À' 1 Çj'sin.'i p . d (p — J'sin 7 9 . da
4- o. KM J cos 7 9 . sin 7 9.^9; équation qui est la même chose que J (P 3 P')^=(2AA'— M — M 7 ).Jcos. 7 y.sin. 7 <p.d(f.
par conséquent
ce qui donne, pour la valeur de T du numéro 9,
T=e’a , *+^(A—A')*—il.
(17) On verra bientôt que nous aurons besoin de connaître la valeur de T, qui se rapporte aux points même du contour de la surface. Cette valeur est différente de celle que nous venons de calculer pour les points intérieurs ; mais heureusement elle est, comme celle-ci, indépendante de la loi de la force répulsive, et peut facilement se déterminer. Il n’en serait pas de même si l’on considérait un point, non situé sur le contour même, maissqui n’en fût éloigné que d’une distance moindre que le rayon d’activité de la répulsion : la valeur de T dépendrait alors de la loi de cette force ; en sorte qu’elle ne pourrait se déterminer qu’en faisant une hypothèse sur la forme de la fonction fr.
Supposons donc que m est un des points de la courbe qui termine la surface ; par ce point menons une tangente à la courbe et un plan tangent à la surface ; et pour fixer les idées, supposons que l’axe des s , à partir duquel on compte l’angle «P sur ce plan, soit dirigé du côté même 011 se trouve la surface. Soit 9 l’angle aigu compris entre cet axe et la tangente
à la courbe; il est évident que pour étendre l’intégrale Fr.&>
a tous les points de la surface qui agissent sur le point m, il faudra la prendre depuis a = o jusqu’à a égal au rayon d’activité de la force répulsive, et depuis 9 =—9 jusqu’à 9=x—0, valeurs de cet angle qui répondent aux deux positions extrêmes du rayon a, sur le plan tangent en m .
Les limites relatives à a étant les mêmes que dans le numéro précédent, nous aurons encore
MEMOIRE
JJ F r.„=- a ljd<p + t JJ('P‘—l?')d 9 ;
d’ailleurs, d’après les valeurs de P et P' (n° i 3 ), on a toujours
ff(V' — P')d<p =—(A — A')*-/* cos . 2 <p . sin 2 y -dy\ «
intégrant depuis <p =— 0 jusqu’à <p = K—ô, on trouve
j d<Ÿ=-r:^ j'cos 2 <p . sin . 2 <p . dy = ^ ; d’où l’on conclut
et pour la valeur de la tension extrême
c 3 ^ 2 tc
On peut remarquer que, dans cette expression, la partie due aux forces élastiques est précisément la moitié de la même partie, dans la valeur de la tension intérieure que nous avons précédemment déterminée.
(18) Il est nécessaire maintenant d’exprimer en fonctions des coordonnées x,y, z, du point m, les valeurs des quantités A, A' et 3 C H- C -h 3 C v , qui entrent dans les expressions de U et T que nous avons trouvées. Or, relativement aux deux premières, on a déjà vu (n° 12) que
il ne resterait donc plus qu’à substituer pour p et p', les ex-
pressions connues des deux rayons de courbure principaux ; mais nous préférons déterminer directement les valeurs de A et A' par la même analyse qui nous servira à trouver la valeur de la quantité 3 C + C" + 3 C' v .
Pour cela, considérons un second point ni de la surface, correspondant aux coordonnées x',ÿ, z, et reprenons les formules de la transformation des coordonnées citées dans le numéro 11, savoir :
JC - OC + {/. S -+- V S - -y 9
z' = Z +|i"j + vV-|-p
dans lesquelles on a substitué pour x,x', x", leurs valeurs.
La variable z est une fonction de x et y, et z est la même fonction de oc et y,- développant donc, suivant le théorème
de Taylor, et observant que ^ =p, ^z=q } on aura
2 dx %
d^{v- s+ ' ,s '— e r) + +etc -
Egalons cette valeur de z, à la précédente, et faisons passer dans le premier membre de l’équation qui en résultera, tous les termes de première dimension en u, s et s ; nous aurons
MÉMOIRE
(i +p' + q') j + ((i"— VP —P ?)' + (»"—' vp —*'?)<'=
Les coefficients de s et / sont nuis en vertu des équations de condition du numéro 11 ; le premier membre se réduit donc à k u, à ceux que i H- p % -f- q' = Æ 1 ; substituant en outre à la place de u, son développement suivant les puissances de s et s' f et ordonnant de même le second membre de cette équation, elle devient
AA^+AAV+etç.^^-^ + ^w
Ka?"
<i.r dy
d* z v'*\ djr* 2 y
■(jp-r + ^P + v^y + etc.
Elle doit être identique par rapport à j et égalant donc entre eux les coefficients des termes de seconde dimension dans les deux membres, nous en concluons ces trois équations :
d'z (x* d'z , d'z \jJ* 7 *
77', + 37*- ^ + JF-T-=* A ’
2 dx dy
dx * 2 dx dy
dy 1
vv + 2^-^- = AA '
dï' ^ + dTdy ■ ^ + P v ) + dÿ 'P V = °- Les deux premières font connaître les valeurs de A et A’,
SUR LES SURFACES ÉLASTIQUES. fa]
et la troisième détermine la direction des axes des s et s, lesquels ont été supposés tangens aux deux lignes de courbure principales qui se coupent au point m (n° 12). Il est vrai que les quantités [/.,{/, v/v', entrent dans ces valeurs de A et A'; mais on peut les en faire disparaître de la manière suivante :
i° J’ajoute les deux premières équations; je désigne par H, la somme A + A'; et en ayant égard aux équations de condition du numéro 11, je trouve
w H - q' d* z pq d'z i -\-p* d' z
~P ’ dx dy + '2 P '7ÿ'
2 0 Je multiplie les deux premières équations l’une par l’autre; puis je retranche du produit le carré de la troisième; il vient
*’AA'=i(^
^ V ' Ydx' dy' \dxdy) J’
mais on a ( n° 11 )
désignant donc par G le produit A A', on aura
4 P L dx' dy' \dxdy) J
La somme et le produit de A et A' étant ainsi connus, on formera une équation du second degré, dont ces quantités seront les deux racines. Il est aisé de vérifier que ces résultats coïncident avec les formules connues, qui servent à déterminer les deux rayons de courbure principaux d’une surface donnée.
MÉMOIRE
Comme on a
il s’ensuit que la tension intérieure, déterminée dans le numéro 16, deviendra
et la tension extrême (n° ^7),
T«=££ï + Ïtt.H>—~G— n.
2 io 4
Ainsi ces deux quantités sont maintenant exprimées en fonctions des coordonnées du point m, auquel elles répondent.
(19) Pour exprimer de même la quantité 3 C + C“ l 3 C^, qui entre dans la valeur de U, je désigne par H', ce que devient H relativement au point m' ; de sorte que H' soit la même fonction de x et que H est de x et 7. En développant par le théorème de Taylor, nous aurons
s—^) (y, + „'/.- 3 £)..+ etc.;
d 'H / dx djr\^ S
substituant pour u sa valeur en série, et ordonnant, suivant les puissances et les produits de s et s, il vient
dH djr 1
fdR ' \dx S
d H ,\ , dy V y
dx 2 2 * dx dy ^ ^ * rfy*
dx
v’ rf* H ,
. dx* 2 ^ dx dy v v djr 2
Ar dy.
-h etc.-
Mais on peut avoir une autre valeur de H', en remplaçant dans celle de H du numéro précédent, les coordonnées oc,y, z du point m, par les coordonnées s, s, u du point m' ; ce qui donne
Tj i i 4- q ' 2 d*u p' q' d 1 u i p ' 2 d* u m
i d s 2 A :' 3 dsds' a A :’ 3 ds ’
en faisant, pour abréger,
du , du , y --- rr p
Si l’on se borne aux termes de seconde dimension en s et s , la valeur de u en série, donne
p ’ = 4 AV, ÿ a = 4 A' a y% p' q'=\AA ss',
^=2 A' 4- 6B"V -h 2B\y 4 - 12 CV a 4 - 6 C' v ss 4- 2 C' s 2 ;
as
au moyen de quoi, la seconde valeur de H', ordonnée suivant les puissances et les produits de s et s, devient
oo
MÉMOIRE
H' = Ah- A'-h (3 B + B") s + (3 B" + B') ✓ h-(6C h-C"— 6 A 3 —aA J A')j J + (6 C ,v h- C" — 6 A' 3 — 2 A A' a ) /■
-h etc.
Comparant cette valeur à la première, et égalant de*part et d’autre, les coefficients de s 2 et s 2 , on a
dm
i dx'
^ ^ dx dy
2 dy
A a^ rf’H , v'* </’H
AA —- -j—- H- v v • -j-j-1--—
2 dx dxdy a dy
ajoutant ces deux équations, et réduisant comme dans le numéro précédent, on trouve
i-\-q 2 cPH pq d 2 H 4 k 2 dx•' 2 k' dx dy
ïï \P~dx + + 3 A + 3 A +(A-t-A')AA'.
Je substitue présentement cette valeur dans celle de U du numéro i 5 , et conservant toujours H et G,à la place de A •+- A' et A A', il vient
TT = — — ïïl ri±-£.g H />?
8 L 2 « Æ dxdy 2 Æ
«/a: dy
3 AH 3 —iaAGHl-
(20) Reprenons maintenant l’équation (1) du numéro 9. En faisant attention à la valeur de H, on peut l’écrire ainsi :
Z — p X — ^ Y + U + 2TÀ'H=o;
et si l’on y substitue pour U sa valeur, et à la place de T, la première des deux expressions du numéro 18, on a alors
Z—pX—qY + (.'a'i,— an)iH+‘^^GH
Cb'* r I +q' d 1 H pq d 'H i + p* dH
8 [ ait ’ flfx’ k dx dy a k dp
-pH™- q n™ + kW]=o. {a).
Cette équation, dont la recherche faisait l’objet principal de ce Mémoire, est celle de la surface élastique en équilibre. D’après la forme de la quantité H, elle est, comme on voit, aux différences partielles du quatrième ordre et linéaire par rapport aux plus hautes différences. Cependant, si l’on fait attention à la nature des constantes désignées par a 2 et b 2 (n° i 5 ), qui représentent les intégrales définies
il est évident que la seconde est négligible et comme infiniment petite, par rapport à la première; car b 1 dépend de la quatrième puissance du rayon d’activité de la force répulsive, tandis que a 2 ne dépend que de son carré: il semble donc que l’on devrait négliger, dans notre équation, les termes multipliés par b % ce qui l’abaisserait au second ordre; mais on doit observer que le terme multiplié
5a MÉMOIRE
par a? se réunit à la constante arbitraire contenue dans n ; et nous allons prouver qu’il disparaît avec elle, lorsqu’on en détermine la valeur.
En effet, cette constante dépend des forces particulières qui tirent la surface à ses limites, et qui sont égales et directement opposées aux tensions extrêmes, ainsi quoi*»Ta vu dans le numéro 4 - Supposons donc que m est un des points du contour; désignons par V,la force donnée qui agit sur ce point, tangentiellement à la surface, et dans une direction perpendiculaire à son contour; égalant cette force à la tension extrême qui répond au même point, c’està-dire, à la seconde valeur de T du numéro x8, nous aurons
e 1 TC 6 a b 1 TC
c’Æ’tc
Or, si de cette équation, appliquée à un point déterminé du contour, on tire la valeur de la constante arbitraire, renfermée dans n, et qu’on l’élimine ensuite de l’équation (a ), il est évident que le terme multiplié par a 2 disparaîtra en même temps; de sorte qu’il ne restera que des forces données et des termes provenant des forces élastiques qui seront multipliés par b\
(21) Dans le cas où les forces X, Y, Z, sont nulles, et où la surface élastique est un cylindre, on doit trouver pour la section perpendiculaire aux arêtes, l’équation ordinaire de la lame élastique. Pour le vérifier, prenons l’axe des y parallèle à ces arêtes, auquel cas z sera indépendante de y, et l’on aura
ctz dp JJ ,
d~x' dx' H — ( l +P
-i.ÉL.
2 dx 1
De plus, la quantité n qui représente l’intégrale de Xdx 4 -Y dy-\-Zdz, se réduira à une constante arbitraire; je désigne par c une semblable constante, et je fais, pour simplifier ,
2 II- i CL TZ = - ~ • c :
l’équation“( æ) devient
( i 4-/** ) ' dx
d r? c dp
On ne reconnaît pas ici l’équation de la lame élastique; mais il est possible de la ramener à sa forme ordinaire, par une suite de transformations que je vais indiquer.
D’abord, en divisant tous les termes par \/i -+- p % et observant que
( i 4 -p 1 ) dx dx
■rafiÎfc-■'•[(,
notre équation devient
(i 4-/> a ) a dx 2
ïr¥$hn;- d -[('+P') %]
i(i+ p*ydx ’
MEMOIRE
et à cause que
(P^bî-4. + ^-è)+—*r-
(i -\-p*y dx*
elle se change en
d y\y+f2 7 ^] + t - d \pi'+r) ÏJ £]+c.d.- 7^==o.
Intégrant et désignant par c', la constante arbitraire, il vient
dx 2(1+/)’) a dx*
Je multiplie par a dp , et j’observe que
1 (+/>’)* dx
ce qui réduit l’équation précédente à
J’intègre une seconde fois, et je désigne par c" la constante arbitraire; j’ai alors
--h 2 c 1 / T+JF =2 dp -\-c.
( 1 -f- p*) * dx*
Résolvant cette équation par rapport à on a
^ (i +p')*dp
1 /2 c'p -h c"-2 ci/ I +p 1
multipliant par p et remettant dz a la place de p dx, il vient
\Zlc’ p + c" - 2 C \/
Ces deux dernières équations sont effectivement celles de la lame élastique, sous la forme où Euler les a trouvées à la fin de son Traité des isopérimètres (*). Il est facile de les réduire à une seule, entre z et x; mais nous ne nous arrêterons pas à effectuer cette transformation.
(22) Si la surface élastique diffère très-peu d’un plan qui soit celui des x, y, et qu’on néglige, en conséquence, dans son équation, les carrés et les produits des différences partielles de l’ordonnée z, on aura
ce qui réduira l’équation [a) simplement à
z-,x îY + e-^„)(g + £)
32 {dx* 2 dx* dy* dj* J °’
et l’équation ( b ) à
eî 1 t:
(*) Methodus inveniendi lineas curvas , etc., pag. 2 4 g.
MÉMOIRE
D’après les principes de mécanique que nous avons rappelés dans le numéro 7, nous pouvons déduire immédiatement tes équations du mouvement de la surface élastique, de celles de son équilibre; et si nous nous bornons à considérer le cas où la surface fait de très-petites oscillations de part et d’autre d’un plan fixe, il faudra partir des équations réduites que nous venons d’écrire : supposant, en outre, que c haque point oscille dans une droite perpendiculaire a ce plan, et faisant Abstraction de la pesanteur de la surface, nous aurons, comme dans le numéro cité,
t étant la variable qui représente le temps.
La quantité n désigne l’intégrale de Xdx+ Y dy+ Zdz, on aura donc
dn —
dr
dz
valeur qu’on doit regarder comme nulle, puisqu’on néglige les termes de seconde dimension, par rapport a z. Ainsi n sera une constante arbitraire ; et, d’après la valeur précédente de V, cette force, qui agit tangentiellement aux extrémités de la surface, devra être aussi constante ou nulle.
Avec ces différentes restrictions, on aura, pour déterminer les vibrations de la surface, lequation
vÆ- + —Y
v \dx' + df)
a d x* dy dy J
Le coefficient b 1 dépend de l’élasticité naturelle de la surface ; il variera avec la matière dont elle est composée, et il est censé donné pour chaque surface en particulier. Si on le suppose nul,on aura l’équation d’une surface non élastique.
mais tendue par une force V (n° 7); si, au contraire, on fait V=o, 1 équation du mouvement se réduira à la forme la plus simple quelle puisse avoir dans le cas de l’élasticité, savoir :
dt* U \dx* + 2 dx* dy 1
d 4 z\ dy*)
n 1 étant un coefficient constant, essentiellement positif, proportionnel à l’épaisseur s et à la quantité b\ Elle ne contient plus alors l’équation de la surface nop - élastique, laquelle, en effet, ne peut faire de vibrations qu autant quelle est tendue par une force appliquée à ses extrémités.
Cette dernière équation est celle que l’on trouve, sans démonstration, dans la pièce anonyme dont j’ai parlé au commencement de ce Mémoire : maintenant qu elle est déduite d’une théorie rigoureuse, elle pourra fournir une base certaine aux recherches que l’on entreprendra, sur les lois des vibrations des plaques sonores.
(a 3 ) Je terminerai ce Mémoire en faisant connaître une propriété curieuse de la surface élastique en équilibré. Celle que je vais considérer est une plaque, également épaisse, pliée par des forces données, qui agissent sur son contour ; et, pour simplifier, je fais abstraction de sa pesanteur. Or, je dis que dans l’état d'équilibre, elle est parmi toutes les surfaces de même étendue, la surface dans laquelle l’intégrale
jj(l + Vj kdxdy
est un maximum ou un minimum : p et p' désignent comme plus haut, les deux rayons de courbure principaux qui répondent à un point quelconque ; k dx dy représente l’élément relatif au même point ; et cette intégrale double s étend
58 MÉMOIRE
à la surface entière. Pour vérifier ce théorème, il suffit de montrer qu’il conduit à l’équation de la surface précédemment trouvée.
En effet, l’intégrale qui représente l’étendue de la surface est Jj 'k dx dy; d’après les règles du calcul des variations,
l’équation du maximum ou du minimum relatif dont il est question, sera donc
£ .JI (J 4- k dx dy -t- c 8 . jjk dx dy— o;
c étant une constante arbitraire. De plus, comme on veut seulement connaître l’équation de la surface, sans chercher ce qui arrive à ses limites, on peut regarder dx et dy comme constant; de sorte qu’en faisant passer la caractéristique S
sous le signe JJ , réunissant les deux intégrales en une seule, et posant, pour abréger,
l’équation précédente devient
(&.À-R* -h c èk) dx dy= o.
Mais en faisant toujours ^=p, ^=^. 0 n a k —
p 1 Ÿ d ' z ïpq
dx dy
~F~'dy ;
d’où l’on tire
k dæ ^ k dy
