles qui, écrite sous forme ordinaire, serait

A4(-^ + /)^ + 9j) +Aia; p +A2J q -+-A3Z =0. Avec les notations précédentes, elle prendra la forme symétrique

(55) aim^x^-\- a,^ m^ x^ ■+- a^ m^ x^ -{- ai^ 7w^ ,t^ = o .

Les équations (53) de la caractéristique deviendront

dm- /2 (3— ' «

dX; B a— I

\ dt i i I '

et elles sont évidemment intégrables. On en déduit, par exemple,

OLXi dirii -\- ^nii dxi = o , ce qui donne

ai jUi .T; = const. = C,.

En substituant la valeiu de Xi , tirée de cette équation , dans la première des formules (56), on aura les moyens de Irouver m,-; et, une fois intégrées les équations de la caractéristique , le problème poiura être regardé comme résolu.

L'équation (55) a d'ailleurs toujours une solution singulière, déiinie par les équations

ttyin^ x^^ =a,2 m2 x^ =a^m^ x^ =ai^mi^ .x^ '

qui, jointes à l'identité

m^ Xy -Ym^Xçi-\- m^ x^ + /W4 .t^ = o ,

donnent, soit l'équation ponctuelle, soit l'équation tangentielle de la solution singulière. On trouve ainsi

1 a — (2 1 a — jS 1 a — jS i a — (3

ou, en coordonnées tangentielles,

Mais nous allons surtout nous attacher à une équation auK dérivées partielles qui est la généralisation de l'équation différentielle de Jacobi

L (xdy -ydx) + Mt/,r + Nrfx = o ,

où L, M,N sont trois polynômes du premier degré en x,y.

L'équation analogue à la précédente pour le cas de deux variables indépendantes est évidemment

h(z-px- qy) + Mp + % + R = G,

où L , M , N , R sont des polynômes quelconques du premier degré

en x,y,z.

Sav. étrang. t. XXVII. — N" 2. 3i

Notre système de notations la transforme dans l'équation suivante

linéaire à la fois par rapport aux deux systèmes de variables.

Pour débarrasser la solution de cette équation de difficultés purement algébriques, ramenons-la, par une sid)stitution linéaire, à la forme

tti nii Xi -|- «2 ^2 ^2 + ^3 ^3 % H~ ^4 ^4 ^4 = O ,

ce cpii est, en général, possible.

Les équations de la caractéristique deviendront

dx- dm-

Leur intégration donnera les valeurs suivantes

îg

p et (7 étant des facteurs de proportionnalité. Pour obtenir une surface intégrale, il faudra que les valeurs initiales x^ , m° satisfassent aux équations

ym^r^=o,

Par exemple, la surface intégrale, formée des caractéristiques tangentes à un plan dont l'équation est

OLiXi-\- . . , +a4^4 = o, s'obtiendra en éliminant t entre les deux équations

a^XiC -\- ...-{- du x^e = o , ttia^x^e +...+04^4^46 =0.

La théorie précédente s'étend évidemment à un nombre quelconque de variables indépendantes. Elle est la généralisation de celle qui a été proposée par Clebsch pour les équations différentielles ordinaires.

Les indications bibliogiaphiques données dans ce Mémoire se rapportent uniquement aux travaux les plus récents, et je ne me suis nullement proposé de faire l'historique de cette question des solutions singulières, qui a donné naissance à un si grand nombre de travaux. Cependant, en terminant je dois ajouter la remarque suivante.

La question traitée aux articles 38 et 89 , à savoir : trouver toutes les équations aux dérivées partielles admettant deux intégrales intermédiaires, a été aussi résolue par M. Lie, dans un Mémoire intitulé : Nueae Intégrations-Méthode der Monge-Ampereschen Gleichung. Il est vrai que ce Mémoire, publié dans le tome I des Arcliiv for Matheinatik og Naturvidenskab , a paru à la fin de 1876 ou au commencement de 1877. Il est donc postérieur à la présentation de mes recherches à TAcadémie, qui a eu lieu le 29 mai 1876. Mais M. Lie veut bien m'informer que les propositions qui font l'objet de son Mémoire de 1876-1877 avaient déjà été énoncées pariui dans une Note présentée en 1872 à l'Académie de Christiania, sous ce titre : Kurzes Résume mehrerer neaen Theorien.

C'est au moment de terminer l'impression que j'ai eu connaissance de tous ces faits, et je dois remercier M. Lie, qui a bien voulu me transmettre les renseignements qui précèdent.

fAl'

Darboux, M G

Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier order .