MP + N), ^4=^{M', + N

On déduit facilement de ces équations que U, V sont respectivement de la forme

où A,B,G,D ne dépendent que de x.y^z. Par conséquent, nos deux intégrales intermédiaires peuvent s'écrire

jA/H-B = l] = ?){.r),

^ ^ |C7-fD = V-=;//(j),

(p et 1^ ne désignant pas d'ailleurs les mômes fonctions que précédemment. Il est aisé de voir que, si l'une des fonctions A ou C était nulle, on serait ramené au cas où les deux caractéristiques sont confondues. Nous supposerons donc dans la suite A et C diffélents de zéro.

Déterminons une fonction F de a;, j, z par l'équation

on aiua

ÔZ

et si Ton effectue le changement de variables, évidemment permis, qui consiste à substituer F à z, U prendra la forme /)-l-B'. Nous pouvons donc remplacer les formules (2 4) par les suivantes :

Ecrivons maintenant la condition (UV) = 0, nous aurons l'équation

qui se décompose dans les suivantes :

/ ns c^C c^C >^DB c^D :)D ^DB

(20 ;— =0, ^r Lr— =Oi r— = G 7 T Le— =0.

Difïérentions par rapport à 2 la seconde et la quatrième de ces é(juations, en tenant compte des deux autres. Nous aurons

et, par conséquent, ^ sera une fonction de x. Nous pourrons donc poser

et notre première intégrale (26) deviendra

i[^e{:r)]+eH=ôp.

Si Ton effectue un nouveau changement de variables et que Ton substitue zB [x] à z, cette intégrale conservera la même forme;

mais B sera devenu indépendanl de z. Introduisons cette hvpothèse

dans les formules (26); elles deviendront

Les deux premières équations nous donnent

Mais alors on peut diviser la seconde des intégrales (3 5) par C et ramener C à l'unité. Faisant C = 1 dans les formules (26 his) , il reste

La solution générale de ces équations est donnée par les formules

^ = è/(^'^)' D = ^/(x,j), et les intégrales (26) prennent la forme

Si nous effectuons un dernier changement de variables en substituant 2:+/(^,j) à 2:, nous obtenons pour nos intégrales intermédiaires l'expression définitive

qui nous donne

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Pour obtenir toutes les équations aux dérivées partielles ayant deux intéfjrales intermédiaires , correspondant chacune à une caractéristique différente, on formera d'une manière quelconque cinq fonctions satisfaisant à l'identité

dZ - Pf/X - QdY = p [dz - pdx -qdy).

Les deux intégrales intermédiaires de l'équation cherchée seront

.son intégrale f nie s'obtiendra en éliminant p, q entre ces équations et la suivante

et l'équation elle-même prendra l'une des deux formes équivalentes

d{x,j) dix, y)

§ 40. GÉNÉRALISATION DES THEORIES PRÉCÉDENTES ET LEUR EXTENSION AUX DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR.

La théorie précédente, qui indique le moyen de former une infinité d'équations semblables à celle de Clairault, ne s'applique qu'au premier ordre. Nous allons maintenant indiquer comment on pourrait l'étendre aux équations aux dérivées partielles d'ordres supérieurs. Cette généralisation repose sur des idées nouvelles concernant la théorie du contact, dans le cas de plus d'une variable indépendante.

Dans le cas d'une seule variable, la théorie du contact ne présente aucune difficulté. Si une courbe contient n paramètres, on peut toujours disposer de ces paramètres de manière à réaliser un contact du n— 1""" ordre avec une surface donnée. Mais la question se présente sous un tout autre aspect dans le cas de plus d'une variable indépendante, pour les surfaces, par exemple.

Nous dirons que deux surfaces ont un contact du tî'""" ordre en un point, lor.squ'en ce point commun les dérivées des n premiers ordres de z considérée comme fonction de x et de j seront les mêmes.

0 1 ' • ' A i 1 1 ( « + 1 ) ( 'i + 2 ) r ces dérivées, en y comprenant z, sont au nombre de ^ — ■ — - — ■

Ainsi , pour qu'on puisse assurer le contact du n"""' ordre d'une surface d'espèce déterminée (2) avec une autre surface quelconque en un point arbitrairement choisi, il faudra que féquation de (S)

contienne au moins ^^ ^ ^ paramètres arbitraires. C'est ainsi

222 G. DAUBOUX.

que, réquation du plan contenant trois paramètres, on peut trouver un plan ayant un contact du premier ordre avec une surface flonnée, en un point quelconque.

Pour bien faire saisir la liaison de la théorie précédente avec celle que nous allons développer, nous allons montrer que ces équations de Clairault généralisées que nous avons obtenues dérivent, de la manière la plus simple, de la théorie du contact du premier ordre. Pour plus de netteté, nous raisonnerons dans riivpothèse de deux variables indépendantes seulement.

Considérons une surface (E) à trois paramètres, que nous désignerons par X, Y, Z: x,y, z seront les coordonnées varial3les. Soit

Téquation de cette surface. Si l'on veut qu elle soit tangente en un point (,T,r, 2) à une surface quelconque pour laquelle j) et f/ sont les dérivées de z, on devra avoir les trois équations :

(27) Xix-^vt-^^

qui permettront d'exprimer les paramètres X, Y, Z comme fonctions de .T, j, z^])^ (j.

Par exemple, pour le cas du plan

z = X.T + Yj4-Z, on a

X = /j, Y = </, l = z — px-qy,

et l'on voit que l'équation de Clairault s'obtient en établissant une relation entre ces valeurs de X, Y, Z

Z = (p(X,Y) ou

z-px-qy = (p[p,q).

Dans le cas où la surface (S) est quelconque, X, Y, Z sont des

SOLUTIONS SINGULIÈI\i:S DES ÉQUATIONS. 223

fonctions plus comj)li([néos que les préciMlonlos; niais pour obtenir l'analogue de l'équalion si simple ([ue Ton vienl de considérer, il suflira évidennnent de considérer l'équalion

où X,Y, Z sont données par les l'ormules (27). Or cette équalion est précisément celle; que nous avons traitée dans les articles précédents.

En eflet, dillérentions la première des équations ('^7), et regardons ^,y, z,/), r/ comme des variables indépendantes. En tenant compte des autres équations (-^7), nous aurons

et en posant

l'équalion précédente deviendra

(29) t/Z - VdX - Q(IY = p{dz-pdx - qdy).

Ainsi les fondions X, Y, Z de noire équalion (28) sont bien celles que nous avons considérées, en prenant pour point de dépai t l'identité (29), et l'on voit que les équations noiivcdlcs que nous ajoutons à celles de Clairaull sont précisément celles que l'on obtiendrait en substituant, dans la théorie du contact du premier ordre, à un plan une surface quelconque à trois paramètres.

Nous sonmies ainsi conduit, pour étendre la ibéorie exposée dans les articles précédents aux dérivées de tous les ordres, à étudier les questions relatives au contact d'ordre supérieur au premier.

Or, pour assurer le contact du second oidre, il faudrait considérer des surfaces ayant au moins six paramètres variables. On voit donc que, si l'on n'introduit aucune notion nouvelle, on ne saurait faire jouer un rôle spécial aux surfaces ayant plus de trois et moins de six paramètres.

22â G. DARBOUX.

Une théorie importante, celle des lignes de courbure, montre cependant que, par exemple pour les surfaces à quatre paramètres variables, telles que les sphères, on peut compléter la théorie du contact. Parmi les sphères tangentes en un point à une surface, il y en a deux jouant un rôle remarquable; ce sont celles qui ont leur centre aux centres de courbure , et qui se distinguent de toutes les autres en ce qu'elles coupent la surface suivant une courbe ayant un rebroussement au point de contact. Cette remarque nous met sur la voie de la généralisation suivante :

Etant donnée une surface (S) à quatre paramètres, on pourra toujours disposer de ces quatre paramètres de telle manière qu'elle soit tangente en un point quelconque à une surface prise arbitrairement et, en outre, cpie la courbe d'intersection des deux surfaces ait un rebroussement au point de contact.

Voyons comment s'exprimera cette condition. Prenons pour origine le point de contact, pour plan tangent le plan des xy; les équations des deux surfaces, résolues par rapport à z, seront

z = ax~ -\- 2 bxy -f- cy- -}-..., z = ax^ 4- 2 h'xy -f- cr^ -1- . . .

Les tangentes à l'origine, à leur courbe d'intersection, seront données par l'équation

[a — a)x'^-\- 2 [h — h') xy -{- [c — c) y'^ = o .

Pour qu'elles soient confondues, il faut que l'on ait

ou, mieux, qu'il existe vme valeur du rapport ^ satisfaisant aux équations suivantes :

ce qui exprime qu'il existe une direction pour laquelle les accrois-

sements dp, dq des dérivées partielles p, q sont les mêmes pour les deux sm^faces.

Etant données deux surfaces tangentes en un point, dp, dq ne sont pas, en général, les mêmes pour les deux surfaces, dans quelque direction que l'on se déplace à partir du point de contact; ici, pour assurer le contact le plus intime, nous exprimerons quil y a une direction pour laquelle ces différentielles sont les mêmes; et nous voyons que cela ne peut avoir lieu que si la courbe d'intersection des deux surfaces a un rebroussement, et pour la direction de la tangente au point de rebroussement.

Soit donc

l'équation d'une surliice à quatre paramètres. Nous déterminerons ces paramètres de manière à satisfaire aux équations suivantes :

/(j:,r,z,a,6,c, A) = o, (3o) {à + PÂ-""^ r^ + ^D7==^'

les deux dernières équations contenant le rapport ~, qui sera

considéré comme une inconnue. Etant donnée une svuface quelconque, les équations (3o), au nombre de cinq, détermineront,

pour chaque point de la surface, «, h, c, h, y. en fonction de

La valeur de ^ définit, pour chaque point de cette surface, la

direction de la tangente à un système de courbes qui jouent le rôle des lignes de courbure, et que l'on pourrait appeler lignes dosculaiion^^\

''' Cette généralisation de la théorie des lignes de courbure a déjà été signalée par M. Lie dans son Mémoire Ueber Differentiahjleichungen und Complexe [Muthcmatische Annaîen, t. V, p. 190); mais les remarques faites sur ce sujet par cet excellent géomètre n'ont que des rapports éloignés avec celles que je présente dans ce travail.

Sav. éthang. t. XXVII. — N° 2. -29

Ce fait, que la théorie précédente comprend comme cas particulier celle des lignes de courbure, ne paraît pas laisser de doute sur l'utilité des remarques que nous venons de faire. Mais nous allons montrer aussi qu'en suivant la voie que nous avons indiquée, on est conduit, comme pour le contact du premier ordre, à des équations aux dérivées partielles que l'on saura intégrer.

a, b, c Ji étant des fonctions de x, j, de z et de ses dérivées des deux premiers ordres, déterminées par les équations (3o), considérons l'équation aux dérivées partielles du second ordre

Je dis qu'on pourra toujours fintégref.

Différentions, en effet, l'équation précédente, en supposant que l'on se déplace dans la direction de la ligne d'osculation , c'està-dire en attribuant à dx et dy les valeurs qui satisfont aux deux dernières équations (3o), on aura

( 3 1 bis) :r- da -^^:rr db -j-^^^ de -{-'^rr dh = o .

^ 1 ôa do oc ôli

jMais si, dans la même hypothèse, on différentie les trois premières équations (3o), en posant, pour abréger,

on trouvera, en tenant compte des formules (3o), ^

(32) / ^-Lda^^^db+^^dc^^^dh=o,

^ ' \ da db de dh

UJda+^^db+^^dc-{-^^dh===o.

t'a 00 oc oh.

Ces trois relations établissent une propriété fondamentale des fonctions a,b,c, h. Car elles novis montrent que les rapports de da, db, de, dh ne dépendent que de <7, 6, c, A , .r, j, 2, /), </, et nullement des

dérivées du troisième ordre. On en déduit pour les rapports de (la, db, de, dli des expressions de la forme

da db de dh

é!t, par suite, les différentielles da, db, de, dh peuvent s'écrire

(33) da==au, db=^n,u, dc = aji, dh^a.n,

XI étant de la forme

n = udx + Nf/j,

où dx , dy sont les différentielles correspondantes à la ligne d'osculation, et où M et N sont les seules fonctions contenant les dérivées du troisième ordre de z.

Si l'on substitue les valeurs des différentielles, déduites des formules (33), dans féquation (3i bis), on trouvera

et cette équation peut être vérifiée de deux manières différentes.

On peut d'abord égaler n à zéro. Alors on voit que da, db, de, dh seront nuls, et, par conséquent, a, b, e, h constants, quand on se déplacera sur la ligne d'osculation. Puisque ces fonctions demeurent constantes en même temps, elles sont, sur toute fétendue de la surface, fonctions les unes des autres. On devra donc poser

la dernière fonction étant définie par féquation (3i) et les deux premières étant arbitraires; et il n'y aura plus qu'à chercher fenveloppe de la surface représentée par féquation

pour obtenir la solution générale, avec deux fonctions arbitraires, de féquation aux dérivées partielles proposée.

xMais on peut satisfaire autrement à Téquation (3 A)- Egalons à zéro le second facteur : nous obtiendrons l'équation

qui, jointe à l'équation proposée et aux trois premières équations (3o), permet d'éliminer a, b, c\ h, et conduit à une équation aux dérivées partielles du premier ordre

qui donnera, en général, les véritables solutions de la question proposée.

Réciproquement, on peut se demander si toute intégrale de l'équation (36) satisfait à l'équation du second ordre. La discussion de cette question ne présente aucune difficulté , mais elle conduit à une conséquence intéressante , que nous nous contenterons d'énoncer, et que nous allons vérifier sur un exemple particulier. L'équation (36), qui peut être considérée comme une solution singulière de l'équation du second ordre, a elle-même une solution singulière, qui est la seule des solutions de l'équation (36) ne vérifiant pas l'équation du second ordre proposée.

Appliquons la méthode générale que nous venons d'indiquer à la résolution de la question suivante : Déterminer une surface, sachant qu'il y a une certaine relation entre le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure correspondant , ou, ce qui revient au même, entre les quatre paramètres d'une des deux sphères osculatrices en chaque point.

Nous ferons remarquer que, si cette relation ne contenait pas le rayon de courbure, la question proposée équivaudrait à la suivante : Déterminer une surface ayant ses centres de courbure sur une surface (S); problème qui revient à celui-ci : Trouver les ligues (jéodésiques de (S).

Désignons par R, a, |S, y le rayon de courbure et les coordonnées du centre correspondant. L'équation donnée est

et si l'on y remplace a, jS, y, R par leurs expressions en fonction de z et de ses dérivées, on voit que l'on aura à intégrer une équation aux dérivées partielles du second ordre.

Désignons par X, Y, Z les cosinus des angles que fait la normale avec les axes. On aiura

(38) a = a:-XR, (3=j-YR, >/ = 2-ZR.

On sait que, si Ton se déplace sur la ligne de courbure, on aura les formules

dues à Olinde Rodrigues.

D'après cela, si nous différentions les formules (38), en supposant toujours que Ton se déplace suivant la ligne de courbure, nous aurons

(39) (/a==-Xt/B, (/|3 = -Yf/R, dy^^-ZcB..

Ce sont les formules qui, dans la question actuelle, correspondent aux équations (33). Les dérivées du troisième ordre ne figurent, on le voit, que dans dh.

Différentions l'équation proposée ( Sy ) , toujours suivant la direction de la ligne de courbure, et substituons les expressions de dcc, d^, dy, déduites des équations (39). Nous aurons

Le facteur (/R, égalé à zéro, exprime que R et, par conséquent, a, jS,)/ sont constants en tous les points d'une ligne de courbure. A cette hypothèse correspond, comme solution, une surface enveloppe de sphères, dépendant de deux fonctions arbitraires, que l'on introduit en prenant pour lieu des centres une courbe quelconque, et en déterminant R par l'équation (37). Cette solution de l'équation aux dérivées partielles est évidente géométriquement.

Mais si l'on égale à zéro le second facteur, on aura une nouvelle solution. L'équation ainsi obtenue est

ûa dp ^y i>R

Joignons cette équation aux formules (37), (38), nous aurons le

système

/a^x-XPi, |S=j-YR, y = .-ZR,

(/io) /(a'|S,y,R) = o,

\ dl\ da. ^/3 ciy

de cinq équations entre lesquelles on éliminera ce, ^,y, R; et l'on iormera ainsi une équation aux dérivées partielles du premier ordre (^^ qui doit donner les solutions véritables du problème proposé.

Réciproquement, cherchons si toute solution de cette équation est aussi une intégrale de l'équation du second ordre.

Pour résoudre cette question, il n'est pas nécessaire d'éliminer a, |3,y, R entre les équations {ào). Il suffit de regarder ces quatre paramètres comme des fonctions auxiliaires déterminées de manière à satisfaire à ces équations. La forme des premières montre déjà que a, (3, }/ sont les coordonnées d'un point situé sur la normale; il faudra prouver que ce point est le centre de courbure.

En différentiant la quatrième des équations (/io) et tenant compte de la dernière, on a

(4,) 'l{dx-RdX) + ^(dy-m') + %(dz~.MZ)=.o.

''' Si l'on porte les valeurs de a, |3, y dans l'équalion

on obtient

/(a;-XR, j-YR, z-ZR, R) = o,

et pour former l'équation aux dérivées partielles cherchée, il suffît d'exprimer que l'équation précédente, considérée comme devant déterminer 1 inconnue R, a une racine double.

On pourra consulter sur ce sujet et sur les questions analogues relatives à la ligne droite, différents Mémoires de MM. Klein et Lie. Voir en particulier Malhematischc Annalen, t. V, et Gôtlincjer Nachrichten, 1871.

D'ailleurs X, Y, Z étant les cosinus des angles que fait la normale avec les axes, on a

Xdx + Ydy -{- Zclz == G , ou

(42) X(fZc-R(/X) + Y((fy-R(/Y) + Z(c/z-Rc/Z) = o. Supposons que Ton n'ait pas

IL If If

par exemple, que les deux derniers rapports ne soient pas égaux. Alors, si Ton se déplace sur la surface dans une direction telle que l'on ait

dx == R<iX

en vertu des équations (/m), (42), on trouvera aussi

Jj — Rc/Y = o, dz — l\dZ = o.

R est donc le rayon de courbure, et cette direction dans laquelle on se déplace est celle de la ligne de courbure; a,jS,}/ sont les coordonnées du centre, et l'équation aux dérivées partielles du second ordre est bien satisfaite.

Cette conclusion cesse d'être exacte pour la solution de l'équation du premier ordre qui satisfait aux relations

If ^v If

On verra facilement qu'il y a, en effet, une intégrale satisfaisant îv

ces conditions : c'est la solution singulière de l'équation du premier

ordre.

Cette équation du premier ordre peut d'ailleurs être ol)tenue

sous une forme assez remarquable. Reprenons l'équation proposée

Il est clair que, si l'on connaissait une autre relation du même genre ,

la question proposée serait résolue. Il ny aurait qu'à chercher

Tenveloppe des sphères dont les paramètres satisfont à ces deux

équations.

Nous savons que les sphères seront osculatrices à cette enveloppe et, par conséquent, les deux points de contact que chaque sphère a, en général, avec son enveloppe seront confondus ici en un seul. Exprimons cette propriété; soit

l'équation de la sphère.

Les points de contact de cette sphère avec son enveloppe sont définis par les formules

En suhstituant dans l'équation de la -sphère les valeurs de x — a, etc. , on trouvera

V'^-^^^) ^K^-^^^w +rD^+f^7J -\^^^^w'

équation qui, en général, détermine deux valeurs distinctes du rapport -, correspondantes respectivement aux deux points de contact. Ici, il faut que ces deux valeurs soient égales, ce qui donne l'équation

""L^ac^a^jSc^'^c^yc^r :)RDrJ

On intégrera, si on le peut, cette équation aux dérivées partielles du premier ordre en (p; et, une fois cette fonction obtenue, la solution s'achèvera par de simples différentiations et éliminations.

Les théories précédentes s'étendent, sans aucune difficulté, à un nombre quelconque de variables.

Considérons une équation déterminée , contenant n -f- 2 paramètres

On établira, entre ces paramètres, z et ses dérivées premières el secondes, les équations suivantes

On exprimera ensuite que les équations

^{^ + pMho rf(^ + r„^-|)-o,

qui sont homogènes en dv^, . . ., (Ix^ et sont au nombre de n, son( compatibles. Cela nous donnera une équation qui , jointe aux formules [àà]-, permettra d'exprimer les «-h 2 paramètres en fonction de z et de ses dérivées des deux premiers ordres.

Ces paramètres étant ainsi définis, toute équation du second ordre

r ^^1,^2, . . . , ft,(H2J = o

s intégrera de la même manière que dans le cas, traité plus haut, de deux variables indépendantes.