SECONDE PARTIE
RÉDUCTION DES SYSTÈMES MODULAIRES DANS LESQUELS LES COEFFICIENTS DES ÉLÉMENTS SONT DES ENTIERS ALGÉBRIQUES DU DOMAINE Q.
Systèmes modulaires de première espèce.
Dans le domaine des nombres rationnels, le système
(6,i5)oo(6,i5 — a.6)oo(6,3)c^(3).
En général, le plus grand commun diviseur d des entiers a,, a,, . . ., a^, peut être mis sous la forme
rf =r éli ^1 -1- «1 a?j H- . . . 4- dn^nf
o\lx^, X.2, ..., Xn sont des entiers déterminés. Dès lors nous pouvons ajouter l'élément rf au système modulaire [«,,«2» •••» ^n]» qui devient alors [</, Ut, ^2, ..., a^]; et puisque a^, a,, ..., a^ sont tous des multiples de d^ ces éléments peuvent être supprimés du système modulaire, et il reste
Considérons maintenant le système modulaire
où a«, 0L2 sont des entiers algébriques du domaine û, c'est-à-dire des quantités appartenant au domaine d'intégrité [vj, puisque tous les entiers de û sont divisibles par v.
Puisque l'on peut ajouter un élément quelconque au système modulaire pourvu que cet élément soit divisible par les éléments de ce système, on voit que
OÙ ^1 et ^2 sont des entiers quelconques de Q. De même
(a„ «i) 00 ( I ai, I a„ t'a,, t^aj),
V étant V idéal principal qui contient tous les entiers algébriques de û. De plus, puisque i > ^, il en résulte que
Un idéal ^f peut être décomposé en facteurs premiers d'une seule manière. Soit
où p,, P2, ... sont des idéaux premiers.
Si deux idéaux vi^t et (^^2 sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur (voir p. 36) est v^ de sorte que
On voit immédiatement, d'après ce qui précède, que le système (çaL^,vaL2) est équivalent au système (p*.q'...), où le produit des
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. S'y
idéaux p*, q', ... est commun aux deux idéaux {fat^çcc^; car si Ton a
et
rai = p*q' . . . Hj
raj=:p*q'...nj,
OÙ Hi et Ils sont des idéaux premiers entre eux
C/o(p*q'. . . n,, p*<ï'. . .n,, p*q'. . . (')co (p*q'. . . i>) on (p'q'. . .)•
Il en résulte immédiatement que le système modulaire
où les éléments a^, as, ..., a^ sont des quantités entières du domaine [(^], est équivalent au système
(PÎ'PÎ'..-),
où Af, A2 sont des entiers rationnels et où les idéaux premiers p^ps» ••• entrent avec ces puissances dans chacun des éléments
i^ocj, ra, ..., (^a„.
En particulier, s'il n'y a pas d'idéal commun à tous les éléments çoL^y pa^, ..., ç'a,^, on a
La propriété analogue dans le domaine des nombres rationnels est
que
s'il n'y a pas de diviseur commun à tous les entiers a^, a,, ... a^ autre que l'unité.
Systèmes modulaires de seconde espèce.
Les quantités entières qui apparaissent comme éléments dans ces systèmes sont de la forme
(x^x'^-h ai a:"""* -h. . .-f- a
nf
OÙ ao, ttf, ..., a„ sont des entiers algébriques du domaine ù; nous H. 8
58 IIARRIS HANCOCK.
pouvons donc dire que ces quantités appartiennent au domaine d'intégrité [^, ^],
Considérons d'abord, dans le domaine d'intégrité [1,07] le système modulaire
{ax^-\- ex 4- By bx -+- d)y
OÙ a, c, Cy 6, rfsont des entiers rationnels.
S'il y avait un facteur commun à ax^ + cx -^ e et bx -h d, ce facteur pourrait être supprimé comme facteur du système modulaire. Nous pouvons donc supposer que les deux éléments ax^ -h ex -h e et bx -\- d n'ont pas de facteur commun.
En vertu de la relation identique
{ax'^-^cx -he) ô*= {abx -h bc — ad)(bx -hd) -h b^e — bcd -h ad*^
on voit que l'entier positif ou négatif
m=zb^e — bcd -{- ad* ^ o{modax^-^ ex -\- e, bx -\-d)
peut être ajouté comme un élément au système
{ax^ -^ ex -\- e, bx •\- d)
sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même.
Considérons maintenant le même système dans le domaine [^, a?], de sorte que maintenant a, c, e, b, d sont des entiers algébriques de û. Si, comme ci-dessus, nous supposons que les éléments ax^ -hcx -he, 6a: -4- rf n'ont pas de facteur commun dans ce domaine, l'entier algébrique
|jL z=. b^e — bed -+- ad*
est différent de zéro.
Puisque, d'autre part,
lÂ=zo{modax*-\- ex -\- e, bx-hd),
on voit que (x peut être ajouté comme un élément au système modulaire donné, qui devient alors
(|JL, a J7* H- C J7 4- e, bx-\-d).
De plus, puisque le système reste équivalent à lui-même lorsque nous multiplions chaque élément par v^ on voit que nous pouvons con-
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 5g
sidérer les coefficients des éléments soit comme étant les nombres entiers a, c, e, b, rf, soit comme étant les entiers idéaux ra, i^c, çe^ çb, vd puisque {voir Dedeklnd, t. III, p. 54a) la divisibilité du nombre entier \ par l'entier algébrique [jl est identique à la divisibilité de l'idéal s^\ par l'idéal ^[x.
Supposons que l'idéal 4 soit un facteur commun des idéaux va^ vb^ vc, de sorte que
on peut montrer que, si i) n'est pas un diviseur de l'idéal {^\k (diviseur qui soit un facteur de v\k dans le sens employé lorsqu'on a affaire au domaine des nombres rationnels), l'élément i\{s^a'x^ -^ vc'x-\- s?c') peut être remplacé dans le système modulaire par l'élément l^s^a'x^-^-vc'x -{-vd), où S est un idéal déterminé diviseur de v\l et que, par ce changement des éléments, le système reste équivalent à lui-même. Pour le prouver, soit S un idéal qui soit le plus grand commun diviseur des idéaux q et (^pi, de sorte que
8 = q -h vil.
Le système est, en raison de la présence de l'élément ^[x, équivalent à
[('jui, t{{va' x^-\- v&x-h vd)> V [i.{v a' x^ -k- vc'x h- ve'), bx -+- d^
ur>((^|jL, ^){va' x^-\- vc' X -f- ve'), (q -h v [i.) {v a' x^ -^ v c' x -\- ve')^ bx -^ d'\ 00 (c/ji, t({v(x' x^-v- vc'x 4- ve'), è{va'x^-h vc'x 4- ve'), bx h- d],
et ce système, puisque q est multiple de S, est équivalent à
[vix,d{a'x*-^c'x-he')y bx-^d].
Dans le système modulaire
{^lÂf ax--h ex -h c, bx -^ d)
supposons que (^[x = p,.pa, où p, et p, soient des idéaux premiers entre eux; et, pour abréger, posons
fx{x) imax^-h bx-h e, fi{x) = bx -^d.
(3o HARRIS HANCOCK.
Nous dirons que le système
[t^f^,/i(-^),/i(^)] est équivalent au produit des deux systèmes
[PuA{^^)rA{^)] et [p„/,(^),/,(x)], car le produit de ces deux systèmes est
En raison de la présence des deux éléments Pi/<(^) et 1)2/1 (^)f nous pouvons ajouter (p, -h P2)/<(^) ou ^/ï(^) au système. Comme ç f^(^x)=/t(x), nous pouvons ajouter/, (a?) et, de même, /(a?), au système, qui se réduit alors immédiatement à
Nous pouvons donc considérer au lieu du système modulaire
des systèmes de la forme
où p est un idéal premier ou une puissance d'un idéal premier.
Ce qui vient d'être démontré pour les valeurs spéciales données à /(a?) et /i(x) peut encore l'être dans le cas plus général où l'on prend pour/i(j7) et /(a:) des fonctions entières quelconques de x h coefficients entiers appartenant au domaine Q.
Si nous supposons quMl n'y a pas de facteur commun à ces deux fonctions (puisqu'un tel facteur peut être immédiatement supprimé comme facteur du système modulaire), nous pouvons, par la méthode ordinaire du plus grand commun diviseur, déterminer un entier algébrique [JL appartenant au domaine il qui puisse être ajouté au système en le laissant équivalent à lui-même.
En général f si nous supposons que, dans le système modulaire les éléments sont des fonctions entières en x dont les coefficients appar-
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 6l
tiennent au domaine [(^J et y déplus, qu Un y a pas de diviseur commun à tous les éléments, la méthode ordinaire du plus grand commun dimeur nous permet de déterminer un entier algébrique appartenant aussi « [^]» qui peut se mettre sous la forme d'une fonction linéaire des éléments du système modulaire et qui peut, par conséquent^ être ajouté comme élément au système modulaire en le laissant équivalent à lui-même. Le système devient alors
De même, comme dans le cas particulier considéré plus haut, si
où Pi> P2> ••• sont des idéaux premiers et e^, e^, ... des entiers rationnels, nous pouvons considérer, au lieu du système donné au début, les systèmes
dont le produit est équivalent au système initial. Considérons le système
Si les coefficients de Tun quelconque des éléments, par exemple /,(a?), ont un facteur commun, puisque l'élément peut être remplacé par un autre dans lequel le facteur est un diviseur de p**, on voit que le système modulaire doit être de la forme
OÙ les nombres d^^d^, .. ., d^ sont ou zéro ou des diviseurs de ^i, sans en excepter l'unité. Nous pouvons, de plus, supposer que les coefficients d'aucun des éléments g^/(a7)(ï = r, 2, . ..,72) n'ont de facteur commun.
Dedekind (p. 636) démontre le théorème suivant : Si p est un entier rationnel premier et si l'on a
^P = PÎ*.PÎ' PÎS
0£^ Pf , P2, . . . , Pr sont des idéaux premiers; sij déplus, un des entiers A, ,
^2, . . ., kr est plus grand que V unités le discriminant H de ù (Dedekind, p. 538) est toujours divisible par p .
Le théorème suivant est également vrai : Si çp contient un idéal premier p à la ^'^'"* puissance, D contient le facteur premier p à la (A — jy^"*^ puissance, excepté dans le cas où k est divisible par p\ dans ce cas, D contient p au moins à la k'^'"^ puissance.
Soit/72 le plus petit entier divisible par ç[*. et supposons d'abord que D ne soit divisible par aucun des facteurs de /n, de sorte qu'aucun des exposants ^4, e^, ... de l'élément constant
qui entre dans le système modulaire ci-dessus, ne puisse être plus grand que l'unité.
Ce système peut alors prendre la forme
Considérons maintenant la forme plus simple
OÙ
g^{x)=: a^X^ 4- «1 ^""^ 4- . . . H- «rt,
Nous pouvons supposer qu'aucun des coefficients
n'est divisible par p, puisque, dans ce cas, les termes contenant un tel coefficientpeuventêtresupprimésde la fonction, et le système modulaire reste équivalent à lui-même.
Dans le domaine des nombres rationnels, les entiers
forment un système de résidus incongrus (modp) et, par conséquent, tous les entiers du domaine peuvent être distribués en classes où
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 63
chaque entier appartenant à une classe donnée est congru (mod/?) à un, et à un seulement, des entiers
De même, les entiers de ù peuvent être distribués en (p, p) classes (Dedekind, p. 509). Désignons ce nombre de classes par k, de sorte que A = (p, p). Un entier quelconque d'une classe peut être choisi comme représentatif de cette classe. Dès lors, si nous choisissons un entier de chacune des k = (p, p) classes, nous avons un système d'entiers qui peut être appelé le système représentatif des entiers du domaine ù relativement au module p. Chaque entier de Q est congru (modp) à un des entiers relatifs à ces k classes.
Le système représentatif est donc caractérisé par les trois propriétés suivantes :
1® Les nombres représentatifs du système sont tous divisibles par ç;
2° La différence de deux représentatifs est divisible par p;
3® Tout entier algébrique de Q est congru (modp) à un des représentatifs.
L'entier i , étantun des entiers de Q, appartient à une des k classes et nous le prendrons comme représentatif de la classe à laquelle il appartient, et comme représentatif des k — i autres classes, nous prendrons les entiers dont les normes sont inférieurs au norme de p.
Ces représentatifs seront désignés par
Pl = I» Pi» •••> PA-
Puisque le norme d'un idéal m (Dedekind, p. 564) est égal à (p, m), on voit que
Par conséquent, les entiers rationnels N(p,), N(p2)> N(pa) sont tous moindres que k.
Si maintenant une fonction /(^) entière en x dont les coefficients sont des entiers de Q, est multipliée successivement par tous les entiers de 0, les différentes fonctions qui en résultent peuvent à leur tour être classées, relativement au modulus p, en * = (p,p) différents
64 HARKIS HANCOCK.
groupes et les k représentatifs qui en résultent sont obtenus en multipliant la fonction /(a?) par les k entiers algébriques qui constituent les représentatifs des k classes.
De plus, chacune des fonctions représentatives peut être employée à la place de la fonction/(a?), comme il est évident qu'une telle fonction, multipliée à son tour par chacun des A entiers algébriques qui constituent ce système représentatif donnera le système de fonctions représentatives que nous avons déjà trouvé plus haut.
Si donc
il est certain que l'un des systèmes représentatifs des entiers algébriques, soit, par exemple, p/, est tel que
p/ao=i (modp).
Dès lors, nous pouvons remplacer la fonction g^ {x) dans le système modulaire
par l'élément
Gi(a:) ■=pig^{x) = a?'»4- a,a;'»-*-h aja:*-* + . . .-h a^(modp),
OÙ a,, a^, ..., a^ sont des entiers algébriques que l'on trouve parmi les entiers pi, pa, ..,, p^.
Nous appellerons G< {x) Vêlement réduit de g^ (x).
Soit G2(^) l'élément réduit de g2(^)- On voit que
Puisque le degré de 62(0:) en x est égal ou inférieur au degré de Gi(x)^ nous avons par division
OÙ les coefficients de Qi{x) et de R|(a7) sont des entiers algébriques de ù et où le degré de R|(ir) en x est moindre que le degré de G,(^) et de G2(ir).
De la relation qui précède il résulte que
SLR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKEK. 65
et, par conséquent, puisque
Ri(j-) ES o[mod(i,(jr), (j,(j:)],
et
rf,(j?) = o[mod(;j(x), R,(j?)],
nous voyons que nous pouvons adjoindre Télément R,(-r) au système
et en retrancher Gt(x) sans qu'il cesse d'être équivalent h lui-même, c'est-à-dire de telle façon que Ton ait
Soit 113(0:) l'élément réduit de R,(a?), et comme plus haut écrivons la relation
Adjoignons R2(a;) au système, et supprimons-en G^i^)- Le système que nous avons à considérer est
Comme les degrés des nouveaux éléments qui sont adjoints au système vont continuellement en décroissant et ne peuvent pas devenir négatifs, on voit que si nous continuons à procéder de la même façon nous devrons finalement avoir
et ici, ou bien H^, (x) est divisible par H^(.r) (modp) ou bien H^(a7) est un entier algébrique premier avec p. Dans le premier cas le système modulaire [p, Hj,(a?), H^^)] est équivalent à [p, H»,(a7)] ; dans le second cas il est équivalent à [("], et cela n*est plus d'aucun intérêt.
Exactement de la même manière le système modulaire le plus général écrit plus haut
[9f ê^ïi^)^ ë^li^)> ^i{^) y ' • ' ^ .^n{^)]
se réduit ou au système de la forme
OU à
6(> lIAimiS HANCOCK.
Ce dernier cas étant sans intérêt, nous étudierons maintenant de plus près le système
oii l'élément ¥(x) peut être mis sous la forme
^>" Ym Ya • • • • » Yt s^"t prises parmi les quantités p,, p.> ,.. ., pA-
Supposons que par quelque autre méthode ie système modulaire initial [p* gii^)^ g2(^) »• ••»^,i(^)] sii^ été réduit à la forme
où l'élément F^ (07) est un élément réduit (modp), c'est-à-dire, un élément dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de x est l'unité, tandis que les autres coefficients sont pris parmi les nombres p, , ?2» •••»?*• Nous allons voir maintenant que F,(a7) est identique à F(a:). En vertu de l'équivalence
|p,,F(.r)]oo[p„F,(j;)],
nous avons d'une part
et d'autre part
(2) F,(j.) = pII(^)-hF(a:)F(a-),
où les quantités II, (x), II (x), F, (x)y V(x) sont des fonctions entières on X dont les coefficients sont des entiers algébriques de Q, ou, comme nous dirons pour abréger, des quantités appartenant au domaine [r,^]. Les relations (i) et (2) peuvent s'écrire :
(i') ¥ (,v)^1\{j:)¥\(x) (modp),
(•y) V^(x) — V{jc)V(x) (modp).
Multiplions ces congruences membre à membre, nous avons
F(.r)F,(a'):=F(a-)F,(.r)F.(.r)F(.r) (modp).
SLR LES SYSTÈMES BfODULAlRES DE KRONECKER. 67
Puisque ni ¥(x) ni F,(a7) ne sont divisibles parp, il s'ensuit que
iH2Fi(^)F(x) (modp).
et comme F, (x) et f(x) sont des quantités de [^, x], cette congruence
peut seulement avoir lieu siF4(a?)etF(a?)sont des unités de il. Dès lors de (i') nous tirons
F(;r) = F,(^) (modp),
et puisque V(x) et F, (a?) sont tous deux réduits (modp), il s'ensuit que F (a?) doit être égal à F<(ir).
le système [p, F (x)] est ce que j'ai appelé une/orme canonique (voir If; Journal de Crelle, t. 119, p. i48) du système modulaire
C'est ainsi que, quelle que soit la réduction du système
que l'on ait opérée, la forme finale, qui est équivalente à la forme canonique, lui est identique.
Dans le système [p, F (x)] la fonction F (x) est de la forme
OÙ les Y peuvent prendre des valeurs p, , pa . • • . , P*.
Dès lors les résidus (quantités incongrues) du système modulaire ci-dessus ont la forme
où les p peuvent prendre des valeurs p, , . . . , pf,.
Le nombre des fonctions de cette forme est donc par conséquent k^, et puisque l'une de ces fonctions est divisible par le système modulaire, le nombre total des résidus du système modulaire est (ji = X:^ -— i .
On peut voir comme il suit que ces [x résidus R^, R^^ ,..., R(i sont incongrus [modp, F (a?)] : supposons que R|(rc) et Ra(^) sont deux des résidus dont nous venons de parler et supposons qu'ils soient congrus [modp, F (^)l.
sidu o? -f- 1, par exemple; nous avons
o multiplié par x ^-i~
o, 30? 4- 3 muIUplié par j? 4- 1 =
2jr -f- I
^^ X-h If
